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정수론 문제풀이
이석민 교수
고려대학교 대학원 수학교육과 석사과정 졸업
Ph.D. in Mathematics at Johns Hopkins University, USA
고려대학교 대학원 수학교육과 석사과정 졸업
Ph.D. in Mathematics at Johns Hopkins University, USA
Johns Hopkins Univ.
건국대학교
현) 유니와이즈 자문교수
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[1강] [문제풀이] 정수의 기본성질
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정수론 기본 성질 및 최대정수함수, 무리수 증명 핵심 정리
• 정렬성 및 무리수 증명: 양의 정수 집합의 정렬성을 이용한 a−bk 꼴 최소 양의 정수 존재성과 이를 활용한 √5의 무리성 증명 구조 정리 • 최대정수함수 핵심 성질: [x] 정의, [x]+[−x] 값 분류, [x+y] ≥ [x]+[y], x≥0에서 [√[x]] = [√x], [mx] = Σ[x+j/m] 합 공식과 정수·소수부분 분해 기법 • 자연상수 e의 무리성: e의 급수 전개와 b! 배수를 통한 정수·잔차 분해, 꼬리항의 등비급수 상계로 0<정수<1 모순을 유도하는 무리성 증명 패턴 정리 |
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[2강] [문제풀이] 수학적 귀납법
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정수론 문제풀이 2강 수학적 귀납법 핵심 정리
• 수학적 귀납법 원리: 1형식·2형식 구조를 통해 기준 단계 검증과 귀납 가정→n+1 단계 도출 절차로 합 공식·점화식 명제 증명 • 합·곱 공식 및 제곱·세제곱 합: ∑k^2, ∑k^3, ∑k(k+1), ∑k·k! 등 합을 이항계수·팩토리얼로 변형하여 닫힌형 공식 도출 및 세제곱수의 두 제곱수 차 표현 • 이항계수와 점화식 응용: (1±1)^n 이용한 짝수·홀수 이항계수 분리, 누적합 공식 ∑_{r=k}^n C(r,k)=C(n+1,k+1)과 이를 통한 짝수 이항계수 합, 홀수 제곱 합, 점화식 f(n+1)=f(n)+2f(n-1)의 닫힌형 f(n)=2^n+(-1)^n 증명 |
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[3강] [문제풀이] 피보나치 수열
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피보나치 수열의 항등식과 귀납법 증명 정리
• 피보나치 수열 기본 구조: 점화식 f_n=f_{n-1}+f_{n-2}, 항의 앞·뒤 항 표현 변형, 홀수항·제곱합·부분합 등 기본 항등식 도출 • 피보나치 제곱·짝수·홀수 항등식: 제곱합 f_1^2+⋯+f_n^2=f_n f_{n+1}, 짝수항 f_{2n}=f_n^2+2f_{n-1}f_n=f_{n+1}^2-f_{n-1}^2, 홀수항 f_{2n+1}=f_{n+1}^2+f_n^2 및 네 개 연속항 곱·차 항등식 정리 • 피보나치와 이항계수 관계: 파스칼 삼각형 대각선 합 ∑_{k} C(n-k,k)=f_{n+1}, 선형결합 ∑_{j} C(n,j)f_j = f_{2n}, Binet 공식과 파스칼 항등식·수학적 귀납법을 이용한 증명 구조 정리 |
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[4강] [문제풀이] 나눗셈 정리. 약수와 배수
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정수론: 나눗셈 정리, 약수·배수, 피보나치 수열의 성질 정리
• 정수 다항식 배수성: 인수분해와 나머지 분류를 이용한 $3 \mid a^3-a$, $d \mid n \Rightarrow 2^d-1 \mid 2^n-1$ 등 지수형 정수식의 인수 구조·배수성 증명 • 피보나치 수열 구조: 짝수 항과 지수의 3의 배수 동치, 덧셈 공식 $F_{m+n}=F_mF_{n+1}+F_{m-1}F_n$을 통한 항 사이 선형 관계 정리 • 피보나치와 정수론 연결: $n \mid m \Rightarrow F_n \mid F_m$, $\gcd(F_m,F_n)=F_{\gcd(m,n)}$ 등 피보나치 수의 약수·최대공약수 성질을 유클리드 호제법·귀납법으로 해석하는 구조 정리 |
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[5강] [문제풀이] 소수와 소인수분해
