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대학기초수학
안은주 교수
경희대학교 대학원 수학과 석사과정
경희대학교 대학원 수학과 박사졸업
경희대학교 대학원 수학과 석사과정
경희대학교 대학원 수학과 박사졸업
고려대학교
경희대학교
세종대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 13개 챕터, 36강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 실수계 | ||
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[1강] 실수계
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실수계 개념 완성
• **실수계 구조**: 자연수, 정수, 유리수, 무리수의 정의, 상호 관계 및 소수, 소인수분해, 약수, 배수 등 자연수의 기본 개념 이해. • **유리수와 무리수**: 유한소수-무한소수 구분, 순환소수 분수 변환, 제곱근 정의, 성질, 계산 법칙 및 분모 유리화 절차 학습. • **실수의 성질**: 사칙연산 닫힘, 교환/결합/분배법칙, 항등원/역원, 대소 관계 및 절댓값 정의, 성질, 삼각부등식 적용 원리 파악. |
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| 2장. 복소수계 | ||
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[2강] 복소수계
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복소수계 개념 및 연산
• 복소수 정의 및 구조: 허수 단위 $i$ 기반 $a+bi$ 형태와 실수부/허수부 구성, 복소수의 분류 및 크기 계산 원리. • 복소수 연산 원리: 상등 조건과 사칙연산 절차, 켤레 복소수를 활용한 분모 실수화 및 크기 계산. • 복소수 특수 연산: $i$의 거듭제곱 주기성 (4주기 순환) 및 음수 제곱근의 특수한 곱셈/나눗셈 규칙 적용. |
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| 3장. 다항식 | ||
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[3강] 다항식 (1)
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미적분학 다항식의 연산, 곱셈공식, 나머지정리
* 다항식 기본 개념: 단항식, 다항식 정의 및 차수 이해, 덧셈, 뺄셈, 곱셈(지수법칙) 연산 원리 학습. * 곱셈공식 및 변형: 다양한 공식과 그 변형을 활용한 다항식 계산 및 식 정리 기술 습득. * 다항식 나눗셈과 정리: 직접 나누기, 조립제법으로 몫/나머지 계산, 나머지 정리와 인수 정리로 나눗셈 및 인수분해 원리 이해. |
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[4강] 다항식 (2)
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인수분해 개념 및 공식 활용
• 인수분해 기본 개념: 곱셈 공식의 역과정으로, 공통인수·합차·완전제곱·세제곱 등 다항식의 곱 형태 변환 원리 학습 • 복잡한 식 인수분해: 치환, 내림차순 정리, 항 가감, 인수정리·조립제법을 활용한 체계적 분해 전략 적용 • 특수 다항식 인수분해: 상반식, 짝짓기 등을 이용한 고차식 및 특정 구조의 식 변형 기법 분석 |
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| 4장. 유리식과 무리식 | ||
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[5강] 유리식과 무리식
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07
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유리식과 무리식의 개념 및 연산
* 유리식 및 무리식 개념: 분수식과 근호를 포함하는 식의 정의 및 유형별 분류와 연산 기초. * 분수식 연산: 통분, 사칙연산 및 부분 분수 변형 원리를 통한 복잡한 식의 효율적 정리. * 비례식과 거듭제곱근: 가비엘리 법칙과 같은 비례식 성질 및 거듭제곱근 정의와 계산 법칙 적용. |
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| 5장. 방정식 | ||
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[6강] 일차방정식, 이차방정식, 고차방정식
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방정식 유형별 해법 및 특성
• 일차·이차 방정식 해법: 계수 판별, 절댓값 케이스 분류, 인수분해, 근의 공식, 완전 제곱식으로 각 유형의 해를 도출. • 판별식·근과 계수 관계: 이차 방정식의 근 종류 및 실근 조건 판별, 이차·삼차 방정식 근의 합과 곱 관계 활용. • 고차 방정식 해법: 인수정리·조립제법, 치환, 상반 방정식 등 특수 형태별 풀이 전략 적용. |
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[7강] 연립방정식, 부정방정식
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연립 및 부정 방정식 해법
