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경제경영수학(수리경제학)
김은정 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
경남대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 5개 챕터, 40강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 서론 | ||
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[1강] 오리엔테이션. 수리경제학이란. 경제모형
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경제경영수학 개론: 경제모형 및 기초 수학
• 수리경제학 개론: 경제모형 분석을 위한 기초 수학 개념, 변수·상수·집합·함수 등 핵심 용어 및 실수체계 원리. • 집합과 함수: 객관적 기준의 원소 모임 및 연산 법칙, 정의역-공역 대응 관계와 구성 요소 분류. • 지수법칙 및 응용: 거듭제곱 계산 원리와 연산 규칙, 미분·적분 기반 정태·동태분석 및 최적화 기법 기초. |
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| 2장. 정태분석(균형분석) | ||
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[2강] 경제학에서의 균형분석(정태분석)
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경제학 균형분석: 정태 모형 이해 및 적용
• 경제학 균형분석: 정태분석 기반의 균형 상태 정의 및 목적/비목적 균형 개념 이해 • 시장균형 분석: 부분시장(선형/비선형 수요·공급 함수)의 가격·수량 결정 및 일반시장(다수 상품 초과수요 0 조건)의 연립방정식 해법 적용 • 국민소득 균형: 케인즈 모형의 소비·조세 함수 기반 연립방정식으로 국민소득, 소비, 조세 균형값 결정 |
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[3강] 행렬대수
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행렬대수 기초 개념 및 연산
• 행렬 기초: 정의(크기, 상등), 정방·대칭·전치·정칙 등 주요 행렬 종류 및 벡터 연산 원리 확립 • 행렬 연산: 덧셈, 스칼라곱, 곱셈의 절차, 가능 조건 및 교환·결합·분배 법칙 적용 • 특수 행렬 성질: 전치·역행렬 개념과 항등원, 역원 및 변환 규칙에 대한 이해 |
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[4강] 사다리꼴행렬
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사다리꼴행렬과 연립방정식 해법
• 사다리꼴행렬: 연립방정식 해 분석을 위한 기본행연산 변환 행렬 표준 형태 • 기본행연산: 해집합 유지를 위한 행렬 변형(소거, 교환, 스칼라배) 절차 • 연립방정식 해 판별: 사다리꼴행렬의 pivot 수와 형태 기반 유일해, 무수히 많은 해, 해 없음 결정 |
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[5강] 행렬식, 행렬식의 성질
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행렬식과 행렬식의 성질
• 행렬식 개념: 행렬의 특성을 판별하는 스칼라 값으로, 2·3차 행렬 계산 및 소행렬식·여인수 전개로 $n$차 행렬식 계산 원리. • 행렬식 성질: 전치행렬, 기본행 연산, 삼각행렬 등에 따른 행렬식 변화 및 곱셈, 스칼라배 행렬식 관계 파악. • 역행렬 조건: 행렬식이 0이 아닐 때만 역행렬이 존재하며, 행렬식은 행렬의 중요한 특성을 결정하는 핵심 지표. |
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[6강] 역행렬, 크래머의 법칙
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역행렬과 크래머의 법칙
• 역행렬: 수반행렬과 행렬식을 이용한 정의 및 계산 절차, 연립방정식의 유일한 해($\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$) 도출 방법. • 크래머의 법칙: 행렬식($\mathbf{Det}(\mathbf{A}^{(j)})/\mathbf{Det}(\mathbf{A})$)을 활용하여 각 미지수를 직접 계산, 특정 변수 해 탐색에 효율적인 방법. • 선형방정식 해집합: $\mathbf{Det}(\mathbf{A})$ 값에 따른 유일해, 무수히 많은 해, 해 없음으로 분류하며, 두 해법의 적용 조건과 계산 효율성 비교. |
