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경제경영수학(수리경제학)
김은정 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
경남대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 5개 챕터, 23강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 서론 | ||
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[1강] 경제모형. 균형(정태)분석
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경제모형, 균형(정태)분석
• 수리경제학: 경제 현상을 수학적 기호(변수, 함수, 집합, 지수법칙)로 모형화하고 분석하는 기본 원리 이해. • 정태 균형 분석: 변화 없는 상태의 경제 균형을 정의하며, 부분시장(선형·비선형), 일반시장, 국민소득 모형별 균형해 도출 과정 학습. • 균형해 도출 및 해석: 근의 공식, 인수분해, 연립방정식, 대입법 등 수학 기법으로 균형해를 구하고, 경제적 의미(양수)를 고려하여 최종 판단. |
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| 2장. 정태분성(균형분석) | ||
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[2강] 행렬대수. 사다리꼴 행렬
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행렬대수와 사다리꼴행렬
• 행렬대수 기초: 행렬 정의, 사칙연산 및 주요 성질(교환법칙 비성립), 정방·전치·대칭·가역 행렬 등 유형별 특징 학습 • 벡터의 선형성: 벡터 연산(덧셈, 내적), 일차결합 개념 및 벡터 간 일차독립·일차종속 관계 분석 • 연립방정식 행렬 해법: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 표현, 기본행연산을 통한 사다리꼴행렬 변환, pivot 및 행렬 계수를 활용한 해법 원리 이해 |
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[3강] 행렬식. 역행렬. 크래머법칙
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행렬식, 역행렬, 크래머 법칙
• 행렬식: 행렬 특성 및 역행렬 존재 판단 지표로, $2 \times 2$ 계산, 사루스/여인수 전개 및 주요 성질 학습 • 역행렬: 수반행렬을 이용한 계산 원리 이해, 연립방정식 $Ax=b$의 유일해 도출 방식 적용 • 크래머 법칙 및 선형방정식 해집합: 역행렬 없이 미지수를 행렬식 비율로 계산, 행렬식에 따른 해집합 유형 분류 |
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[4강] 응용-마르코프 연쇄와 레온티에프 모형
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경제경영수학 응용 모형 및 행렬식 개념
• 시장·국민소득 모형: 크래머 법칙을 활용하여 선형 방정식 체계의 균형해 도출 • 마르코프 연쇄: 전이행렬 기반으로 확률적 시스템 상태 변화 예측 및 안정상태 확률 분석 • 레온티에프 투입산출모형: 투입계수·레온티에프 행렬로 산업 간 연관 관계 분석 및 주소·선도주소 행렬식 개념 이해 |
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| 3장. 비교정태분석 | ||
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[5강] 비교정태분석(극한. 미분계수)
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비교정태분석, 극한, 미분계수 개념
* 비교정태분석: 경제 모형 균형 상태의 변화율 분석 기법이며, 극한, 미분계수, 도함수가 핵심 수학 개념. * 극한 및 연속성: 함수의 한없이 가까워지는 값을 정의하고, 부정형 계산 및 극한 성질을 통해 연속성 조건을 이해. * 미분계수 및 도함수: 특정 점의 접선 기울기 및 모든 점의 변화율을 나타내며, 경제학 한계수입·한계비용 등 변화율 개념에 응용. |
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[6강] 비교정태분석(도함수)
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도함수와 다변수 미분법: 경제경영수학
• 도함수 기본 개념: 상수, 거듭제곱, 사칙연산 미분 공식 학습 및 총비용/총수입 함수에서 한계/평균 함수 도출 원리 적용 • 합성함수 연쇄법칙: 외부/내부 함수 미분 순서와 역함수 도함수: 강단조 조건 및 미분 계산법 적용 • 다변수 편미분: 특정 변수 외 상수로 간주하는 미분 원리 및 야코비안: 다변수 함수의 일차 독립성 분석 |
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[7강] 비교정태분석(탄력성. 전미분. 음함수)
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비교정태분석 (탄력성, 전미분, 음함수)
• 탄력성 개념: 1변수 점탄력성 및 다변수 편탄력성을 통해 종속변수 변화 민감도를 측정하는 비율. • 전미분 및 음함수 미분법: 다변수 함수의 총 변화량과 명시적이지 않은 함수 관계의 도함수를 계산하는 원리. • 음함수 정리: 연립방정식 시스템에서 야코비안과 크래머 법칙을 활용, 비교정태도함수를 도출하여 균형 변화를 분석. |
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| 4장. 최적화문제 | ||
