홈 > 강의소개
복소해석학
정진교 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
신라대학교
현) 유니와이즈 전임교수
AI가 이끄는 스마트한 학습 경험, AI 튜터와 함께 더 빠르고, 더 깊게 학습하세요.
긴 강의 내용을 AI가 핵심만 요약하여 복습 시간을 단축시킵니다.
강의에서 가장 중요한 키워드와 개념을 자동으로 추출해 제공합니다.
학습한 내용을 바탕으로 AI가 생성한 퀴즈를 풀며 이해도를 점검합니다.
모르는 부분을 24시간 언제든 AI 튜터에게 질문하고 답변을 받습니다.
총 11개 챕터, 42강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
|---|---|---|
| 1장. 복소수와 복소평면 | ||
|
[1강] 오리엔테이션, 복소수의 정의, 복소평면
|
0:
47:
32
|
|
|
복소수의 정의와 성질 및 켤레복소수
• 복소수의 대수적 구조: 실수의 순서쌍 정의와 사칙연산을 통한 체(Field) 구조 및 허수 단위 성질 분석 • 복소평면과 순서관계: 복소수의 기하학적 시각화와 실수 체계와 차별되는 대소 관계의 부재 증명 • 켤레복소수와 연산 성질: 실수축 대칭의 기하학적 의미와 사칙연산 보존 및 성분 추출 공식 정리 |
||
|
[2강] 복소수의 극형식
|
0:
21:
16
|
|
|
복소해석학 복소수의 절댓값과 편각 및 극형식 기초
• 복소수의 절댓값과 거리: 복소수 크기 정의($|z| = \sqrt{z\bar{z}}$) 및 두 복소수 간 차의 절댓값을 활용한 평면상 거리 측정 원리 • 편각과 주편각: 복소수 평면에서의 회전각 정의 및 연산의 유일성 확보를 위한 주편각($-\pi < \text{Arg } z \le \pi$) 범위 체계 • 삼각부등식과 자취의 영역: 복소수 크기의 대수적 성질 증명 및 $|z - z_0| = r$ 형식을 이용한 원의 방정식과 영역 도식화 |
||
|
[3강] 거듭제곱근
|
0:
55:
02
|
|
|
복소해석학 극형식 지수형식 드무아브르 공식 거듭제곱근
• 복소수의 극형식 및 지수 형식: 오일러 공식을 활용한 복소수의 기하학적 표현 및 곱셈·나눗셈 연산 최적화 • 드무아브르 공식: 복잡한 고차 거듭제곱 계산 절차 간소화 및 삼각함수 배각 공식의 대수적 유도 • 복소수 거듭제곱근: 대수학의 기본정리를 기반으로 한 n개의 해 도출 및 복소평면상 정n각형 기하학적 구조 분석 |
||
| 2장. 복수함수와 사상 | ||
|
[4강] 복소함수, 복소함수의 사상
|
0:
36:
25
|
|
|
복소함수의 정의와 성질 및 사상의 기하학적 해석
• 복소함수 체계 및 표현: 실수부($u$)와 허수부($v$) 분리 및 극형식을 활용한 복소수 집합 간의 대응 관계 정의 • 복소평면 위상적 구조: 근방·내점·경계점 정의 및 개집합·폐집합·유계를 활용한 영역의 기하학적 성질 판별 • 기하학적 사상 및 분수 변환: 평행이동·회전·확대·반전의 기본 사상 합성을 통한 평면 간 변환 구조 분석 |
||
|
[5강] 복소함수의 극한과 연속
|
0:
37:
04
|
|
|
복소함수의 극한과 연속 개념 및 성질 요약
• 복소함수의 극한 정의 및 입실론-델타 논법: 평면 대응 관계 기반의 엄밀한 수렴 정의와 델타($\delta$) 산출을 통한 증명 절차 체계화 • 경로 분석 및 성분 함수 관계: 다변수 접근을 통한 극한 비존재 판정과 실수부($u$)·허수부($v$) 극한의 필요충분조건 분석 • 복소함수의 연속성 및 국소적 성질: 극한값·함숫값 일치 기반의 연속 판정 및 특정 점의 근방 내 함수 값 유지 원리 요약 |