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정수론 소수·소인수분해 및 최대공약수·산술의 기본정리·일차부정방정식 핵심 정리 요약
• 소수·합성수·산술의 기본정리: 소수의 무한성(일반형·6k+5형), 나머지 분류(mod 3,6)를 이용한 합성수 판정, 조화수열·소수 역수합의 비정수성, 로그의 무리수성, 팩토리얼 소인수 지수 공식과 연속된 정수 곱의 n! 배수성, 이항계수의 정수성 구조 정리 • 최대공약수·서로소 구조: 유클리드 알고리즘과 베주 항등식을 이용한 서로소와 gcd 성질((a+b,a-b), (3k+2,5k+3), (a,bc)=(a,c), (a,b)=1⇒(a^n,b^n)=1, a^n∣b^n⇔a∣b) 정리 및 약수·배수 논리 체계화 • 일차부정방정식 정수해: 2변수·3변수·연립 일차부정방정식에서 gcd 존재 조건 확인 후 하나의 특수해 + 매개변수(1개·2개) 일반해 표현까지의 절차와 정수해 구조 정리 |
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[6강] [문제풀이] 합동 및 잉여류. 중국인의 나머지 정리
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정수론 합동식·Fermat 수·중국인의 나머지 정리 응용 문제 정리
• 제곱수 합과 합동식: 법 7·법 8에서 제곱 잉여 패턴을 이용해 두·세 제곱수 합의 가능한 잉여값을 분류하고, 특정 수(예: 1007, 7으로 3잉여 등)가 제곱수 합으로 표현 불가능함을 판별 • Fermat 수와 거듭제곱 합동: Fermat 수 정의 $F_n=2^{2^n}+1$을 바탕으로 $2^{2^n}\equiv-1\pmod{F_n}$, $2^{F_n}\equiv 2\pmod{F_n}$ 유도, 귀납·CRT로 $n\ge 2$에서 $F_n\equiv 7\pmod{10}$ 구조 분석 • 중국인의 나머지 정리 일반화와 응용: 서로소 아님을 허용한 연립합동식 해 존재 조건 $\gcd(m_1,m_2)\mid(a_1-a_2)$와 lcm 법에서의 유일성 정리, 이를 활용한 복잡한 연립합동식(예: 법 6·17·68) 풀이, 소수 범위 조건이 있는 이항계수 $\binom{2n}{n}$의 소인 구조 분석, 연속된 $n$개 정수가 모두 비제곱수(1이 아닌 제곱인수 보유)인 구간의 CRT 구성법 정리 |
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[7강] [문제풀이] 합동식에 관한 정리들
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정수론 합동식 정리 응용문제: Wilson·Fermat·Euler 활용
• 윌슨 정리·팩토리얼 합동식: $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$을 기반으로 부분곱 분해, 부호 치환, 이항계수 표현을 통해 팩토리얼·쌍둥이 소수·$\big(\frac{p-1}{2}\big)!$ 관련 합동식을 구조적으로 증명 • Fermat·Euler 정리와 거듭제곱 합동: $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$, $a^p\equiv a\pmod p$, $a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n$을 이용해 거듭제곱식을 단순 나머지로 환원하고, 합·차·곱 형태(예: $1^{p-1}+\dots+(p-1)^{p-1}$, $n^5-n$, $n^{pq}-n^p-n^q+n$)의 배수성·합동을 판정 • 법 분해·중국인의 나머지 정리: 법을 $p, q, p+2, 5, 8$ 등 서로소 인수로 분해하여 각각 합동을 증명한 뒤 CRT로 $pq, p(p+2), 40$ 등의 법으로 통합하고, 소거법·짝홀 구분·$p\equiv 1,3\pmod 4$ 분류를 결합해 합동식 커리큘럼을 체계화 |
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[8강] [문제풀이] 곱셈함수
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곱셈함수와 Euler φ, μ, σ, τ, Λ 함수 관련 정수론 연습 정리
