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정수론
이석민 교수
고려대학교 대학원 수학교육과 석사과정 졸업
Ph.D. in Mathematics at Johns Hopkins University, USA
고려대학교 대학원 수학교육과 석사과정 졸업
Ph.D. in Mathematics at Johns Hopkins University, USA
Johns Hopkins Univ.
건국대학교
현) 유니와이즈 자문교수
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총 0개 챕터, 30강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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[1강] 정수 (1)
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37
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정수론 기초 정수의 성질과 수학적 귀납법 및 피보나치 수열
• 정수 정렬성과 수학적 귀납법: 양의 정수 집합의 최소원소 존재 공리를 기반으로 제1·제2 수학적 귀납법의 논리적 정당성 확보 및 무리수 증명 활용 • 페아노 공리계와 이항정리: 자연수의 체계적 규정과 이항계수의 대칭성 및 파스칼의 삼각형을 이용한 다항식 전개 구조 분석 • 피보나치 수열과 비네의 공식: 수열의 점화식 정의와 황금비를 활용한 일반항 도출 및 주요 수열 항등식의 귀납적 증명 절차 체계화 |
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[2강] 정수 (2)
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정수론: 나눗셈 정리와 약수 및 배수의 성질
• 나눗셈 정리: 정수 $a, b$에 대한 몫과 나머지의 존재성·유일성 증명 및 나머지를 활용한 정수 분류 체계 확립 • 약수와 배수의 성질: 추이성·선형 결합 원리를 통한 가분성 판정과 정수 간의 포함 관계 및 수론적 성질 정의 • 최대정수함수 및 대수적 구조: 내림함수의 연산 성질과 덧셈·뺄셈에 대해 닫혀 있는 배수 집합 $a\mathbb{Z}$의 구조 분석 |
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[3강] 정수 (3)
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정수의 여러 가지 표현: b진법 및 칸토어 전개
• b진법 전개: 나눗셈 정리와 정렬성 원리를 기반으로 양의 정수를 특정 밑수 $b$의 거듭제곱 합과 유일한 계수 집합으로 구조화 • 진법 변환 및 체계: 반복 나눗셈을 통한 수치 변환 절차와 거듭제곱 관계를 이용한 2·8·16진법 간의 효율적 연산 방식 • 칸토어 전개: 팩토리얼($!$)을 가변 기저로 채택하여 모든 양의 정수를 유일한 계수 조건($0 \le a_k \le k$)에 따라 표현하는 전개 원리 |
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[4강] 소수와 소인수분해 (1)
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1:
10:
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소수와 최대공약수 및 유클리드 호제법
• 소수 및 합성수: 소수의 무한성 증명 및 $\sqrt{n}$ 기반 소수 판정법과 에라토스테네스의 체를 통한 수의 구조 분석 • 최대공약수와 베주 항등식: 최대공약수 정의와 이를 두 정수의 일차 결합으로 표현하는 대수적 성질 및 성립 조건 • 유클리드 호제법: 나눗셈 정리를 이용한 최대공약수 산출 절차와 확장 알고리즘 기반의 일차 결합 계수 도출법 |
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[5강] 소수와 소인수분해 (2)
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산술의 기본정리와 소인수분해의 성질 및 응용
• 산술의 기본정리: 정수의 소인수분해 유일성·존재성 증명 및 표준분해를 활용한 수 체계 구조화 • 소인수 응용 및 Legendre 공식: 지수 연산을 통한 약수 개수·GCD·LCM 도출 및 팩토리얼 소인수 분석 기법 • 수의 특성 및 무리수 판정: 특수 소수의 무한성·연속 합성수 생성 원리 및 정계수 다항식 기반의 무리수 증명 논리 |
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[6강] 소수와 소인수분해 (3)
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페르마·메르센 소수와 일차부정방정식 정수해