||
| 3장. 해석함수 | ||
|
[6강] 미분가능성과 해석함수
|
1:
05:
19
|
|
|
복소해석학 미분가능성 해석함수 코시-리만 방정식
• 복소 미분 및 도함수: 극한 정의·경로 독립성·연속성 관계 및 다항함수·복소 미분 공식의 기본 원리 정리 • 해석함수와 전해석 함수: 근방 내 미분가능성 기반 해석성 정의와 특이점 구분 및 전해석성 판별 구조 • 코시-리만 방정식: 실부·허부 편미분 관계식을 활용한 해석성 판별 필요충분조건 및 도함수 산출 알고리즘 |
||
|
[7강] 코시-리만 방정식
|
0:
45:
57
|
|
|
코시-리만 방정식의 극형식 변환 및 해석적 함수의 성질
• 극형식 코시-리만 방정식: 극좌표계 변환을 통한 $u_r = \frac{1}{r}v_\theta, v_r = -\frac{1}{r}u_\theta$ 관계식 유도 및 극형식 도함수 공식 수립 • 해석적 함수의 상수 성질: 절대값 상수 조건($|f|=C$) 및 켤레복소수 해석성 기반의 상수함수 판정 원리 분석 • 미분 가능성 및 해석성 판별: 특정 점의 방정식 만족 여부와 근방 미분 가능성 조사를 통한 해석성 성립 조건 검증 |
||
|
[8강] 조화함수
|
0:
28:
44
|
|
|
조화함수의 정의와 성질 및 조화켤레함수 도출
• 조화함수와 라플라스 방정식: 라플라스 방정식 만족 조건 및 해석함수 구성 성분으로서의 조화적 정의 규정 • 코시-리만 방정식과 조화성: 이계 편도함수의 연속성을 활용한 해석함수의 실수부·허수부 조화성 증명 절차 • 조화켤레함수 도출 및 유일성: 편미분 방정식의 적분을 통한 함수 결정 및 상수 차 기반 해의 유일성 확인 |
||
| 4장. 초월함수와 역함수 | ||
|
[9강] 다항함수, 지수함수와 로그함수
|
1:
00:
37
|
|
|
복소다항함수 지수함수 로그함수의 정의와 성질
• 복소다항·지수함수: 전해석함수의 미분 성질과 지수함수의 주기성 및 복소평면 사상 원리 정리 • 복소로그함수: 다가함수 기반의 주치(Principal Value) 정의 및 복소 로그의 대수적 성질 분석 • 분지·해석성: 분지점과 분지절단선 설정을 통한 로그함수의 해석적 영역 규정 및 일가함수화 절차 |
||
|
[10강] 삼각함수와 쌍곡선함수 (1)
|
1:
05:
02
|
|
|
복소해석학 일반 거듭제곱과 복소삼각함수의 성질
• 일반 거듭제곱: 복소 지수의 다가함수적 정의와 로그 주치 기반의 연산 및 도함수 성질 정리 • 복소삼각함수: 지수함수 기반의 전해석함수 정의와 실수부·허수부 분리를 통한 비유계성 구조 분석 • 복소 사상 및 항등식: 삼각 항등식 유지 조건과 수직·수평선의 타원 및 쌍곡선 변환 기하학적 원리 |
||
|
[11강] 삼각함수와 쌍곡선함수 (2)
|
0:
30:
36
|
|
|
복소해석학 쌍곡선함수의 정의와 삼각함수의 관계
• 복소쌍곡선함수 정의: 지수함수를 활용한 sinh, cosh 정의 및 주요 대수적 항등식 정립 • 삼각함수 상호 변환: 허수 단위 i를 매개로 한 오일러 공식 기반 변환 체계 및 관계식 도출 • 전해석성 및 일반해: 코시-리만 방정식 만족을 통한 미분 성질 증명 및 로그함수 기반 영점 분석 |
||
|
[12강] 초월함수의 역함수
|
0:
35:
00
|
|
|
복소해석학 역삼각함수 및 역쌍곡선함수의 정의와 미분
• 역삼각·역쌍곡선함수 로그 표현: 지수함수 정의와 이차방정식 근의 공식을 활용한 대수적 공식 유도 및 복소 함숫값 산출 • 초월함수 역함수 도함수: 음함수 및 합성함수 미분법을 적용한 미분 공식 체계 정립과 복합 형태의 미분 연산 적용 • 복소 다가성 및 해석성: 로그함수 성질에 따른 분지절단선(Branch Cut) 설정과 일가함수 전환을 통한 해석적 영역 판정 |
