홈 > 강의소개
선형대수학
김은정 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
경남대학교
현) 유니와이즈 전임교수
AI가 이끄는 스마트한 학습 경험, AI 튜터와 함께 더 빠르고, 더 깊게 학습하세요.
긴 강의 내용을 AI가 핵심만 요약하여 복습 시간을 단축시킵니다.
강의에서 가장 중요한 키워드와 개념을 자동으로 추출해 제공합니다.
학습한 내용을 바탕으로 AI가 생성한 퀴즈를 풀며 이해도를 점검합니다.
모르는 부분을 24시간 언제든 AI 튜터에게 질문하고 답변을 받습니다.
총 10개 챕터, 32강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
|---|---|---|
| 1장. 연립방정식 | ||
|
[1강] 연립방정식과 Gauss소거법
|
1:
16:
41
|
|
|
연립방정식과 Gauss 소거법• 선형 연립방정식: 해 종류 분류, 행렬방정식 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ 표현, 확대계수행렬로 시스템 구조화• Gauss 소거법: 기본행연산으로 행렬을 사다리꼴 행렬(REF)로 변환, pivot 정의와 역대입법으로 해 도출• 기약사다리꼴 행렬(RREF): Gauss-Jordan 소거법으로 해 직접 도출, 제차 연립방정식의 비자명해 조건과 자유변수 역할 규명
|
||
|
[2강] 벡터. 행렬방정식과 벡터방정식
|
0:
49:
38
|
|
|
선형대수학: 행렬방정식과 벡터방정식* $\mathbb{R}^n$ 벡터: 기본 개념, 덧셈/스칼라곱 연산 및 8가지 성질로 벡터 공간의 기초를 이해합니다.* 일차결합 & 생성(Span): 벡터의 선형 조합 표현과 이를 통한 기하학적 공간(직선, 평면) 형성 원리를 학습합니다.* 행렬/벡터방정식: 연립방정식과의 관계를 파악하고, 확대계수행렬을 이용한 해 존재 조건 및 분석 방법을 다룹니다.
|
||
|
[3강] 일차독립. 선형변환
|
0:
53:
28
|
|
|
일차독립 및 선형변환의 이해* **일차독립/일차종속 개념**: 벡터방정식 해의 유일성 및 벡터 집합의 선형적 관계 분석.* **선형변환 정의**: 덧셈과 스칼라 곱에 대한 선형성을 만족하는 벡터 공간 함수.* **행렬변환 특성**: $T(v)=Av$ 형태의 변환과 선형변환의 포함 관계 및 성질 학습.
|
||
| 2장. 행렬대수 | ||
|
[4강] 행렬연산
|
0:
56:
44
|
|
|
행렬 연산과 여러 가지 행렬 소개* 행렬 개념 및 기본 연산: 수의 직사각형 배열인 행렬의 정의, 크기, 덧셈, 스칼라배, 곱셈 등 핵심 연산 조건, 성질 및 단위행렬 역할 이해.* 행렬의 전치: 행과 열을 교환하는 연산으로, 대칭행렬($A=A^T$) 및 반대칭행렬($A=-A^T$)의 정의, 성질, 그리고 일반 행렬의 대칭/반대칭 합으로의 분해 원리 파악.* 특수 행렬 구조: 삼각행렬(상삼각, 하삼각)과 대각행렬(주대각성분 외 0)의 형태적 특징과 분류 기준을 학습하여 행렬 유형별 특성을 이해.
|
||
| 3장. 행렬식 | ||
|
[5강] 역행렬
|
0:
49:
11
|
|
|
역행렬 및 가역행렬의 성질과 계산• 가역행렬 및 역행렬 개념: 정사각행렬 가역성 정의와 2차 역행렬 공식, 연산 성질 학습• 기본행렬과 역행렬 계산: 기본행연산 통한 기본행렬 이해 및 첨가행렬 활용 역행렬 계산 절차• 가역행렬 동치 조건: 피벗, 자명해, 일차독립성 등 가역행렬의 핵심 특성 및 상호 관계 분석
|
||
|
[6강] LU분해
|
0:
55:
21
|
|
|
선형대수학 6강 LU분해* LU분해: 행렬 $A$를 주대각성분 1인 하삼각행렬 $L$과 사다리꼴행렬 $U$의 곱 $A=LU$로 분해하며, 소거 연산 기반으로 구성.* LU분해 선형방정식 해법: $AX=B$를 $LY=B$ (순방향 대입)와 $UX=Y$ (역대입법)로 나누어 효율적으로 해를 구하는 절차.* 치환행렬 PA=LU 분해: 행 교환이 필요한 경우 치환행렬 $P$를 도입, $PA=LU$ 형태로 분해하여 LU분해 적용 범위를 확장.