• 페르마 및 메르센 소수: $2^{2^n}+1$ 및 $2^p-1$ 형태의 정의, 소수 판별 조건 및 페르마 수 간의 서로소 성질 정리 • 지수 형태의 최대공약수 성질: $(a^m-1, a^n-1) = a^{(m,n)}-1$ 공식 증명 및 유클리드 호제법 기반의 계산 절차 체계화 • 일차부정방정식 해법: $ax+by=c$의 해 존재 조건인 $(a,b)|c$ 판별 및 확장 유클리드 알고리즘을 활용한 일반해 도출 전문 성립 |
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[7강] 합동식 (1)
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정수론 합동식의 정의 성질 및 활용 요약
• 합동식의 연산과 성질: 동치관계 기반 사칙연산·거듭제곱 성립 조건과 최대공약수를 활용한 소거법칙 원리 정리 • 잉여류와 완전잉여계: 법 m에 따른 정수 집합의 분할 구조 및 대푯값을 통한 완전잉여계 구성 체계 분석 • 배수 판정 및 검증 알고리즘: 자릿수 합·교대합 기반 배수 판정 원리와 바코드·ISBN 데이터 무결성 검증 방식 요약 |
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[8강] 합동식 (2)
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정수론 일차합동식의 해법과 중국인의 나머지 정리
• 일차합동식 해의 판정: 계수와 법의 최대공약수를 활용한 해의 존재 조건 규명 및 해의 개수 산출 절차 • 법 m에 관한 역원: 유클리드 호제법 역산을 이용한 역원 계산 및 합동식 내 나눗셈 연산 구현 • 중국인의 나머지 정리 및 연립합동식: 서로소인 법의 유일해 도출 원리와 치환법을 활용한 연립합동식 통합 해법 |
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[9강] 합동식에 대한 정리들 (1)
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합동식의 주요 정리 Wilson Fermat Euler 핵심 요약
• Wilson의 정리와 합성수 성질: 소수 판별 조건 $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$의 원리 및 합성수의 팩토리얼 나머지 계산 구조 정의 • Fermat의 소정리와 역원: 소수 법(modulo)에서 거듭제곱 나머지 계산 원리와 $a^{p-2}$를 활용한 합동식 역원 산출 절차 • Euler의 정리와 기약잉여계: Euler Phi 함수($\phi(m)$) 기반의 기약잉여계 성질과 일반 정수 법에서의 지수 축소 및 역원 계산 응용 기초 |
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[10강] 합동식에 대한 정리들 (2)
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라그랑주의 정리와 다항합동식의 해 및 차수 축소
• Lagrange의 정리: 소수 $p$를 법으로 하는 $n$차 다항합동식의 해가 최대 $n$개임을 규정하는 근본 원리 및 수체계 구조 분석 • 차수 축소 기법: Fermat의 소정리($x^p \equiv x$)를 활용한 고차 다항합동식의 저차($p$ 미만) 변환 및 동치 합동식 도출 절차 • 약수 차수 합동식: $p-1$의 약수 $d$에 대한 $x^d - 1 \equiv 0 \pmod p$의 해의 개수(정확히 $d$개) 확정 및 Euler 판정법 연계 기반 성립 |
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[11강] 곱셈함수
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정수론 곱셈함수와 오일러 파이 함수 및 메비우스 반전공식
• 곱셈함수와 Euler $\phi$ 함수: 산술적 함수의 곱셈성 정의 및 표준 분해를 통한 서로소 개수 계산 절차와 약수 합 성질 규명 • 약수 함수 및 완전수: $\tau(n)$·$\sigma(n)$의 산출 공식과 Mersenne 소수를 활용한 짝수 완전수의 구조적 동치 관계 증명 • Möbius 함수와 반전공식: $\mu(n)$의 정의와 성질을 바탕으로 약수 합 관계의 함수를 역산하는 반전 정리와 응용 사례 요약 |
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[12강] 원시근 (1)
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원시근 정의와 위수의 성질 및 계산 방법
