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기계진동학
이진교 교수
KAIST 대학원 기계공학과 석사과정
University of Illinois 항공우주공학과 박사졸업
KAIST 대학원 기계공학과 석사과정
University of Illinois 항공우주공학과 박사졸업
서울 과학기술대학교
국민대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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[1강] 기계진동학 오리엔테이션
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기계진동학 과목 소개와 학습 구조 요약
• 기계진동학 기본 개념·위치: 평형 위치 기준 반복 운동(진동)과 질량–스프링–감쇠계 모델을 통해 동력학의 진동 파트를 심화 학습하는 역학·제어·수학 연계 과목 • 학습 목표와 선수 지식: 기계 시스템을 等가 질량·탄성계로 모델링하고 2계 선형 미분방정식·행렬·고유값 기반으로 진동 응답을 해석·예측·설계하는 능력 함양(동력학·공업수학·선형대수 필수) • 강의 구성과 학습 범위: 1자유도계 자유·강제진동에서 출발해 다자유도계·고유진동수·모드 형상·연속계 개념·진동 제어·진동 측정 및 응용까지 계통적으로 다루는 커리큘럼 구성 |
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| 1장. 진동의 기초 | ||
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[2강] 진동의 기초 (1)
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기계진동학 1장 진동의 기초 정리: 역사·중요성·기본개념·분류
• 진동 기본 개념과 진동계 구성: 진동을 위치에너지–운동에너지 교환이 반복되는 주기운동으로 정의하고, 스프링(강성)·질량(관성)·감쇠(에너지 소산) 요소로 이루어진 동적 시스템과 자유도 개념을 통해 이산계·연속계 및 유한·무한 자유도 구조를 설명함 • 진동 연구의 역사와 공학적 중요성: 피타고라스·갈릴레이·후크·뉴턴·라그랑주·레일리·리아프노프 및 FEM·디지털 컴퓨터 발전을 통한 진동 이론 전개와, 피로파괴·공진·구조물 붕괴·인체 영향 등으로 인해 기계·구조 설계에서 동특성 고려가 필수임을 제시함 • 진동의 분류 체계: 자유진동·강제진동, 감쇠·비감쇠, 선형·비선형, 확정·확률 진동으로 구분하여 각 개념의 정의와 해석 특성, 공진 조건 및 공진 발생 시 위험성 중심으로 진동 해석 전략의 기본 분류 틀을 제시함 |
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[3강] 진동의 기초 (2)
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진동해석 과정과 스프링 요소 및 등가 스프링 상수 정리
• 진동해석 절차와 수학적 모델링: 실제 구조물을 질량–스프링–감쇠기 모델로 이상화하고 자유도 설정 후 자유물체도·뉴턴 제2법칙으로 지배방정식(상미분방정식)을 유도·해석하여 변위·속도·가속도 응답과 진동 특성을 평가함 • 스프링 요소와 선형화·등가 강성: 선형 스프링의 Hooke 법칙(F=kx, U=½kx²)과 비선형 스프링(F=ax+bx³ 등)의 평형점 주변 선형화(k_eq=dF/dx|_{x*})를 통해 복잡한 탄성요소를 선형 등가 스프링으로 근사함 • 일반 구조물 및 결합 스프링의 등가 스프링 상수: 막대(k=AE/L), 외팔보(k=3EI/L³), 비틀림축(k_θ=GJ/L) 등 구조물을 스프링으로 등가화하고, 직렬(1/k_eq=Σ1/k_i)·병렬(k_eq=Σk_i) 결합 법칙으로 복합 구조물의 합성 강성을 산정하여 저차 자유도 진동계로 단순화함 |
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[4강] 진동의 기초 (3)
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질량·관성 요소와 등가질량, 감쇠 요소 정리
• 질량·관성·등가질량: 운동에너지 저장 요소(질량·관성모멘트)를 운동에너지 등가 원리로 단일 등가질량·등가 관성모멘트로 환산하는 기법(강체막대 다질량계, 랙-피니언, 복합 기구계 등) 정리 • 감쇠 요소와 점성 감쇠: 점성·쿨롬·재료 감쇠의 에너지 소산 메커니즘과 선형 점성 감쇠력 모델 F=cẋ, 뉴턴유체 전단응력식 τ=μ dv/dy를 이용한 평행판 계의 감쇠계수 c=μA/h 도출 정리 • 비선형·쿨롬·재료 감쇠: 비선형 감쇠력 F=f(v)의 작동점 선형화와 등가 감쇠계수 정의, 속도 부호 의존 쿨롬 감쇠의 비선형 특성, 응력-변형률 히스테리시스 루프에 기반한 재료(히스테리틱) 감쇠의 내부 마찰·에너지 소산 특성 정리 |
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[5강] 진동의 기초 (4)
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조화운동 기본 개념과 복소수/벡터 표현 정리
• 조화운동 및 SHM 기본 개념: 주기운동·조화운동 정의, 질량–스프링·크랭크–스카치 요크 모델, 변위·속도·가속도 관계와 위상차(a = −ω²x 포함) 정리 • 조화운동의 수학적 표현: 사인·코사인 표현, 회전벡터와 복소지수형 Ae^{iωt} 표현, 변위·속도·가속도의 위상 관계 및 phasor 해석 체계화 • 조화운동 합성과 관련 용어: 삼각함수·벡터·복소수 방법에 의한 조화운동 합성, 진폭·주기·진동수·각속도·고유진동수·위상각 정의와 데시벨(dB) 로그 스케일 표현 정리 |
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[6강] 진동의 기초 (5)
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조화해석과 Fourier 급수, 주파수 스펙트럼 핵심 정리
• Fourier 급수와 조화해석: 임의 주기함수를 기본각속도와 조화성분 기반 사인·코사인 무한급수로 표현하고, 직교성을 이용해 Fourier 계수(해석·수치적)와 우함수·기함수, half-range 전개 구조를 정식화함 • Gibbs 현상과 수렴 특성: 불연속을 가진 주기함수의 Fourier 급수 근사에서 불연속점 부근의 고정된 overshoot(약 9%)와 연속구간 수렴 특성을 통해 Fourier 급수의 이론적 한계와 실제 적용 범위를 규정함 • 시간·주파수영역과 스펙트럼: 시간영역 파형을 각 조화성분의 진폭·위상을 나타내는 주파수 스펙트럼으로 대응시키고, 단일/복합 주파수 성분 해석을 통해 진동·신호의 구성 주파수와 지배적 성분을 구조적으로 파악함 |
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| 2장. 1자유도계의 자유진동 | ||
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[7강] 1자유도계의 자유진동 (1)
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1자유도계 비감쇠 자유진동과 운동방정식 유도 원리 요약
• 1자유도 비감쇠 자유진동계: 질량-스프링 등가 1자유도계에서 자유진동·강제진동, 비감쇠·감쇠 개념과 실제 구조물의 1자유도 이상화 모델링 원리 정리 • 비감쇠 1자유도 운동방정식: 뉴턴의 제2법칙과 에너지 보존법칙을 이용해 병진·비틀림계의 공통 운동방정식 mẍ + kx = 0, Jθ¨ + kθθ = 0 유도 절차 정리 • 수직 스프링-질량계 중력 영향: 정적평형위치 기준 변위 정의로 중력과 정적 스프링력이 상쇄되어 수평계와 동일한 mẍ + kx = 0 형태가 되는 원리 정리 |
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[8강] 1자유도계의 자유진동 (2)