• 연립 일차 방정식: 공통해의 존재 조건(기울기/행렬식)을 이해하고, 가감법, 대입법, Cramer 공식을 활용한 해법 적용. • 연립 이차 방정식: 1차식 대입, 인수분해, 이차항/상수항 소거 등 유형별(1차-2차, 2차-2차) 풀이 전략 학습. • 부정 방정식: 미지수 개수가 많을 때 정수/실수 조건을 활용하여 (곱 형태) 또는 (제곱합/판별식)으로 변형하는 해법 분석. |
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| 6장. 부등식 | ||
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[8강] 일차부등식, 이차부등식, 절대부등식
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미적분학 부등식 개념 및 해법
* 부등식 기본 해법: 일차, 연립, 절댓값, 이차부등식의 유형별 해법과 그래프·판별식 활용 원리 * 절대부등식 정의 및 증명: 문자의 값에 상관없이 항상 성립하는 기본 부등식의 정의와 증명 과정 * 산술·기하·조화 평균 및 코시-슈바르츠 부등식: 양수·실수 조건, 등호 성립 조건 및 최댓값·최솟값 문제 해결 원리 |
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| 7장. 도형의 방정식 | ||
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[9강] 직교좌표, 직선, 원의 방정식
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도형의 방정식: 직교좌표계, 직선, 원
• 도형의 기본 요소: 직교 좌표계 기반 점의 위치 설정, 두 점 사이 거리 및 내분점/외분점 계산 원리. • 직선의 방정식: 기울기와 절편을 활용한 개형 파악, 평행이동/대칭성 변환 적용, 평행 및 수직 조건 분석. • 원의 방정식: 중심과 반지름으로 정의되는 표준형/일반형 이해, 축에 접하는 원의 특성 및 표현 방식 분석. |
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[10강] 포물선, 타원, 쌍곡선 방정식
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도형의 방정식 (2) - 포물선, 타원, 쌍곡선 개념
* 포물선 정의: 준선과 초점에서 같은 거리의 점 자취로, $x^2=4py$ 또는 $y^2=4px$ 표준형 방정식과 그 주요 구성 요소를 이해. * 타원/쌍곡선 정의: 두 초점에서 거리 합/차가 일정한 점 자취로, $\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} = \pm 1$ 표준형 및 $c^2=|a^2 \mp b^2|$ 관계를 파악. * 2차 곡선 평행이동: 중심 $(h,k)$에 따른 방정식 변형 원리와 초점, 꼭지점 등 주요 좌표 변화를 분석. |
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| 8장. 집합과 명제 | ||
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[11강] 집합과 명제
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집합과 명제의 개념 및 연산, 참거짓 판단
• 집합 기본: 원소, 표현, 분류, 포함관계 이해 및 집합 연산(교집합, 합집합, 여집합, 차집합)과 연산법칙 활용. • 명제와 조건: 참, 거짓 판별 기준과 진리집합, 부정 개념을 통한 논리적 판단 구조 학습. • 명제 관계: 역, 이, 대우 명제의 참거짓 관계 및 필요, 충분, 필요충분조건 분석으로 논리적 추론 강화. |
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| 9장. 함수 | ||
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[12강] 일대일함수, 전사함수, 일대일대응함수, 항등함수, 상수함수
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함수 개념 및 유형 학습
* 함수 정의 및 용어: 정의역 원소의 공역 단일 대응 규칙, 정의역·공역·치역·그래프 등 기본 개념과 용어 이해. * 함수 연산 및 상등: 공통 정의역 기반 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈 정의 및 두 함수의 정의역과 함수값이 일치하는 상등 조건 파악. * 함수 유형 분류: 일대일, 전사, 일대일 대응, 항등, 상수 함수의 특징, 정의, 상호 관계 및 판별법 습득. |
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[13강] 합성함수, 역함수, 우함수, 기함수, 증가함수, 감소함수
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미적분학 함수 (2): 합성, 역, 우/기, 증가/감소 함수
* 합성함수: 두 함수의 연결 정의, 치역-정의역 관계 필수 조건 및 교환/결합법칙 특성. * 역함수: 일대일 대응 조건 하에 정의되며, $y=x$ 대칭의 기하학적 의미와 합성함수 관계. * 우함수/기함수 및 증가/감소함수: y축/원점 대칭 정의 및 함수의 단조 증가/감소 특성 파악. |
