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확률과정론
김용태 교수
단국대학교 대학원 통계학과 석사과정
단국대학교 대학원 정보통계학과 박사졸업
단국대학교 대학원 통계학과 석사과정
단국대학교 대학원 정보통계학과 박사졸업
단국대학교
한국외국어대학교
을지대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 9개 챕터, 38강으로 구성되어 있습니다.
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[1강] 확률과정론 오리엔테이션
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확률과정론 개요와 주요 모형 소개
• 확률과정론 및 확률과정 개념: 시간에 따라 변하는 확률변수의 집합을 통해 미래 불확실성 모형화·예측·의사결정에 활용하는 이론과 마코프 과정·포아송 과정 등 확률과정의 정의·분류 제시 • 주요 확률과정 모형: 마코프 확률과정, 지수분포와 포아송 과정, 재생과정, 마팅게일의 기본 가정·구조·사건 발생 메커니즘 및 상호 관계 정리 • 대기행렬이론 및 응용: 도착률·서비스율·대기시간을 갖는 대기행렬 체계의 개념과 서비스 설비·인력 배치 등 운영관리 의사결정에의 적용 구조 설명 |
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| 1장. 확률 복습 | ||
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[2강] 확률, 확률변수, 여러 가지 분포 (1)
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확률과정론 2강: 확률, 확률변수, 분포, 기대값과 분산 정리
• 확률공간과 사건 구조: 표본공간·시그마 대수·확률측도(콜모고로프 공리)로 확률공간 정의, 기본 성질·조건부확률·독립성·곱의 법칙·전확률·베이즈 정리로 사건 간 확률 관계 체계화 • 확률변수와 분포: 확률변수를 실함수로 정의하여 결과를 실수공간으로 사상하고, 분포·누적분포함수(cdf)·이산형 pmf·연속형 pdf를 통해 이산·연속 모형의 확률 구조를 통일적으로 기술 • 기대값과 분산: 이산·연속·스틸체스 적분 형태로 기대값과 함수변환의 기대값을 정의하고, 비음 확률변수의 tail-확률 표현 및 분산의 $Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ 공식을 통해 변동성 측도 정식화 |
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[3강] 확률, 확률변수, 여러 가지 분포 (2)
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이산형 확률분포 개념 정리: 베르누이·이항·기하·음이항·포아송
• 베르누이·이항분포: 베르누이 시행, 베르누이 분포의 정의·PMF·기댓값·분산과 독립 베르누이 합으로서의 이항분포, 정해진 시행횟수에서 성공횟수 분포 구조 및 포아송 근사 기반 정리 • 기하·음이항분포: 첫 성공까지 시행횟수를 다루는 기하분포의 정의·PMF·기댓값·분산·무기억성, 고정 성공횟수까지 총 시행횟수를 다루는 음이항분포와 기하분포와의 특수·합 관계 및 모수 구조 비교 • 포아송분포와 근사 관계: 단위 구간당 사건 수를 모형화하는 포아송분포의 정의·PMF·기댓값·분산과 이항분포에서 $n\to\infty$, $p\to0$, $np=\lambda$ 일 때의 포아송 근사 조건 및 적용 구조 정리 |
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[4강] 확률, 확률변수, 여러 가지 분포 (3)
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연속형 확률분포: 균등, 정규, 지수, 감마, 베타, Weibull 분포 정리
• 균등·정규분포: 유한구간 균등분포 U(a,b)와 정규분포 N(μ,σ²)의 확률밀도함수, 기대값·분산, 표준화된 표준정규분포 N(0,1) 및 정규 근사·통계적 검정 기반 역할 정리 • 지수·감마·Erlang 분포: 포아송 과정 대기시간 모형으로서 지수분포 Exp(λ)의 무기억성, 감마분포 Γ(α,λ)의 감마함수와 모수 해석, 자연수 모수일 때 Erlang 분포 및 지수 대기시간의 합과의 관계 구조화 • 베타·Weibull 분포: [0,1] 비율·확률 모형인 베타분포 Beta(α,β)의 밀도·기대값·분산과 베이지안 사전/사후분포 활용, 수명·고장시간 모형인 Weibull 분포의 형상·척도모수, 실패율 함수 형태 및 지수·정규분포와의 특수 관계 정리 |
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[5강] 생성함수
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확률과정론 생성함수: 적률, MGF, PGF, 라플라스변환 정리