• 위수의 정의와 성질: 법 $m$에서 $a^r \equiv 1$을 만족하는 최소 양의 정수 $r$의 정의 및 $r \mid \phi(m)$ 관계 분석 • 거듭제곱의 위수와 계산: $ord_m a^k = r/\gcd(r, k)$ 공식을 통한 특정 거듭제곱의 위수 산출 및 성질 규명 • 원시근의 판별과 개수: 위수가 $\phi(m)$인 원소의 정의와 $\phi(\phi(m))$ 공식을 이용한 존재성 및 개수 확인 |
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[13강] 원시근 (2)
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정수론 원시근의 존재성 조건 및 지수의 성질
• 원시근 존재 조건 : 법 $m \in \{2, 4, p^k, 2p^k\}$ 형태에서의 존재성과 기약잉여계의 순환군 구조 형성 조건 정의 • 지수(Index) 및 이산로그 : 원시근을 밑으로 하는 합동 연산의 성질과 지수 법칙을 활용한 복잡한 합동식의 선형화 및 계산 체계 정립 • 고차 합동식 해법 : 지수표를 이용한 $x^n \equiv a \pmod m$ 형태의 해 존재성 판별 및 해의 개수 결정 원리 요약 |
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[14강] 원시근 (3)
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실수의 b진법 소수 전개와 유리수 판정
• 실수의 b진법 전개 알고리즘: 소수 부분의 반복 곱셈을 통한 계수 추출 및 무한급수 기반의 실수 표현 구조 정의 • 순환소수의 유리수 변환: 등비급수 공식을 활용한 순환마디의 분수화 및 유한·순환소수의 유리수 동치 관계 증명 • 유한소수 판정 정리: 기약분수 분모의 소인수 집합과 진법 b의 소인수 포함 관계에 따른 소수 전개 성질 판별 |
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[15강] 원시근 (4)
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정수론 원시근과 유리수의 b진법 순환소수 표현 원리
• 유리수의 b진법 순환소수 전개: 분모 $q$와 진법 $b$의 위수($\text{ord}_q b$)를 통한 순환 주기 결정 및 원시근 발생 시 최대 주기 $\phi(q)$ 확보 원리 • 소수 분류 체계: 분모와 진법의 소인수 구성 및 $\gcd(q, b)$ 관계에 따른 유한소수·순수 순환소수·혼합 순환소수의 구조적 판별 기준 • 유한소수의 순환소수 변환: $1 = 0.\overline{b-1}_{(b)}$ 관계식을 이용한 모든 양의 유리수의 순환소수 표현 유일성 및 진법별 재표기 절차 요약 |
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[16강] 이차잉여 (1)
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이차잉여의 정의와 Legendre 기호를 활용한 이차합동식의 해법
• 이차잉여 및 이차비잉여: 법 $m$에 대한 이차합동식 $x^2 \equiv a \pmod{m}$의 해 존재 여부 판정 및 기약잉여계 내 분포 성질 정의 • Legendre 기호와 Euler의 표준: 이차잉여 판별을 위한 기호 정의와 $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv (\frac{a}{p}) \pmod{p}$를 활용한 해의 존재성 판정 및 이차 상호 법칙 계산 • 이차합동식 해법: 소수 법의 형태별 해 공식 산출, 일반 이차식의 완전제곱식 변형 및 합성수 법에 대한 중국인의 나머지 정리 적용 절차 |
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[17강] 이차잉여 (2)
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이차잉여의 상호법칙과 가우스 보조정리
• 가우스 보조정리: 법 $p$ 기약잉여계 내 음수 합동식 개수를 활용한 르장드르 심볼 부호 결정 및 판정 원리 • 2의 이차잉여 판별법: 소수 $p$의 법 8에 대한 나머지 조건에 따른 $(\frac{2}{p})$의 결정값 및 수식 정의 • 이차잉여의 상호법칙: 홀수 소수 간 잉여 관계의 상호 전환 및 격자점 모델 기반의 부호 결정 체계 |
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[18강] 이차잉여 (3)
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정수론: 이차잉여의 판정과 Jacobi 기호의 정의 및 성질
• Legendre 기호 및 이차상호법칙: 특정 법에 대한 이차잉여 여부 판정 절차와 4n+1 형태 소수의 무한성 증명 원리 • Jacobi 기호의 정의와 성질: Legendre 기호를 홀수 합성수로 확장하여 소인수분해 없이 이차잉여 식을 계산하는 구조 • Jacobi 상호법칙 및 계산 활용: -1·2에 대한 판정법과 상호법칙을 통한 대형 정수의 효율적 이차잉여 판정 알고리즘 |