||
| 5장. 복소평면에서의 적분 | ||
|
[13강] 실변수 복소값 함수
|
0:
37:
25
|
|
|
복소해석학 실변수 복소값 함수 및 경로 적분의 기초
• 곡선의 기하학적 분류: 매끄러운 곡선·단순곡선·단순닫힌곡선 등 복소평면 내 경로 구성을 위한 기하학적 성질 정의 및 체계화 • 실변수 복소값 함수의 미적분: 성분함수별 도함수 도출과 정적분 계산 및 복소 지수함수 주기에 따른 정적분 결과값 분석 • 선적분 및 그린 정리: 매개변수 활용 선적분 계산 절차와 중적분 변환을 통한 효율적 영역 적분 수행 원리 정립 |
||
|
[14강] 경로적분
|
0:
41:
25
|
|
|
복소해석학 경로적분 정의 성질 매개화 계산
• 경로적분 정의 및 매개변수화: 복소함수 $f(z)$를 매개변수 방정식 $z(t)$를 통해 실변수 정적분으로 변환 및 계산하는 표준 절차 체계화 • 경로적분 성질 및 ML 부등식: 선형성·경로 합산·방향 반전 등 연산 법칙과 적분값의 절댓값 상계를 추정하는 ML 부등식($| \int f | \le ML$)의 원리 분석 • 해석성과 경로 독립성: 피적분 함수의 해석성 여부에 따른 경로 의존성 판정 및 분지 절단선(Branch Cut) 기반 다가함수 적분 특례 정리 |
||
|
[15강] 부정적분을 이용한 경로적분
|
0:
52:
45
|
|
|
부정적분을 이용한 경로적분 개념 및 분지 함수 예제 요약
• 복소함수 부정적분의 동치 조건: 부정적분 존재성·경로 독립성·닫힌 경로 적분값 0 사이의 상호 관계 및 시점·종점 중심의 적분 계산 원리 정리 • 복소함수의 연속성과 평균값 정리: 실함수와 달리 연속성이 부정적분 존재를 보장하지 않는 특성과 복소 평면 내 평균값 정리의 불성립성 분석 • 다가함수의 분지 적분 기법: 로그·거듭제곱 함수의 분지 절단선 회피를 위한 적절한 연속 분지 선택과 경로 독립성 적용 절차 규명 |
||
|
[16강] Cauchy-Goursat의 정리
|
0:
54:
51
|
|
|
코시-구르사 정리와 복소 경로 적분의 성질
• 코시-구르사 정리: 단순 연결 영역 내 해석 함수의 폐경로 적분값이 0임을 규명하고 코시-리만 방정식을 통한 증명 체계 확립 • 경로 변형 이론: 다중 연결 영역에서 호모토피 개념을 활용하여 특이점을 포함한 복잡한 경로 적분을 단순 경로로 치환 및 계산 • 해석적 로그 및 분수 함수 적분: 부정적분 존재성에 기반한 로그 함수 해석화와 분수 함수 차수별 적분 결과값 도출 절차 정리 |
||
|
[17강] cauchy의 적분정리 (1)
|
0:
27:
37
|
|
|
Cauchy의 적분공식 정의 및 경로적분 적용
• Cauchy의 적분공식: 단순연결영역 내 해석함수의 함숫값을 활용한 경로적분 계산 및 $2\pi i f(z_0)$ 공식 적용 • 적분공식 성립 조건 및 증명 원리: 특이점의 경로 내 포함 여부 판별, 코시-구르사 정리 및 호모토피 이론 기반의 경로 변형 증명 • 해석적 영역 판별 및 적분 도출: 특이점 위치에 따른 부분분수 분해 및 분지 절단선 분석을 통한 적분값 산출 절차 |
||
|
[18강] cauchy의 적분정리 (2)
|
0:
50:
20
|
|
|
도함수에 대한 Cauchy 적분 공식과 해석함수의 성질
