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확률통계학Ⅰ
이석민 교수
고려대학교 대학원 수학교육과 석사과정 졸업
Ph.D. in Mathematics at Johns Hopkins University, USA
고려대학교 대학원 수학교육과 석사과정 졸업
Ph.D. in Mathematics at Johns Hopkins University, USA
Johns Hopkins Univ.
건국대학교
현) 유니와이즈 자문교수
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총 8개 챕터, 30강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 통계학과 자료분석 | ||
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[1강] 통계학과 자료분석 (1)
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통계학과 자료분석 (1)
• 통계학 기본 개념: 자료 수집 및 과학적 판단 원리인 통계학 정의, 모집단·표본·조사 방법 분류, 기술통계학·추측통계학 역할 및 확률 연관성 이해. • 표본추출 방법론: 단순랜덤·계통·층화·군집·다단계 추출 기법의 절차와 특징, 표본 편향 요인 분석을 통한 대표성 확보 전략 학습. • 자료 수집 설계: 관측연구·실험·후향연구 분류, 실험 단위·집단 설정 및 랜덤 할당을 통한 원인-결과 인과관계 규명 원리 탐구. |
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[2강] 통계학과 자료분석 (2)
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통계학과 자료분석 (2): 자료 요약 및 도표 정리
• 기술통계학 기본: 모수와 통계량 구분, 질적/양적 자료 분류를 통한 데이터 특성 이해. • 자료의 중심 및 분포: 평균, 중앙값 등 위치측도와 분산, 표준편차, 사분위수 범위 등 산포도로 자료 정량화. • 자료 시각화 도표: 도수분포표, 히스토그램, 줄기-잎 그림, 상자그림으로 데이터 분포 및 이상점 분석. |
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| 2장. 확률 | ||
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[3강] 확률 (1)
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확률통계학 3강. 확률 (1)
• 확률 기초: 통계적 불확실성 분석을 위한 표본공간(모든 결과 집합) 및 사상(표본공간 부분집합) 개념 정의. • 사상 연산: 표본공간 내 사상들의 관계를 나타내는 여집합, 교집합, 합집합, 상호 배반 정의 및 드모르강 법칙. • 경우의 수: 사상 발생 가능성을 정량화하는 곱의 법칙, 순열(원순열, 같은 것을 포함), 조합, 분할 계산 원리. |
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[4강] 확률 (2)
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확률(2)
• 확률 정의: 사상의 발생 가능성을 0~1 숫자로 표현하며, 고전적, 경험적, 주관적, 공리적 유형으로 구분. • 가법정리: 두 개 이상 사상의 합집합 확률을 계산하는 핵심 공식으로, 배반사건 시 간소화. • 여사상 확률: 특정 사상이 일어나지 않을 확률을 전체 확률에서 제외하여 산출. |
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[5강] 확률 (3)
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확률통계학 확률 (3): 조건부 확률, 승법정리, 독립성
• 조건부 확률: 특정 사상 발생 전제 하에 다른 사상 발생 확률을 정의하고 계산하는 원리. • 승법정리: 두 개 이상 사상의 교집합 확률을 순차적인 조건부 확률의 곱으로 계산하는 방법. • 독립사상: 한 사상 발생이 다른 사상 확률에 영향을 미치지 않는 개념 및 정의, 배반사상과의 차이점 이해. |
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[6강] 확률 (4)
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확률통계학, 전확률의 정리와 베이즈 정리
* 전확률의 정리: 표본공간 분할 개념을 기반으로 특정 사상의 전체 확률을 계산하는 원리 * 베이즈 정리: 알려진 조건부 확률로 사후 확률을 역추론하여 정보의 영향을 정량화하는 방법 * 몬티 홀 문제: 베이즈 정리를 통해 직관에 반하는 확률 변화와 정보 영향력을 설명하는 핵심 예시 |
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| 3장. 확률변수와 확률분포 | ||
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[7강] 확률변수와 확률분포 (1)
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확률변수와 확률분포 기본 개념 및 유형별 특성
• 확률변수: 표본공간의 사상을 수치로 변환하여 확률을 수리적으로 다루는 개념이며, 이산형과 연속형으로 분류 • 이산형 확률분포: 셀 수 있는 값을 가지며 확률질량함수(PMF)와 누적분포함수(CDF)로 확률을 표현, PMF는 $f(x) \ge 0, \sum f(x)=1$ 조건을 따름 • 연속형 확률분포: 연속적인 구간 값을 가지며 확률밀도함수(PDF)와 누적분포함수(CDF)로 확률을 표현, PDF는 $f(x) \ge 0, \int f(x) dx=1$ 조건을 따름 |
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[8강] 확률변수와 확률분포 (2)