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[14강] 다항함수
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다항함수 그래프 유형 및 최대·최소
* 다항함수 그래프 유형: 일차, 이차, 삼차, 사차함수의 정의, 계수 및 근의 종류에 따른 개형 분석 및 식 도출. * 특수 함수 그래프: 절댓값 함수의 대칭 변환 원리 및 가우스 함수의 계단형 구조 파악. * 이차함수 최대·최소: 꼭짓점 위치와 제한 구간을 활용한 최댓값 및 최솟값 결정 절차. |
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[15강] 분수함수, 무리함수
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분수함수와 무리함수의 그래프 및 역함수 이해
* 분수함수 개형: 직각 쌍곡선 형태의 정의역, 치역, 점근선, 대칭축 특성 및 평행이동에 따른 변화 분석 * 무리함수 개형: 포물선 절반 형태의 시작점, 정의역, 치역 결정 원리 및 평행이동에 따른 변화 분석 * 두 함수 역함수: $y=x$ 대칭을 활용한 역함수 도출과 정의역, 치역 범위 설정 방법 학습 |
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[16강] 지수함수
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지수함수, 지수방정식, 지수부등식 개념 완성
• 지수와 로그 개념: 밑, 지수, 진수 조건을 이해하고 지수법칙 및 로그 성질, 밑 변환 공식으로 기본 연산 및 정의를 확립. • 지수함수 분석: 밑 범위에 따른 증가/감소 개형, 점근선, 치역 변화를 파악하고 치환을 통한 최대/최소 문제 해결. • 지수방정식/부등식 해결: 밑 통일, 로그 변환, 치환법을 활용하여 풀이하며, 부등식은 밑 범위에 따른 부등호 방향 전환에 유의. |
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[17강] 로그함수
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로그함수의 정의, 그래프 및 방정식·부등식 해법
* 로그함수 정의: 지수함수의 역함수로, 밑 조건($a>0, a \ne 1$) 및 진수 조건($x>0$)을 만족하는 함수. * 로그함수 그래프: 밑의 크기에 따른 증가/감소 개형 파악 및 대칭, 평행이동 등 변환 규칙 적용. * 로그 방정식/부등식: 진수 조건($x>0$) 최우선 적용, 밑 통일 및 치환을 통한 해법 원리 이해. |
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[18강] 삼각함수
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삼각함수 기초 개념 및 그래프
* 삼각함수 기초 개념: 각의 호도법 정의, 직각삼각형 및 단위원 기반 사인, 코사인, 탄젠트 등 육대 삼각함수 정의 및 항등식 활용. * 삼각함수 속성: 특수각 함수값, 사분면별 부호 규칙 이해 및 주기함수 정의를 통한 반복성 분석. * 삼각함수 그래프: 사인, 코사인, 탄젠트 함수의 주기, 진폭, 최대/최소, 점근선 등 그래프 특징과 변환 분석. |
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[19강] 삼각함수의 여러가지 공식 (1)
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삼각함수의 대칭성 및 주요 공식 (사인, 코사인 법칙)
• 삼각함수 대칭성 및 기본 공식: 기함수/우함수 정의, 상호 관계 및 피타고라스 항등식을 통한 삼각함수식 간소화. • 사인 법칙: 삼각형의 변, 대각, 외접원 반지름 및 넓이 관계를 이용한 미지 요소 계산. • 코사인 법칙: 삼각형의 세 변과 한 각 사이의 관계를 활용하여 나머지 변 또는 각의 크기 결정. |
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[20강] 삼각함수의 여러가지 공식 (2)
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삼각함수 공식 유도 및 활용
• 삼각함수 덧셈공식: 단위원을 활용하여 유도되는 근본 원리로, 각의 합과 차를 통해 모든 파생 공식의 기반을 제공. • 각 변환 공식: 덧셈공식 및 코사인 배각공식 변형을 통해 여각/보각, 배각, 반각 공식을 유도하여 각도 변환 및 축소에 적용. • 곱셈-덧셈 변환 공식: 덧셈공식의 합과 차를 이용하여 곱을 합·차로, 합·차를 곱으로 상호 변환하여 삼각함수 식 간소화 및 증명에 활용. |
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[21강] 역삼각함수
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역삼각함수 개념
• 역삼각함수 개념: 삼각함수의 역함수를 일대일 대응 구간으로 제한하여 정의하고, 각 함수의 정의역 및 치역을 규정. • 역사인/역코사인/역탄젠트 함수: 각 함수의 고유한 정의역과 치역을 이해하고, 합성함수 성질 및 특수각 계산 원리를 학습. • 값 계산 및 활용: 특수각이 아닌 경우 직각삼각형을 활용하며, 역함수와 역수의 개념적 차이를 명확히 이해. |
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| 10장. 극한-수열과 함수의 극한 | ||