• 고계 도함수에 대한 Cauchy 적분 공식: 해석함수의 n차 도함수를 단순폐경로 적분 형태와 n! 계수를 활용하여 정의하는 일반화된 수식 체계 • 해석함수의 무한 미분 가능성: 복소함수가 특정 영역에서 해석적일 경우 모든 차수의 도함수가 존재하며 해당 도함수 또한 해석성을 유지함을 규명하는 성질 • 일반화된 적분 공식의 실전 응용: 피적분 함수의 분모 거듭제곱 및 특이점 위치에 따라 경로 적분 문제를 대수적인 미분 계산으로 치환하여 해결하는 방법론 |
||
| 특강 | ||
|
[19강] 중간고사 특강
|
1:
11:
39
|
|
|
복소해석학 기초 정리 및 경로적분 핵심 기출 분석
• 복소수 체계 및 해석성 판정: 켤레복소수·주편각 성질 및 코시-리만 방정식을 활용한 함수의 미분가능성·해석성 판별 원리 • 조화함수 및 복소 방정식: 라플라스 방정식 기반 조화켤레 산출 절차와 드무아브르 공식을 이용한 n차 거듭제곱근 계산 • 코시 적분 공식 및 응용: 코시-구르사 정리와 일반화된 코시 적분공식을 적용한 경로 내 특이점 적분 및 고계도함수 산출 기법 |
||
| 6장. 복소적분의 활용 | ||
|
[20강] cauchy의 부등식과 morera의 정리, gauss의 평균값 정리
|
0:
31:
04
|
|
|
복소적분 활용 Cauchy 부등식 Morera 정리 Gauss 평균값 정리
• Cauchy의 부등식: Cauchy 적분 공식을 기반으로 해석 함수의 n계 도함수 크기에 대한 상계(Upper Bound) 설정 및 유계성 증명 • Morera의 정리: 영역 내 모든 닫힌 경로의 적분값이 0일 때 함수의 해석성을 판정하는 Cauchy 정리의 역 성질 규명 • Gauss의 평균값 정리: 해석 함수의 중심점 함숫값과 원주상 함숫값 산술 평균의 일치성을 활용한 복소적분 계산 기법 정리 |
||
|
[21강] Liouville의 정리와 대수학의 기본정리, 최대절대값 정리 (1)
|
0:
35:
52
|
|
|
리우빌의 정리와 대수학의 기본정리 핵심 요약
• 리우빌의 정리: 전해석 함수와 유계성 조건 결합 시 상수함수가 도출되는 원리 및 코시 부등식을 이용한 증명 절차 • 전해석 함수 분석 테크닉: 보조 함수 설정과 도함수 크기 추정을 통한 특정 함수 형태 결정 및 실함수와의 유계성 차이 검증 • 대수학의 기본정리: 다항식 역수의 유계성과 리우빌의 정리를 연계하여 복소수 범위 내 n차 방정식의 해 존재성 입증 |
||
|
[22강] Liouville의 정리와 대수학의 기본정리, 최대절대값 정리 (2)
|
0:
46:
06
|
|
|
복소해석학 최대절대값 및 최소절대값 정리와 활용
• 최대 절대값 정리: 영역 내부에서 해석적인 비상수 함수의 절댓값이 반드시 경계(Boundary)에서 최댓값을 갖는 성질 및 증명 • 최소 절대값 정리: 함수값이 0이 아닌 영역 내 비상수 해석함수의 절댓값 최솟값이 내부가 아닌 경계에서 발생하는 원리 • 가우스 평균값 정리와 코시 부등식: 최대 절대값 정리의 보조정리 활용 및 도함수 유계성을 통한 다항식 차수 판정법 구조화 |
||
| 7장. 급수와 유수 | ||
|
[23강] 수열과 무한급수
|
0:
48:
42
|
|
|
복소해석학 수열과 무한급수 및 거듭제곱 급수
• 복소수열 수렴성: 실수부와 허수부의 개별 극한 존재성에 기초한 수렴 판정 및 유계성 원리 정리 • 무한급수 및 기하급수: 부분합 극한을 통한 절대수렴 정의와 공비 조건에 따른 급수 합 산출 절차 • 거듭제곱 급수와 수렴 반경: 절대 비판정법을 활용한 급수의 절대수렴 영역 산정 및 수렴성 분석 |
||
|
[24강] Taylor 급수
|
0:
53:
43
|
|
|
복소해석학 Taylor 급수의 정의와 주요 전개