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비감쇠 일자유도 병진계 자유진동과 조화운동 해석 기초
• 비감쇠 일자유도계 조화운동: 스프링-질량계 운동방정식 $m\ddot{x}+kx=0$의 특성방정식 $ms^2+k=0$ 해를 통해 $x(t)=A\cos(\omega_nt-\phi)$로 표현되는 자유진동과 고유각진동수 $\omega_n=\sqrt{k/m}$, 고유진동수·주기 관계 $f_n=\omega_n/2\pi$, $T_n=2\pi/\omega_n$ 정식화 • 조화운동 상태 변수 특성: 복소해→사인·코사인 실수해 변환, 초기조건 $(x_0,\dot{x}_0)$에 따른 진폭·위상 결정, 변위·속도·가속도의 위상차(90도·180도)와 위상평면(변위–속도) 타원 궤적 및 정적 처짐 $\delta_{st}$ 기반 표현 $\omega_n=\sqrt{g/\delta_{st}}$ 구조 이해 • 충격에 의한 자유진동 응답 해석: 외팔보+집중질량 시스템의 등가 스프링상수·등가질량 정의, 에너지·운동량 보존을 이용한 초기속도 산정과 정적 평형 위치 변화에 따른 초기변위 설정 후 일반 조화해 $x(t)=x_0\cos\omega_nt+\dot{x}_0/\omega_n\sin\omega_nt$에 대입하는 절차 정리 |
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[9강] 1자유도계의 자유진동 (3)
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비감쇠 비틀림 진동과 복합진자의 고유진동수 및 충격 중심 개념 정리
• 비감쇠 비틀림계와 회전관성: 비틀림 스프링 상수 \(K_T=\frac{G I_0}{L}\), 디스크 극관성모멘트 \(J_0\)를 이용한 운동방정식 \(J_0 \ddot{\theta}+K_T\theta=0\) 및 고유진동수 \(\omega_n=\sqrt{\frac{K_T}{J_0}}\) 정의 • 단순·복합 진자와 등가 단진자: 소각 근사에 의한 선형 운동방정식, 단순 진자 \(\omega_n=\sqrt{\frac{g}{L}}\), 복합진자 \(\omega_n=\sqrt{\frac{mgd}{J_0}}\) 비교를 통한 등가 길이 \(L_{\text{eq}}=\frac{J_0}{md}=\frac{k_0^2}{d}=d+\frac{k_G^2}{d}\) 및 회전반경·평행축정리 관계 정리 • 충격 중심(Center of Percussion): 질량중심에서 \(\frac{k_G^2}{d}\) 떨어진 점에서의 충격 시 피봇 반력이 최소가 되는 충격 중심 정의와 해머, 차량 서스펜션 등 공학 시스템에서의 동적 응답 단순화·충격 설계 응용 개념 정리 |
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[10강] 1자유도계의 자유진동 (4)
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레일리 에너지법과 분포계 고유진동수, 1차계 시정수 요약
• Rayleigh 에너지법: 무감쇠 조화운동에서 에너지 보존과 $T_{\max}=U_{\max}$ 관계를 이용해 분포계(유체 기둥, 질량 가진 스프링 등)의 고유진동수를 운동방정식 없이 계산하는 방법 • 분포계 고유진동수: U자관 압력계에서 유체 기둥의 위치·운동에너지로 $\omega_n=\sqrt{2g/L}$ 도출, 질량 가진 스프링에서 스프링 질량의 1/3을 유효질량으로 반영해 $\omega_n=\sqrt{k/(m+m_s/3)}$로 표현하는 고유진동수 해석 • 1차계 시정수: 점성 감쇠 회전계의 미분방정식 $J\dot\omega + C_T\omega=0$에서 지수감쇠 해와 시정수 $\tau=J/C_T$를 정의하고, $\omega(\tau)=0.368\omega_0$ 특성을 통해 감쇠 세기와 응답 속도를 정량 평가하는 개념 |
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[11강] 1자유도계의 자유진동 (5)
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점성 감쇠 자유진동, 임계감쇠계수와 감쇠비 정리
• 점성 감쇠 자유진동 운동방정식: 질량-스프링-댐퍼 1자유도계에서 점성 감쇠력(Fd = -cẋ)을 포함한 mẍ + cẋ + kx = 0, 특성방정식 ms² + cs + k = 0과 지수형 해 x(t)=C₁e^{s₁t}+C₂e^{s₂t} 구조 정리 • 임계감쇠계수와 감쇠비: 비감쇠 고유진동수 ωn=√(k/m), 임계감쇠계수 cc=2mωn=2√(mk), 감쇠비 ζ=c/cc, 감쇠 고유진동수 ωd=ωn√(1-ζ²) 정의 및 파라미터 간 관계 정리 • 감쇠 상태 분류와 응답 특성: 감쇠비에 따른 세 상태(부족감쇠 0<ζ<1: 지수감쇠 조화진동, 임계감쇠 ζ=1: 비진동 단조감쇠, 과도감쇠 ζ>1: 비진동 지수감쇠) 구분과 평형 도달 속도·진동 여부 비교, 설계 적용 기준 제시 |
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[12강] 1자유도계의 자유진동 (6)
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점성감쇠 자유진동의 대수감쇠율과 에너지 소산, 비틀림계 적용 요약
• 점성감쇠 자유진동·대수감쇠율·감쇠비: 속도 비례 감쇠력, 임계감쇠계수와 감쇠비 정의, 대수감쇠율 δ=ln(x₁/x₂) 및 δ–ζ–ωₙ–τ_d 관계(δ≈2πζ 포함) 정식화 • 에너지 소산·Specific Damping Capacity·Loss Coefficient: 점성감쇠계 1주기 에너지 손실 |ΔW|=πcω_dX², 비감쇠용량 ΔW/W와 손실계수 ΔW/(2πW)로 감쇠 성능 정량화 • 점성감쇠 비틀림 진동계·Shock Absorber 설계: 병진계↔비틀림계( m–J₀, k–k_t, c–c_t ) 동형성, ωₙ·ζ·ω_d 공식의 비틀림 확장과 대수감쇠율·감쇠주기로부터 쇼크 업소버 k, c, 최대변위용 최소 초기속도 역산 절차 정리 |
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[13강] 1자유도계의 자유진동 (7)
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쿨롬 감쇠 자유진동과 점성 감쇠 비교 및 비틀림 진동 예제 정리
• 쿨롬 감쇠 자유진동: 속도와 무관한 일정 건마찰력(쿨롬 감쇠력)으로 감쇠하며 $mx^{̈}+kx+\mu mg\,\operatorname{sgn}(x^{̇})=0$ 형태의 비선형 운동방정식을 가지되 각 반주기 내 해는 비감쇠 조화진동에 평형점이 ±μN/k 만큼 이동된 형태로 표현됨 • 진폭 감소와 정지 조건: 진폭이 반주기마다 일정량 $2\mu N/k$(비틀림계는 $2T/k_t$)만큼 선형 감소하여 $x_r=x_0-r(2\mu N/k)$, $k|x_r|\le\mu N$ 또는 $k_t|\theta_r|\le T$ 조건에서 평형점이 아닌 위치에서 유한 시간 내 정지함 • 점성 감쇠 및 비틀림계 비교: 점성 감쇠는 $mx^{̈}+cx^{̇}+kx=0$ 의 선형계로 지수감소와 감쇠 진동수 감소가 나타나는 데 비해 쿨롬 감쇠계(병진·비틀림)는 고유각진동수 $\omega_n=\sqrt{k/m}$, $\sqrt{k_t/J_0}$ 가 감쇠와 무관하게 불변이고 진폭만 선형적으로 감소하는 주기운동을 수행함 |
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[14강] 1자유도계의 자유진동 (8)
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이력 감쇠 자유진동과 계의 안정성 핵심 정리