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[8강] 최적화분석(1변수함수의 극값)
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최적화분석 일변수함수의 극값
• 일변수함수 최적화 분석: 극대·극소 정의 및 임계점·정류점 개념을 통해 함수의 최적점 탐색 원리 학습. • 1계도함수 극값 판정: 도함수 부호 변화를 이용한 극대·극소 결정 절차 및 변곡점 분석. • 2계도함수 및 볼록성: 2계도함수 부호로 극값 판정, 함수 볼록성 판단 및 최대이윤 최적화 응용. |
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[9강] 최적화분석(테일러급수. 매클로린급수)
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최적화분석(테일러급수, 매클로린급수)
• 테일러 및 매클로린 급수: 복잡한 함수를 다항식으로 근사하여 표현 및 계산의 용이성 확보. • n차 다항식 및 잉여항: 급수 근사 시 발생하는 오차를 정의하고 라그랑주 형태로 표현. • n계도함수 판정법: 1, 2계도함수 판정 불가능 시 정류점에서 극대, 극소, 변곡점을 식별하는 절차. |
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[10강] 지수함수. 로그함수
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경제경영수학 10강. 지수함수, 로그함수
• 지수함수 기초: $y=a^x$ 정의, 지수법칙, 초월수 $e$ 및 자연지수함수($e^x$)의 도함수·매클로린 급수 전개 요약. • 로그함수 원리: 상용/자연로그 정의, 로그법칙, 지수함수와의 역함수 관계 및 밑변환 공식 이해. • 경제경영 응용: 지수함수 활용 복리·연속 복리 계산, 할인 계산 등 시간 가치 평가 기법 적용. |
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[11강] 지수. 로그함수의 도함수
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지수·로그함수의 도함수와 응용, 다변수 함수 극대·극소
• 지수·로그함수 도함수: 자연 및 일반 지수·로그함수와 합성함수의 미분법 및 연쇄 법칙을 통한 도함수 계산 • 순간 성장률 정의와 응용: 함수 `f(t)`의 순간 성장률 `f'(t)/f(t)`의 개념 및 곱셈, 나눗셈, 덧셈 함수의 성장률 계산법 활용 • 함수 극대·극소 판정: 1변수 함수의 1, 2계 도함수 판정법 복습과 2변수 함수의 편도함수를 활용한 극대·극소 판정 기초 확립 |
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[12강] 다변수함수의 극값(2변수함수의 극값. 2차형식)
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다변수함수의 극값과 2차형식
• 다변수함수 극값 판정: 2계 편도함수 판별법으로 극대, 극소, 안장점을 결정하는 원리 및 절차 요약. • 2차 형식 정부호성: 핵심 행렬의 주소행렬식($|D_k|$) 부호 패턴을 통해 양정부호, 음정부호, 부정부호를 판정하는 방법. • 극값 판정에의 응용: 2차 전미분(Hessian) 형태의 2차 형식 정부호성 원리를 n변수 함수의 극값 판별 도구로 활용. |
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[13강] 다변수함수의 극값(특성근. 헤시안행렬)
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다변수함수의 극값 판정 (특성근 및 헤시안 행렬)
* 특성근: 2차형식의 정부호성을 특성근(고유값) 부호로 판별하는 원리 이해 * 헤시안 행렬: 3변수함수 극대·극소 판별을 위해 주요 소행렬식 부호 활용 * 다변수함수 극값: 특성근 및 헤시안 행렬 활용 최적화 이론을 경제학 이윤 극대화 문제에 응용 |
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[14강] 최적화문제 (1)
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Summary Content:
제약조건 최적화: 라그랑지 승수법 및 쿤-터커 조건 • 등식 제약 최적화: 라그랑지 승수법을 통해 무제약 문제로 변환하고, 유태헤시안 행렬로 극값 판별. • 부등식 제약 최적화: 쿤-터커 조건을 적용하여 1계 편도함수 및 상보성 조건으로 극대/극소 판정. • 커리큘럼 목표: 등식 및 부등식 제약 최적화 문제 해결을 위한 핵심 기법 이해 및 적용 능력 함양. |
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| 5장. 동태분석 | ||
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[15강] 동태분석과 적분법(부정적분. 정적분)
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동태분석과 적분법 기초 (부정적분, 정적분)
• 동태분석 기반 적분법: 미분의 역연산인 부정적분의 개념과 적분상수, 시간 변수 분석 원리. • 부정적분 계산 기법: 다항함수, 로그함수, 지수함수 공식 적용 및 치환적분, 부분적분 절차 학습. • 정적분 개념 및 활용: 부정적분과의 관계, 특정 구간의 넓이 정의와 성질을 통한 정적분 계산. |
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[16강] 동태분석과 적분법(특이적분)