• Taylor·Maclaurin 정리: 해석적 복소함수의 거듭제곱급수 표현과 미분계수 기반 일반항 유도 및 정의 • 수렴반지름 및 전개 기법: 특이점 기반 수렴 영역 결정 및 기하급수 성질을 활용한 대수적 변형·전개 방식 • 초월함수 및 해석성 응용: 주요 함수별 급수 형태, Fibonacci 생성함수 유도 및 켤레 지수함수의 비해석성 판별 |
||
|
[25강] 로랑 급수
|
0:
51:
28
|
|
|
로랑 급수의 정의와 원환영역에서의 함수 전개
• 로랑 급수 체계: 원환영역 내 해석적 함수의 해석 부분(양의 거듭제곱)과 주 부분(음의 거듭제곱) 구성 및 계수 결정 원리 요약 • 로랑 정리 유도: 코시 적분 공식과 경로 분할 및 기하급수 성질을 활용한 영역별 급수 전개 및 수렴 조건 증명 • 로랑 전개 전략: 테일러·매클로린 급수 변형과 부분분수 분해를 통한 영역별 함수 전개 및 유수(Residue) 도출 기법 학습 |
||
|
[26강] 급수의 판정법과 급수의 미분, 적분 (1)
|
1:
04:
56
|
|
|
복소함수열의 평등수렴 판정 및 항별 적분
• 평등수렴 및 Weierstrass M-판정법: 입실론-N 정의 기반 수렴 균일성 판정 및 상계 급수를 활용한 복소급수의 수렴성 증명 • 거듭제곱 및 로랑 급수의 수렴 범위: 수렴 반지름 내 폐원판 및 폐환영역에서의 평등수렴성 확인과 해석적 성질 유지 분석 • 극한함수의 연속성 및 항별 적분: 평등수렴 조건 하에서의 극한함수 연속성 보장 및 무한합과 적분 연산의 순서 교환 원리 정립 |
||
|
[27강] 급수의 판정법과 급수의 미분, 적분 (2)
|
0:
54:
55
|
|
|
복소해석학 거듭제곱급수의 해석성과 코시 곱 활용
• 거듭제곱급수의 해석성 및 연속성: 수렴 반경 내 해석적 성질과 항별 미분·적분 시 수렴 반지름의 불변성 원리 • 코시 곱(Cauchy Product): 급수 간 곱셈 정의와 나눗셈 알고리즘을 통한 계수 결정 및 복소함수 전개 메커니즘 • 급수의 대수적 활용: 코시 곱 기반의 급수 변형을 이용한 특정 급수의 합 산출 및 계수 비교 절차 |
||
|
[28강] 특이점과 특이점 분류 (1)
|
0:
42:
02
|
|
|
복소해석학 특이점 분류 고립 특이점 극 진성특이점 제거가능 특이점
• 고립 특이점 분류: Laurent 급수 주부분의 항 개수에 따른 제거가능 특이점·극·진성특이점의 정의 및 구조적 차이 • 특이점 판정 정리: Riemann 정리의 유계 조건 및 극한값 연산을 통한 극의 위수(Order) 결정과 판별 절차 • 함수별 특이점 성질: 삼각·지수·유리함수의 Laurent 전개를 활용한 주부분 형태 분석 및 고립·비고립 특이점 구분 원리 |
||
|
[29강] 특이점과 특이점 분류 (2)
|
0:
43:
31
|
|
|
복소해석학 특이점 분류 및 카소라티-바이오슈트라스 정리
• Casorati-Weierstrass 정리: 본질적 특이점 근방에서 함숫값이 복소평면 내 임의의 값에 조밀하게 접근하는 성질 및 수열적 판별법 • 극의 판정 및 유수 공식: 위수 $m$인 극의 필요충분조건 정의와 해석함수 미분 계수를 활용한 유수(Residue) 산출 절차 • 특이점 분류 체계: Laurent 급수 주부분의 형태와 극한 거동에 따른 제거 가능·극·본질적 특이점의 구조적 식별 방법 |
||
|
[30강] 영점과 극과의 관계
|
0:
32:
03
|
|
|
복소해석학 영점과 극의 위수 판정 및 관계
• 영점의 정의와 위수 판정: 테일러 급수 전개 및 미분계수 분석을 통한 영점 차수 결정과 단순 영점 판정 • 해석함수 영점의 필요충분조건: 비영(non-zero) 해석함수 결합 구조를 활용한 영점의 대수적 성질 분석 및 위수 증명 • 영점과 극의 상관관계: 분수 함수 내 분모 영점의 위수를 기반으로 한 고립특이점 분류 및 전체 함수의 극 위수 결정 방법론 정립 |