|
||
|
[7강] 행렬식. 행렬식의 성질
|
0:
55:
10
|
|
|
선형대수학: 행렬식 및 행렬식의 성질• 행렬식 정의: 정사각행렬의 역행렬 존재를 판별하는 스칼라 값으로, Sarrus/여인수 전개 등 계산 절차 이해.• 행렬식 성질: 삼각행렬은 주대각선 원소 곱, 기본행연산(소거/교환/스칼라배)에 따른 행렬식 변화 원리 분석.• 행렬식 특징: $det(A) \neq 0$이 가역행렬 조건이며, 전치행렬/곱셈 행렬식 관계, 특정 경우(한 행/열 0, 두 행/열 일치) 0이 되는 조건 학습.
|
||
|
[8강] 역행렬과 크래머법칙
|
0:
40:
02
|
|
|
역행렬과 크래머 법칙을 이용한 연립방정식 해법* 역행렬: 수반행렬을 활용한 $A^{-1} = \frac{1}{Det(A)}Adj(A)$ 공식으로 선형 연립방정식 해를 정의하고 계산.* 크래머의 법칙: $x_j = \frac{Det(A_j)}{Det(A)}$ 공식을 통해 가역행렬 연립방정식의 특정 변수 해를 효율적으로 계산.* 선형 연립방정식 해법: 역행렬 및 크래머 법칙 모두 행렬식($Det(A) \neq 0$) 조건에서 적용되며, 고차 행렬 문제에 크래머 법칙이 더 효율적.
|
||
| 4장. 벡터공간 | ||
|
[9강] 유클리드 n-공간. 벡터공간
|
0:
58:
05
|
|
|
유클리드 $n$-공간 및 벡터공간• 유클리드 $n$-공간 벡터: 상등, 덧셈, 스칼라곱, 닷곱, 크기, 직교 개념 및 연산의 기본 성질 학습• 벡터공간 정의: 덧셈과 스칼라곱에 대한 10가지 공리 기반으로 벡터공간의 추상적 구조 및 특성 이해• 다양한 벡터공간: $\mathbb{R}^n$, 다항식, 행렬, 함수 등 여러 수학적 대상이 벡터공간을 이루는 사례 탐구
|
||
|
[10강] 부분공간. 일차독립
|
1:
09:
26
|
|
|
선형대수학 부분공간과 일차독립의 개념 및 판별* 부분공간 개념: 벡터공간의 0벡터 포함, 덧셈 및 스칼라곱에 닫힌 부분집합 정의 및 생성 집합의 부분공간 특성.* 일차독립/종속 정의: 벡터방정식의 유일한 자명해 여부로 구분되는 벡터 집합의 독립성 및 동치조건.* 일차독립 판별: 벡터/다항식의 피봇 개수 확인 및 함수 론스키안 행렬식 값을 이용한 실질적 판별 절차.
|
||
|
[11강] 기저와 차원
|
1:
04:
22
|
|
|
선형대수학 기저와 차원• 기저: 벡터 공간을 생성하는 최소한의 일차 독립 벡터 집합의 정의 및 특성.• 차원: 기저를 구성하는 벡터의 개수로 벡터 공간의 고유한 크기를 정의.• 표준기저 및 유한 차원 기저 판별: 특정 벡터 공간의 표준기저 이해 및 차원과 벡터 개수를 활용한 기저 판별 원리.
|
||
|
[12강] 행공간. 열공간. 영공간과 계수
|
0:
44:
30
|
|
|
행공간, 열공간, 영공간 및 계수• 행공간, 열공간, 영공간 정의: 행렬 $A$의 행벡터·열벡터·제차방정식 해집합으로 형성되는 주요 부분공간 개념 이해.• 부분공간 기저 도출: 행공간은 사다리꼴 피봇 행, 열공간은 원본 행렬 피봇 열, 영공간은 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 해로 각 공간의 기저를 결정.• 계수와 계수정리: 행렬의 계수는 열공간 차원이자 피봇 개수이며, 계수정리는 계수와 영공간 차원의 합이 열 개수임을 명시.
|
||
|
[13강] 좌표벡터와 기저변환
|
1:
08:
47
|
|
|
선형대수학: 좌표벡터와 기저변환* 좌표벡터: 특정 기저에 대한 벡터의 유일한 열벡터 표현으로, 선형 독립성 판단 및 추상적 벡터 분석에 활용.* 변이행렬: 표준기저와 일반기저 간 벡터 표현 변환에 사용되는 역행렬 개념 및 역할.* 기저변환 행렬: 두 일반기저 사이의 벡터 표현 변환 행렬 계산 절차와 확대행렬 활용.