• 적률과 중심적률: 원점 적률·중심적률 정의를 통해 평균·분산·왜도·첨도 등 분포 특성 수치화 • 적률생성함수·라플라스 변환: MGF=E(e^{tX}), LT=E(e^{-\theta X}) 정의와 미분을 통한 적률 계산, 대표 분포(베르누이·이항·포아송·정규·균등·지수·감마 등) MGF 구조 정리 • 확률생성함수와 계승적률: PGF Q_X(z)=E(z^{X}) 정의, MGF와의 관계(M_X(t)=Q_X(e^{t})), k차 미분 Q_X^{(k)}(1)을 통한 계승적률 및 이산형 분포 분석 방법 정리 |
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[6강] 결합분포
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결합분포·공분산·상관계수·독립성·합성분포 핵심정리
• 결합분포·주변분포·기대값: 이산·연속 다차원 결합분포로부터 주변분포(적분·합)와 임의 함수 g(X,Y)의 기대값을 계산하는 정의·공식·확장 구조 정리 • 공분산·상관계수·독립성: 공분산·상관계수 정의와 범위, 선형관계 해석, 독립성의 결합분포 분해 조건과 E[g(X)h(Y)] 분리, 기대값·분산의 선형성 및 독립 시 분산 단순화·공분산 0 성질 정리 • 합의 분포·합성(convolution)·mgf: 독립 확률변수 합의 분포를 주는 합성(이산·연속)의 정의와 공식, 독립합의 mgf 곱 성질을 이용한 이항분포·Erlang 분포 mgf 유도 절차 정리 |
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[7강] 조건부 확률과 조건부 기대값
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조건부 확률과 조건부 기대값 핵심 정리 및 예제 풀이
• 조건부 확률·조건부 분포: 조건부 확률 정의를 기반으로 이산형 조건부 질량함수·분포함수와 연속형 조건부 밀도함수·분포함수 구성 원리 정리 • 조건부 기대값·조건부 분산: 이산형·연속형에서 조건부 기대값과 조건부 분산 정의, 전체 기대값·분산의 법칙을 통한 결합·주변 분포 간 관계 정리 • 응용 예제 구조: Binomial–Poisson 혼합, 지수형 결합밀도, 포아송 도착과 균등 도착시간, 무작위 합(총판매액) 모형에서 주변분포·평균·분산 계산 절차 정리 |
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[8강] 극한 정리, 순서통계량
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극한 정리와 순서통계량 핵심 개념 정리
• 확률 부등식과 대수의 법칙: Markov·Chebyshev 부등식을 통한 확률 상계 설정과 이를 이용한 표본평균의 약대수의 법칙(확률수렴) 및 강대수의 법칙(거의확실수렴) 수렴 개념 정리 • 중심극한정리: i.i.d. 유한분산 표본평균의 표준화가 정규분포 N(0,1)에 분포수렴함을 이용한 모평균 추론, 이항·포아송의 정규근사 등 통계추론 일반화 도구 정리 • 순서통계량 이론: 최소·최대·k번째 순서통계량의 CDF·PDF 공식, 결합확률밀도함수 g(x(1),…,x(n))=n!∏f(x(i)) 구조와 균등분포 사례를 통한 정의역·조합·자코비안 기반 분포 유도 체계 정리 |
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| 2장. 확률과정 | ||
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[9강] 확률과정
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확률과정 개념과 분류, 마르코프·포아송·재생과정 기초
• 확률과정 구조 요소: 시간공간(지수집합) T, 상태공간 S, 확률변수 집합 {X_t}, 표본함수·표본경로를 통해 시간에 따른 무작위 상태 변화를 모형화 • 확률과정 분류 기준: 시간·상태의 이산/연속 조합(4분류), 관찰 방법에 따른 과정 유형 변화, 확률변수 간 종속구조(마르코프과정, 포아송과정, 재생과정, 마팅게일, 정상과정 등)에 따른 분류 • 대표 과정 모형: 마르코프연쇄·연속시간 마르코프과정(현재 상태만 의존), 포아송과정(지수분포 간격의 셈과정), 재생·재생성과정(일반 분포 간격의 셈과정)으로 재고·교통·통신·신뢰도·금융 등 시스템 분석에 활용 |
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| 3장. 마코브연쇄 | ||
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[10강] 마르코프연쇄 서론
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마르코프 연쇄 서론: 정의, 마르코프 성질, 전이확률과 전이행렬
• 마르코프 연쇄와 상태·시간공간: 현재 상태만이 미래를 결정하는 이산시간·이산상태 마르코프 확률과정, 가산 상태공간·시간공간에서 확률변수열 {X_n}로 정의 • 마르코프 성질과 전이확률: 조건부 확률 $P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$ 로 표현되는 마르코프 성질과 i→j 이동확률 $P_{ij}^{(n,m)}=P(X_n=j\mid X_m=i)$ 로서의 전이확률 및 경과시간만에 의존하는 정상전이확률 $P_{ij}(m)$ 정식화 • m-단계 전이확률과 전이행렬: m-단계 전이확률 $P_{ij}(m)$ 을 원소로 하는 확률행렬 P와 거듭제곱 $P^m$ 을 통한 다단계 전이확률 계산 구조, 각 행 합이 1인 전이행렬(확률행렬)의 성질 정리 |