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[7강] 시장모형과 국민소득모형. 마르코프 연쇄
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시장/국민소득 모형 균형해 및 마르코프 연쇄
• 경제 모형 균형해: 시장 및 국민소득 모형의 연립방정식 균형해를 크래머 법칙으로 신속하게 계산. • 크래머 법칙: 행렬식 기반 연립방정식 해법으로, 복잡한 경제 모형의 미지수 도출에 활용. • 마르코프 연쇄: 전이행렬과 안정상태 확률을 이용해 시스템의 확률적 상태 변화를 분석하고 장기 예측. |
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| 3장. 비교정태분석 | ||
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[8강] 비교정태분석, 극한
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경제경영수학: 비교정태분석과 극한의 이해
• 비교정태분석: 변화 전후의 균형 상태를 비교하는 분석법으로, 변화율 계산을 위한 도함수 개념의 필요성 이해 • 극한 개념: 변수가 특정 값에 접근할 때 함수값의 경향을 정의하며, 좌우 극한 일치로 존재 판별 및 부정형 계산 방법 학습 • 함수의 연속성: 극한값과 함수값이 일치하는 조건으로 정의되며, 다항함수 및 분수함수(분모 0 제외)의 연속성 분석 |
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[9강] 도함수
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도함수와 경제학적 응용
• 미분계수/도함수 개념: 특정 점의 접선 기울기인 미분계수와 이를 일반화한 변화율 함수인 도함수의 정의 및 연산 규칙. • 미분가능성/연속성 관계: 미분가능 시 연속성 성립 조건과 상수, 멱함수, 합차, 곱, 몫 등 도함수 공식의 계산 원리. • 경제학 한계함수 적용: 총수입/총비용 함수 미분으로 한계수입/한계비용 등 경제 지표의 변화율 분석. |
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[10강] 연쇄법칙
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연쇄법칙 및 역함수의 도함수
• 연쇄법칙: 합성함수의 미분 원리로, $F'(x) = f'(g(x))g'(x)$ 또는 $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$를 적용하여 계산. • 역함수의 도함수: 강단조 함수 조건 하에, $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ 공식을 통해 역함수 미분 계산. • 강단조 함수: 역함수 존재 판별 기준으로, 그래프 수평선 테스트 또는 1계 도함수의 부호($f'(x) > 0$ 또는 $f'(x) < 0$)로 확인. |
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[11강] 편도함수
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편도함수 및 야코비 행렬식
* 편도함수: 다변수함수에서 특정 변수에 대해 다른 변수를 상수로 취급하여 미분하는 개념 및 계산 방법 * 야코비 행렬: 여러 다변수함수의 모든 편도함수를 배열하여 구성하는 행렬 * 야코비안: 야코비 행렬의 행렬식으로 다변수함수들의 일차 독립 여부를 판별하는 핵심 기준 |
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[12강] 미분과 점탄력성, 전미분
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미분과 점탄력성 및 전미분
• 점탄력성 정의: 미분을 통한 한 점에서의 수요/공급 변화 민감도 측정 원리 및 탄력성 분류 기준 확립. • 전미분 및 기울기 벡터: 다변수 함수의 미소 변화량 분석 도구인 전미분 개념과 기울기 벡터 내적 관계 정의. • 편탄력성 개념: 다변수 함수 특정 변수에 대한 탄력성 측정 원리 및 경제학적 상호작용 분석 응용. |
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[13강] 음함수의 도함수
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음함수의 도함수와 연립방정식 확장
• 음함수 미분법: $y=f(x)$ 형태 불가 함수의 도함수를 전미분 개념 기반으로 계산하는 원리 및 과정. • 연립방정식 비교정태도함수: 다중 방정식 시스템에서 내생변수의 균형 변화율을 분석하는 개념 및 적용. • 야코비안과 크래머 법칙: 연립방정식의 비교정태도함수 도출을 위한 계수 행렬식 계산 및 해법 절차. |