|
||
|
[14강] 크로스곱
|
0:
58:
31
|
|
|
벡터의 크로스곱 (외적)의 개념 및 활용• 크로스곱 (외적) 개념: $\mathbb{R}^3$ 벡터 연산으로, 두 벡터에 수직인 벡터를 생성하며 그 크기는 평행사변형의 넓이와 일치.• 스칼라 삼중곱 및 주요 성질: 세 벡터가 이루는 평행육면체 부피 계산에 활용되며, 크로스곱은 반교환법칙 등 핵심 성질을 가짐.• 벡터 관계 분석: 크로스곱 결과가 영벡터일 때 벡터의 평행성, 스칼라 삼중곱 결과가 0일 때 벡터의 공면성을 판단하는 원리.
|
||
| 5장. 선형변환 | ||
|
[15강] 선형변환
|
1:
05:
15
|
|
|
선형변환의 정의, 성질, 핵과 치역• 선형변환 개념: 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈의 선형성 조건을 만족하는 함수로, 영벡터 사상 등 핵심 성질과 기저에 의한 결정 원리를 포함.• 핵(Kernel): 선형변환에 의해 정의역에서 공역의 영벡터로 사상되는 모든 벡터의 집합으로, 정의역 $V$의 부분공간을 이룸.• 치역(Range): 선형변환에 의해 생성되는 공역 내 모든 이미지 벡터들의 집합으로, 공역 $W$의 부분공간을 형성.
|
||
|
[16강] 선형변환의 행렬표현
|
0:
48:
49
|
|
|
선형변환의 표현행렬, 전사 및 단사 조건• 선형변환의 표현행렬: 유한차원 벡터공간의 선형변환을 표준 및 일반 기저를 통해 행렬로 표현하는 원리 학습• 전사 및 단사 개념: 선형변환의 치역과 공역 관계를 정의하고, 핵(Kernel)으로 단사성을 판별하는 원리 분석• 선형변환 동치 조건: 정의역과 공역이 같은 유한차원 벡터공간에서 전사, 단사, 핵의 영벡터 공간 조건의 동치성 활용
|
||
| 6장. 고유값과 고유벡터 | ||
|
[17강] 고유값과 고유벡터
|
1:
08:
34
|
|
|
선형대수학: 고유값과 고유벡터 개념 및 계산• 고유값/고유벡터 정의: 선형변환에서 방향 유지 벡터 특성 이해 및 고유방정식을 통해 고유값/고유벡터 계산 절차 숙달• 고유공간 형성: 특정 고유값에 대응하는 고유벡터로 생성되는 공간 분석, 2차/삼각행렬의 고유값 산출 특성 이해• 고유벡터 일차독립성: 서로 다른 고유값에 대한 고유벡터의 일차독립성 정리 이해, 중근 고유값의 고유공간 구조 분석
|
||
|
[18강] 대각화
|
0:
48:
59
|
|
|
대각화 정의 및 가능 조건• 대각화 정의: 행렬 A를 가역행렬 P와 대각행렬 D를 활용, $A=PDP^{-1}$ 형태로 변환하여 행렬의 거듭제곱 계산을 간소화.• 대각화 가능 조건: n개의 일차독립인 고유벡터 존재가 필요충분조건이며, 서로 다른 n개의 고유값이거나 중근 고유값의 충분한 일차독립 고유벡터 수 확인이 핵심.• 대각화 절차: $det(A-\lambda I)=0$으로 고유값 $\lambda$ 계산, $(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$으로 고유벡터 $\mathbf{v}$ 계산 후 P, D 행렬 구성.
|
||
|
[19강] 선형변환과 고유벡터
|
1:
09:
47
|
|
|
선형변환의 고유값 및 고유벡터, 거듭제곱 계산* 선형변환 고유값 및 고유벡터: 유한차원 벡터공간 변환의 핵심 성분 정의, 표현행렬을 이용한 고유값 및 고유벡터 계산 절차.* 선형변환 거듭제곱: 표현행렬의 대각화 또는 일차독립 고유벡터의 일차결합을 활용한 효율적 반복 변환 처리 기법.* 유한차원 선형변환 분석: 표현행렬 기반 고유성분 도출 및 거듭제곱 계산을 통한 변환 특성 분석 방법론.
