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확률통계학Ⅱ
이석민 교수
고려대학교 대학원 수학교육과 석사과정 졸업
Ph.D. in Mathematics at Johns Hopkins University, USA
고려대학교 대학원 수학교육과 석사과정 졸업
Ph.D. in Mathematics at Johns Hopkins University, USA
Johns Hopkins Univ.
건국대학교
현) 유니와이즈 자문교수
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| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 9장. 추정 | ||
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[1강] 추정. 점추정. 구간추정
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추정: 점추정 및 구간추정 개념과 좋은 추정량의 성질
* 통계적 추론의 추정: 모집단 모수 파악을 위한 점추정과 구간추정의 기본 개념 및 정의 * 추정량의 성질: 모수 추정을 위한 불편성, 효율성, 충분성, 일치성 등 좋은 추정량의 기준 * 구간추정의 원리: 모수의 참값이 포함될 신뢰구간과 그 확신 정도를 나타내는 신뢰계수 개념 |
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[2강] 단일 모평균의 추정
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07:
05
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단일 모평균의 추정: 모분산 유무 및 표본 크기별 신뢰구간
* 단일 모평균 추정: 모분산 유무 및 표본 크기(소표본/대표본)에 따른 Z분포 또는 t분포 활용 신뢰구간 설정 원리 * 신뢰구간 분석: 양측/단측 신뢰구간 개념, 오차한계 계산, 신뢰수준과 구간 폭의 관계 이해 * 점추정값 표준오차: 모분산 유무에 따른 추정 표준오차 산출 및 추정량 품질 측정 지표 역할 |
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[3강] 예측구간. 공차한계
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확률통계학 예측구간 및 공차한계
* 예측구간: 미래 개별 관측값의 범위 예측; 공차한계: 모집단 특정 비율 포함 구간 추정. * 구간 계산: 모분산 유무에 따라 정규분포 또는 t-분포 활용; 공차한계는 공차계수(k)로 산출. * 구간 비교: 예측구간, 공차한계는 모평균 신뢰구간보다 넓으며 목적 및 활용 분야가 상이함. |
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[4강] 두 모평균 차이의 추정
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52:
23
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두 모평균 차이의 추정
* 두 모평균 차이 추정: 모분산 정보 유무 및 동등성에 따라 Z-분포 또는 t-분포를 활용한 신뢰구간 계산 원리 학습. * 모분산을 아는 경우: Z-분포로 표준오차를 산출해 신뢰구간을 추정하며, 모분산을 모르는 경우 t-분포를 적용. * t-분포 활용 시: 모분산이 같으면 합동추정량($S_p^2$)과 합산 자유도를, 다르면 개별 표본분산과 근사 자유도를 사용. |
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[5강] 대응 관측 값
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대응 관측값 모평균 차이 신뢰구간 추정
* 대응관측값 개념: 독립성 없는 두 표본의 모평균 차이 추정을 위해 개별 쌍 차이를 확률변수화하여 단일 모평균 문제로 전환. * 대응관측값 모평균 차이 추정 원리: 개별 차이($D_i$)의 표본평균 $\bar{D}$ 및 표본표준편차 $S_d$를 기반, t분포를 활용한 통계량 구성. * 대응관측값 모평균 차이 신뢰구간 설정: t분포의 자유도 $n-1$ 및 $t_{\alpha/2}$ 값을 이용, $\bar{d} \pm t_{\alpha/2} \frac{s_d}{\sqrt{n}}$ 공식으로 모평균 차이의 범위 추정. |
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[6강] 모비율 차이의 추정
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모비율 추정: 단일 모비율 및 두 모비율 차이의 신뢰구간
• 모비율 추정(단일): 이항 모집단의 성공 모비율($p$)을 표본비율($\hat{P}$)로 추정, 중심 극한 정리 기반 신뢰구간 설정 원리 이해. • 표본 크기 결정: 오차 한계($e$) 및 신뢰수준 만족을 위한 표본 크기($n$) 계산, 표본비율($\hat{p}$) 유무에 따른 공식 적용. • 두 모비율 차이 추정: 독립 이항 모집단의 $p_1 - p_2$를 표본비율 차이로 추정, 신뢰구간 설정 및 비교 분석 방법 습득. |
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[7강] 모분산의 추정
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확률통계학: 모분산 및 두 모분산 비의 신뢰구간 추정