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[22강] 수열의 극한, 함수의 극한
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수열과 함수의 극한: 개념 및 성질
• 수열 및 함수 극한: 정의, 수렴·발산 조건, 대수적 성질 및 무한등비수열의 수렴성 이해 • 수렴성 판단 도구: 압축정리, 단조수렴정리, 우극한·좌극한을 통한 극한 존재 여부 확인 • 부정형 극한 계산: 인수분해, 유리화, 최고차항 비교 전략으로 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty, 0 \times \infty$ 형태 해결 |
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[23강] 지수, 로그, 삼각함수 극한
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지수, 로그, 삼각함수 극한
• 지수·로그함수 극한: 밑(base) 값에 따른 수렴/발산 패턴과 오일러수(e) 및 자연로그(ln x) 정의 및 활용 원리 학습 • 삼각함수 극한 기본 공식: $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$의 샌드위치 정리 증명 및 계수비 활용법 숙지 • 극한 문제 풀이 전략: $1-\cos x$ 변환 및 샌드위치 정리 활용으로 유계 함수 극한값 계산 원리 체득 |
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[24강] 함수의 연속
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함수의 연속성 정의 및 주요 정리
• 함수 연속성 정의: 극한값과 함숫값 일치를 통한 한 점 및 전체 정의역에서의 연속성 개념, 사칙연산과 합성함수의 연속성 유지 조건 규명. • 연속 함수 주요 정리: 폐구간 내 최댓값/최솟값 존재성 보장, 중간값 정리를 활용한 방정식 실근 존재성 판별 원리. |
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| 11장. 미분 | ||
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[25강] 도함수의 정의, 기본적인 미분법
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도함수의 정의와 기본적인 미분법
* 도함수 개념: 평균 변화율의 극한인 순간 변화율을 일반화한 것으로, 곡선 위의 한 점에서의 접선 기울기를 정의. * 미분 가능성: 미분 계수 존재를 조건으로 하며, 미분 가능한 함수는 연속이지만 그 역은 성립하지 않음. * 기본 미분법: 상수, 멱함수, 상수배, 합차, 곱, 몫 함수의 도함수를 효율적으로 계산하는 핵심 절차. |
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[26강] 여러가지 함수의 미분법
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여러 가지 함수의 미분법
* **미분법 핵심 원리**: 합성함수의 연쇄법칙, 음함수, 역함수, 매개변수 함수의 도함수 계산 원리 및 적용 방법 이해. * **고계도함수 개념 및 활용**: 함수를 반복 미분하여 변화율 변화를 분석하는 다계 도함수 정의와 계산 절차 학습. |
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[27강] 지수함수와 로그함수의 도함수, 삼각함수의 도함수, 역삼각함수의 도함수
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지수, 로그, 삼각, 역삼각 함수의 도함수
• 지수·로그 함수 도함수: $e^x$, $a^x$, $\ln x$, $\log_a x$ 등 기본 미분 공식 정의 및 유도 원리 학습 • 삼각함수 도함수: $\sin x$부터 $\csc x$까지 6가지 기본 공식과 $f(x)^{g(x)}$ 형태의 로그 미분법 적용 • 역삼각함수 도함수: $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ 등 기본 공식 유도 및 합성함수·음함수 미분법 활용 |
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[28강] 도함수의 활용 (1)
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도함수의 활용 (1): 곡선, 함수 증감, 극값, 볼록성, 정리
* 도함수 (1계) 활용: 곡선의 접선·법선 정의, 함수의 증감 및 극값 판정 원리 학습. * 이계도함수 활용: 함수의 볼록성·변곡점 판별 및 극값 종류 구별 절차 이해. * 최대·최소의 정리 및 평균값 정리: 폐구간 연속성을 전제로 하는 함수 특성 분석의 핵심 정리. |
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[29강] 도함수의 활용 (2)
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도함수의 활용 (2): 로피탈 법칙