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[11강] 마르코프연쇄 예제
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마르코프 연쇄 예제 정리 (전이확률행렬 중심)
• 마르코프 연쇄 기본 구조: 상태공간·마르코프 성질·전이확률과 전이확률행렬 정의, 열/행 합 1 조건을 통해 다양한 확률과정을 공통된 체인 구조로 표현 • 대표 마르코프 예제군: 2상태 날씨 모형, 정수 상태 확률보행·도박 문제(흡수체인 포함), 베르누이 시행의 연속 성공 횟수, i.i.d. 열 자체·최대값 과정·부분합 확률보행 등 i.i.d.로부터 유도된 체인, 이발소 대기 행렬 모형 • 전이구조 유형 비교: 단순/대칭 확률보행, 흡수 상태 포함 체인, 무한 차원 체인, 모든 행이 같은 전이분포인 체인, 단조 증가형(최대값·부분합) 행렬, 용량 제한·도착/서비스 규칙이 결합된 유한 상태 대기행렬형 체인 특징 정리 |
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[12강] 채프만 콜모고로프의 방정식
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채프만-콜모고로프 방정식과 n단계 전이확률 정리
• 마르코프 연쇄 결합분포 표현: 초기분포와 1단계 전이확률의 곱으로 전 시점 결합분포를 표현하고, (X_s, X_t) 결합분포를 중간 상태 주변화로 전이확률과 초기분포로 정식화 • 채프만-콜모고로프 방정식과 n단계 전이확률: n단계 전이확률 P_{ij}(n)=P(X_n=j|X_0=i)를 정의하고, P_{ij}(n+m)=∑_k P_{ik}(n)P_{kj}(m) 및 행렬형 P^{(n+m)}=P^{(n)}P^{(m)}로 중간 상태를 경유하는 전이 구조 설명 • 전이확률행렬 거듭제곱과 상태확률: n단계 전이행렬 P^{(n)}=P^n, n단계 상태분포 π^{(n)}=π^{(0)}P^n을 사용해 임의 시점 상태확률·결합확률을 계산하고, 2·3상태 예제를 통해 초기분포×전이행렬 곱 패턴과 n단계 전이확률 계산 절차 훈련 |
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[13강] 상태의 분류 (1)
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마르코프 연쇄에서 상태의 분류와 재귀·일시성
• 상태 분류와 기약성: 도달 가능성·상호 도달 가능성으로 동치류를 정의하고, 흡수상태를 포함한 상태공간 분할을 통해 기약/비기약 마르코프연쇄 구조를 규정 • 최초 방문·방문 횟수 구조: 최초 방문확률 f_{ij}(n), 총 도달확률 f_{ij}, 방문횟수 N_{ij}의 분포를 통해 f_{ij}, f_{jj}와의 관계 및 기하분포 형태의 기대 방문횟수 E(N_{ij})를 공식화 • 재귀·일시성 판정: 총 귀환확률 f_{ii}와 방문 횟수 합 ∑_n P_{ii}(n)의 수렴/발산 동치 조건을 이용해 재귀상태·일시상태를 판정하고, 단순확률보행 등 예제에 적용해 무한/유한 방문 특성을 해석 |
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[14강] 상태의 분류 (2)
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상태 분류와 재귀·일시 상태, 동치류 구조 정리
• 상호 도달 가능 상태와 재귀·일시성 동시성: $i\leftrightarrow j$에서 $\sum_n P_{ii}(n)$과 $\sum_n P_{jj}(n)$의 동시 발산·수렴을 이용해 두 상태가 동시에 재귀 또는 동시에 일시가 되는 성질 정리 • 재귀 상태와 동치류·상태공간 분할: 재귀 상태의 필요충분조건 $\sum_{n=0}^{\infty}P_{ii}(n)=\infty$와 재귀 상태가 도달 가능한 집합 $C_i$의 동치류·폐 집합 성질을 통해 상태공간을 일시상태 집합 $T$와 재귀 동치류들로 분할하는 구조 제시 • 예제 기반 상태 분류와 재귀성 판정: 유한 상태 전이행렬·상태도와 무한 상태 정수 확률보행에서 동치류·재귀·일시 상태를 구분하고, 스털링 공식을 활용해 단순 확률보행의 재귀성 여부($p=\tfrac12$ vs $p\ne\tfrac12$)를 판정하는 절차 정리 |
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[15강] 정상분포와 극한 성질 (1)
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마르코프 연쇄의 극한 성질과 주기, 평균재귀시간 요약
• 상태 주기와 동치류: 상태 주기 d(i)=gcd{n≥1: P_{ii}(n)>0} 정의, 주기/비주기·재귀/일시 판정, 상호도달 상태 집합(동치류)별 동일 주기 및 상태 유형 구조 정리 • 평균재귀시간과 상태 분류: 재귀상태 i의 평균재귀시간 u_i=\sum_{n≥1} n f_{ii}(n) 정의, 양재귀/귀무재귀 구분, u_i와 방문빈도 1/u_i의 관계 및 이산·연속시간에서의 장기 점유비율 해석 • 극한분포와 P_{ij}(n)의 극한값: 일시·양재귀·귀무재귀 상태별 lim_{n→∞}P_{ij}(n) 구조, 비주기 양재귀상태에서 P_{ij}(n)→1/u_j, 주기 d 재귀상태에서 P_{ii}(nd)→d/u_i 및 기약 마르코프연쇄의 극한분포 형성 원리 정리 |