• 이력 감쇠·등가 점성 감쇠·복소 강성: 한 주기당 에너지 손실(ΔW ∝ X²)을 기준으로 이력 감쇠 상수 h와 점성 감쇠 c를 연결해 등가 점성 감쇠계수 c_eq = h/ω를 정의하고, 복소 강성 k* = k + ih 및 무차원 이력 감쇠계수 β = h/k로 구조 감쇠를 모델링함 • 자유진동과 감쇠·안정성 개념: 점성·Coulomb·이력 감쇠에 따른 진폭 감소 특성과 고유진동수 보정을 정리하고, 진동학(진폭 유지 = stable, 감쇠 = asymptotically stable)과 제어이론(0으로 수렴 = stable)에서의 안정·불안정·한계안정(marginal stability) 정의 차이를 특성근 관점에서 비교함 • 선형계 안정성 판별과 예제 2.18: 거꾸로 세운 막대-스프링 시스템의 운동방정식(J_O θ¨ + (2kL² − WL/2)θ = 0)에서 특성방정식 s² + α² = 0을 도출하고, α² 부호(>0, =0, <0)에 따른 조화진동 안정, 한계안정/선형 증가, 지수 발산 및 발산·플러터 불안정을 스프링 강성 k–중량 W 조건과 연계해 분류함 |
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| 3장. 조화 가진진동 | ||
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[15강] 조화 가진진동 (1)
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조화가진을 받는 비감쇠 1자유도계 응답 핵심 정리
• 비감쇠 강제진동 일반해 구조: 1자유도계 운동방정식 $m\ddot x+kx=F_0\cos\omega t$의 동차해·특별해 합성 $x(t)=x_h+x_p$와 초기조건 적용을 통한 자유진동·정상상태 응답 분리 정리 • 조화가진 응답 특성: 정상상태 진폭식 $X=\dfrac{F_0}{k-m\omega^2}=\dfrac{\delta_{st}}{1-r^2}$, 주파수비 $r=\omega/\omega_n$에 따른 증폭률 $R=1/(1-r^2)$ 및 동위상/180° 위상차·고주파 가진에서 진폭 감소 특성 정리 • 공진·비팅 및 설계 적용: 공진 조건($\omega=\omega_n$)에서 시간에 비례해 증가하는 불안정 응답과 비팅 현상($\omega\approx\omega_n$, 비트 주기 $T_{\text{beat}}=2\pi/|\omega_n-\omega|$) 해석, 보-질량계의 등가 스프링 상수 $k_{eq}$ 산정과 고유진동수·진폭 계산을 통한 공진 회피 설계 절차 정리 |
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[16강] 조화 가진진동 (2)
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조화력을 받는 감쇠 1자유도 계의 강제진동 응답 요약
• 감쇠 1자유도 강제진동 운동방정식: $m\ddot x+c\dot x+kx=F_0\cos\omega t$에서 정상상태 특해 $x(t)=X\cos(\omega t-\phi)$ 도출, 진폭 $X$와 위상차 $\phi$를 외력 주파수와 계 파라미터에 의해 결정 • 무차원화와 Magnification Factor: 자연각진동수 $\omega_n$, 감쇠비 $\zeta$, 주파수비 $r=\omega/\omega_n$, 정적 처짐량 $\delta_{st}=F_0/k$를 도입하여 $M=X/\delta_{st}=1/\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}$ 정의 및 감쇠·주파수에 따른 진폭 특성·공진 거동 정리 • 공진·피크 주파수 및 위상응답: 최대 진폭 주파수비 $r_{peak}=\sqrt{1-2\zeta^2}$와 존재 조건 $\zeta<1/\sqrt2$ 정리, 감쇠 증가에 따른 피크 감소·저주파 이동과 함께 $\tan\phi=2\zeta r/(1-r^2)$에 따른 위상각이 $0^\circ\to90^\circ\to180^\circ$로 연속 변화하는 특성 기술 |
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[17강] 조화 가진진동 (3)
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조화 가진력을 받는 감쇠계의 전체 응답과 퀄리티 팩터 요약
• 감쇠 1자유도 조화 가진 운동방정식과 전체 응답: $m\ddot x + c\dot x + kx = F_0\cos\omega t$에서 해를 감쇠 자유진동 해와 강제진동 특이해의 합으로 구성하고, 초기조건을 전체 해에 적용해 진폭·위상 상수 결정 • 공진 특성과 감쇠 특성 지표: 진폭비–주파수비 곡선에서 공진 피크, 퀄리티 팩터 $Q\approx 1/(2\zeta)\approx\omega_n/(\omega_2-\omega_1)$, Half-Power Point와 밴드위드스 정의 및 감쇠비 추정 관계 정리 • 복소수 기반 조화 가진 해석: 가진력·응답을 복소 지수함수로 표현하여 복소 주파수 응답함수 $H(i\omega)=1/(1-r^2+i2\zeta r)$의 크기·위상과 힘–가속도–속도–변위 벡터의 위상 관계를 복소 평면에서 구조적으로 해석 |
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[18강] 조화 가진진동 (4)
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감쇠계의 기초 조화운동 응답과 변이·힘 전달률 요약
• 감쇠 1자유도계와 기초 조화운동: 기초 변위가 조화운동할 때 상대 변위 기반으로 운동방정식을 유도하고, 표준 조화 가진계(등가 가진력 mω²Y)로 환원하는 절차 정리 • 변이·힘 전달률 특성: 변이 전달률 Td=X/Y와 힘 전달률 Tf=r²Td의 정의 및 주파수비 r·감쇠비 ζ에 따른 공진·증폭·진동 절연 조건(r=√2 경계, 저주파·고주파 영역, 감쇠 증가의 상반된 효과) 구조화 • 상대 변위와 진동 계측기 응용: 상대 변위 z=x−y 모델의 주파수 응답(Z/Y 특성)을 이용한 진동 계측기 설계 원리(고주파 영역 평탄 응답, 공진 영역 사용 제한)와 차량-노면 모델을 통한 기초 가진 → 차량 응답 예측 개념 정리 |
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[19강] 조화 가진진동 (5)
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회전 불균형에 의한 감쇠계 응답과 Francis 수차 샤프트 설계 요약
• 회전 불균형 가진력과 무차원 응답: 언밸런스 질량–편심 거리 곱 me가 원심력 meω²을 생성하며, 1자유도 감쇠계 운동방정식 Mx¨+cx·+kx=meω²sinωt로 표현, 일반 조화 가진계 해에서 F₀→meω² 대치로 무차원 진폭·위상 응답 및 기저 가진과 동일 형식의 진폭–주파수비 곡선 도출 • 감쇠비와 진폭·위상 특성: 주파수비 r=ω/ωₙ, 감쇠비 ζ를 사용해 진폭·위상 관계와 공진 특성을 정리하고, ζ<1/√2에서 r>1 영역에 최대 진폭 피크 존재, ζ>1/√2에서는 피크 없이 단조 증가 후 고속 영역(r≫1)에서 무차원 진폭이 1 근처로 수렴하는 회전 불균형 응답 특성 정리 • Francis 수차 샤프트 설계 절차: 로터 질량, 언밸런스량 me, 허용 진폭, 운전 속도 범위를 바탕으로 무감쇠 진폭식에서 요구 스프링 상수 k와 고유진동수 ωₙ 범위 결정 후, 외팔보 등가 스프링 k=3EI/L³와 원형 단면 2차 모멘트 I=πd⁴/64 관계를 이용해 최소 샤프트 직경을 산출하여 공진 회피 및 전 속도 영역에서 진폭 제한 조건을 만족하도록 설계 |
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[20강] 조화 가진진동 (6)
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Coulomb·이력·2차 감쇠를 갖는 조화가진 응답 핵심 정리