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[19강] 연분수 (1)
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48:
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정수론 유한 단순연분수 정의 및 유리수 표현 원리
• 유한 단순연분수: 중첩 분수 형태의 정의, 정수 항 기반의 재귀적 표기법 및 구조적 특징 정리 • 유리수 변환 및 유클리드 호제법: 유리수를 연분수로 변환하는 절차와 표현의 비유일성 및 증명 원리 • 근사분수 수열($p_k, q_k$): 점화식을 활용한 기약분수 산출 알고리즘과 수열의 대수적 성질 분석 |
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[20강] 연분수 (2)
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14:
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무한 연분수의 정의 성질 및 무리수 표현법
• 무한 연분수 수렴성: 점화식 기반 근사분수 수열의 단조성·유계성을 통한 극한값 존재 및 무리수성 증명 • 무리수 전개 및 오차: 모든 무리수의 유일한 연분수 표현과 오차 한계($1/q_k^2$) 내 유리근사값 산출 • 연분수 알고리즘: 소수 부분의 역수를 이용한 순환 구조 전개와 황금비·제곱근 등 무리수별 전개 기법 요약 |
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[21강] 연분수 (3)
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이차무리수 정의와 순환연분수 성질 및 라그랑주 정리
• 이차무리수와 동치 조건: $s + t\sqrt{d}$ 형태의 정의 및 정수 계수 이차방정식 근과의 상호 변환 원리 분석 • 순환연분수 체계: 순환마디와 주기를 기반으로 한 무한 연분수 분류 및 순환 구조의 정의와 성질 정립 • 라그랑주 정리와 전개 알고리즘: 이차무리수의 순환성 필요충분조건 증명 및 점화식을 활용한 연분수 변환 절차 구조화 |
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[22강] 연분수 (4)
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01:
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순수 순환연분수의 성질과 무리수 전개 및 부정방정식 활용
• 순수 순환연분수: 이차무리수 판정 조건($\alpha > 1, -1 < \alpha' < 0$)과 역순 순환 성질 및 순환 마디의 구조적 특징 정의 • $\sqrt{n}$ 연분수 전개: 대칭 구조와 주기성 분석 및 $P_k, Q_k$ 알고리즘 기반의 순환 마디 도출 과정 체계화 • 이차 부정방정식: 근사분수($p_k, q_k$)를 활용한 $x^2 - ny^2 = N$ 형태의 정수해 판정 및 수론적 변환 원리 요약 |
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[23강] 연분수 (5)
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무리수의 유리근사값과 최상의 근사값 정리
• 최상의 근사값 정의: 분모 크기 대비 오차 최소화를 위해 $|q\alpha - p| \le |b\alpha - a|$를 만족하는 유리수 성질 규명 • 연분수 근사분수: 무리수의 연분수 전개로 도출된 각 단계의 근사분수가 수학적으로 최상의 근사값임을 증명 • 근사분수 판정 정리: 오차 범위 $|\alpha - \frac{a}{b}| < \frac{1}{2b^2}$를 만족하는 기약분수의 근사분수 포함 여부 판정 원리 |
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[24강] 부정방정식 (1)
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01:
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부정방정식 피타고라스의 세 수와 페르마의 정리
• 원시적 피타고라스 세수: $a^2+b^2=c^2$를 만족하는 서로소 정수해의 정의 및 매개변수($m, n$)를 활용한 생성 공식과 성립 조건 체계화 • 피타고라스 세수의 배수 성질: 법(Modulo) 연산과 2차 잉여 개념을 기반으로 한 변수들의 3, 4, 5의 배수 판정 및 정수론적 성질 증명 • 페르마의 마지막 정리($n=4$): 무한 강하법(Infinite Descent)을 적용한 $x^4+y^4=z^2$ 부정방정식의 해 부존재 증명 및 해의 최소성 모순 분석 |