||
| 8장. 유수정리와 실적분계산 | ||
|
[31강] 유수정리 (1)
|
0:
41:
29
|
|
|
복소해석학 유수정리의 정의와 극에서의 유수 계산법
• 유수와 롤랑급수 : 고립특이점 영역 롤랑급수 전개의 $b_1$ 계수 정의 및 유수(Residue)의 수학적 표기 체계화 • 유수정리 : 단순 닫힌 경로 내 특이점 유수의 합과 $2\pi i$ 곱을 이용한 복소 경로적분의 연산 효율성 극대화 • 극의 위수별 유수 계산 공식 : 위수 $k$인 극의 미분 연산 및 단순극 대상 $p/q'$ 비율을 활용한 공식별 계산 최적화 |
||
|
[32강] 유수정리 (2)
|
0:
41:
04
|
|
|
복소해석학 유수정리 정의 및 경로적분 응용
• 유수정리: 고립특이점을 포함하는 닫힌 곡선의 경로적분을 각 특이점 유수 합의 $2\pi i$ 배로 계산하는 복소적분의 핵심 원리 • 유수 계산 기법: 단순극에서의 극한 공식 및 고위극($n$위 극)에서의 고계 도함수 공식을 활용한 특이점 위수별 유수 산출 방법 • 경로적분 실전 적용: 적분 영역 내부의 유효 특이점 선별과 코시-구르사 정리 및 코시 적분 공식의 관계를 통한 적분값 결정 절차 |
||
|
[33강] 실적분의 계산 (1)
|
0:
49:
01
|
|
|
실적분의 계산 복소평면 경로적분 및 유수정리 활용
• 실적분 및 Cauchy 주값(P.V.): 특이적분 수렴 조건과 우함수·기함수 성질에 따른 P.V.와 특이적분 간의 관계 정의 • 유리함수 적분 조건 및 경로 설정: 분모·분자 차수 조건(deg Q ≥ deg P + 2) 및 상반평면 반원 경로를 활용한 적분 소거 원리 • 유수정리 기반 적분 계산: 상반평면 내 고립특이점 선별 및 단순극 유수 공식을 이용한 최종 특이적분 수치 산출 기초 |
||
|
[34강] 실적분의 계산 (2)
|
0:
30:
18
|
|
|
복소해석학 실적분 계산 Fourier integral과 Jordan 보조정리
• 푸리에 실적분 복소 확장 : $e^{iaz}$ 도입을 통한 삼각함수의 유계성 확보 및 유수정리를 활용한 실적분 계산 절차 • Jordan 부등식 : $\sin \theta$의 하한 직선 방정식 활용 및 지수 함수 형태 경로 적분값의 수렴성 증명 도구 • Jordan 보조정리 : 상반평면 무한 반원 경로 적분값이 0으로 수렴하기 위한 해석적 조건 및 적용 원리 |
||
|
[35강] 실적분의 계산 (3)
|
0:
38:
24
|
|
|
실적분의 계산 유수정리와 프레넬 적분
• 유수정리 실적분 해법: 삼각·유리함수 복소변환, 상반평면 고립특이점 유수 계산 및 실적분값 도출 과정 • 조르당 보조정리: 무한대 반원 경로의 적분값 수렴 증명 및 폐곡선 적분 경로 설정을 통한 수렴성 확보 • 프레넬 적분 유도: 부채꼴 경로 설정 및 가우스 적분 연계를 통한 복소평면상 특이적분 해석 방법론 |
||
|
[36강] 실적분의 계산 (4)
|
0:
42:
44
|
|
|
복소해석학 실적분 계산 및 실수축 위 특이점 처리
• 삼각함수 유리함수 변환: 단위원 상의 복소 경로적분 변환 및 유수정리를 활용한 실적분 계산 절차 • 실수축 특이점 경로적분: 회피 반원 경로($C_\rho$) 설정과 로랑 급수 주부분을 이용한 유수값 극한 도출 원리 • 특이적분 계산 기법: 조르당 부등식과 코시-구르사 정리를 연계한 복소 지수함수 기반의 정적분 유도 방식 |
||
|
[37강] 실적분의 계산 (5)