• 곱셈함수·정수론 함수 구조: 곱셈함수 정의와 소인수분해 공식을 통해 Euler φ, 약수합 σ, 약수개수 τ, Möbius μ, Mangoldt Λ 함수의 값·곱셈성·표준형(φ(n)=n∏(1−1/p), σ(n)=∏(p^{e+1}−1)/(p−1))을 체계적으로 정리 • φ, σ, τ, μ 관련 부등식·등식: φ(n)=14 부재, φ(n)∣(n−1) ⇒ square-free, φ(m^k)=m^{k−1}φ(m), d∣n ⇒ φ(dn)=dφ(n), φ(d)∣φ(n), 합성수에 대한 φ(n)≤n−√n, σ(n)>n+√n, τ(n)≤2√n 및 φ(n)+σ(n)=2n의 해가 n=1 또는 소수뿐임을 증명 • 약수합 이중합 정리와 응용: F(n)=∑_{d∣n} f(d)에 대해 ∑_{n≤N}F(n)=∑_{k≤N} f(k)⌊N/k⌋ 이중합 정리를 정립하고, 이를 사용해 ∑_{n≤N}τ(n)=∑_{k≤N}⌊N/k⌋, ∑_{n≤N}σ(n)=∑_{k≤N}k⌊N/k⌋, ∑_{n≤N} μ(n)⌊N/n⌋=1 및 μ·σ·φ 관계(모비우스 반전)를 이용한 대체 전개를 정리 |
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[9강] [문제풀이] 뫼비우스 함수와. 뫼비우스의 반전공
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정수론 Möbius 함수와 Möbius 반전공식 문제풀이 요약
• Möbius 함수와 반전공식: 제곱인수 여부와 소인수 개수에 따른 μ(n)의 값 구조, 곱셈함수 성질, 약수합 관계 F(n)=∑_{d∣n}f(d)에서 f(n)=∑_{d∣n}μ(d)F(n/d)로 복원하는 Möbius 반전공식 정리 • 곱셈함수 약수합 구조: 곱셈함수 f(1)=1에 대해 ∑_{d∣n}μ(d)f(d)=∏_{p∣n}(1−f(p)), ∑_{d∣n}μ(d)^2f(d)=∏_{p∣n}(1+f(p)) 공식을 세우고 f=φ, τ, σ, 1/τ, 1/σ, 1/φ 등에 대입해 φ(n), 약수 개수·약수합, n/φ(n), 2^r, (3/2)^r, ∏_{p∣n}(p+2)/(p+1) 등의 표현 유도 • 응용 문제 구조: μ(k!), μ(n)·μ(n+1)·…·μ(n+3), μ(n)+μ(n+1)=0 등에서 square-free·제곱인수 판정과 연속정수 성질, 중국인의 나머지 정리를 이용한 무한 존재 증명, ∑_{d∣n}μ(d)/d=∏_{p∣n}(1−1/p)와 φ(n)=n∏_{p∣n}(1−1/p)를 연결한 정수론 약수합 계산 훈련 |
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[10강] [문제풀이] 위수
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정수론 위수와 원시근 예제 풀이 요약
• 위수와 원시근, 역원의 위수: 법 m에서 위수 ordₘa 정의와 φ(m)과의 약수 관계, 원시근 개념 및 역원의 위수가 원래 수의 위수와 같다는 성질 정리 • Fermat 수와 위수 구조: Fermat 수 Fₙ=2^{2ⁿ}+1의 소인수 p에서 ordₚ2=2^{n+1}임을 증명하고, 이를 통해 p가 2^{n+1}k+1 꼴임을 도출하는 위수·오일러·Fermat 소정리 결합 구조 정리 • 위수 활용 응용 문제: ordₚ(a)=3일 때 ordₚ(a+1)=6이 됨을 보이는 합동 조작, 3^x=2^y−1의 유일해 (1,2)를 위수와 모듈러 연산으로 판정하는 지수형 방정식 풀이 구조 정리 |
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[11강] [문제풀이] 원시근. 지수(이산로그)
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정수론 원시근과 지수(이산로그) 핵심 정리 및 응용 문제
• 원시근과 위수·멱합 성질: 법 p 원시근의 위수(ordₚ(g)=p−1), g^{(p−1)/2}≡−1 (mod p), −g 의 위수(p≡1,3 (mod 4) 구분), 멱합 S(n)=∑kⁿ 의 법 p 값(0/−1 판정) 정리 • 원시근·이산로그 응용 정리: 모든 원시근들의 곱 K≡(−1)^{φ(p−1)} (mod p), x⁴≡−1 (mod p) ⇔ p≡1 (mod 8) 동치와 이를 이용한 형식 8k+1 소수의 무한 존재 증명 구조 제시 • 이산로그(ind₍g₎) 기본 공식: ind₍g₎(ab), ind₍g₎(a^k) 선형성, 밑 바꾸기 공식 ind₍h₎a≡ind₍g₎a·(ind₍g₎h)^{-1} (mod p−1), ind₍g₎(p−a)≡ind₍g₎(a)+(p−1)/2 (mod p−1) 관계 정리 |
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[12강] [문제풀이] 이차잉여
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이차잉여 심화: 연속 이차잉여, 르장드르합, 원시근, Fermat 소수