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| 4장. 최적화문제 | ||
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[14강] 최적화분석
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최적화분석 일변수함수의 극대 극소 및 최대 최소
• 최적화 분석: 일변수 함수의 극대·극소, 최대·최소 산출 및 판별 원리 이해 • 1계도함수 활용: 임계점 산출, 증감표 분석을 통한 극대·극소 판별 및 변곡점 파악 • 2계도함수 활용: 정류점에서의 극대·극소 및 볼록성 판별; 닫힌 구간 최대·최소값 정리 적용 |
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[15강] 테일러급수
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테일러급수 개념 및 활용
• 테일러/매클로린급수: 미분 가능한 함수를 다항식/급수로 근사하는 정의와 초월함수 값 계산, 매클로린급수는 중심 0 특수 정의. • 테일러 $n$차 다항식 및 잉여항: 함수를 근사하는 유한 다항식과 그 근사 오차를 나타내는 개념. • 분수함수 급수 전개: 무한등비급수 등 기지 급수 활용으로 효율적 전개; $n$계도함수 판정법: 정류점에서 극대·극소·변곡점 판별. |
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[16강] 지수함수와 로그함수 (1)
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지수함수와 그 응용
* 지수함수 기본 개념: 지수법칙과 $y=a^x$ 정의, 밑($a>0, a \neq 1$) 조건에 따른 증감 그래프 특성 이해. * 초월수 $e$: 극한 정의 및 자연지수함수 $e^x$의 미분(자기 자신 유지)과 매클로린 급수 전개 분석. * 지수함수 응용: 일반 복리($A(1 + \frac{r}{m})^{mt}$), 연속 복리($Ae^{rt}$) 및 할인($A=Ve^{-rt}$) 공식 유도와 활용. |
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[17강] 지수함수와 로그함수 (2)
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지수함수와 로그함수 (2)
* **로그**: 지수 표현을 위한 기호로, 밑·진수 조건, 상용·자연로그 구분 및 주요 계산 법칙 적용. * **지수/로그 함수 및 방정식**: 지수방정식 해법, 로그함수의 지수함수 역함수 관계 및 그래프 특징 분석. * **도함수 및 로그 미분법**: 지수/로그 함수의 도함수 공식, 합성함수 미분, 복잡한 형태 미분을 위한 로그 미분법 활용. |
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[18강] 지수 및 로그의 도함수 응용
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지수 및 로그의 도함수 응용
* 최적시점 결정: 현재가치 함수 극대화를 위한 도함수 활용 원리 및 할인율과의 관계 분석. * 순간 성장률 정의: 함수 $f(t)$의 $\frac{f'(t)}{f(t)}$로 계산되며, $\ln f(t)$ 도함수와 동일. * 복합 함수 성장률: 곱셈, 나눗셈, 덧셈, 뺄셈 등 복합 함수의 성장률 계산 공식 및 경제적 응용. |
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[19강] 다변수함수의 극대와 극소
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다변수함수의 극대 및 극소 판정법
• 다변수함수 극대·극소 판정: 1변수함수 극값 원리 확장 및 2변수함수 2계 편도함수 개념 정의 • 2변수함수 극값 판정법: 임계점에서 2계 편도함수 판별식 Q를 활용한 극대·극소·안장점 분석 절차 • 전미분 및 2계 전미분: 1계 및 2계 편도함수를 이용한 함수의 미세 변화 표현 정의 |
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[20강] 2차형식
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2차 형식과 극값 판정
* **2차 형식 정의**: 다변수 2차 항으로 구성된 식의 양정부호, 음정부호 등 정부호성 개념 및 특성 이해. * **정부호성 판정**: 대칭행렬의 주소행렬식 부호 패턴 또는 특성근 부호를 이용한 n변수 2차 형식 판정 절차. * **극값 판정 적용**: 다변수 함수의 2차 전미분 형태에 2차 형식을 활용하여 극대·극소 판정 원리 학습. |