|
||
| 7장. 직교성과 최소제곱문제 | ||
|
[20강] 직교집합
|
0:
55:
23
|
|
|
직교성: 직교집합, 직교기저 및 직교행렬• 직교집합 및 직교기저: 닷곱을 이용한 벡터 직교성 정의, 일차독립성 보장 및 부분공간 벡터 표현 계수 계산 원리.• 정규직교집합 및 정규직교기저: 벡터 크기 1 조건을 추가하여 부분공간 벡터 표현 계수를 닷곱으로 간소화.• 직교행렬: 정규직교 열벡터를 가진 정사각행렬로, 역행렬이 전치행렬과 동일한 핵심 성질 활용.
|
||
|
[21강] Gram-Schmidt 직교화과정
|
0:
55:
30
|
|
|
Gram-Schmidt 직교화과정 및 직교사영• Gram-Schmidt 직교화 과정: 일반 기저를 직교기저 및 정규직교기저로 변환하는 체계적인 절차• 직교사영 원리: 벡터를 부분공간에 정사영하여 직교 성분으로 분해하는 개념으로, Gram-Schmidt 과정의 핵심 기반• 직교기저·정규직교기저: Gram-Schmidt를 통해 생성된 벡터 집합으로, 선형대수학 문제 해결 및 벡터 공간 구조 분석에 활용
|
||
|
[22강] QR분해와 최소제곱문제
|
0:
57:
06
|
|
|
QR 분해와 최소제곱문제• QR 분해: 행렬 A를 그램슈미트 직교화로 정규직교 Q와 상삼각 R의 곱으로 분해하는 과정• 최소제곱문제: 해가 없는 연립방정식의 근사해를 정규방정식 $A^T A\mathbf{x} = A^T \mathbf{b}$로 도출하는 방법• QR 분해 활용: 최소제곱문제를 $R\mathbf{x} = Q^T \mathbf{b}$ 형태로 변환, 계산을 간소화
|
||
| 8장. 내적공간 | ||
|
[23강] 내적과 내적공간
|
1:
03:
43
|
|
|
선형대수학 내적과 내적공간 정의 및 성질• 내적 정의: 벡터공간에 길이, 각도, 직교성 같은 기하학적 개념을 부여하는 연산으로, 교환·분배·스칼라곱·양의 정부호 조건 만족.• 내적공간 이해: 내적이 정의된 벡터공간의 구조와 $\langle \mathbf{u}, c\mathbf{v} \rangle = c\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ 등 핵심 성질 분석.• 내적 증명 원리: 유클리드 공간 닷곱, 행렬·함수·다항식 공간 등 다양한 벡터 공간에서 4가지 정의 조건, 특히 양의 정부호 조건 입증.
|
||
|
[24강] 벡터의 크기
|
0:
47:
59
|
|
|
벡터의 크기와 직교화 과정• 벡터 크기 및 직교: 내적 공간에서 벡터 크기(Norm)와 두 벡터의 직교를 내적으로 정의하고, 관련 피타고라스 정리 및 평행사변형 등식의 개념 학습.• 코시-슈왈츠 부등식: 내적과 벡터 크기 관계를 명시하는 부등식의 개념 이해 및 증명 방법, 삼각부등식으로의 확장 원리 습득.• 직교집합 및 그램-슈미트 직교화: 직교집합·정규직교집합과 그 기저의 개념을 정립하고, 일반 기저에서 직교기저를 생성하는 그램-슈미트 과정의 절차와 적용 방법 습득.
|
||
|
[25강] 직교여공간
|
1:
01:
26
|
|
|
직교여공간 (Orthogonal Complement)• 직교여공간 정의 및 성질: 내적공간 $V$의 부분공간 $W$에 대해, $W$의 모든 벡터와 직교하는 $V$ 내 벡터들의 집합이며 $V$의 부분공간을 형성.• 직교여공간 계산 및 행렬 관계: $W$의 기저 벡터와 직교하는 벡터로 원소를 결정하며, 행렬 $A$의 열공간 직교여공간은 $Null(A^T)$, 행공간 직교여공간은 $Null(A)$와 동일.• 직교여공간의 공간 분할: 부분공간 $W$와 $W^\perp$의 합은 전체 공간 $V$를 이루고, 교집합은 영벡터($\mathbf{0}$)만을 포함하는 직교합 관계.
|
||
| 9장. 대칭행렬과 이차형식 | ||
|
[26강] 대칭행렬의 대각화
|
1:
05:
19
|
|
|
대칭행렬의 직교대각화와 고유값/고유벡터 성질* 대칭행렬 개념: $A=A^T$ 정의, 실수 고유값 및 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터의 직교성.* 직교대각화 과정: 직교행렬 $P$와 대각행렬 $D$를 사용하여 $P^T A P = D$ 형태로 행렬을 변환하는 절차.* 스펙트럼 정리: 대칭행렬과 직교대각화 가능 행렬의 필요충분조건 규명, 중복 고유값의 고유벡터 직교화를 위한 Gram-Schmidt 적용.