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[16강] 정상분포와 극한 성질 (2)
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마르코프연쇄의 정상분포와 극한분포 핵심 정리
• 정상분포·불변분포 개념: 마르코프연쇄에서 $\pi P=\pi$, $\sum_i\pi_i=1$을 만족하는 분포를 정상분포(불변확률분포)로 정의하고, 초기분포가 $\pi$이면 전 과정이 정상과정이 되며, 비주기적 기약·양재귀(에르고딕) 연쇄에서는 이 분포가 유일한 극한분포로서 $P_{ij}^{(n)}\to\pi_j$를 결정함 • 극한분포·에르고딕성·동치류 구조: 극한분포는 전이확률의 장기 극한으로서 존재할 경우 항상 정상분포이고, 정상분포는 있으나 주기성 등으로 극한분포가 없을 수 있으며, 상태의 일시·귀무재귀·양재귀 분류와 유한/무한 상태공간의 양재귀 동치류 개수·편향 방향에 따라 정상·극한분포의 존재와 개수가 결정됨 • 계산 및 대표 모형: 유한 상태공간(2·3상태 연쇄, 커피 시장 모형 등)에서는 연립방정식 $\pi P=\pi$, $\sum\pi_i=1$로 정상·극한분포를 계산하고, Ehrenfest 모형·{0,1,2,…} 연쇄 등에서는 주기성과 재귀성 분석, 이항형·기하급수형 정상분포 및 수렴 조건(p>q 등)을 통해 장기 평형상태와 점유율 해석에 활용함 |
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[17강] 흡수 마르코프연쇄, 마르코프연쇄의 추론
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흡수 마르코프연쇄와 전이확률의 최우추정 요약
• 흡수 마르코프연쇄 구조: 흡수·일시 상태 정의, 전이행렬 분할 P=(I 0; R Q), 기본행렬 M=(I−Q)⁻¹을 통한 평균 방문횟수·평균 흡수시간·흡수확률행렬 A=MR 계산 • 흡수 마르코프연쇄 응용: 유전인자·작업장 예제에서 상태공간 설정, Q·M·A 산출로 각 상태의 평균 체류시간과 최종 흡수확률(퇴사·평생고용 등) 분석, 유한·무한 상태공간에서의 흡수 여부 비교 • 마르코프연쇄 전이확률 추정과 검정: 전이횟수표(n_{ij}, n_i) 기반 다항분포 모델에서 전이확률의 최우추정량 ˆP_{ij}=n_{ij}/n_i 도출, 이론 전이행렬 P⁰에 대한 카이제곱·우도비 검정을 이용한 적합도 평가 및 자유도 m(m−1)−d 해석 |
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[18강] 마르코프연쇄의 예 (1)
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도박꾼 파산 문제와 창고관리 마르코프 모형 핵심 정리
• 도박꾼 파산 마르코프연쇄: 상태공간·흡수상태 구조를 통해 파산·전부 따는 확률의 재귀식과 폐형식 해(αi, αi*) 도출 및 p≠q, p=1/2 경우별 비교 • 흡수 마르코프연쇄 이론: 전이행렬의 블록분해 P=(I 0; R Q)와 흡수확률행렬 A=−Q⁻¹R로 일시상태→각 흡수상태 도달 확률을 행렬 연산으로 계산 • (s,S) 창고관리 마르코프모형: i.i.d. 수요를 가정한 재고 동학과 전이확률행렬 구성, 구체 예시에서 정상분포 πP=π, ∑πi=1을 풀어 장기 재고수준·재고부족 비율 해석 |
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[19강] 마르코프연쇄의 예 (2)
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분기과정과 마르코프 연쇄에서의 소멸확률 분석
• 분기과정과 마르코프 연쇄 구조: 세대별 개체수 {X_n}로 정의된 분기과정을 마르코프 연쇄로 보고 상태 0을 흡수상태로 하는 상태공간·전이구조를 설정 • 자손수 분포와 세대별 모멘트: 한 개체 자손수 Y의 분포 {P_j}, 평균 μ, 분산 σ²를 기반으로 E(X_n)=μ^n, Var(X_n)의 재귀식과 명시해를 계산하여 세대별 개체수의 성장·변동성 분석 • 소멸확률과 pgf 분석: 확률생성함수 φ(a)=∑a^jP_j와 재귀식 q_n=φ(q_{n-1})를 이용해 소멸확률 π_0를 φ(a)=a의 최소해로 결정하고, μ≤1일 때 π_0=1, μ>1일 때 0<π_0<1이 되는 조건 및 구체적 예시(P_0=1/3, P_2=2/3)를 통해 분기과정의 존속·소멸 조건을 정리함 |
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| 4장. 지수분포와 포아송과정 | ||
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[20강] 지수분포
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지수분포의 정의, 무기억성, 위험률함수 및 응용 정리