• 모분산 신뢰구간 추정: 정규모집단을 가정하여 단일 모분산 및 두 모분산 비의 신뢰구간을 설정하는 통계적 절차. • 단일 모분산 추정: 표본분산을 점추정량으로 사용하며, 비대칭 카이제곱 분포를 활용하여 신뢰구간을 계산. • 두 모분산 비 추정: 두 표본분산의 비를 점추정량으로 하며, 비대칭 F분포의 특성을 고려하여 신뢰구간을 도출. |
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[8강] 베이즈 방법
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07:
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확률통계학 베이즈 방법: 개념, 추정 및 구간
• 베이즈 방법: 모수를 확률변수로 다루며 사전분포와 표본 정보를 베이즈 정리를 통해 통합하여 사후분포를 도출하는 추론 방식. • 베이즈 추정 및 베이즈 구간: 사후분포의 평균을 추정값으로, 특정 확률 면적을 구간으로 정의하여 사전 지식 반영으로 추정 정교함을 높이는 방식. • 모평균 베이즈 추정: 사전분포와 표본 정보를 가중 평균하여 사후평균 및 표준편차를 계산, 전통적 방식보다 좁고 정확한 추정 구간을 제공하는 원리. |
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[9강] 최대우도추정법
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42
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최대우도추정법 개념 완성
• 최대우도추정법 (MLE): 관측 데이터의 우도함수를 최대화하여 미지의 모수 값을 추정하는 통계적 방법론. • 우도함수 및 로그 우도함수: 표본이 관측될 확률을 나타내는 함수를 미분하여 최대우도추정량을 도출하는 핵심 절차. • 최대우도추정량 특성: 불편추정량과 비교되며, 대규모 표본에서 점근적 불편성을 가지는 모수 추정량. |
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| 10장. 가설검정 | ||
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[10강] 가설검정 (1)
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가설검정 (1)
• 가설 검정: 모집단 모수에 대한 통계적 가설 설정, 귀무가설($H_0$)과 대립가설($H_1$) 정의 및 검정 절차. • 검정 오류: 제1종 과오($\alpha$)와 제2종 과오($\beta$) 정의, 검정통계량·기각역·기각값 활용. • 검정력 최적화: 대립가설 참일 때 $H_0$ 기각 확률 ($1-\beta$), $\alpha, \beta$ 상호 관계 및 표본 크기 변화 영향. |
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[11강] 가설검정 (2)
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가설검정 단측검정, 양측검정, P값 활용
• 단측/양측검정: 대립가설 방향에 따라 기각역을 설정하여 가설을 검증하는 기본 유형 • P값(유의확률): 검정통계량으로 계산된 귀무가설 기각의 최저 유의수준이자, 유의수준 $\alpha$와 비교하여 가설 채택 여부를 결정하는 지표 • 가설검정 절차: 귀무가설 및 대립가설 설정 후 P값과 유의수준 $\alpha$ 비교를 통해 제1종 과오 위험을 고려한 결론 도출 |
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[12강] 가설검정 (3)
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단일 모평균 가설검정: 모분산 지불 여부에 따른 방법
• 단일 모평균 가설검정: 모분산 지불 여부에 따라 Z 또는 T 통계량 선택 및 적용 • Z 검정: 모분산이 알려진 경우, 표준정규분포 기반으로 가설 기각역 설정 및 P-값 해석 • T 검정: 모분산이 미지인 경우 t분포를 활용하며, 가설검정과 신뢰구간 추정의 상호 관계 분석 |
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[13강] 가설검정 (4)
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확률통계학: 두 모평균 차이 가설검정
• 두 모평균 차이 가설검정: 모집단 모분산 정보 및 독립성 여부에 따라 Z-분포 또는 t-분포 기반 검정통계량 선택 및 적용. • 독립표본 검정: 모분산 앎(Z-test), 모름/등분산(합동 t-검정), 모름/이분산(근사 t-검정), 대표본(Z-test)에 따라 검정 절차 수립. • 대응관측값 검정: 짝지어진 표본의 차이 변수(D)를 활용하여 단일 모평균 t-검정(n-1 자유도)으로 분석. |
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[14강] 가설검정 (5)
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가설검정 표본크기 결정 원리 및 산출
• 표본크기 결정: 가설검정의 검정력 및 오류 제어를 위해 유의수준($\alpha$), 검정력($1-\beta$), 모표준편차($\sigma$), 평균 차이($\delta$)를 고려하여 최적 표본수를 산출. • 단일 모평균 표본크기: 모분산 인지 시, 단측 및 양측 가설검정의 공식 기반 최소 표본크기를 결정. • 두 모평균 표본크기: 두 모집단 동일 표본크기 가정하에 단측 및 양측 가설검정의 공식 기반 최소 표본크기를 결정. |
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[15강] 가설검정 (6)
