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현대대수학Ⅰ
김은정 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
경남대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 1개 챕터, 19강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 군론 | ||
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[1강] 정수론 (1)
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현대대수학 정수론 기초 개념
• 정수론 기초 개념: 정렬성 원리, 약수·배수·소수 정의 및 나눗셈정리 존재성·유일성 증명을 통한 정수 구조의 기본 원리 확립 • 최대공약수(GCD) 정의: 베주 항등식을 통한 일차결합 표현 원리 및 유클리드 호제법으로 GCD 계산 절차와 표현 방식 학습 • 산술의 기본 정리: 소수의 핵심 성질과 소인수분해 유일성 증명을 통해 1보다 큰 자연수의 근본적인 구조 분석 |
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[2강] 정수론 (2)
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정수론의 합동, 동치 관계 및 모듈로 연산
• 합동: $a \equiv b \pmod n$ 정의, 성질 및 합동 방정식의 해법 분석 • 동치 관계 및 합동류: 반사적, 대칭적, 추이적 성질로 합동의 동치 관계 정의 및 정수 분할 • 합동류 집합 $\mathbb{Z}_n$: 덧셈·곱셈 연산 정의와 닫힘, 항등원, 역원, 분배법칙 등 대수적 구조 |
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[3강] 군의 정의와 예제
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현대대수학 개념완성: 군의 정의와 예제
* 군 정의: 이항연산이 결합법칙, 항등원, 역원 조건을 만족하는 대수적 구조의 핵심 원리 파악. * 군의 위수 및 아벨군/비가환군: 분류 기준과 정수, 행렬, 치환군, 정이면체군 등 핵심 군 구조 이해. * 군의 성질: 항등원·역원의 유일성, 소거법칙, 반군이 군이 될 필요충분조건 등 근본적인 정리 분석. |
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[4강] 부분군
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부분군 개념 및 판정법
* 부분군 정의 및 판정법: 군의 부분집합이 스스로 군을 이루는 개념과 1단계, 2단계, 유한 부분집합 판정법으로 부분군 여부 판단. * 중심화 부분군 및 중심: 특정 원소 또는 모든 원소와 교환 가능한 원소들의 집합으로, 군의 가환성 구조를 분석. * 생성 부분군 및 집합 연산: 주어진 원소로부터 가장 작은 부분군을 생성하는 원리 및 부분군들의 교집합/합집합 성질. |
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[5강] 순환군
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현대대수학 순환군 개념완성
* **순환군 기본 개념**: 특정 원소로 생성되는 군의 정의, 오일러 $\phi$-함수를 활용한 생성원 개수 산정 원리 및 유한 군 판정 조건 이해. * **원소의 위수**: 군 원소의 위수 정의, 위수와 생성 부분군의 관계 및 $\text{U}(n)$군 특징을 통한 순환군 생성원 도출. * **순환군 부분군 구조**: 모든 부분군이 순환군임을 증명하고, 위수가 특정 약수인 부분군의 유일성 및 해당 위수 원소 개수 산출. |
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[6강] 치환군
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치환군 개념 및 대칭군, 순환치환, 교대군 이해
• 치환군 및 대칭군: 집합의 일대일 대응 함수 집합인 치환군과 유한 집합에 대한 대칭군 $S_n$을 정의하고, 순환치환 및 호환으로 그 구조를 구성. • 치환의 위수와 서로소 순환치환: 임의 치환을 서로소 순환치환의 곱으로 분해하며 위수는 각 순환치환 길이의 최소공배수로 계산. • 우치환, 기치환 및 교대군: 호환 곱의 개수로 우치환과 기치환을 분류하며, 우치환 집합은 대칭군 $S_n$의 부분군인 교대군 $A_n$을 형성. |
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[7강] 잉여류와 라그랑지 정리 (1)
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현대대수학: 잉여류의 정의, 성질 및 라그랑지 정리
* 합동 및 잉여류 개념: 군 G와 부분군 H에서 합동 정의, 잉여류의 동치관계 및 구조 이해 * 부분군 지수 및 라그랑지 정리: 잉여류 개수 기반 지수 정의, 유한군에서 부분군 위수가 군 위수를 나눈다는 핵심 정리 학습 * 부분군의 곱: 두 부분군 곱집합 HK 정의 및 HK가 부분군이 될 필요충분조건(HK=KH) 분석 |
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[8강] 잉여류와 라그랑지 정리 (2)
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군-08강. 잉여류와 라그랑지 정리(2)
• 라그랑지 정리: 유한군의 위수와 부분군 위수 관계를 정의, 유한 부분군 연산 및 군 구조 분석의 핵심 원리 제시. • 오일러 정리 및 페르마 소정리: 라그랑지 정리 응용을 통해 정수론적 합동 관계 및 소수 성질을 규명. • 궤도-안정화 부분군 정리: 치환군 내 안정화 부분군 및 궤도 개념을 정의하고, 군의 위수를 궤도 크기와 안정화 부분군 크기의 곱으로 분석. |
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[9강] 준동형사상 (1)
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준동형사상 개념 및 케일리 정리
• 준동형사상 정의: 두 군 간 대수 구조 보존 함수; 단사, 전사, 동형, 자기준동형/동형사상으로 유형 분류. • 케일리 정리: 모든 군이 치환군의 부분군과 동형임을 규명, 유한 위수 군의 대칭군 부분군 포함 관계 정의. • 준동형사상 기본 성질: 항등원, 역원, 거듭제곱 관계를 보존하는 원리 제시. |
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[10강] 준동형사상 (2)
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군 준동형사상의 성질 및 응용