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확률변수의 결합 확률분포와 주변분포
* 결합 확률분포: 둘 이상의 확률변수가 동시에 취하는 확률 분포를 나타내며, 이산형은 결합확률질량함수, 연속형은 결합밀도함수를 통해 확률 계산. * 주변분포: 결합분포로부터 특정 단일 확률변수의 개별 분포를 유도하는 과정으로, 이산형은 다른 변수 합산, 연속형은 적분을 통해 계산. |
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[9강] 확률변수와 확률분포 (3)
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확률변수 조건부 분포 및 통계적 독립
* 확률변수 조건부 분포: 특정 확률변수 값이 주어졌을 때 다른 변수의 확률 분포를 정의하고 계산하는 원리. * 통계적 독립: 두 확률변수의 결합확률분포가 각 주변 분포의 곱과 같을 때 성립하며, 변수 간 상호 영향이 없음을 의미. * 여러 확률변수 독립: 다변수 결합확률분포가 각 변수의 주변 분포 곱으로 나타날 때, 상호 통계적 독립 관계가 성립. |
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| 4장. 수학적 기대값 | ||
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[10강] 확률변수의 평균
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확률변수의 평균 및 기댓값 개념
• 확률변수 기댓값 정의: 이산/연속형 확률변수의 중심 경향을 나타내며, 확률값과 확률의 곱의 합 또는 적분으로 산출. • 종속 확률변수 기댓값: 확률변수 함수 $g(X)$ 및 두 확률변수 함수 $g(X,Y)$에 대한 기댓값 계산 절차 요약. • 주변분포 활용 기댓값: 결합확률분포로부터 각 확률변수의 주변분포를 통해 개별 기댓값 도출. |
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[11강] 분산과 공분산
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확률통계학: 분산, 공분산, 상관계수
• 분산·표준편차: 확률변수의 산포도 지표로, $E[(X-\mu)^2]$ 정의 및 $E[X^2] - \mu^2$를 활용하여 데이터의 퍼짐 정도를 계산하는 통계량. • 공분산: 두 확률변수 간 결합된 변화 방향을 측정하는 지표로, $E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$ 정의 및 $E[XY] - \mu_X\mu_Y$로 계산하여 관계 방향 제시. • 상관계수: 공분산을 표준편차로 표준화하여 $\rho_{XY} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y}$로 계산, 두 확률변수 간 선형 관계의 강도와 방향을 측정하는 단위 무관 척도. |
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[12강] 선형결합된 확률변수의 평균과 분산
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선형결합된 확률변수의 평균과 분산
• 확률변수 기댓값 선형성: $E(aX+b) = aE(X)+b$ 및 $E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)$로 항상 성립하며, 독립 확률변수의 곱은 $E(XY)=E(X)E(Y)$. • 확률변수 분산 계산: $V_{ar}(aX+b) = a^2V_{ar}(X)$로 상수는 제곱 반영, $V_{ar}(aX+bY) = a^2V_{ar}(X)+b^2V_{ar}(Y)+2abC_{ov}(X,Y)$로 공분산 포함. • 독립 확률변수 특성: 독립 변수는 공분산 $C_{ov}(X,Y)=0$이므로, 기댓값 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 및 분산 $V_{ar}(X \pm Y)=V_{ar}(X)+V_{ar}(Y)$로 계산 단순화. |
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[13강] 체비셰프 정리
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체비셰프 정리와 그 적용
* **체비셰프 정리 개념**: 모든 확률분포에서 확률변수가 평균으로부터 표준편차 `k`배 범위 내에 존재할 최소 확률을 제시하는 원리. * **체비셰프 정리 증명**: 연속형 및 이산형 확률변수의 분산 정의를 활용, 평균-편차-확률 간 관계를 수학적으로 도출하는 절차. * **체비셰프 정리 적용 및 한계**: 확률분포를 모를 때 관측값의 최소 확률을 보장하나, 실제 확률은 더 높을 수 있는 근사적 정보 제공. |
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| 5장. 이산형 확률분포 | ||
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[14강] 이산형 균일분포
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이산형 확률분포: 균일, 베르누이, 이항분포 개념 및 활용
* 이산형 확률분포: 균일, 베르누이, 이항분포의 정의, 확률함수, 평균, 분산 등 핵심 속성 학습 * 베르누이 분포: 단일 성공/실패 시행 확률 모델; 이항분포: $n$회 독립 베르누이 시행의 성공 횟수 예측 * 누적이항분포: 특정 구간 확률 계산 원리와 누적 이항분포표 활용법 파악 및 적용 |
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[15강] 이항분포와 다항분포