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동태분석과 특이적분 및 경제적 응용
* 특이적분 개념: 무한대 구간 또는 불연속점을 포함하는 적분으로, 극한을 활용하여 수렴 및 발산 여부를 판정. * 특이적분 유형: 무한대 구간 포함 유형과 불연속점 포함 유형의 극한 변환을 통한 계산 원리 및 절차. * 적분법 경제 응용: 한계 함수(한계비용, 한계저축성향, 순투자)를 적분하여 총량 함수(총비용, 저축, 자본 형성)를 도출하고 초기 조건으로 적분 상수를 결정. |
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[17강] 1계미분방정식(변수분리. 선형. 완전미방)
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1계 미분방정식 (변수분리, 선형, 완전미방)
* 1계 미분방정식 정의 및 분류: 1차 도함수를 포함하는 방정식의 계수·선형성·제차성 개념과 일반해·초기값 문제 이해. * 변수분리형 및 선형 미분방정식: 독립변수·종속변수 분리 후 적분, 표준형 변환 및 제차/비제차 공식 적용 해법. * 완전미분방정식: 편미분 조건($M_y=N_t$) 만족 시, $F(t,y)=C$ 가정하여 편미분·적분으로 해 도출 및 적분인자 활용. |
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[18강] 1계미분방정식(적분인자. 동차. 베르누이)
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1계 미분방정식 풀이법: 적분인자, 동차, 베르누이
• 적분인자: 비완전 미분방정식을 완전 미분방정식으로 변환하여 해를 구하는 과정 • 동차 미분방정식: 동차 함수 형태의 방정식을 치환하여 변수분리형으로 전환해 해를 도출하는 기법 • 베르누이 미분방정식: 특정 형태의 비선형 방정식을 치환(`u = y^(1-n)`)으로 선형 미분방정식으로 변환하여 해를 찾는 방법 |
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[19강] 고계미분방정식(2계. 고계. 루드의 정리)
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고계 선형미분방정식 해법과 안정성 분석
• 고계 선형미분방정식 해법: 특성방정식 근 유형별 일반해 결정 및 비제차 방정식의 보조함수·특수해 구성 원리 제시 • 미정계수법: 비제차 미분방정식의 특수해 산출, 초기값 문제의 특정해 결정 및 중복 해법 조정 절차 이해 • 루드(Routh)의 정리: 특성방정식 계수와 근의 실수부분을 이용한 미분방정식 해의 수렴성·안정성 판별 기준 분석 |
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[20강] 차분방정식(1계. 2계 차분방정식)
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차분방정식의 개념 및 해법 (1계, 2계)
* 차분방정식 기초: 이산적 시간 변화 분석 개념, 1계 및 2계 정의와 표기법 설명. * 1계 차분방정식 해법: 반복법 및 일반해법(보조함수·특수해)을 통한 해 도출, 거미집 모형 적용 및 균형의 동태적 안정성 판단. * 2계 차분방정식 해법: 특성방정식의 근 유형(실근, 중근, 복소 켤레근)별 보조함수 형태를 이용한 해의 구조 분석. |
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[21강] 차분방정식(고계방정식. 슈르의 정리)
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차분방정식: 비제차 고계방정식과 슈르의 정리
* **비제차 차분방정식 일반해**: 보조함수($y_c$)와 특수해($y_p$)의 합으로 구성하며, 특수해는 우변($f(t)$) 형태(상수, 지수, 다항)에 따라 가정한 후 미정계수를 결정. * **상수항 특수해 결정**: $f(t)$가 상수일 때, 특성방정식의 근과 계수 관계에 따라 $k, kt, kt^2$ 형태로 가정하여 해결. * **슈르의 정리**: 특성근 없이 특성방정식 계수로 구성된 행렬식($\Delta_k$)의 양수 여부를 통해 차분방정식 해의 수렴성을 판정하는 방법. |
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[22강] 연립미분방정식
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연립미분방정식 해법
* 연립미분방정식 해법: 단일 동태방정식의 연립 형태로 변환 후, 제차해(보조함수)와 비제차해(특수해)를 구하여 일반해를 완성하는 과정. * 제차해 및 특수해 도출: 특성방정식을 통해 특성근을 찾아 보조함수를 구성하고, 우변 상수에 맞춰 특수해를 계산하여 일반해 산출. * 상수 계수 관계 설정: 보조함수 내 임의 상수들 간의 상호 관계를 파악하여, 최소한의 독립 상수로 최종 해를 표현하는 것이 핵심 절차. |
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[23강] 연립차분방정식과 최적화문제 (2)
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연립차분방정식과 최적화문제 해결 방법
• 연립차분방정식 해법: 제차방정식 보조함수와 비제차방정식 특수해를 순차 계산하여 일반해 도출 절차. • 최적제어이론: 제어·상태·공상태변수 정의 및 해밀턴 함수를 통한 동태적 최적 경로 탐색 원리. • 해밀턴 함수 및 극대 원리: 최적 제어변수 극대화, 상태·공상태방정식, 횡단조건으로 구성된 최적화 필수 조건. |
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김은정 교수님
경제경영수학(수리경제학)