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[21강] 3변수함수의 극대, 극소
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3변수함수의 극대, 극소 판정 (헤시안 행렬)
• 다변수함수 극대/극소 판정: 정류점에서 헤시안 행렬을 구성하고, 주소 행렬식 부호 패턴으로 극소(양정부호) 또는 극대(음정부호)를 판정. • 헤시안 주소 행렬식: 2변수함수 $D_1, D_2$ 및 3변수함수 $\vert H_1 \vert, \vert H_2 \vert, \vert H_3 \vert$ 부호 패턴으로 양정부호(극소) 또는 음정부호(극대) 조건을 규명. • 경제학 응용: 이윤 함수 설정 및 다변수함수 극값 판정을 통해 완전경쟁·독점 시장의 이윤 극대화와 같은 최적화 문제 해결. |
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[22강] 등식제약하의 최적화
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등식제약하 최적화 라그랑지 승수법 및 유태헤시안 판정
* **라그랑지 승수법**: 등식 제약 조건 하 최적화 문제를 라그랑지 함수로 변환하여 정류점을 탐색하는 기법. * **유태 판별식 및 유태헤시안 행렬**: 제약 조건 하 극값의 종류를 판별하며, 일반 정부호성 기준과 반대되는 부호 판정 규칙을 적용. * **유태헤시안 확장**: $n$변수 및 다중 제약 조건에서 주소행렬식의 부호 규칙을 통해 극대·극소 판별 절차를 수행. |
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[23강] 비선형계획법 : 쿤-터커 조건
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비선형계획법 쿤-터커 조건
• 비선형계획법 쿤-터커 조건: 비선형 목적함수 및 부등식 제약 최적화 문제의 1계 필요 조건으로, 해 탐색에 활용. • 쿤-터커 조건 도출: 선택변수 비음 제약과 부등식 제약을 슬랙 변수를 통해 라그랑지 함수로 통합하여 상보여유 조건 구성. • 라그랑지 승수 의미: 자원의 잠재가격과 생산물 한계이윤 관계를 규명, 경제적 최적 의사결정 기반 제공. |
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| 5장. 동태분석 | ||
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[24강] 적분법-부정적분
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부정적분 개념 및 공식 활용
* 부정적분 개념: 미분의 역연산이자 동태분석의 연속 시간 변수 분석 도구. * 적분 공식 활용: 다항, 로그, 지수함수 기본 적분 및 적분 성질 적용 방법. * 적분 기법 숙달: 합성함수 치환적분법, 두 함수 곱 형태 부분적분법 원리 및 함수 선택 전략. |
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[25강] 적분법-정적분
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정적분 정의 및 주요 성질, 특이적분
• 정적분 정의: 리만합의 극한을 통해 곡선 아래 영역의 넓이를 계산하는 기본 원리. • 정적분 성질: 적분 구간 변경, 분할, 상수배 및 합차에 대한 규칙과 미적분학 기본 정리로 부정적분을 활용한 계산. • 특이적분: 적분 구간에 무한대 또는 불연속점이 있는 경우, 극한을 이용하여 정의하고 수렴 및 발산 여부를 판정. |
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[26강] 도마의 성장모형
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경제경영수학에서의 적분 활용 및 도마의 성장모형
• 경제경영수학 적분 활용: 한계 개념에서 총비용·총저축 함수 도출, 순투자-자본저량 관계 및 연속 소득의 현재 가치 계산 원리. • 도마의 성장모형: 투자의 수요 및 산출능력 이중 효과를 통한 동태적 균형 분석 원리. • 균형 투자 경로: 미분방정식으로 투자의 지수적 성장 패턴을 유도하고 경제적 함의를 분석. |
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[27강] 미분방정식
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미분방정식 개념 및 유형
* 미분방정식 정의 및 분류: 도함수를 포함하는 방정식으로, 독립변수 수에 따른 상미분방정식과 편미분방정식 유형, 계수, 선형성 기준으로 분류. * 미분방정식 해의 유형: 방정식을 만족하는 함수로, 양함수해, 음함수해, 일반해, 특수해, 특이해의 개념 및 특성 이해. * 초기값문제: 미분방정식과 초기조건을 활용하여 일반해에서 특정 특수해를 결정하는 방법. |