• 비점성 감쇠 형식: Coulomb 감쇠·이력감쇠·2차(Quadratic) 감쇠의 정의와 감쇠력 특성, 한 사이클 에너지 소산량 계산식 구조 정리 • 등가 점성감쇠 개념: 각 감쇠형식의 소산 에너지 ΔW를 점성감쇠 ΔW_v=πcωX²와 등가화하여 등가 점성감쇠계수 c_eq, 등가 감쇠비 ζ_eq, 복소강성 k* 및 무차원 감쇠 상수(β, X 의존 c_eq 등) 도출 • 조화가진 응답·공진 해석: 등가 감쇠를 점성감쇠 진폭·위상식에 대입해 비선형 진폭 방정식, 공진 조건 및 공진점 위치, 가진력–마찰력 크기 조건과 에너지 평형(투입 에너지 vs 소산 에너지)에 기반한 공진 거동 비교 분석 |
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[21강] 조화 가진진동 (7)
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자려진동과 유동기인 동적 불안정성 해석 요약
• 자려진동계와 동적 불안정성: 가진력이 계의 운동 변수(x, ẋ)에 의해 스스로 생성되는 self-excited system, 유효 감쇠·강성 부호에 따른 1자유도계 안정성 조건과 음의 감쇠로 인한 발산·flutter 응답 정리 • 마찰·유동기인 자려진동 예제: 속도 의존 마찰력을 갖는 벨트-스프링-질량계의 선형화 방정식(mẍ−aẋ+kx=0)과 negative damping 기구, 비대칭 단면 와이어 갤러핑에서 유동이 운동에 에너지를 공급해 대진폭 주기 진동을 유발하는 메커니즘 • 유동유발진동, Kármán vortex shedding, Strouhal 수: 레이놀즈 수 범위 내 원형 실린더 주위 와류 박리와 Strouhal 수(St=fD/V≈0.21)를 이용한 구조물 고유진동수와의 공진 조건, 굴뚝 횡진동 위험 유속 산정 및 헬리컬 스포일러 등 유동 교란에 의한 공진·피로 파손 억제 설계 원리 |
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[22강] 조화 가진진동 (8)
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전달함수, Laplace 해석, 주파수 응답함수 핵심 정리
• 전달함수 T(s): 선형 시불변계에서 입력·출력 라플라스 변환비로 정의되는 계 특성으로, 미분방정식을 s-영역 유리함수 형태로 표현하여 감쇠 1자유도계 등 일반 계의 동적 응답 해석에 사용 • Laplace 해와 부분분수 전개: 초기조건 포함 운동방정식에 라플라스 변환을 적용해 가진력 응답과 초기조건 응답으로 분리하고, 조화가진력 입력 시 부분분수 전개와 표준 역라플라스 공식을 이용해 자유응답·과도응답·정상상태응답을 구조적으로 도출 • 주파수 전달함수 H(ω): 조화가진 시 입력·출력 위상자 비로 정의되는 복소 주파수 응답함수로, 진폭비와 위상차를 통해 공진, 감쇠, 필터 및 위상지연 특성을 주파수 영역에서 규명하고 실험적으로 식별된 계 동특성 기술에 활용 |
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| 4장. 일반적인 가진 조건에서의 진동 | ||
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[23강] 일반적인 가진 조건에서의 진동 (1)
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일반적인 가진조건에서의 단자유도계 진동 응답 요약
• 일반 가진력 분류와 해석 개념: 주기적·비주기적·충격 가진 정의와 예시, 주기력은 Fourier series 기반 선형 중첩, 비주기력·충격은 시간응답 해석(컨볼루션, 수치해석 등)으로 처리하는 단자유도계 응답 해석 틀 정리 • Fourier series와 응답 해석 절차: 주기함수의 기본 주기·기본 각진동수·Fourier 계수(a0, an, bn) 정의와 사인·코사인 직교성, 해석·수치적분을 통한 계수 산정 후 각 조화항에 대한 조화 가진 응답을 선형 합으로 구성하는 일반 주기력 응답 해석 구조 • 응용 예제 해석 구조: 기초가 조화가진을 받는 계의 운동방정식 유도와 자유해·특별해 결합, 불규칙 주기력 및 유압밸브 압력변동에 대한 수치적분 기반 Fourier 계수 계산, 유한 고조파까지 근사하여 각 조화성분 응답을 합성하는 실제 공학 문제 적용 절차 |
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[24강] 일반적인 가진 조건에서의 진동 (2)
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비주기 가진에 대한 응답과 임펄스 응답의 개념 정리
• 비주기 가진 응답 해석 방법: Fourier 변환·Convolution 적분·Laplace 변환·수치적분을 통한 비주기 가진력에 대한 선형 시스템 응답 해석 구조 정리 • 충격량과 임펄스 응답함수: 충격량–운동량 보존 법칙, 단위 임펄스에 의한 초기조건 설정, 감쇠 일자유도계 임펄스 응답함수 g(t) 수식과 임의 시점·크기 충격 및 이중 충격 응답의 중첩 원리 정리 • 디랙 델타와 임팩트 해머 실험: 디랙 델타 함수에 의한 이상적 충격 모델링, 이중 충격 입력 표현 F(t)=∑F_iδ(t-τ_i), 임팩트 해머 시험에서 임펄스 응답 계측 및 이중 충격에 따른 응답 왜곡·데이터 폐기 기준 정리 |
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[25강] 일반적인 가진 조건에서의 진동 (3)
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일자유도 감쇠계의 임의 가진력에 대한 컨볼루션 적분 응답 요약
• 임의 가진력과 임펄스 트레인, 임펄스 응답 함수: 임의 외력을 임펄스 트레인으로 이상화하고 단위 임펄스 응답 g(t)를 이용해 중첩 원리로 전체 응답 구성 • 컨볼루션 적분(듀하멜 적분): x(t)=∫₀ᵗ g(t-τ)F(τ)dτ 형태로 임의 가진력에 대한 일자유도 선형(감쇠·비감쇠) 계의 일반 응답을 정의하고, 복잡한 하중은 수치적분으로 해석 • 대표 가진 형태별 응답 구조: 계단·지연 계단·사각 펄스·램프 가진력에 대해 정적 처짐 대비 동적 증폭, 비감쇠계의 영구 진동, 펄스 지속시간–고유주기 비에 따른 응답 변화, 선형 증가 변위 위에 중첩된 고유진동 성분 특성 정리 |
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[26강] 일반적인 가진 조건에서의 진동 (4)
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응답 스펙트럼과 충격하중 설계 예제 요약
• 응답 스펙트럼·충격 스펙트럼: 주어진 가진함수·충격 펄스에 대해 1자유도계의 고유주기·고유진동수 변화에 따른 최대변위·최대속도·최대가속도 응답을 무차원 주기비(또는 진동수비)에 대한 곡선으로 정리한 설계 도구 • 충격하중·충격 모델: 한 고유주기보다 짧은 시간에 작용하는 펄스·속도충격을 반사인·사각·삼각 펄스 등으로 이상화하고, 정적 처짐–등가 스프링 상수–고유주기 관계(T_n=2π√(Δ_st/g))를 이용해 충격 스펙트럼 상 확대계수와 최대 동적 응답을 산정하는 절차 • PCB 캔틸레버 브래킷 설계: PCB+브래킷을 끝단하중을 받는 보로 모델링하여 Δ_st, T_n, 주기비, 확대계수로 동하중 P를 구하고, 캔틸레버 굽힘응력( I= bD³/12, σ_max= M_max y / I, M_max=PL, y=D/2 )을 계산해 허용응력 이내가 되도록 브래킷 두께 D를 trial & error로 결정하는 충격 설계 절차 |
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[27강] 일반적인 가진 조건에서의 진동 (5)
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라플라스 변환을 이용한 임의 가진 진동응답, 초기·최종값 정리