• 이차잉여·르장드르 기호·이차상호법칙: 홀수 소수에서 이차잉여/비잉여 정의, 르장드르 기호와 오일러 기준, 원시근 지수 짝·홀 구조 및 연속·간격 2 이차잉여/비잉여 존재와 합 공식 정리 • 이차잉여의 합과 특수 소수 구조: 기약 잉여계에서 이차잉여들의 모듈러 합·정수 합 계산, p≡1(mod 4)에서의 대칭 구조, 합성수 모듈러에서 a가 이차잉여일 때 a^{φ(n)/2}≡1을 통한 오일러 지수 단축 성질 정리 • 2p+1형 소수·원시근·Fermat 소수: q=2p+1 소수에서 이차비잉여=원시근+2p 구조, 2·-2·-3이 언제 원시근이 되는지의 위수·르장드르 분석, “모든 이차비잉여가 원시근” 조건과 Fermat 소수 p=2^{2^n}+1의 동치 정리 |
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[13강] [문제풀이] 이차잉여의 응용문제
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이차잉여 응용: 특수 형태 소수와 합동식 활용 요약
• 이차잉여·르장드르 기호·오일러 기준·이차 상호법칙: 2, -1, -2, -3, 5 등의 이차잉여성 분류와 ord_p(a) 개념을 사용해 합동식 해 존재 여부와 다항식·팩토리얼 합·분수식의 제곱성·정수성 판정 • 특수 형태 소수 구조: 페르마수 소인수 형태, 9^n+1의 홀수 소인수, x^2-x+41의 소수성 등에서 위수와 이차잉여 조건으로 p ≡ 1,3,5,7 (mod 4,6,8,5) 등의 합동형을 결정 • 특수 꼴 소수 무한성: (소수들의 곱)^2 ± c, 2(곱)^2+3, 5(n!)^2-1 등의 수를 구성하고 그 소인수의 르장드르 기호와 합동조건을 모순 귀류에 활용해 8k±1, 8k+3, 8k+5, 6k+1, 5k+4 꼴 소수의 무한 존재 증명 |
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[14강] [문제풀이] 유한 연분수
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정수론 유한 연분수 핵심 정리와 증명 요약
• 단순 연분수와 근사분수: 유한 단순 연분수의 정의·유일성(유클리드 호제법), 근사분수 점화식과 기약성, 인접 근사분수 차이와 분모 하한(지수적 성장) 정리 • 연분수 조작과 대소관계: $u$와 $1/u$의 연분수 관계, 끝항 변형 $[a_0;\dots,a_n]$ vs $[a_0;\dots,a_{n-1},a_n+b]$ 시 홀짝에 따른 부등식 방향, 근사분수 사이 볼록 결합 구조 정리 • 역방향 표현과 행렬 구조: 근사분수 비율의 역순 연분수 표현, $2\times2$ 행렬 곱으로 나타낸 $(p_k,q_k)$ 구조, 행렬식으로 얻는 $p_kq_{k-1}-p_{k-1}q_k=(-1)^{k-1}$ 등 기본 성질 재도출 |
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[15강] [문제풀이] 무한연분수. 순환연분수. 이차무리수
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무한연분수, 순환연분수, 이차무리수 핵심 정리
• 단순·무한 연분수와 근사분수: 연분수 전개 정의, 근사분수 p_n,q_n 점화식·수렴 성질, 유리수/무리수 표현과 무리수 연분수 전개의 유일성, 근사 오차의 q_n^2 역수 수준 평가 • 순환 연분수와 이차무리수: 순환 연분수와 정수계수 2차 무리수의 동치, √n 연분수 구조(마지막 항 2a_0, 주기 1 ⇔ n=a^2+1), √2 관련 변형, 주기적 구조를 이용한 순환 연분수 값 계산 • √형식 연분수 전개 패턴: √(n^2±a n + b) 유형의 연분수 전개 공식(√(n^2+1), √(n^2+2), √(n^2+2n), √(n^2-1), √(n^2-n), √(n^2-2))과 순환마디 구조, 인접 근사분수 차이와 오차 불등식 활용 구조 정리 |
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[16강] [문제풀이] 부정방정식
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부정방정식, 피타고라스의 세 수와 페르마의 마지막 정리 관련 정수론 문제 정리
• 원시적 피타고라스의 세 수 구조: $(a,b,c)=1$, $a^2+b^2=c^2$인 삼쌍을 $a=m^2-n^2,\; b=2mn,\; c=m^2+n^2$ (또는 교환형)으로 표현하고 짝·홀성, 서로소성, 모듈러 성질로 다양한 부정방정식의 정수해를 매개화·분류함 • 피타고라스 삼쌍 기반 부정방정식 해석: $x^2+y^2=z^4,\; x^2+y^2=4z^2,\; x^2+4y^2=z^2,\; 1/x^2+1/y^2=1/z^2$ 등을 피타고라스 삼쌍으로 환원하여 모든 해를 $(m,n)$ 파라미터로 표현하거나, 존재 여부(무한/부재)를 구조적으로 판정함 • 페르마 유형 방정식·타원곡선과 합동론: $a^n+b^n=c^n$, $x^{p-1}+y^{p-1}=z^{p-1}$, $x^p+y^p=z^p$, $x^4-4y^4=z^2$, $y^2=x^3+7$, $y^2=x^3+23$에 대해 페르마의 소정리, 모듈러 연산, 2차 잉여·르장드르 기호를 사용하여 해의 부재와 FLT 전 범위 성립을 논리적으로 도출함 |