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[25강] 부정방정식 (2)
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07:
36
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정수론 부정방정식과 두 개 및 네 개의 제곱수 합 정리
• 두 제곱수 합 판별 조건: 법 4에 대한 합동 성질 및 $p \equiv 3 \pmod 4$인 소인수의 지수 조건을 통한 정수의 표현 가능성 분석 • 제곱수 합의 곱셈 구조: 브라마굽타 및 오일러 항등식을 활용하여 두 개와 네 개의 제곱수 합 형태가 곱셈에 대해 닫혀 있음을 정의 • 라그랑주 네 제곱수 정리: 모든 양의 정수를 네 개 제곱수의 합으로 나타낼 수 있음을 입증하는 존재성 정리 및 증명 절차 요약 |
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[26강] 부정방정식 (3)
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36:
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Pell의 방정식 정의 및 연분수를 이용한 정수해 도출
• Pell의 방정식 정의 및 분류: $x^{2} - dy^{2} = N$ 형태의 부정방정식 개념과 $d$ 및 $N$ 값의 조건에 따른 해의 존재성 및 유·무한성 체계화 • 연분수 기반 기본해 산출: 무리수 $\sqrt{d}$의 연분수 전개 주기 $l$과 근사분수 $p_{k}/q_{k}$의 점화식을 활용한 최소 양의 정수해 도출 메커니즘 • 대수적 일반해 생성 원리: 기본해의 거듭제곱 공식을 통한 무한 정수해 생성 구조 및 상수항 부호($\pm 1$)와 주기의 기우성에 따른 해의 존재 조건 규명 |
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[27강] 교원임용 기출문제 (1)
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정수론 교원임용 기출문제 풀이 및 핵심 정리
• 일차부정방정식 및 연립합동식: 유클리드 호제법과 중국인의 나머지 정리를 활용한 정수해 도출 및 법 연산 체계 구조화 • 원시근과 이차상호법칙: 원시근 존재 조건 정의 및 르장드르 기호를 이용한 이차합동식의 해 존재성 판별 절차 최적화 • 수론적 함수와 환 준동형사상: 오일러 파이 함수 계산 및 핵(Kernel) 정의를 통한 대수적 구조의 수론적 성질 검증 및 정리 |
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[28강] 교원임용 기출문제 (2)
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정수론 부정방정식 및 합동식 원시근 문제풀이
• 부정방정식 및 일차합동식: 최대공약수(GCD)의 배수 관계를 활용한 정수해 존재 조건 및 해의 개수 판별 • 이차합동식과 르장드르 기호: 이차상호법칙과 완전제곱식 변형을 통한 이차잉여 판단 및 해 존재성 검증 • 원시근과 고차합동식: 원시근 성질을 이용한 지수 합동식 변환 및 페르마의 소정리 기반 해의 연산 |
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[29강] 교원임용 기출문제 (3)
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정수론 소수의 성질 및 이차합동식 해의 개수
• Wilson의 정리 및 Fermat의 소정리: 소수 성질과 계승(factorial) 변형을 활용한 합동식 명제의 참·거짓 판별 및 증명 • Legendre 기호 및 이차잉여: 합성수 법의 소인수분해와 개별 소수 법에 대한 해의 존재성 및 이차잉여성 판정 • 중국인의 나머지 정리(CRT): 각 성분별 합동식 해의 개수를 조합하여 전체 법에 대한 최종 해의 개수 산출 |
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[30강] 교원임용 기출문제 (4)
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정수론 문제풀이: 원시근과 연립합동식 및 부정방정식
• 원시근과 위수: 법 27의 원시근 성질 및 위수 관계를 활용한 지수 합동식의 최소 해와 점화식 수열 주기 산출 • 연립합동식 판별: 비서로소 법의 분해와 나머지 값 상충 여부 확인을 통한 연립합동식의 정수해 존재성 검증 • 고차 합동식 및 이차잉여: 페르마 소정리 기반의 소수 조건 도출 및 이차잉여 성질을 이용한 부정방정식 정수해 부존재 증명 |
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이석민 교수님
정수론