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수리통계학 이항분포와 다항분포
• **이항분포:** 두 가지 결과의 독립 시행 반복 시 성공 횟수 확률 분포 정의 및 평균 $np$, 분산 $npq$ 계산 원리 정리. • **다항분포:** 여러 결과의 독립 시행 반복 시 각 결과 횟수 확률 분포 파악 및 확률 질량 함수를 통한 확률 계산. • **확률 분포 응용:** 이항·다항분포를 활용한 반복 시행의 확률, 평균, 분산 예측 및 통계적 가설 검증 적용. |
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[16강] 초기하분포
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초기하 분포 개념 및 응용
• 초기하 분포 정의: 유한 모집단에서 비복원 추출 시 성공 횟수 확률 분포, 이항 분포와의 차이점 분석 • 초기하 분포 속성: 확률 함수, 평균, 분산(유한 모집단 수정 계수 포함) 계산 및 이해 • 초기하 분포 응용: 모집단 크기 증가 시 이항 분포로 수렴 특성 및 다변량 확장, 샘플링 검사에 활용 |
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[17강] 음이항분포와 기하분포
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음이항분포와 기하분포 개념 및 확률 계산
* 음이항분포: 고정된 성공 횟수가 발생할 때까지의 시행 횟수를 다루는 확률분포의 정의 및 확률 질량 함수 구성 원리. * 기하분포: 첫 번째 성공까지의 시행 횟수를 측정하는 음이항분포($k=1$)의 특수 형태로 정의되며, 확률 질량 함수(PMF)를 가짐. * 확률분포 특성: 음이항 전개와 기하급수로부터 각 분포의 이름이 유래하며, 기하분포의 평균($1/p$) 및 분산($(1-p)/p^2$) 계산. |
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[18강] 포아송 분포와 포아송 과정
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확률통계학 포아송분포와 포아송과정
• 포아송 분포: 특정 시간/영역 내 **이산 사건 발생 횟수**를 모델링하는 확률분포로, 평균과 분산이 $\lambda t$로 동일한 특징을 가짐. • 포아송 과정: 사건 발생의 **독립성, 비례성, 동시 발생 무시**를 가정하여 포아송 분포의 기반을 제공함. • 이항분포 근사: 시행 횟수 $n$이 크고 성공 확률 $p$가 작을 때, 이항분포는 포아송 분포로 근사되어 확률 계산에 활용됨. |
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| 6장. 연속형 확률분포 | ||
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[19강] 연속형 확률분포 (1)
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연속형 확률분포: 균일분포 및 정규분포
• 연속형 확률분포: 확률을 확률밀도함수 아래 면적으로 정의하며, 균일분포는 특정 구간에서 밀도가 일정한 분포. • 정규분포: 평균과 표준편차에 의해 결정되는 종 모양 대칭 분포로, 확률밀도함수와 주요 특징을 가짐. • 표준정규분포 및 Z-변환: 임의 정규변수를 표준정규분포($Z=(X-\mu)/\sigma$)로 변환하여 확률표로 정확히 확률 계산. |
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[20강] 연속형 확률분포 (2)
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정규분포 적용 및 이항분포 근사
* 정규분포 적용: 평균 및 표준편차 기반 Z-점수 변환을 통해 다양한 실생활 확률 계산 및 예측. * 이항분포 정규근사: $np \ge 5, n(1-p) \ge 5$ 조건을 만족하는 이산형 이항분포를 연속형 정규분포로 근사하여 확률 추정. * 연속성 수정: 이항분포의 정규근사 시 이산형 확률변수를 연속형으로 전환하는 필수적인 $0.5$ 보정 과정. |
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[21강] 연속형 확률분포 (3)
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연속형 확률분포: 감마분포와 지수분포
• 감마함수: 팩토리얼을 실수 범위로 확장 정의하며, 주요 성질 및 $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ 등 핵심 값 포함. • 감마분포: 감마함수를 기반으로 정의되는 연속형 확률분포이며, 모양 모수 $\alpha$와 크기 모수 $\beta$로 확률밀도함수, 평균 $\alpha\beta$, 분산 $\alpha\beta^2$을 결정. • 지수분포: 감마분포의 $\alpha=1$인 특수 형태로, 포아송 과정에서 첫 사건 발생까지의 시간을 모델링하며, 평균 $\beta$와 분산 $\beta^2$을 가짐. |
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[22강] 연속형 확률분포 (4)
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확률통계학 연속형 확률분포 적용 (감마분포, 지수분포)
• 지수분포: 포아송 과정 기반 첫 사건 발생 시간 모델링, 건망성 특징 및 확률밀도/누적분포함수 활용 • 감마분포: 포아송 과정의 여러 사건 발생 시간 모델링, 파라미터 $(\alpha, \beta)$를 통한 유연한 확률 예측 • 지수/감마분포: 확률밀도함수와 누적분포함수를 이용한 실생활 문제 해결 및 응용 능력 개발 |
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[23강] 연속형 확률분포 (5)