• 군 준동형사상: 핵, 상, 역상 정의 및 부분군/정규부분군 관계, 단사성 판별 조건 이해 • 동형사상: 두 군의 대수적 구조적 동치성, 위수 보존 및 순환군의 준동형상 성질 분석 • $\mathbb{Z}_n$의 자기동형군: $U(n)$과의 동형성($\text{Aut}(\mathbb{Z}_n) \cong U(n)$) 증명을 통한 군 구조 분류 |
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[11강] 정규부분군과 인자군 (1)
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정규부분군과 인자군의 개념 및 성질
* 정규부분군 정의: 좌잉여류와 우잉여류 일치 ($gN=Ng$) 및 $gNg^{-1} \subset N$ 조건, 지수 2 부분군 또는 가환군의 모든 부분군에 적용되는 판별 원리. * 인자군 구조: 정규부분군 $N$을 이용해 잉여류 집합 $G/N$에 연산 $NaNb=Nab$를 정의하여 형성되는 군의 구조와 성질 이해. * 정사영 관계: 군 $G$에서 인자군 $G/N$으로의 전사 준동형 사상 $\pi(g)=Ng$를 통한 본질적 연결성 및 그 핵이 $N$인 중요 성질 분석. |
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[12강] 정규부분군과 인자군 (2)
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정규부분군과 인자군의 심화 정리
• 유한군 인자군 위수: $|G/N| = |G|/|N|$로 계산하며, 우잉여류 위수는 집합 및 원소의 개념으로 구분. • Lagrange 정리의 역 불성립: 교대군 $A_4$는 위수 6 부분군이 없어, 정리의 역에 대한 대표적 반례. • 중심 인자군 및 코시 정리: $G/Z(G)$ 순환군은 $G$ 가환군 조건이며 $Inn(G)$와 동형이고, 코시의 정리는 소수 위수 원소의 존재성 보장. |
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[13강] 동형정리
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군의 동형사상정리
• 제1동형정리: 준동형사상의 핵(Kernel)을 통해 군의 인자군과 치역 간의 동형 관계를 정의하고 분석. • 제2동형정리: 두 부분군 $K, N$의 교집합과 $NK$를 활용하여 $K/(K \cap N) \cong NK/N$ 관계를 확립하고, 정규화/중심화부분군으로 군 구조를 심층 분석. • 제3동형정리: 인자군의 인자군 구조를 $(G/K)/(N/K) \cong G/N$ 형태로 단순화하고, 대응 정리를 통해 군과 인자군 간의 부분군 계층 관계를 명확히 함. |
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[14강] 직적 (1)
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군의 직적 (External Direct Product)
• 군의 직적(Direct Product): 여러 군을 순서쌍으로 결합, 성분별 연산으로 정의되는 새로운 군 형성 원리. • 직적 원소의 위수: 각 성분 원소 위수의 최소공배수로 계산되어, 군 원소의 대수적 특성 분석. • 직적군의 순환성 및 U(n) 분해: 위수들의 서로소 조건을 통한 순환군 판별 및 U(n)의 구조적 특성 이해. |
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[15강] 직적 (2)
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현대대수학: 직적(2)
* U-군 직적 표현: 원소의 위수 및 개수 계산과 모듈러 연산에 적용되는 군 구조 분석 방법론. * 외적직적 및 내적직적: 정규부분군 조건 하에 원소의 유일한 표현 및 교환법칙을 갖는 군의 직적 구조 정의. * 직적 동형 정리: 정규부분군 조건이 충족될 때 내적직적과 외적직적 간의 동형 관계가 성립하는 핵심 원리. |
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[16강] 코시의 정리
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코시의 정리
• **코시의 정리:** 유한군 $G$에서 소수 $p$가 위수 $|G|$를 나누면 위수가 $p$인 원소가 반드시 존재함을 증명, 라그랑지 정리의 역관계 제시. • **부분군 및 원소 분석:** 치환의 궤도 위수 개념을 활용한 코시 정리 증명, 위수 $pq$인 군의 정규부분군 조건과 서로소 위수를 갖는 교환 가능한 원소의 위수 판별. • **순환군 조건:** 위수 $pq$인 군 ($p,q$ 소수, $p>q$)이 $q \nmid p-1$ 조건 만족 시 순환군이 됨을 입증하여 군의 구조적 특성 규명. |
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[17강] 유한아벨군
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유한 아벨군의 기본 정리와 구조
• **유한 아벨군** 기본 정리: **순환군**의 **직적**으로 유일하게 분해되는 **구조**와 **표준 형태** 분석 • **정수의 분할**: **동형류** 개수 결정 및 **원소의 위수**, **elementary divisor**를 활용한 **직적 분해** 절차 학습 • **라그랑주 정리의 역**: **유한 아벨군**에서 위수의 약수에 해당하는 **부분군**의 존재성 확인 |
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[18강] 켤레류와 실로우정리 (1)
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켤레류와 실로우정리 (1)
• 켤레류 및 중심화부분군: 군 원소의 켤레 관계와 가환 부분군 개념을 정의하고 군 구조를 분석 • 류등식: 유한군의 위수를 서로 다른 켤레류 크기 또는 중심화부분군 지수의 합으로 표현하는 핵심 정리 • p-군 특성: 류등식으로 p-군의 비자명한 중심 존재성을 증명하며, 위수 $p^2$인 군의 가환성 도출 |
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[19강] 켤레류와 실로우정리 (2)
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현대대수학: 실로우 정리
• P-군 정의 및 성질: 군의 위수 $p^n$ 판별과 정규부분군 존재성 이해 • 실로우 정리 (제1, 2, 3): P-부분군 존재성, 켤레 관계, 개수 계산을 통한 유한군 구조 분석 • 실로우 P-부분군 활용: 최대 P-부분군 정의 및 단순군 여부 판별에의 응용 |
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김은정 교수님
현대대수학Ⅰ