• 로피탈 법칙: $\frac{0}{0}$ 및 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴 부정형 함수 극한의 도함수를 활용한 계산 절차와 적용 조건. • 부정형 변형: $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, 지수 형태 부정형을 로피탈 법칙 적용 가능한 분수 형태로 전환하는 방법론. • 지수형 극한: 자연로그를 이용한 $0^0, \infty^0, 0^\infty, 1^\infty, \infty^\infty$ 등 지수 형태 부정형의 극한값 계산 과정. |
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| 12장. 적분 | ||
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[30강] 부정적분, 치환적분, 부분적분
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미적분학 부정적분, 치환적분, 부분적분
• 부정적분: 미분 역연산으로 원시함수 및 적분 상수 C의 개념 이해, 다항·삼각·지수함수 적분 공식 적용. • 치환 적분법: 합성함수 적분 시 $u=g(x)$ 치환, $du=g'(x)dx$ 활용으로 적분식 단순화 및 해결. • 부분 적분법: 두 함수 곱 적분 ($uv-\int vdu$) 공식, $u/dv$ 설정 기준 및 반복 부분적분 적용. |
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[31강] 삼각치환, 분수함수 적분
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미적분학 삼각치환 및 분수함수 적분
• 삼각치환: 특정 근호식 적분을 삼각함수로 역치환하여 단순화하며, 역함수 존재 조건의 $\theta$ 범위 설정 핵심. • 분수함수 적분: 유리함수를 부분 분수 분해 또는 다항식 나눗셈으로 변형하여 적분 가능한 형태로 변환. • 적분 기법 종합: 삼각치환과 분수함수 적분은 다양한 부정적분을 표준 형태로 단순화하여 계산하는 핵심 기법. |
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[32강] 정적분
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정적분의 정의 및 미적분학 기본정리
* 정적분 기초 개념: 리만합의 극한으로 정의되는 곡선 아래 면적 이해 및 적분 가능 함수, 정적분의 기본 성질 학습. * 미적분학 기본정리: 정적분과 부정적분 간의 핵심 관계를 통해 정적분 계산 원리 및 라이프니츠 공식 적용. * 정적분 계산 기법: 우함수·기함수 활용, 치환적분, 부분적분, 무한급수를 정적분으로 변환하는 심화 계산법 숙달. |
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[33강] 특이적분(이상적분)
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특이적분 개념과 수렴성 판별
* 특이적분 정의: 무한 구간 및 무한 불연속 함수 적분을 극한으로 정의하여 수렴성 판별. * 수렴 조건 분석: 무한구간·무한불연속 유형별 극한 세팅과 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$의 $p$값에 따른 수렴·발산 기준 적용. * 이상적분 비교성질: 두 함수의 크기 비교를 통해 특이적분의 수렴·발산 여부를 판단하는 논리적 판별 원리. |
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[34강] 정적분의 응용 (1)
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정적분의 응용: 넓이 및 부피 계산
• 정적분 활용: 곡선 사이 넓이 (윗 함수-아래 함수) 및 일반 입체 부피 (단면적 $A(x)$ 적분) 계산 원리. • 회전체 부피 (디스크/와셔): x, y축 회전에 따른 원형 단면 적분을 통해 부피를 계산하는 방법. • 회전체 부피 (원기둥 껍질): 축에 평행한 원기둥 껍질의 부피 합산($2\pi \int x f(x) dx$)으로 계산. |
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[35강] 정적분의 응용 (2)
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정적분의 응용 (2) - 곡선의 길이 및 회전체의 겉넓이
• 곡선의 길이 개념: 명시적 함수 $y=f(x)$ 및 매개변수 함수 $x=f(t), y=g(t)$의 길이를 정적분으로 계산하는 원리와 공식 적용. • 회전체의 겉넓이 정의: 곡선 $y=f(x)$를 x축, 곡선 $x=g(y)$를 y축으로 회전시켜 생성되는 겉넓이 계산 원리 및 공식. • 공식 관계 이해: 회전체 겉넓이 공식은 곡선의 길이 요소에 회전 반지름 항($2\pi r$)이 곱해져 적분되는 구조적 특징. |
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| 부록 | ||
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[36강] 정오표
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교재만 있습니다.
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안은주 교수님
대학기초수학
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