• 라플라스 변환과 도함수 변환: 시간함수의 라플라스 변환 정의, 도함수 변환 공식과 초기조건 자동 반영 원리 정리 • 라플라스 영역 운동방정식 해법: 1자유도 진동계 운동방정식을 라플라스 변환으로 대수방정식화하고 부분분수·역변환으로 시간응답 도출 • 부족감쇠 2차계 응답과 초기·최종값 정리: 임펄스·스텝 가진에 대한 부족감쇠 2차계 응답, 임펄스·계단응답 표준형, initial/final value theorem을 통한 초기값·정상상태값 계산 절차 정리 |
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[28강] 일반적인 가진 조건에서의 진동 (6)
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계단가진에 대한 과도·부족감쇠계 응답특성 및 수치해석 요약
• 2차 진동계 계단응답 특성: 과도·부족감쇠계에서 peak time, rise time, maximum overshoot, settling time, delay time을 감쇠비 ζ와 고유진동수 ω_n의 함수로 정의·유도하여 응답 성능 지표로 활용 • 계 매개변수 역추정: 계단응답 곡선의 % overshoot, t_s 등으로부터 표준 2차계 전달함수 비교를 통해 관성, 감쇠계수, 강성(J, C, K 등) 파라미터를 역으로 계산하는 절차 정리 • 불규칙 가진력 수치해석: 해석해가 어려운 가진력에 대해 Runge-Kutta 수치적분, 컨볼루션 적분 수치해석, piecewise linear(램프) 근사를 이용해 임의·불규칙 가진에 대한 응답을 계산하는 방법 개관 |
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| 5장. 2자유도계 | ||
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[29강] 2자유도계 (1)
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2자유도계 서론과 강제진동 운동방정식 핵심 정리
• 2자유도계와 자유도·제약 조건: 독립좌표 두 개로 기술되는 계의 자유도 정의, 질량 수와 가능한 운동 형태 수의 곱에 의한 자유도 계산, 제약 조건에 따른 자유도 감소와 두 개의 운동방정식 필요성 정리 • 연성 운동방정식·정규모드·주좌표계: 2자유도계에서 연성된 2개의 2차 미분방정식 형성과 조화해석을 통한 고유진동수·정규모드 도출, 좌표변환으로 비연성 형태가 되는 주좌표계 개념과 모드 해석 절차 정리 • 점성감쇠 2자유도 스프링-질량계와 행렬식 표현: 뉴턴 제2법칙으로 유도한 점성감쇠 2자유도 스프링-질량계의 연성 운동방정식과 필요한 초기조건, 질량·감쇠·강성 대칭행렬을 이용한 행렬 미분방정식 [m]x¨+[c]x˙+[k]x=f(t) 표현 및 해석상의 의미 정리 |
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[30강] 2자유도계 (2)
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이이자유도계 비감쇠 자유진동 해석과 고유진동수·모드 형상 정리
• 비감쇠 이이자유도계 모델링: 감쇠·외력 제거한 연성 2계 미분방정식에서 조화해 가정 → 동차 행렬방정식·주파수(특성) 방정식 도출 → 고유진동수(고유값) 계산 • 모드 해석과 모드 형상: 각 고유진동수에 대해 계수행렬식=0 조건으로 진폭 비(모드 형상) 결정 → 두 자유도 변위 관계를 모드 형상벡터로 구조화 • 모드 중첩 해와 초기조건 적용: 두 모드 응답의 선형중첩으로 일반해 구성 → 초기변위·초기속도로부터 중간변수(Ai,Bi) 사용해 각 모드 진폭·위상 산정 → 모드 형상 비와 초기조건 설정으로 특정 모드만 가진되는 조건 정리 |
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[31강] 2자유도계 (3)
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2자유도계 스프링-질량 및 비틀림계의 고유진동수와 모드 요약
• 2자유도 스프링-질량계 고유진동 해석: 무감쇠 운동방정식으로 고유치 문제와 주파수 방정식 설정, 두 고유진동수(ω1, ω2)와 모드 형상(진폭비, 위상관계, 노드) 도출 및 응답을 모드 선형조합으로 표현 • 정규모드와 초기조건: 각 모드별 고정 진폭비·위상관계 개념 정리, 특정 모드만으로 진동시키기 위한 초기변위·초기속도 조건(모드 형상과 동일 비율 부여)과 자유진동 응답 계산 절차 제시 • 2자유도 비틀림계 및 일반적 성질: 비틀림계 운동방정식의 행렬형 정식화와 스프링-질량계와의 등가성, 비틀림 고유진동수·모드 형상 계산, 결합효과로 인해 생성되는 두 고유진동수의 일반적 성질 정리 |
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[32강] 2자유도계 (4)
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좌표 연성과 주좌표계, 2자유도계 탄성·질량연성 및 분리
• 2자유도계 연성 개념: 일반좌표 선택에 따라 질량·감쇠·강성행렬의 비대각 성분으로 탄성연성(정적), 질량연성·감쇠연성(동적)이 나타나며, 이는 계의 본질이 아닌 좌표 의존 특성임 • 연성 분류와 좌표계 비교: x–θ, y–θ 등 다양한 일반좌표계에서 운동방정식을 행렬형으로 정리하여 탄성연성·질량연성의 존재 조건과 소멸 조건을 계수 관계(k₁l₁, k₂l₂ 등)를 통해 구조적으로 분석함 • 주좌표계(principal coordinates): 질량·감쇠·강성행렬을 모두 대각화하는 고유좌표계로, 고유값·고유벡터 기반 선형변환(Q₁, Q₂ = X₁, X₂의 선형결합)을 통해 연립 2자유도계를 분리된 1자유도계 미분방정식들로 환원함 |
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[33강] 2자유도계 (5)
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2자유도 강제진동과 반환정계(semidefinite system) 핵심 정리
• 2자유도계 강제진동 해석: 질량·감쇠·강성 행렬로 운동방정식을 구성하고 Mechanical Impedance 행렬 [G(ω)]=−ω²[M]+iω[C]+[K]를 정의하여 주파수 영역에서 진폭 벡터와 공진 조건 및 동흡진기 설계 조건을 해석함 • 2자유도 스프링-질량계 주파수 응답: 2질량-스프링 계의 고유진동수 두 개와 이에 대응하는 공진점, 무차원 주파수비·진폭을 이용해 응답 특성과 특정 주파수에서 한 자유도의 진동이 상쇄되는 진동흡수 조건을 규명함 • 반한정계(semidefinite system) 고유진동: 강성행렬식이 0이 되는 불구속계에서 고유진동수 하나가 0이 되는 강체병진모드와 상대변위·노드를 가지는 진동모드를 도출하고, 두 모드의 선형조합으로 자유응답(상수 병진항+조화진동항)을 구성함 |
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[34강] 2자유도계 (6)
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2자유도계 자려, 안정성, 전달함수, Laplace 및 주파수해석 요약
• 2자유도계 안정성 해석: 자려진동 개념과 특성방정식(4차 다항식) 근의 실수부 부호를 통한 안정성 판별, Routh-Hurwitz 계수 조건을 이용한 안정/불안정 기준 정리 • 2자유도계 전달함수 및 Laplace 해석: M,C,K 행렬 기반 운동방정식의 Laplace 변환, Cramer 법칙으로 MIMO 전달함수 행렬 Gij(s)=Xi(s)/Fj(s) 유도, 자유진동·임펄스 응답의 부분분수 전개와 역변환 절차 정리 • 주파수 전달함수와 응답 특성: 일반 전달함수 T(s)=X(s)/F(s)에서 s=iω 대입으로 주파수 전달함수 H(ω)=T(iω) 정의, 공진 주파수·모드 형상·반한정계 0고유진동수 모드 분석 및 2자유도계 시간·주파수 영역 해석의 연계 구조 정리 |