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[17강] [문제풀이] 제곱수의 합
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정수론 제곱수의 합과 Pell 방정식 핵심 정리
• 두 제곱수의 합 판정: 소인수분해에서 $4k+3$ 꼴 소수가 모두 짝수 지수일 때에만 두 제곱수의 합으로 표현 가능하며, 표현 가능 수는 제곱수·2·또는 $2$와 $4k+1$ 꼴 소수의 곱에 제곱수 곱인 형태로 정리됨 • 세 제곱수의 합 불가능 조건: 정수 $n$이 $8k+7$ 또는 $4^m(8k+7)$ 꼴이면 세 제곱수의 합 $x^2+y^2+z^2$로 표현 불가능하며, 이는 제곱수의 $\bmod 8$ 성질과 짝·홀 분해로 증명됨 • Pell 방정식 구조와 해: $x^2-dy^2=\pm1$에서 연분수 전개의 주기 길이로 해 존재 여부와 기본해를 결정하고, 기본해로부터 모든 해를 곱셈 표현 $(x_1+y_1\sqrt d)^n$, 선형 점화식, 닫힌형식으로 생성하며, $d$가 $4k+3$ 꼴 소인을 가지면 $x^2-dy^2=-1$은 해를 갖지 않음 |
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[18강] 교원임용 기출문제 (1)
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정수론 교원임용 기출문제 풀이 및 핵심 정리
• 일차부정방정식 및 연립합동식: 유클리드 호제법과 중국인의 나머지 정리를 활용한 정수해 도출 및 법 연산 체계 구조화 • 원시근과 이차상호법칙: 원시근 존재 조건 정의 및 르장드르 기호를 이용한 이차합동식의 해 존재성 판별 절차 최적화 • 수론적 함수와 환 준동형사상: 오일러 파이 함수 계산 및 핵(Kernel) 정의를 통한 대수적 구조의 수론적 성질 검증 및 정리 |
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[19강] 교원임용 기출문제 (2)
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정수론 부정방정식 및 합동식 원시근 문제풀이
• 부정방정식 및 일차합동식: 최대공약수(GCD)의 배수 관계를 활용한 정수해 존재 조건 및 해의 개수 판별 • 이차합동식과 르장드르 기호: 이차상호법칙과 완전제곱식 변형을 통한 이차잉여 판단 및 해 존재성 검증 • 원시근과 고차합동식: 원시근 성질을 이용한 지수 합동식 변환 및 페르마의 소정리 기반 해의 연산 |
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[20강] 교원임용 기출문제 (3)
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정수론 소수의 성질 및 이차합동식 해의 개수
• Wilson의 정리 및 Fermat의 소정리: 소수 성질과 계승(factorial) 변형을 활용한 합동식 명제의 참·거짓 판별 및 증명 • Legendre 기호 및 이차잉여: 합성수 법의 소인수분해와 개별 소수 법에 대한 해의 존재성 및 이차잉여성 판정 • 중국인의 나머지 정리(CRT): 각 성분별 합동식 해의 개수를 조합하여 전체 법에 대한 최종 해의 개수 산출 |
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[21강] 교원임용 기출문제 (4)
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정수론 문제풀이: 원시근과 연립합동식 및 부정방정식
• 원시근과 위수: 법 27의 원시근 성질 및 위수 관계를 활용한 지수 합동식의 최소 해와 점화식 수열 주기 산출 • 연립합동식 판별: 비서로소 법의 분해와 나머지 값 상충 여부 확인을 통한 연립합동식의 정수해 존재성 검증 • 고차 합동식 및 이차잉여: 페르마 소정리 기반의 소수 조건 도출 및 이차잉여 성질을 이용한 부정방정식 정수해 부존재 증명 |
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이석민 교수님
정수론 문제풀이