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가설검정 (6) 모비율 및 모분산
• **가설검정 기본 원리**: 모비율 및 모분산에 대한 통계적 주장 검증 과정으로, 귀무가설과 대립가설 설정 및 유의수준을 통한 의사결정 원리 이해. • **모비율 검정**: 단일 및 두 모비율 차이 검정을 이항분포와 정규 근사를 활용한 Z-검정통계량 계산 및 P값 또는 기각역 판정 절차 학습. • **모분산 검정**: 단일 모분산 검정에 카이제곱분포를, 두 모분산 차이 검정에 F-분포를 적용하여 통계량 산출 및 기각역 설정 방식 숙지. |
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[16강] 가설검정 (7)
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가설검정: 적합도, 독립성, 동질성, 모비율 검정
* 카이제곱 가설검정: 범주형 데이터의 모집단 분포 적합성 및 변수 간 독립성 검증 원리. * 동질성 및 여러 모비율 검정: 여러 그룹 간 특정 범주 비율의 동일성 분석 절차. * 공통 검정 방법: 관측/기대도수 기반 카이제곱 통계량 계산, 자유도 설정 및 기대도수 5 이상 규칙 적용. |
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| 11장. 단순선형회귀와 상관 | ||
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[17강] 단순선형회귀와 최소제곱법
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단순선형회귀와 최소제곱법
• 단순선형회귀모형: 종속변수 예측 목적의 선형 관계 모델 정의, 절편·기울기·랜덤오차 등 구성 요소 및 통계적 가정 이해. • 최소제곱법 원리: 미지 회귀계수 추정을 위한 잔차 제곱합 최소화 절차, 정규방정식 유도 및 최소제곱추정량($a, b$) 계산. • 적합회귀선 구축: 최소제곱추정량 $a, b$를 활용한 예측 모형($\hat{Y} = a + bx$) 도출 및 데이터 기반 회귀 분석 결과 해석. |
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[18강] 최소제곱추정량의 성질
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최소제곱추정량 성질과 분산 추정
* 최소제곱추정량 A, B: 단순 선형 회귀 모형의 모수 $\alpha, \beta$를 잔차 제곱합 최소화로 추정하며, 이들의 기대값이 모수와 일치하는 불편추정량. * 최소제곱추정량의 분산 및 최적성: A와 B는 $Y_i$의 확률분포에 기반한 분산을 가지며, 모든 선형 불편추정량 중 가장 작은 분산을 갖는 BLUE(최적 선형 불편추정량). * 오차 분산 추정 $s^2$: 모형의 오차 분산 $\sigma^2$의 불편추정량으로, 오차제곱합(SSE)을 $n-2$의 자유도로 나누어 계산. |
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[19강] 회귀계수의 추론
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회귀계수 추론 및 검정, 결정계수
* **단순 선형 회귀모델 추론**: 오차항 정규성 가정하에 회귀계수 추정량($\alpha, \beta$)의 $t$-분포 활용 원리 이해. * **회귀계수 신뢰구간 및 검정**: 기울기 $\beta$와 절편 $\alpha$의 통계적 유의성 판단을 위한 신뢰구간 설정 및 가설 검정 절차. * **결정계수 ($R^2$)**: SST, SSE, SSR의 구성과 관계(SST=SSE+SSR)를 통한 모형의 설명력 및 적합도 평가 지표. |
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[20강] 예측. 회귀모형의 선택
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30
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선형 회귀모형 예측 및 분산분석
• 선형 회귀모형 예측: 평균 반응값 신뢰구간과 개별 관측값 예측구간 설정 및 그 차이를 통해 종속변수 값 추론 • 선형회귀 분산분석 (ANOVA): 회귀모형의 유의성 검증을 위한 총변동 분해, F-검정을 통한 독립변수-종속변수 간 선형 관계 확인 • 결정계수 ($R^2$): 회귀모형의 설명력을 나타내는 지표로, 종속변수 변동 중 모형이 설명하는 비율 평가 |
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[21강] 선형성 검정
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확률통계학: 회귀 모델 선형성 검정
• 회귀 모델 선형성 검정: 반복 측정 데이터에서 오차제곱합을 순실험오차와 적합결여로 분해하여 F-검정으로 모형 적합성 평가. • 오차제곱합 분해: 순실험오차($SSE_{pure}$)는 우연 변동, 적합결여($SSE_{LOF}$)는 모형의 선형성 결함 변동을 의미하며 분산분석표로 진단. • 비선형 자료 선형화: 지수, 멱 등 다양한 변수변환 기법으로 선형 모형화 가능하며, 오차항의 적절한 변환 규칙 적용이 중요. |
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[22강] 상관분석
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확률통계학 상관분석 개념 및 검정