|
0:
49:
18
|
|
|
분지 절단선 위에서의 복소적분 및 실적분 계산
• 다가함수 분지 절단 및 Keyhole 경로: 분지점 우회를 위한 Keyhole 경로 구성 및 단가함수 제한을 통한 유수정리 적용 환경 구축 • 경로 적분 매개변수화 및 극한: 외경·내경·선분 경로의 수렴성 검증과 극한 처리를 통한 실축 적분값 산출 및 ML-부등식 적용 • 유수정리 기반 실적분 공식화: 고립 특이점의 유수 계산을 통해 특정 형태의 광의적분을 일반화된 수치로 도출하는 계산 체계 정립 |
||
| 9장. Rouche정리와 등각사상 | ||
|
[38강] 편각의 원리와 Rouche 정리 (1)
|
0:
43:
05
|
|
|
복소해석학 편각원리와 회전수의 정의 및 활용
• 회전수와 편각 변화량: 경로 $C$를 따른 편각의 총 변화량을 기반으로 상평면에서의 원점 회전 횟수 및 방향성 정의 • 편각의 원리: 유리형 함수의 선적분 값과 영역 내부 영점·극의 중복도 차이($Z-P$) 사이의 정량적 관계 규명 • 유리형 함수 해석: 로그 미분과 유수 정리를 활용한 영점·극의 중복도 분석 및 복합 함수의 회전수 산출 절차 |
||
|
[39강] 편각의 원리와 Rouche 정리 (2)
|
0:
27:
43
|
|
|
루셰의 정리와 편각원리를 활용한 영점의 개수 판정
• 루셰의 정리: 경로 위 엄격 부등식 $|g(z)| < |f(z)|$ 조건을 활용한 복소함수 영점 개수의 보존 및 판정 원리 • 편각원리 및 회전수: 로그 미분과 $Z-P$ 공식을 기반으로 한 유리형 함수의 근 개수 산출 및 경로 회전수 계산 기법 • 영역별 해의 판정: 단순 경로 및 고리 영역 내 지배적 항 설정을 통한 다항식의 영점 분포 분석 및 증명 절차 |
||
|
[40강] Schwarz 정리와 항등정리
|
0:
43:
10
|
|
|
Schwarz 정리와 항등정리의 정의 및 활용
• Schwarz 정리: 단위 원판 내 유계 해석함수의 크기 및 미분 계수 범위를 제한하는 원리와 최대 절대값 정리를 활용한 증명 체계 • 항등정리: 영역 내 수열의 극한점을 기반으로 해석함수의 유일성을 결정하며 테일러 급수 전개를 통해 전체 함수를 정의하는 원리 • 함수 결정 및 부등식 유도: 수열의 함숫값 조건을 대수적으로 정규화하여 전체 해석함수 식을 도출하고 Schwarz 기반의 부등식을 증명하는 기법 |
||
|
[41강] 등각사상
|
0:
49:
09
|
|
|
복소해석학 등각사상의 정의와 기하학적 성질
• 등각사상의 정의와 성질: 해석함수의 도함수가 0이 아닌 지점에서 두 곡선 사이의 각 크기와 방향을 보존하는 기하학적 변환 원리 • 축척성분과 회전각: 미분계수의 크기와 편각을 이용한 길이 확대 비율, 회전량 및 넓이 변화율의 수치적 정의와 산출 방법 • 주요 함수별 영역 사상: 지수함수와 거듭제곱 함수의 미분 특성을 활용한 직선의 원·포물선 변환 및 영역별 등각성 판별 특성 분석 |
||
| 특강 | ||
|
[42강] 기말고사 특강
|
0:
54:
00
|
|
|
복소해석학 기말고사 기출 및 예상 문제 풀이
• Laurent 급수와 영역별 전개: 기하급수 수렴 조건을 활용한 부분분수 분해 및 환상 영역(Annular domain)별 급수 구성 체계 정리 • 해석함수의 전역적 특성: 최대절댓값 원리를 이용한 경계값 분석 및 Rouche의 정리와 평각의 원리를 통한 근의 개수 판별 • 유수정리와 적분 응용: 특이점 유수(Residue) 추출을 통한 복소적분 수행 및 Jordan 보조정리를 연계한 실함수 이상적분 해결 기법 |
||
정진교 교수님
복소해석학