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| 6장. 다자유도계 | ||
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[35강] 다자유도계 (1)
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다자유도계 진동해석 서론 및 모델링, 뉴턴법에 의한 운동방정식 유도
• 연속계–다자유도계 근사 및 모델링: 연속 구조물을 집중질량계(lumped-mass)와 유한요소법(FEM)으로 다자유도 상미분방정식 계로 근사하고, 일반좌표를 사용해 질량·감쇠·강성 행렬 구조 및 모드해석(고유값·모드 직교성) 기반 해석 체계 정립 • 다자유도계 운동방정식 유도: 정적평형 기준 일반좌표 정의, 자유물체도(FBD) 작성 후 Newton 제2법칙(병진·회전) 또는 Lagrange 방정식을 적용해 N자유도 스프링–질량–감쇠계의 밴디드 형태 [M][C][K] 행렬식과 연성(coupling) 구조 도출 • 연성 유형과 예제 시스템: 질량연성·감쇠연성·강성연성(정적·동적 연성)을 행렬의 비대각 성분으로 정의하고, 트레일러–복합진자 2자유도계에서 병진–회전 자유도의 비선형 운동방정식을 소각도 가정으로 선형화해 2×2 행렬형 선형계로 표현 |
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[36강] 다자유도계 (2)
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다자유도계 운동방정식과 강성 영향계수 정리
• 다자유도계 운동방정식과 특성 행렬: 질량·감쇠·강성행렬로 표현되는 자유진동 방정식 구조와 각 행렬 성분의 영향계수적 해석 정리 • 강성 영향계수와 강성행렬 구조: k_ij를 j점 단위변위를 만들기 위해 i점에 필요한 힘으로 정의하고 F = Kx, Maxwell 상반정리(k_ij = k_ji), 밴디드·희소 강성행렬 특성 정리 • 강성 영향계수 계산 절차와 예제: 후크의 법칙과 정적 평형(x_j = 1, x_{k≠j} = 0 가정)을 이용한 각 열 k_ij 계산 방법과 3자유도 스프링-질량계 강성행렬 도출 과정 제시 |
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[37강] 다자유도계 (3)
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다자유도계 유연·관성 영향계수와 행렬 관계 핵심 정리
• 유연 영향계수·유연도 행렬: 유연 영향계수 a₍ᵢⱼ₎는 점 j 단위 하중에 의해 점 i에서 생기는 변위로 정의되며, 이를 모아 X = AF를 이루는 유연도 행렬 A를 구성하고 스프링-질량계·보 처짐 문제에서 정역학적으로 계산한다. • 강성 행렬·역행렬·대칭성: 강성 영향계수 k₍ᵢⱼ₎는 점 j 단위 변위를 만들기 위한 점 i의 힘으로 정의되며 F = KX를 이루고, A와 K는 A = K⁻¹, K = A⁻¹의 역행렬 관계를 가지며 Maxwell 상반정리에 의해 a₍ᵢⱼ₎ = a₍ⱼᵢ₎, k₍ᵢⱼ₎ = k₍ⱼᵢ₎가 되어 선형 탄성계에서 유연도·강성 행렬이 대칭·정정 행렬이 된다. • 관성 영향계수·질량 행렬: 관성 영향계수 m₍ᵢⱼ₎는 j좌표 단위 속도를 만들기 위해 i좌표에 가해야 할 충격량으로 정의되며 J = MẊ를 이루는 질량 행렬 M의 원소가 되고, 충격량-운동량 관계와 운동량·각운동량 보존에서 유도되어 m₍ᵢⱼ₎ = m₍ⱼᵢ₎ 대칭성을 가지며, 스프링-질량계·복합 진자 예제를 통해 대각·비대각 항의 물리량(전체 질량, 질량×길이, 질량관성모멘트)을 해석한다. |
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[38강] 다자유도계 (4)
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다자유도계 위치·운동에너지의 행렬 표현과 라그랑주 방정식 요약
• 에너지 2차형식과 행렬표현: 다자유도계의 위치에너지·운동에너지를 V = ½qᵀKq, T = ½q̇ᵀMq̇ 형태의 2차형식으로 표현하고, 질량행렬 M의 양의한정성과 강성행렬 K의 양의반한정성(강체모드, semidefinite system)으로 계의 동특성 정리 • 일반좌표·일반힘 개념: 구속조건을 반영해 독립 자유도만을 일반좌표로 선택하고(예: triple pendulum의 각도 좌표), 일반힘 Qj 및 비보존 일반힘 Qj⁽ⁿ⁾ = Σk(Fxk∂xk/∂qj + …) 정의로 물리 좌표계 외력을 일반좌표계 방향 성분으로 변환 • 라그랑주 방정식과 응용: 라그랑주 방정식 d/dt(∂T/∂q̇j) − ∂T/∂qj + ∂V/∂qj = Qj⁽ⁿ⁾을 이용해 보존·비보존계의 운동방정식을 유도하고, torsional system에서 회전각을 일반좌표로 택해 T, V, Qj를 설정하여 연립 미분방정식 형태로 시스템 동역학을 해석 |
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[39강] 다자유도계 (5)
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다자유도계 자유진동과 고유값 문제 핵심 정리
• 비감쇠 다자유도계 운동방정식: 질량행렬 [m]·강성행렬 [k]를 이용해 [m]\ddot{x}+[k]x=0 형태로 표현하고, 모드 해 x_i(t)=X_iT(t) 가정으로 시간·공간 분리 및 동시진동(모드 형상) 정의 • 고유값 문제 정식화: 분리된 공간식 ([k]-ω²[m])X=0에서 비자명해 조건 det([k]-ω²[m])=0을 특성방정식으로 두고, ω²를 고유값·X를 고유벡터(모드 형상 벡터)로 정의 • 고유값·고유벡터 해석: det([k]-ω²[m])=0을 n차 다항식으로 풀어 n개의 고유진동수 ω_r와 대응 모드 형상 X^(r)을 구하고, 이를 통해 다자유도계 자유진동을 모드들의 선형조합으로 표현하는 구조 확립 |
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[40강] 다자유도계 (6)
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다자유도계 고유값 문제, 정규모드 직교성과 중복고유값
• 다자유도계 고유값 문제 정식화: 질량·강성행렬로 표현된 운동방정식에서 특성방정식과 표준 고유값 문제를 구성해 고유진동수와 모드형상을 계산하는 절차 정리 • 정규모드 직교성과 모달 매트릭스: 대칭 질량·강성행렬에 대한 정규모드의 질량·강성 직교성, 모달 매트릭스 구성, 일반화 질량·강성행렬의 대각화 및 질량행렬 기준 직교정규화 원리 정리 • 중복 고유값과 모드형상: 중복 고유값에서 모드형상의 비유일성과 고유벡터 부분공간 구조, 다른 고유값 모드와의 직교 조건, 예제 시스템을 통한 중복 모드 기저 선택 및 해석 절차 정리 |
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[41강] 다자유도계 (7)
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다자유도계 고유벡터 전개이론과 불구속계 자유진동 정리
• 고유벡터 기저와 전개이론: 질량·강성 행렬에 직교하는 고유벡터 집합을 선형독립 모드기저로 사용하여 임의 변위·상태벡터와 자유진동 해를 고유모드 선형조합으로 전개하고, 질량직교성을 이용해 전개계수를 계산하는 원리 정리 • 불구속계·강체모드·반한정계: 일부 자유도가 구속되지 않아 강체병진·회전이 가능한 불구속계에서 0 고유진동수 강체모드, 특이 강성행렬과 위치에너지 양의반한정성, 반한정계 개념 및 3질량–2스프링 예제를 통한 고유진동수·모드쉐이프 특성 정리 • 비감쇠 다자유도 자유진동 해: 비감쇠 다자유도계 운동방정식을 고유값 문제로 분리하여 모드별 조화진동 해를 구하고, 3질량–3스프링 구속계 예제를 통해 모드중첩 일반해 구성, 초기조건의 모드좌표 투영 및 모드별 진폭·위상 결정 절차 정리 |
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[42강] 다자유도계 (8)