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[28강] 선형미분방정식
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변수분리형 및 선형 미분방정식 풀이법
* **변수분리형 미분방정식**: 종속/독립 변수를 분리하여 각 변수별 적분을 통해 일반해를 도출하는 절차. * **선형 미분방정식 해법**: 표준형 변환 후 적분인자 $\mu(t) = e^{\int P(t)dt}$를 계산 및 적용하여 체계적으로 해를 구함. * **미분방정식 해**: 초기 조건으로 일반해의 적분상수를 결정하고, 제차/비제차 방정식 해의 구조를 분석. |
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[29강] 완전미분방정식
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완전미분방정식 정의, 판별 및 해법
• 완전미분방정식 정의: 이변수 함수의 전미분 형태로 표현되며, 교차 편도함수의 일치($\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial t}$)를 판정기준으로 함. • 완전미분방정식 해법: 원시함수 $f(t,y)$를 구하고 $f(t,y)=C$ 형태로 최종 해를 도출하는 절차를 따름. • 불완전미분방정식 해결: 적분인자($\mu(t)$ 또는 $\nu(y)$)를 이용하여 완전미분방정식으로 변환 후 기존 해법을 적용. |
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[30강] 대입법
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대입법을 활용한 미분방정식 풀이
* 대입법 개요: 미분방정식을 치환을 통해 변수분리형 또는 선형 방정식으로 변형하여 해를 도출하는 원리. * 동차미분방정식 해법: $M(t,y)$와 $N(t,y)$가 동차함수일 때 $y=ut$ 치환으로 변수분리형으로 변환 및 적분. * 베르누이 방정식 해법: $\frac{dy}{dt} + P(t)y = f(t)y^n$ 형태에서 $u=y^{1-n}$ 치환으로 1계 선형 미분방정식으로 변환 및 적분인자 활용. |
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[31강] 2계 선형미분방정식-제차
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2계 선형 제차 미분방정식 해법
* 2계 선형 제차 미분방정식 해법: 특성방정식을 통한 상수계수 미분방정식의 일반해 도출. * 특성근 유형별 일반해: 서로 다른 실근, 중근, 켤레복소수근에 따른 해의 표준 형태 정의. * 오일러 공식 및 확장: 켤레복소수근 해의 삼각함수 표현 원리 및 고계 미분방정식 적용. |
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[32강] 2계 선형미분방정식-비제차 (1)
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2계 선형 비제차 미분방정식 해법: 미정계수법 (1)
• 비제차 2계 선형 미분방정식 일반해: 여함수($y_c$)와 특수해($y_p$)의 합으로 구성. • 미정계수법: $f(t)$ 형태(다항식, 삼각함수, 지수함수 등)에 따른 특수해($y_p$) 가정 및 미정계수 결정 절차. • 특수해 중복 처리: $y_p$ 형태가 $y_c$와 중복 시 $t$ 또는 $t^2$를 곱하여 특수해 형태 변형. |
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[33강] 2계 선형미분방정식-비제차 (2)
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2계 선형 비제차 미분방정식 해법
* 2계 선형 비제차 미분방정식: 매개변수변화법과 미정계수법으로 특수해를 구하고, 제차해와의 합으로 일반해를 구성. * 매개변수변화법 핵심: Wronskian 기반 $u_1', u_2'$ 공식 유도 및 표준형 $f(t)$ 적용 절차 이해. * 미분방정식 응용 및 분석: 시장 모형과 고계 방정식 해결, 해의 시간 경과 분석으로 장기적 안정성 예측. |
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[34강] 차분방정식
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차분방정식의 개념, 풀이 및 동태적 안정성