* 상관분석: 두 확률변수 간 선형적 관계 강도를 모상관계수 $\rho$ 및 표본상관계수 $r$로 측정하며, $r^2$은 선형 모형의 설명력을 나타냄. * 모상관계수 $\rho$ 성질: -1에서 1 범위로, 0은 무상관, $\pm 1$은 완전 선형 관계를 의미하는 지표. * 상관계수 검정: $\rho=0$은 $t$-분포, $\rho=\rho_0$는 피셔의 Z-변환을 통해 유의성을 검정하며, 이변량 정규분포 가정이 중요. |
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[23강] 중회귀분석
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중회귀분석 개요 및 모형, 회귀계수 추정, 분산분석
• 중회귀분석 개념: 다수의 독립변수로 종속변수 변동을 설명하며, 최소제곱법으로 회귀계수를 추정하는 통계 모형. • 모형 유의성 검정: 분산분석을 통해 총변동을 회귀/오차 제곱합으로 분해, F-검정으로 모형 전체의 유의성을 판단. • 결정계수 ($R^2$): 종속변수 변동 중 독립변수에 의해 설명되는 비율로, 회귀모형의 설명력을 객관적으로 제시. |
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| 12장. 실험계획과 분산분석 | ||
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[24강] 실험계획과 분산분석
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실험계획과 분산분석 기초 개념 및 절차
• 실험계획법: 최소 실험으로 최대 정보 획득을 위한 인자 설정, 배치, 데이터 분석, 최적조건 도출 과정. • 실험계획 시 과오: 교호작용 미고려, 비랜덤화, 결과 확장 해석, 제1/2종 과오 방지를 통한 실험 설계 정확성 확보. • 분산분석(ANOVA): 특성값 변동을 제곱합으로 분해하여 체계적 요인과 오차 변동을 구분, 주요 영향 인자를 식별하는 통계 분석 기법. |
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[25강] 일원배치의 분산분석
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일원배치 분산분석 개념 및 검정 절차
* 일원배치 분산분석: 단일 요인의 여러 수준에 따른 모집단 평균의 동질성을 검정하는 통계적 방법론. * 변동 분해 및 모형: 총변동(SST)을 처리 간(SSA) 및 오차(SSE) 변동으로 분해하고 $y_{ij} = \mu + \alpha_i + \epsilon_{ij}$ 모형을 적용. * F-검정 절차: SSA와 SSE 기반 F-통계량을 계산하여 평균 동일성 가설을 검정하고, 분산분석표로 결과 요약. |
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[26강] 등분산 검정
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25:
29
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확률통계학 등분산 검정
• 등분산 검정: 다중 모집단의 평균 비교 전 모분산 동질성 여부를 확인하는 통계적 절차. • Bartlett, Cochran, Levene 검정: 모집단 분산 동질성을 검정하는 방법으로, Levene은 비정규분포에 강건함. • 분산안정화변환: 등분산 가정이 위배될 경우, 데이터 분포에 맞춰 적용하여 통계 분석의 타당성을 확보하는 기법. |
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[27강] 대비에 의한 분석
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확률통계학 대비에 의한 분석 개념 및 검정
* 대비 분석: 분산 분석 이후 모평균 간 특정 선형 조합 및 차이 검정을 위한 통계 기법. * 대비 정의 및 검정: 계수 합이 0인 모평균의 선형 조합으로, 대비제곱합과 오차평균제곱 기반 F-검정 통계량으로 유의성 검정. * 직교 대비: 계수 곱의 합이 0인 조건을 만족하며, 처리제곱합을 독립적 대비제곱합으로 분해하여 개별 처리 효과 분석. |
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[28강] 다중비교
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14
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확률통계학: 다중비교 검정 방법론
• 다중비교 검정 방법론: 분산분석 후 모평균 차이 규명 및 실험별 오류율 제어 개념. • Tukey 검정: 모든 쌍 비교를 위한 동시 신뢰구간; Duncan 검정: 부분 집합 동질성 판단. • Dunnett 검정: 대조군 대비 처리군 비교 통계량 및 결정 기준. |
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[29강] 난괴법
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09:
26
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확률통계학 난괴법 개념 및 분산분석
• 난괴법 정의 및 목적: 블록 변동 제어를 통한 처리 효과 비교를 위한 완전 랜덤화 블록 설계 기법. • 난괴법 모형 및 분석: 처리, 블록 효과 모형 기반 분산분석으로 제곱합 분해 및 F-통계량을 이용한 처리 효과 유의성 검정. • 난괴법 가정: 처리와 블록 간 교호작용이 없음을 전제로 하는 통계 분석 방법. |
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[30강] 라틴방격법