• 지수분포와 수명·대기시간 모형: $X\sim\text{Exp}(\lambda)$의 밀도·분포·모멘트(기대값·분산)와 독립 지수변수의 최소값 분포, 수명·대기시간(버스 간격, 중고품 수명) 모형화 구조 정리 • 무기억성(memoriless property): $P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s)$ 성질, 평균·표준편차 동일성과 연계된 대기·수명시간 해석, 중고품·대기시간·서비스 종료순서 문제 해결 절차 정리 • 위험률함수(hazard rate): $r(t)=\dfrac{f(t)}{1-F(t)}$, 누적위험 $R(t)=\int_0^t r(x)dx$로부터 $F(t)=1-e^{-R(t)}$, $f(t)=r(t)e^{-R(t)}$ 복원 구조와 상수·선형 위험률, 연령별 사망위험·생존확률 계산 응용 정리 |
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[21강] 포아송과정
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포아송과정 정의와 성질
• 셈과정·독립증분·정상증분: 시간에 따른 사건 누적횟수 N(t)의 정의, 독립·정상증분 조건 및 포아송과정 성립을 위한 조건 A(짧은 구간에서 0·1회 발생 확률, o(Δt), 발생률 λ 개념) 정리 • 포아송분포 유도: 조건 A로부터 P(N(t)=n)=P_n(t)의 미분-차분방정식을 세우고 해를 구해 모수 λt인 Poisson 분포(평균·분산 λt, λ의 단위시간당 평균발생률 해석) 도출 • 조건 A·B 동치와 응용: 분포형 조건 B(구간 길이에 비례하는 Poisson(λt) 분포)와 조건 A의 동치성 증명 및 오탈자 수·고객 도착수 등에서 독립·정상증분을 이용한 P(N(t)=n) 및 구간별 결합확률 계산 방법 정리 |
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[22강] 도착간격시간 분포 및 대기시간 분포
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도착간격시간 분포와 대기시간 분포 핵심 정리
• 포아송과정 도착·간격·대기시간 개념: 도착시점 Sn과 도착간격시간 Xn 정의, Xn i.i.d. 지수분포 ⇔ N(t)가 도착률 λ 포아송과정, 지수분포 비기억성 및 재출발 성질 정리 • 대기시간 분포 구조: Xn i.i.d. Exp(λ)일 때 Sn=∑Xi가 Gamma(n,λ)을 따르고, {Sn≤t}⇔{N(t)≥n} 관계를 통해 N(t)~Poisson(λt) 도출, 세 조건(A,B,C)의 동치로 포아송과정 특성 집약 • 재생과정 및 응용 분포: Xn i.i.d. 임의분포인 일반 재생과정 정의, 지수분포인 특수 경우가 포아송과정임을 명시하고, 두 독립 포아송과정의 첫 사건 대기시간 및 최대/최소 분포 계산 구조 제시 |
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[23강] 균등 분포와 포아송과정
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균등분포와 포아송과정의 관계 및 응용 정리
• 포아송과정과 도착시각 분포: 포아송과정 {N(t)}의 독립·정상증분 성질, 첫 도착시각의 지수분포, N(t)=n 조건하 도착시각들의 균등(0,t) 순서통계량 분포 구조 정리 • 조건부 균등분포 응용: 은행 고객 도착 확률, 총 대기시간의 기대값과 최적 배차시각, 할인된 수입의 기대값을 조건부 균등분포·조건부 기대값 법칙으로 계산하는 절차 정리 • 서비스시간 포함 모형과 Xt의 분포: 서비스시간 분포 G와 균등(0,t) 도착시각을 이용한 “시각 t에 시스템 내 존재확률 p” 도출, X(t)|N(t)=n의 이항분포와 혼합 후 포아송(λpt) 분포 구조 요약 |
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[24강] 포아송과정의 합과 분해
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포아송과정의 합과 분해, 유형 분류와 예제 정리
• 포아송과정 합 성질: 서로 독립인 포아송과정의 합이 다시 포아송과정이 되며 모수는 각 모수의 합으로 주어지고, 정적 포아송분포 합과 동일 구조로 도착수 모델 단순화 • 포아송과정 분해 성질: 단일 포아송과정 사건을 두 개 또는 k개 유형으로 확률적으로 분류하면 각 유형별 사건 수는 모수 λp_i를 갖는 독립 포아송과정이 되고, 전체-유형 구조는 포아송·이항·다항 결합분포로 표현 • 응용·조건부 분포 구조: 슈퍼마켓·미장원·고속도로 예제에서 합·분해 정리를 이용해 총 도착수는 단일 포아송, 유형별 도착수는 독립 포아송·이항·다항으로 변환하여 조건부 확률, 기대값, 독립성 판정을 계산하는 절차 정리 |
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[25강] 일반화된 포아송과정
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일반화된 포아송 과정: 비정상·복합·조건부 포아송 정리