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비감쇠 다자유도계의 강제진동 모드해석 요약
• 비감쇠 강제진동 모드해석: 고유값 문제를 통해 고유진동수·모드형상 도출 후 모드행렬로 좌표변환하여 다자유도 강제진동을 모드별 1자유도 문제로 단순화 • 모드행렬·직교정규 모드: 질량·강성 행렬에 대한 고유벡터 직교정규성으로 $[X]^T[M][X]=[I]$, $[X]^T[K][X]=[\Omega^2]$ 형태의 비연성화된 모드방정식과 일반화된 힘 벡터 $\{Q(t)\}=[X]^T\{F(t)\}$ 구성 • 모드응답과 물리좌표 복원: 각 모드방정식을 컨볼루션 적분과 초기조건 변환으로 해석해 $q_i(t)$를 구하고, $\{q(0)\}=[X]^T[M]\{x(0)\}$ 및 $\{x(t)\}=[X]\{q(t)\}$ 관계를 통해 실제 구조물 응답 산정 및 공학 시스템 예제(2자유도계, 단조해머 등)에 적용 |
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[43강] 다자유도계 (9)
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점성감쇠계 비례감쇠, 모드해석과 안정성 판별 핵심 정리
• 점성감쇠 다자유도계와 비례감쇠: Rayleigh 소산함수와 라그랑지 방정식으로 $[m]\ddot{x}+[c]\dot{x}+[k]x=f(t)$를 유도하고, $[c]=\alpha[m]+\beta[k]$ 비례감쇠 가정 하에 비감쇠계 모드행렬로 $[m],[k],[c]$를 동시 대각화하여 모달 감쇠비 $\zeta_i$를 갖는 비연성 일자유도 표준형 방정식 집합으로 변환함 • 모달해석과 강제진동 응답: 3자유도 점성감쇠계에서 고유치·모드벡터 산출 및 $[m]$-정규화, generalized force 계산, 모달 방정식 설정, 각 모드의 조화 정상상태 해(진폭·위상·주파수비) 결정 후 $x(t)=[X]q(t)$로 물리좌표 정상상태 응답을 복원하는 절차를 정립함 • 안정성 판별과 Routh–Hurwitz 조건: 자유진동 특성방정식 $\det(s^2[m]+s[c]+[k])=0$의 근 $s_j=b_j+i\omega_j$ 실수부 부호로 감쇠·증폭 및 자려가진 여부를 판정하고, 중근 포함 시 불안정성을 고려하며, Routh–Hurwitz 판별법으로 특성다항식 계수만으로 모든 근의 실수부 부호와 계의 안정성을 평가하는 조건을 정리함 |
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| 7장. 고유진동수와 모드형상의 계산 | ||
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[44강] 고유진동수와 모드형상의 계산 (1)
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고유진동수와 모드쉐입 근사 계산: Dunkerley와 Rayleigh 법 정리
• 고유진동수 근사해법 개요: 다자유도계 고유치 문제를 직접 풀지 않고 저차(기본) 고유진동수를 근사 추정하는 필요성과 기본진동수 중심 실무 적용 목적 정리 • Dunkerley 공식: 유연도행렬과 단자유도 고유진동수를 이용해 전체계 기본진동수의 역제곱을 성분별 역제곱 합으로 근사하며, 항상 실제값보다 작은 보수적 하한값을 제공하는 근사법 • Rayleigh 법과 Rayleigh quotient: 에너지 보존과 조화운동 가정으로 유도된 Rayleigh quotient \(\omega^2 = \frac{\phi^T K \phi}{\phi^T M \phi}\)에 물리적으로 타당한 가정 모드쉐입(trial vector)을 대입해 고유치 문제 풀이 없이 기본 고유진동수를 근사하는 방법 |
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[45강] 고유진동수와 모드형상의 계산 (2)
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홀저 방법을 이용한 비틀림·스프링-질량계 고유진동수 계산 요약
• Holzer 방법 개념: 시도 주파수에 대해 연쇄적으로 각변위·변위를 계산하고 관성토크·관성력 합이나 고정단 변위 제약을 이용해 고유진동수와 모드 쉐입을 구하는 trial and error 수치해석 절차 • 비틀림계·스프링-질량계 제약식: n자유도 불구속계에서 운동방정식 합을 통해 ∑J_i ω²Θ_i=0, ∑m_i ω²X_i=0 조건을 도출하고, 고정단 존재 시 고정단 각변위·변위=0 조건으로 자연진동수 판별 • Holzer 수치 절차: 시도 주파수 선택→첫 자유도 변위 가정→연쇄 방정식으로 모든 자유도 변위 계산→마지막 디스크·질량의 합토크·합력 또는 고정단 변위 판별→부호변화 구간에 대해 근 찾기 알고리즘으로 고유진동수와 모드 쉐입 결정 |
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[46강] 고유진동수와 모드형상의 계산 (3)
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행렬반복법과 고유진동수 계산 핵심 정리
• 행렬반복법과 전개이론: 동적행렬 [D]=[K]⁻¹[M]과 고유모드 직교성을 이용해 임의 트라이얼 벡터를 고유벡터 기저로 전개하고 반복 곱·정규화를 통해 특정 모드 방향으로 수렴시키는 고유값 근사 알고리즘 • 최저차·최고차 고유진동수 계산: [D] 반복 곱으로 λ=1/ω₁² 지배 항을 이용해 기본모드와 ω₁ 추정, [D]⁻¹ 반복 곱으로 ωₙ² 지배 항을 이용해 최고차 모드와 ωₙ 추정, 성분비·정규화 계수를 통해 고유값 수렴 판정 • 적용 조건·특징 및 예제: 고유진동수 분리가 크고 초기 트라이얼 벡터가 기본모드와 유사할 때 빠르게 수렴하며 행렬–벡터 곱 오차에 둔감하고, 3자유도 질량–스프링계 예제를 통해 동적행렬 구성·반복 절차·모드쉐입·고유진동수 근사 계산 과정 학습 |
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| 8장. 연속계 | ||
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[47강] 연속계 (1)
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연속계 현(스트링)·케이블의 횡진동과 파동방정식 요약
• 연속계 진동 모형: 질량·강성·감쇠가 공간에 연속 분포된 무한자유도계로, 현·케이블의 횡변위 w(x,t)를 편미분방정식(PDE)으로 기술하고 이산계(유한자유도 ODE)와 구분 • 파동방정식과 경계·초기조건: 뉴턴의 제2법칙과 작은 각도 근사로 균일 장력 P, 선밀도 ρ에 대해 ∂²w/∂t² = c²∂²w/∂x² (c²=P/ρ) 유도하고, 고정단·자유단·탄성지지 경계조건과 초기 변위·속도 조건으로 해를 결정 • 변수분리법과 모드해: w(x,t)=X(x)T(t) 변수분리로 시간·공간 ODE와 분리상수 −ω²를 도입하여 조화진동 해와 모드형상 X_n(x)·고유진동수 ω_n을 구하고, 무한 개 모드 중첩으로 연속계 자유진동 응답을 표현 |
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[48강] 연속계 (2)
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양단 고정 현의 자유진동, 고유진동수와 모드, 플럭트 스트링 응답