• 차분방정식 정의: 이산적 시간 시스템의 동태적 변화 분석 도구로, 1, 2계 차분 개념과 시차 반응 모형 적용 원리 요약. • 1계 차분방정식 해법: 반복법과 보조함수, 특수해 도출을 포함하는 일반 해법의 체계적인 풀이 절차. • 균형 동태적 안정성 분석: 보조함수 계수 $|b|<1$ 조건에 따른 수렴, 발산 판단 및 거미집 모형에서의 시차 균형 안정성 원리. |
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[35강] 고계 차분방정식-제차
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고계 제차 차분방정식 해법
* 상수계수 2계 제차 차분방정식: 특성방정식의 근 종류에 따른 일반해 도출 원리 학습 * 실근 해법: 서로 다른 두 실근 및 중근에 대한 지수함수 형태 일반해 구성 * 복소근 해법: 드모르간 법칙을 이용한 복소근의 삼각함수 형태 일반해 변환 및 적용 |
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[36강] 고계 차분방정식-비제차
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고계 비제차 차분방정식 특수해 구하는 법
* 비제차 차분방정식 해법: 완전해 `y=yc+yp` 구성 원리, 제차해(`yc`)와 우변 `f(t)` 형태에 따른 특수해(`yp`) 설정 과정. * 특수해(`yp`) 결정: 우변 `f(t)`(상수, 지수, 다항식) 형태별 초기 설정 및 `yc`와의 중복 시 `t`를 곱하여 조정하는 미정계수법 적용. * 고계 차분방정식 적용: 고차 특성방정식 근 도출 및 `yc`, `yp` 결합을 통한 일반해 `y=yc+yp` 완성 절차. |
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[37강] 기본개념
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연립미분방정식 기본 개념
* 연립미분방정식 기본 개념: 여러 미분방정식 시스템을 행렬 형태로 표현하고 제차/비제차 유형으로 분류. * 해벡터와 일차독립: 연립미분방정식을 만족하는 해벡터 개념과 론스키안을 이용한 일차독립 판별 및 기본해집합 구성 원리. * 일반해 구조: 제차 연립방정식은 기본해집합의 선형결합, 비제차 연립방정식은 제차해와 특수해의 합으로 구성. |
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[38강] 제차연립미분방정식
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제차연립미분방정식 해법: 고유값과 고유벡터 활용
• 제차연립미분방정식 해법 기초: 행렬의 고유값($\lambda$)과 고유벡터($\vec{v}$) 정의 및 동치조건 이해 • 고유값 및 고유벡터 계산 절차: 고유방정식 $\mathrm{Det}(A - \lambda I) = 0$으로 고유값을, $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$으로 고유벡터를 도출 • 일반해 구성 원리: 서로 다른 고유값은 지수함수 선형결합으로, 중복 고유값은 $t$ 항 및 일반화된 고유벡터를 활용하여 해를 유도 |
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[39강] 연립동태방정식
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연립동태방정식 해법: 미분 및 차분 방정식
* 연립동태방정식 해법: 단일 고계 방정식을 행렬 형태의 연립방정식으로 변환 후, 제차해와 특수해의 합으로 일반해 도출. * 연립미분방정식 해법: 행렬 고유값·고유벡터 기반의 제차해($e^{\lambda t}$)와 상수 가정 특수해로 구성. * 연립차분방정식 해법: 행렬 고유값·고유벡터 기반의 제차해($\lambda^t$)와 상수 또는 1차식 가정 특수해로 구성. |
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[40강] 최적화문제
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최적제어이론을 활용한 최적화 문제 풀이
* **최적제어이론**: 동태적 최적화 문제 해결을 위해 해밀턴 함수 구성, 극대원리 및 상태/공상태 방정식을 적용하여 최적 경로를 도출하는 이론. * **해밀턴 함수**: 목적식과 제약식 기반으로 제어·상태·시간 함수인 공상태 변수를 포함하여 정의되는 최적화 분석 도구. * **횡단조건**: 말기상태변수 무제약 시 $\lambda(T)=0$, 말기시간 무제약 시 $H(T)=0$을 적용하여 최적해를 확정하는 말기조건 처리 방식. |
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김은정 교수님
경제경영수학(수리경제학)