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29:
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라틴방격법: 삼원 배치 설계 및 분산분석
* 라틴방격법: 교호작용 없는 세 요인 중 한 요인의 효과 검정을 위한 실험 설계법으로, 행, 열, 처리를 조절하여 처리조합을 최소화. * 라틴방격 모형: 총평균, 행·열·처리 효과, 오차로 구성되며, 각 요인의 제곱합과 자유도를 산출하여 분산분석표 작성. * F-검정: 분산분석표 기반 F-통계량을 통해 주된 처리 요인의 유의미한 효과 여부를 통계적으로 판단하는 절차. |
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[31강] 모수모형과 변량모형
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27:
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모수모형과 변량모형
• 모수모형: 고정효과 인자의 모평균 추정을 목표; 변량모형: 무선효과 인자의 분산 성분 추정에 집중함. • 혼합모형: 고정효과와 무선효과 인자 결합; 1원배치 변량모형: 처리효과를 확률변수로 보고 분산 성분 추정 및 가설 검정 수행. • 난괴법 및 라틴방격법 변량모형: 블록, 행, 열 효과를 무선효과로 간주하여 평균제곱 기대값을 통해 분산 성분을 추정함. |
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[32강] 이원배치법
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59:
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이원배치법 개념 및 분석 절차
• 이원배치법: 두 가지 인자가 특성값에 미치는 영향을 분석하는 통계 기법으로, F-검정을 통해 효과의 유의성을 판별함. • 반복 없는 이원배치법: 각 처리 조합 1회 실험 시 교호작용이 없음을 가정하며, 두 인자의 주효과 유의성을 검정하는 모형과 절차를 따름. • 반복 있는 이원배치법: 각 처리 조합 반복 실험 시 인자 간 교호작용 효과를 분리 검정 가능하며, 주효과 및 교호작용 유의성을 분석하는 모형과 절차를 사용함. |
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[33강] 삼원배치법
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38:
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삼원배치법 개념 및 분석
• 삼원배치법 개념: 세 인자(A, B, C)의 주효과 및 모든 교호작용 효과를 분석하는 통계적 실험 설계 방법론. • 삼원배치 모형 및 변동 분해: 관측값을 모평균, 주효과, 교호작용 효과, 오차로 분해하는 선형 모형을 설정하고, 총변동을 각 요인별 제곱합으로 분해하여 효과를 정량화. • 가설 검정 및 분산분석표: 각 요인 및 교호작용의 유의성을 검정하는 가설을 설정하고, F-값을 활용한 분산분석표로 통계적 유의성을 해석. |
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| 13장. 비모수적 통계학 | ||
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[34강] 비모수적 통계학 (1)
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비모수적 통계학: 부호 검정 개론
• 비모수적 통계학: 모집단 분포 가정 없이 중앙값 등 위치 모수를 추론하며 명목/서열 척도 자료에 적용. • 부호 검정 원리: 단일 모집단 중앙값 또는 대응 관측값 차이의 중앙값 검정 시 관측값의 부호 활용. • 부호 검정 절차: 성공률 0.5인 이항분포를 검정통계량으로 사용하며, 대규모 표본 시 정규 근사 및 연속성 수정 적용. |
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[35강] 비모수적 통계학 (2)
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확률통계학 비모수적 통계학 (2): 부호순위검정 및 순위합 검정
• 부호순위검정: 단일 표본 및 대응관측값의 중앙값 가설을 부호와 순위 기반으로 검정하는 비모수적 통계 방법 • 순위합 검정: 두 독립 모집단의 중심 위치(중앙값) 차이를 순위 합으로 비교하는 비모수적 통계 기법 • 대표본 정규근사: 두 비모수 검정 모두 충분한 표본 크기에서 통계량 분포를 정규분포로 근사하여 가설 검정을 수행 |
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[36강] 비모수적 통계학 (3)
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비모수적 통계학: Kruskal-Wallis, 런 검정, 공차한계, 순위상관계수
* 비모수적 통계학: Kruskal-Wallis 검정으로 다수 표본 평균의 동일성을 정규성 가정 없이 분석하고, 런 검정으로 데이터의 랜덤성을 평가. * 공차한계: 분포 형태와 독립적으로 특정 신뢰수준에서 모집단 비율을 포함하는 구간을 설정하며 표본 크기를 결정. * 순위상관계수: Spearman $r_s$를 활용하여 두 확률변수 간의 비선형적, 비모수적 상관관계 강도와 방향을 측정. |
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이석민 교수님
확률통계학Ⅱ