• 비정상 포아송과정: 시간의존 강도함수 λ(t)와 평균함수 m(t)=∫₀ᵗλ(r)dr을 가지며, N(t+s)-N(t)가 평균 ∫ₜᵗ⁺ˢλ(r)dr인 포아송분포를 따르되 정상증분은 성립하지 않는 셈과정 • 복합 포아송과정: N(t)~Poisson(λt)와 i.i.d. 크기 Yᵢ에 대해 X(t)=∑_{i=1}^{N(t)}Yᵢ로 정의되며, 도착수와 크기 독립 가정하에 E[X(t)]=λtE[Y₁], Var(X(t))=λtE[Y₁²]로 표현되는 손실·매출 합산 모형 • 조건부 포아송과정: 무작위 모수 Λ~G를 조건으로 N(t)|Λ=λ가 포아송과정이 되도록 정의한 혼합 포아송 모형으로, P(N(t+s)-N(s)=n)=∫₀^∞(λt)ⁿ/n!·e^{-λt}dG(λ)로 표현되며 정상증분은 유지되나 공통 모수 Λ로 인해 독립증분은 일반적으로 성립하지 않는 과정 |
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| 5장. 재생과정 | ||
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[26강] 재생, 재생과정 (1)
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재생과정의 정의와 예, $S_n$ 분포 유도 핵심 정리
• 재생과정(Renewal process) 구조: i.i.d. 재생간격시간 $X_n$을 갖는 재생시점열 $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$과 재생횟수과정 $N(t)=\max\{n:S_n\le t\}$의 관계 및 전구수명·기계수명·도착과정 등 대표 사례 정리 • 특수 재생과정과 분포 연결: 지수분포 재생간격의 포아송과정(버스·고객 도착), 기하분포 재생간격의 음이항분포, 지수합의 감마(Erlang) 분포, 교대재생과정·마르코프연쇄 회귀시간·대기행렬(M/G/1) 등 응용 구조 제시 • $S_n$ 분포 유도와 통계량: $E(S_n)=n\mu$, $\mathrm{Var}(S_n)=n\sigma^2$ 및 합성분포·콘볼루션 관계 $g_n(t)=\int_0^t f(t-s)g_{n-1}(s)ds$, $G_n(t)=\int_0^t F(t-s)\,dG_{n-1}(s)$을 이용한 $S_n$ 분포 유도 절차와 포아송·감마·음이항 분포로의 구체적 연결 정리 |
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[27강] 재생, 재생과정 (2)
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재생과정에서 N(t)의 분포와 재생방정식, 라플라스 변환
• 재생과정 사건 구조: 재생시점 SN과 재생수 N(t)의 사건 관계(Sn≤t⇔N(t)≥n)에 기반한 N(t) 분포 표현, 일반 재생간격 분포 F에서 N(t)의 분포 일반식 및 지수분포일 때 Poisson 과정 성립 조건 정리 • 재생함수와 재생방정식: 재생함수 U(t)=E[N(t)] 정의, U(t)=∑G_n(t) 표현과 재생간격 분포 F만으로 U(t)를 결정하는 재생방정식(U(t)=F(t)+∫_0^t F(t-s)dU(s), 밀도형 포함) 구조 정리 • 라플라스 변환과 1:1 대응: 재생방정식의 라플라스 변환을 통한 u*(α)=f*(α)/(1−f*(α)) 관계, 재생간격 분포의 라플라스 변환 f*와 재생함수 미분 u(t)의 1:1 대응, U(t) 선형(예: U(t)=2t)일 때 지수분포·Poisson 과정 동치 및 분포 결정 절차 정리 |
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[28강] 극한 성질, 현재수명, 초과수명, 총수명
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극한 성질, 재생비, 현재·초과·총수명 개념 정리
• 재생과정 극한 성질과 재생비: 장기 재생비 $N(t)/t,\,E[N(t)]/t\to1/\mu$와 기초재생정리·중심극한정리·Blackwell 정리·Key 재생정리를 통한 재생횟수 성장률·증가량·재생형태 방정식 해 구조 정리 • 재생과정 응용 예제: 균등분포 수명의 배터리 교체 과정과 포아송 도착 상담 시스템을 재생과정으로 모델링하여 재생비·단위시간당 유효 서비스율·실제 상담 비율 계산 절차 정리 • 현재수명·초과수명·총수명: 재생과정에서 backward/forward recurrence time과 cycle length 정의, 포아송과정 잔여수명(지수·기억없음)과 일반 재생과정에서의 극한분포·기대값 관계 $\lim E(\gamma_t)=\lim E(\delta_t)=\frac{\mu^2+\sigma^2}{2\mu},\,\lim E(\beta_t)=\frac{\mu^2+\sigma^2}{\mu}$ 정리 |
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[29강] 재생과정의 일반화 (1)
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지연재생과정, 재생보상과정, 수명교체모형 핵심 정리