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확률통계학: 연속형 확률분포 (5) - 카이제곱, 로그정규, 와이블 분포
• 카이제곱분포: 감마분포의 특수 형태로 자유도에 따른 모분산 추론 및 분포 특성을 정의. • 로그정규분포: 로그 변환으로 정규분포를 따르는 비대칭 데이터 모델링 및 확률 계산에 활용. • 와이블 분포 및 신뢰성: 부품 수명 분석을 위한 고장 모형으로, 모수 $\beta$에 따른 고장률 변화(상수, 증가, 감소)를 통한 신뢰도 예측. |
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| 7장. 확률변수의 함수 | ||
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[24강] 확률변수의 변수변환 (1)
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확률변수의 변수변환 (이산형 확률변수)
• 확률변수 변수변환: 기존 확률분포를 활용하여 새로운 확률변수의 확률분포를 도출하는 핵심 원리 학습. • 이산형 확률변수 변수변환: 1대1 대응관계 전제 하에, 1변수 변환은 역함수, 2변수 변환은 결합 및 주변분포를 통해 확률분포 도출. • 포아송 분포의 합: 독립적인 두 포아송 분포 합이 모수 합을 따르는 포아송 분포가 되는 성질 분석. |
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[25강] 확률변수의 변수변환 (2)
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확률변수의 변수변환 (2)
• 확률변수 변환 개념: 연속형 1변수 및 다변수 확률변수의 새로운 확률분포를 야코비안을 활용하여 도출하는 핵심 원리 정의. • 비일대일 대응 변환 처리: 1대1 대응이 아닌 경우, 정의역을 분할하고 각 부분 변환의 야코비안을 합산하여 확률분포를 계산하는 절차. • 카이제곱분포 유도: 표준정규분포에서 야코비안 변환을 통해 자유도 1인 카이제곱분포를 유도하는 실제 적용 사례. |
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[26강] 적률과 적률생성함수 (1)
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적률과 적률생성함수 (1)
* 적률 개념: 확률변수의 분포 특성(평균, 분산, 왜도, 첨도)을 정의하는 기댓값 지표. * 적률생성함수(MGF): 적률을 효율적으로 추출하는 지수함수의 기댓값으로, 미분으로 각 차수 적률 유도. * 핵심 분포 MGF: 이항, 정규, 카이제곱 분포의 적률생성함수 유도 및 분포 특성 분석. |
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[27강] 적률과 적률생성함수 (2)
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적률생성함수의 주요 성질 및 분포 적용
• 적률생성함수: 확률변수 분포 규정, 적률 생성 및 독립 확률변수 합/선형 결합 분포 추론에 활용. • 분포의 재현성: 포아송, 정규, 카이제곱 분포는 독립변수 합/선형 결합 시 동일 분포를 유지하는 성질. • 정규분포와 카이제곱분포 관계: 표준화된 정규확률변수의 제곱합은 카이제곱 분포를 따르는 원리. |
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| 8장. 확률표본과 표본분포 | ||
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[28강] 확률표본과 표본분포 (1)
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확률표본과 표본분포 (1)
• 확률표본: 모집단의 특성 추정을 위해 독립적이며 동일 분포를 따르는 확률변수 집합. • 표본평균/표본분산: 표본 데이터의 중심 경향과 산포를 나타내며 모수 추정에 활용되는 주요 통계량. • 분위수그림/정규분위수그림: 자료의 분포 특성 및 정규성 여부를 시각적으로 분석하는 도구. |
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[29강] 확률표본과 표본분포 (2)
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확률표본과 표본분포 (2): 표본평균의 분포와 중심극한정리
• 표본분포, 중심극한정리: 통계적 추론 기반의 통계량 확률분포 정의 및 표본평균이 충분히 큰 표본에서 정규분포에 근사하는 원리 학습. • 표본평균 분포: 모집단 분포와 무관하게 표본평균의 평균은 모평균($\mu$)과 동일하며 분산은 $\sigma^2/n$으로 계산. • 특수 표본분포: 비복원추출, 이항분포 표본비율, 두 표본평균 차이 등 다양한 상황별 표본분포 특성과 정규근사 조건 분석. |
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[30강] 확률표본과 표본분포 (3)
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확률표본과 표본분포 (3): 표본분산, t분포, F분포
• 카이제곱분포: 감마분포 기반, 정규모집단 표본분산 통계량 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$이 따르는 분포로 분산 분석에 활용. • t분포: 모분산 미지 시 모평균 추정 통계량 $\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$의 분포이며, 자유도 증가 시 표준정규분포에 수렴. • F분포: 두 독립 카이제곱변수 비로 정의되는 분포로, 두 정규모집단 분산 비교 및 가설 검정에 활용. |
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이석민 교수님
확률통계학Ⅰ