|
||
|
[27강] 이차형식과 원추곡선
|
0:
58:
49
|
|
|
이차형식 및 원추곡선과 정부호성• 이차형식 정의 및 행렬 표현: 다변수 2차 함수를 대칭행렬로 나타내어 원추곡선 등 기하학적 형태를 분석하는 핵심 개념.• 이차형식 대각화: 대칭행렬의 직교대각화와 변수 변환을 통해 교차항을 소거하고 이차형식의 표준형을 도출하는 절차.• 정부호성 판별: 이차형식의 부호 특성(양정부호, 음정부호, 부정부호)을 대칭행렬의 고유값 부호로 효율적으로 판단하는 기준.
|
||
|
[28강] 특이값분해
|
0:
56:
13
|
|
|
특이값분해 및 유사역원 개념과 활용• 특이값분해(SVD): 임의 행렬을 직교행렬 U, V 및 특이값을 포함하는 대각 행렬 Sigma의 곱으로 분해하는 핵심 선형대수 기법.• SVD 절차: $A^T A$의 고유값과 정규직교 고유벡터 기반으로 특이값, U, V 행렬을 구성하며, 고유값의 비음수성 및 U 벡터의 정규직교성을 증명.• SVD 활용 및 유사역원: 행렬 랭크, 행공간, 열공간, 영공간의 정규직교기저 파악 기능 및 $A^+ = V \Sigma^+ U^T$로 정의되는 유사역원 계산에 적용.
|
||
| 10장. 복소수 벡터공간 | ||
|
[29강] 복소수의 극형식
|
0:
42:
08
|
|
|
복소수의 극형식• 복소수의 극형식: 복소평면에서 복소수를 크기 $r$과 편각 $\theta$로 정의하고 $z=r(\cos\theta + i\sin\theta)$로 표현하는 기하학적 원리.• 극형식 연산: 복소수의 곱셈과 나눗셈을 크기 곱/나눗셈 및 편각 덧셈/뺄셈으로 처리하는 기하학적 회전 이동 원리.• 드모르간 법칙: 복소수 $n$제곱은 크기를 $n$제곱, 편각을 $n$배하며, 복소수 $n$제곱근의 $n$개 값을 계산하는 핵심 원리.
|
||
|
[30강] 복소 벡터공간
|
0:
33:
50
|
|
|
복소벡터공간 개념 및 유클리드 내적, 크기, 거리* 복소벡터공간 정의: 스칼라를 복소수로 확장한 벡터 공간 개념과 실벡터공간 원리 적용.* 복소 유클리드 내적: 켤레복소수를 활용한 내적 정의 및 교환·분배법칙 등 핵심 성질 이해.* 복소 유클리드 크기 및 거리: 내적 기반의 벡터 크기 정의와 두 벡터 간 거리 계산 방법 학습.
|
||
|
[31강] 복소 내적공간
|
0:
42:
33
|
|
|
복소내적공간 및 유니타리 공간 이해* **복소내적공간 정의**: 복소벡터공간에 켤레 대칭성, 선형성, 양의 정부호성을 만족하는 내적을 부여한 공간의 개념과 추가 성질 이해.* **내적의 활용**: 복소벡터의 크기(Norm)와 거리(Distance) 개념을 내적을 통해 정의하고 계산하는 방법 학습.* **그램-슈미트 직교화**: 복소벡터공간에서 주어진 기저로부터 정규직교기저를 생성하는 절차 및 적용 방법 습득.
|
||
|
[32강] 복소 행렬
|
0:
43:
13
|
|
|
복소행렬* **복소행렬** 기본 개념: **켤레전치($A^*$)** 정의 및 성질을 바탕으로 **유니타리 행렬($A^{-1}=A^*$)**과 **에르미트 행렬($A=A^*$)** 등 특수 행렬의 특징과 관계 정립.* **정규행렬($AA^*=A^*A$)**: **유니타리 대각화가능성** 및 **n개의 정규직교 고유벡터** 존재 간의 **동치조건**으로, **에르미트 행렬**의 **고유값 실수** 성질을 포함하는 상위 범주.* **유니타리 대각화**: **고유값** 및 **고유벡터** 계산, **그램-슈미트 직교화**와 **정규화**를 통한 **유니타리 행렬 P** 구성 절차.
|
||
김은정 교수님
선형대수학