• 지연재생과정·정상재생과정: 최초 재생간격만 다른 재생과정으로 재생함수 적분방정식과 장기 재생률 1/μ, 잔여수명 극한분포 G를 통해 정상재생과정의 수명·잔여수명 분포 특성 정리 • 재생보상과정·재생보상정리: 재생 시점별 보상을 누적한 과정에서 (X,R) 한 주기 평균보상과 평균간격을 사용해 단위시간당 장기 평균보상률을 E[R]/E[X] 형태로 도출하고 복합포아송 모형(보험 청구 등)에 적용 • 수명교체(age replacement) 모형: 고장 시 또는 고정 시점 T에서 강제 교체되는 재생과정의 주기수명 분포 F_T와 기대수명 μ_T를 정의하고 단위시간당 평균 교체수 1/μ_T 비교를 통해 교체비용·고장손실을 균형화하는 최적 교체주기 결정 구조 제시 |
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[30강] 재생과정의 일반화 (2)
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재생보상과정의 비용 최소화와 교대재생·재생성과정 정리
• 수명교체·완전고장 교체 전략: 교체비용·고장손실비용 구조와 수명분포를 이용해 기대비용 E(R)와 평균주기길이 E(X_T)를 구하고, 단위시간당 평균비용 C(T)=E(R)/E(X_T)를 최소화해 최적 교체시점 T를 결정함 • 수명교체 최적시점 계산 모형: 균등분포 등 구체적 수명분포에서 분포함수 F, 밀도함수 f를 사용해 C(T)의 해석적 식을 도출하고, 미분 C′(T)=0을 풀어 양의 해만 채택해 자동차 교체 문제 등에서 경제적 교체주기를 산정함 • 교대재생과정·재생성과정: 작동시간·수리시간이 반복되는 시스템을 재생사이클(Z_n)로 표현하고, 장기 작동확률 P(t)→E(X)/E(X+Y) 및 재생시점 기반 사이클 당 상태점유시간/사이클길이 비율로 안정상태 확률과 장기점유비율을 해석함 |
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| 6장. 연속시간형 마코브과정 | ||
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[31강] 마르코프과정
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연속시간형 마르코프과정과 체류시간의 지수분포
• 연속시간형 마르코프과정: 가산 상태공간과 연속 시간축을 가지며 마르코프 성질과 시간균질성을 만족하는 확률과정, 전이확률행렬과 초기분포, Chapman-Kolmogorov 방정식으로 시점별 분포 결정 • 전이확률 구조: 전이확률행렬 P(t)=[P_{ij}(t)]는 확률행렬·우연속성을 가지며 P(0)=I, 시간균질성 하에서 P(t+s)=P(t)P(s)를 만족하고 상태변화 시점만 관찰하면 전이확률 p_{ij}를 갖는 이산시간 마르코프연쇄 형성 • 체류시간과 지수분포: 각 상태 i에서의 체류시간 T_i는 비기억성을 갖는 지수분포 Exp(ν_i)를 따르며, 체류시간과 다음 상태로의 전이방향은 독립이고 이 구조가 연속시간 마르코프과정의 마르코프 성질을 보장함 |
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[32강] 생사과정
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연속시간 생사과정과 응용 모형 정리
• 연속시간 생사과정과 전이구조: 상태공간에서 출생률 λₙ·사망률 μₙ에 따른 전이확률 Pₙ,ₙ±1(h), 머무는 시간 Tₙ~Exp(λₙ+μₙ)과 순수출생·순수사망·포아송과정·Yule 과정의 구조 비교 • 생사과정 기반 응용 모형: 전염병 모형, 선형증가 모형(이민 포함), 이주 모형에서의 상태별 λₙ·μₙ 설정과 상태공간 특성(유한/무한, 선형/비선형 출생률) 정리 • 생사과정과 대기행렬 모형: 이주 모형과 동형인 M/M/∞, 그리고 M/M/1, M/M/s 대기행렬의 고객 수 과정을 생사과정으로 표현하고 각 모형의 λₙ·μₙ 구조와 서버 수에 따른 사망률 변화 정리 |
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[33강] 콜모고로프의 미분방정식
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콜모고로프의 미분방정식과 연속시간 마르코프체인 전이확률
• 연속시간 마르코프과정과 채프만-콜모고로프 식: 전이확률 \(P_{ij}(t)\) 정의, 머무는 시간의 지수분포 가정, 채프만-콜모고로프 식에서 \(h\to 0\) 극한을 통해 후진·전진 콜모고로프 미분방정식 유도 • 전이율과 전이율행렬 \(Q\): 전이율 \(q_{ij}=\lim_{h\to 0} P_{ij}(h)/h\) (순간변화율), \(q_{ii}=-\sum_{j\neq i}q_{ij}\), \(Q=\lim_{h\to 0}(P(h)-I)/h\), 행렬형 방정식 \(P'(t)=Q P(t)\), \(P'(t)=P(t)Q\)와 초기조건 \(P_{ij}(0)=\delta_{ij}\) 구조 정리 • 순수출생·생사과정 예제: 순수출생과정에서 \(q_{i,i+1}=\lambda_i, q_{ii}=-\lambda_i\), 생사과정에서 \(q_{i,i+1}=\lambda_i, q_{i,i-1}=\mu_i, q_{ii}=-(\lambda_i+\mu_i)\)를 사용해 후진·전진방정식의 2점·3점 재귀 미분방정식 구성 및 전이확률 \(P_{ij}(t)\)의 구조적·재귀적 해법 개요 제시 |
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[34강] 극한 확률