• 양단 고정 현의 고유진동수와 모드쉐입 : 파동방정식과 고정 경계조건으로부터 초월 특성방정식과 고유각진동수 $\omega_n=\frac{n\pi c}{L}$, 사인형 모드쉐입 $W_n(x)=\sin(\frac{n\pi}{L}x)$ 및 기본 모드·기본 주기 $\tau_1=\frac{2L}{c}$ 도출 • 모드 파장·노드 구조와 일반해 Fourier 전개 : $n$번째 모드 파장 $\lambda_n=\frac{2L}{n}$, 노드 개수 $n-1$ 및 위치 특성 정리, 연속계 해를 모드 중첩과 Fourier 사인 급수로 표현하고 초기변위·초기속도 분포로부터 직교성을 이용해 Fourier 계수 $C_n, D_n$ 적분 계산 • 플럭트 현 응답과 모드 기여도 : 중앙을 당긴 삼각형 초기변위에 대해 짝수 모드 소멸($C_{2k}=0$), 홀수 모드 계수 $C_n\propto 1/n^2$ 감소 특성과 1차 기본 모드 우세 응답 분석, 초기형상과 모드쉐입 유사도에 따른 모드 기여도 및 실제 진동 파형 해석 |
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| 9장. 진동 제어 | ||
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[49강] 진동 제어 (1)
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진동 제어와 밸런싱의 기본 개념 및 단판 밸런싱 요약
• 진동 제어와 진동 허용 기준: 산업 기계·전기 시스템·인체에 미치는 진동 영향과 노출 시간·주파수에 따른 허용 변위·속도·가속도 한계를 진동 노모그래프와 조화운동 관계식으로 정량화하는 개념 정리 • 진동 저감 및 밸런싱 기본 원리: 진동원 제어, 고유진동수 조절·감쇠·절연·흡진 기법과 함께 회전체 불평형 질량에 의한 원심력 상쇄를 목표로 하는 정적 언밸런스, 단순 정적 밸런싱, 싱글·투·멀티 플레인 밸런싱의 구조적 개념 정리 • 실험적 단판 밸런싱 절차: 진동 계측·스트로보스코프를 이용해 언밸런스 가진력의 진폭·위상을 측정하고, 시험 질량 부가 전후 응답 벡터 해석과 코사인 법칙을 통해 언밸런스 크기·위상·보정 질량 배치 방법을 결정하는 계산·절차 요약 |
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[50강] 진동 제어 (2)
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진동 제어와 고유진동수·감쇠 활용 핵심 정리
• 진동 제어 및 고유진동수 조절: 공진 회피를 위해 질량 m·강성 k 변경으로 고유진동수 ωn=√(k/m)을 조정하고, 가진 주파수 선택·진동절연·보조질량·흡진기(Tuned Mass Damper)로 특정 모드 응답을 저감하는 설계 • 감쇠 및 재료·체결 특성: 점성·Coulomb·구조 감쇠를 등가 감쇠비 ζ로 표현하고, 주철·복합재·폴리머·볼트/리벳 접합 등 감쇠 큰 재료·체결 방식을 공진부근 진폭 억제를 위해 선택하는 트레이드오프 설계 • 점탄성 재료·Loss factor·구속형 적층 감쇠: Loss factor η=ΔW/(2πW)로 감쇠 성능을 정량화하고, η가 큰 점탄성층과 구속층을 조합한 Constrained Layer Damping 3층 구조로 전단변형을 유도해 구조물의 등가 감쇠비를 크게 향상시키는 진동·소음 저감 기법 |
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[51강] 진동 제어 (3)
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진동 절연과 전달률, 기반 및 충격 절연 핵심 정리
• 진동 절연 및 전달률 개념: 아이솔레이터(스프링·댐퍼)를 이용해 힘 전달률·변위 전달률을 감소시키며, 주파수비 r=ω/ω_n·감쇠비 ζ·스프링 상수 k·질량 m에 따른 강체 기반/기반 운동 계의 전달률 식과 r=√2에서의 증폭·절연 분기 특성 정리 • 진동 절연 설계 원리: 힘·변위 확대비와 전달률 곡선을 이용해 r>√2 절연 영역 확보, k 감소·m 증가에 따른 ω_n 저감과 정적 처짐 증가 간 트레이드오프, 공진 구간 진폭 억제를 위한 감쇠 선택 및 기반 가진 시 변위·힘 절연 목표 간 상충 관계 분석 • 충격 하중 및 충격 절연: 임펄스·스텝 속도 입력으로 모델링한 충격하중의 자유진동 응답(최대 변위·가속도) 해석과 충격량–운동량 관계를 기반으로 허용 변위·가속도 조건을 만족하는 ω_n·k 범위 설계 및 충격 절연 트레이드오프 제시 |
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[52강] 진동 제어 (4)
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동흡진기(Undamped Dynamic Vibration Absorber)의 원리와 설계 요약
• 동흡진기(Tuned Mass Damper, Dynamic Vibration Absorber) 개념 : 1자유도계에 보조 질량-스프링(m₂, k₂)을 부착해 2자유도계로 만들고, 보조계 고유각진동수 ω₂를 가진 각진동수 ω와 일치시키도록 튜닝해 메인 질량 진폭(X₁)을 특정 주파수에서 0에 가깝게 만드는 진동 제어 장치 • 동흡진기 해석·설계 구조 : 무감쇠 2자유도계 운동방정식과 크래머 법칙을 이용한 진폭(X₁, X₂) 해석, 튜닝 조건 ω² = k₂/m₂ 및 정적 변위 δ_st = F₀/k₁를 활용한 무차원 응답 정리, 질량비 μ = m₂/m₁에 따른 두 고유주파수(Ω₁, Ω₂) 분리와 공진 주파수 이동 특성 • 동흡진기 응용·설계 사례 : 디젤 엔진·모터-발전기 등의 회전체에서 특정 rpm 공진 억제를 위한 m₂, k₂ 산정과 운전 범위 밖으로 공진 주파수 재배치, 건물·교량(현수교 등)에서 Tuned Mass Damper로 구조물 진동을 저감하되 좁은 주파수 대역 효과와 보조 질량 큰 진폭, 공진 2개 증가 등의 한계를 고려한 설계 적용 |
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| 10장. 진동 측정과 응용 | ||
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[53강] 진동 측정과 응용 (1)
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진동측정과 응용: 변환기와 진동감지기 핵심 정리
• 진동측정 및 변환기 개념: 경량·고속 기계의 상태 모니터링·모델 검증·파라미터 식별을 위해 변위·속도·가속도 등을 전기신호로 변환하는 압전변환기·전동변환기 등 진동 변환기 구조와 특성 정리 • 진동감지기 동역학 모델: 질량-스프링-댐퍼 지진계 모델에서 베이스 가진에 대한 상대변위 방정식, 주파수비 r·감쇠비 ζ에 따른 진폭비 특성 및 변위·속도·가속도 측정 원리 체계화 • 진동계·가속도계 설계 원리: 진동계는 r ≫ 1 조건에서 큰 질량·작은 강성으로 실제 변위 재현, 가속도계는 r ≪ 1·적정 감쇠(ζ≈0.6~0.8)와 작은 질량·큰 강성에서 a ≈ ω_n²Z 관계로 가속도 측정하도록 설계 기준 제시 |
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[54강] 진동 측정과 응용 (2)
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진동수 측정, 가진기, 신호분석 및 동적시험 정리
• 진동수 측정 및 가진기: 스트로보스코프를 이용한 진동수·회전수 측정 원리, 기계식·전동식·유압식 가진기 구조와 기능, Electrodynamic shaker의 공진·평탄 주파수 대역 특성 정리 • 스펙트럼 분석 및 필터: 타임 히스토리의 주파수 영역 해석, 프리에 변환·FFT 기반 스펙트럼 분석, 밴드패스 필터·대역폭·−3 dB 개념, Constant Percentage Bandwidth(옥타브·1/3 옥타브)와 Constant Bandwidth 분석의 구조 및 용도 구분 • 동적시험 장비 구성과 디지털 신호 처리: 가진기–센서–시그널 컨디셔너–FFT 분석기로 이루어진 기계·구조물 동적시험 체계, 가속도계·힘 센서의 평탄 주파수 특성과 임피던스 매칭, 샘플링·DFT·FFT에 기반한 실시간 디지털 스펙트럼 분석 절차 정리 |
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이진교 교수님
기계진동학