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연속시간 마르코프과정의 극한분포와 균형방정식 요약
• 연속시간 마르코프과정과 상태 분류: 도달가능성·상호도달가능성·기약성·일시/재귀(양재귀·귀무재귀) 상태 정의와 마르코프연쇄와의 등가 분류 체계 정리 • 극한분포와 균형방정식: 기약 연속시간 마르코프과정에서 극한분포(정상분포·불변초기분포) 존재 조건, 시간비율 해석, 콜모고로프 전진방정식의 극한에서 유도되는 입·출률 일치 형태의 균형방정식 구조 • 생사과정 및 응용 모형 극한분포: 일반 생사과정의 재귀식 기반 극한분포 공식과 이를 이용한 M/M/s 대기행렬, 단일 기계 고장/수리(2상태 모형), M대 기계 수리모형의 안정조건·극한분포 형태·장기 성능지표 도출 구조 |
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| 7장. 마팅게일 | ||
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[35강] 마팅게일
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확률과정론 마팅게일 개념과 예제 정리(도박·금융 응용 중심)
• 마팅게일·열마팅게일·우마팅게일: 조건부기대 기반 공정한 게임 구조, 정보집합(필트레이션) 적응성, 현재값과 미래 기대값 관계 정의 • 대표 마팅게일 과정들: 대칭 확률보행, 합·곱형 과정, 조건부기대 과정, 분기과정 정규화, 옵션가격·우도비·MGF 기반 과정의 마팅게일 구조 정리 • 마팅게일 불등식·수렴정리: Kolmogorov 부등식, 비음 열마팅게일의 최대값 제어, 적분가능성 조건 하 마팅게일 수렴성과 장기 거동 특성 정리 |
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| 8장. 대기행렬 이론 | ||
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[36강] 대기행렬 이론 (1)
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대기행렬 이론 기초와 Kendall 표기, 기본 정리 핵심 정리
• 대기행렬 시스템 구성요소: 도착과정·서비스과정·서버 수·시스템 용량·서비스 규칙·고객 성향을 통해 큐잉 시스템 구조와 고객수·대기·체재시간 등의 성능 척도를 정의 • Kendall 표기 및 로드 개념: A/B/c/d/E 형식과 M·D·G·GI·집단도착 기호로 모형을 표현하고, 제공로드 a·교통밀도 ρ·처리로드 a′·서버 이용률 ρ′로 부하와 손실·이용 상태를 정량화 • 기본 정리와 예제 모형: Burke 정리·PASTA·Little의 법칙으로 시간평균과 도착평균·평균 고객수·평균 체재시간 관계를 연결하고, 포아송 도착·지수 버스 모형에서 L = λW 검증으로 이론을 적용 |
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[37강] 대기행렬 이론 (2)
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마코비안 대기행렬 체계 핵심 정리: M/M/1, M/M/s, M/M/∞, M/M/1/K
• 마코비안 대기행렬 체계·안정상태확률: Poisson 도착(λ)·지수 서비스(μ) 기반 생사과정 마르코프체인으로 안정조건 하에서 안정상태확률 π_n 및 성능지표 L, L_q, W, W_q 도출 • M/M/1·M/M/∞·M/M/s 모형: 단일·무한·다중 서버 구조에서 각각 기하분포·Poisson 분포·혼합 구조의 정상분포와 안정조건(λ<μ, λ • M/M/1/K 유한 용량 시스템: 최대 수용 인원 K, 잘린 기하분포 형태의 π_n, 거절확률 π_K와 유효 도착률 λ(1-π_K)을 통해 평균 고객 수 L과 평균 체류시간 W 계산 및 용량·성능 상충관계 분석 |
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| 9장. 브라운운동 | ||
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[38강] 브라운운동
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브라운운동, 마르코프성질, 최초도달시간과 기하브라운운동
• 브라운운동과 관련 과정: 가우시안·마르코프·독립·정상증분·연속경로를 갖는 브라운운동 정의, 대칭확률보행으로부터의 연속한계 유도, 드리프트·확산모수를 갖는 일반 브라운운동과 브라운다리의 정의·공분산 구조 정리 • 마르코프성질과 hitting time: 브라운운동의 마르코프성질, 최초도달시간(T_a) 분포식과 표준정규 적분 표현, 재귀성(귀무재귀) 및 마팅게일 성질, 장벽 도달 순서 확률 b/(a+b) 등의 hitting 확률 구조 정리 • 기하브라운운동과 주가모형: 기하브라운운동 Y(t)=e^{X(t)} 정의, 로그수익률의 독립동등분포 가정에 의한 브라운운동 모형화, 주가과정 Y(t)=Y(0)e^{X(t)}과 Black-Scholes 등 연속시간 자산가격 모형의 기초 구조 정리 |
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김용태 교수님
확률과정론
