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고체물리학Ⅰ
김진배 교수
중앙대학교 대학원 물리학과 석사과정
중앙대학교 대학원 물리학과 박사졸업
중앙대학교 대학원 물리학과 석사과정
중앙대학교 대학원 물리학과 박사졸업
중앙대학교
홍익대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 결정구조 | ||
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[1강] 결정구조 (1)
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결정구조: 원자의 주기적 배열과 살창 유형 기초 정리
• 기저·살창·원시 낱칸: 기저(basis) 원자집합과 살창(lattice) 점 배열을 분리해 병진벡터로 표현하고, 하나의 살창점만 포함하는 원시 낱칸과 Wigner–Seitz cell로 결정의 주기 구조를 정의 • 대칭성과 점군: 회전(1·2·3·4·6중), 반사, 두집힘 대칭으로 살창 점군(point group)을 규정하고, 허용 대칭성으로부터 결정의 방향성(anisotropy) 및 가능한 격자 형태를 분류 • Bravais 살창과 결정계: 2차원 5가지와 3차원 14가지 Bravais 살창을 병진·대칭 조건으로 분류하고, 변 길이와 각도(a,b,c,α,β,γ) 관계에 따라 7개 결정계 및 대표 구조(cubic, hexagonal, bcc, fcc)를 체계화 |
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[2강] 결정구조 (2)
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결정구조: 입방·육방 격자와 NaCl, CsCl, 다이아몬드, ZnS 구조 핵심 정리
• 결정 격자·낱칸 개념: sc/bcc/fcc/hcp 격자의 원시·관습 낱칸, 병진벡터, 배위수·충진비·최근접 거리로 결정 기하와 밀집포장 구조(hcp·fcc)를 정량 비교 • 결정면·방향 지표와 대표 구조: Miller 지수 (hkl)/[uvw]와 면군 {hkl} 정의를 통해 결정 방향·면을 표현하고, NaCl·CsCl·다이아몬드·입방 ZnS(zincblende) 구조의 기저, 좌표, 배위수, 대칭성 차이를 체계적으로 정리 • 실제 결정과 관찰: TEM·STM을 이용한 3차원/표면 원자배열 직접 관찰 원리와, 막쌓기(random stacking)·다형성(polytypism)으로 나타나는 비이상적 결정 질서가 재료의 전기·광학·기계적 성질에 미치는 구조적 의미 정리 |
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[3강] [문제풀이] 결정구조
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다이아몬드 결합각, 평면지표 변환, HCP에서 c/a 비 유도
• 다이아몬드 사면체 결합각: 정육면체 체대각선 방향 벡터 내적을 이용해 $\cos\theta=-1/3$, $\theta\approx109.47^\circ$로 계산하는 벡터·스칼라곱 기반 각도 해석 • fcc 평면지표 변환: 관습입방셀 기준 Miller 지수 (100),(001)을 평면-좌표축 교점→역수→정수화 절차로 원시축 기준 (101),(011)으로 변환하는 지표 변환 규칙 • hcp 이상 c/a 비: 평면 내 정삼각형 격자와 수평 투영 $x=a/\sqrt{3}$, 피타고라스 정리 $a^2=(a/\sqrt{3})^2+(c/2)^2$를 통해 $c/a=\sqrt{8/3}\approx1.633$을 유도하고 층간 쌓임 조밀도 해석 |
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| 2장. 파의 에돌이 역살창 | ||
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[4강] 파의 에돌이와 역살창 (1)
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파의 애돌이, 브래그 법칙, 역살창과 푸리에 해석 개요
• X선 회절과 브래그 법칙: 결정 격자면에 의한 파의 애돌이 조건을 브래그 법칙(2d sinθ = nλ)과 라우에 조건으로 정식화하고, X선·전자·중성자 및 파우더 회절을 통해 면간거리·격자상수·(hkl) 지수와의 대응 구조를 해석함 • 전자수 밀도와 푸리에 해석: 결정 내 전자수 밀도 n(r)의 격자 병진 대칭에 따른 주기성(n(r+T)=n(r))을 1차원·3차원 푸리에 급수와 복소 지수 표현으로 전개하고, 실함수 조건(M₋p = M*p, N₋G = N*G)에 따른 푸리에 계수 구조를 정리함 • 역살창과 G벡터: 주기 a에 대응하는 k-공간 점열과 3차원 역살창 벡터 G = h b₁ + k b₂ + l b₃를 도입하여, 실공간 격자면 (hkl)과 역격자 벡터 및 브릴루앙 영역·밴드 구조 해석의 기초 관계를 설정함 |
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[5강] 파의 에돌이와 역살창 (2)
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결정의 X선 회절과 역살창, 라우에식 및 브래그 법칙의 등가 표현
• 역살창·푸리에 표현: 실공간 전하밀도 n(r)의 1D/3D 푸리에 급수 전개, 단위셀 부피 기반 계수 n_g 정의, 실공간 살창벡터 a_i와 역살창 벡터 b_i의 정의 및 b_i·a_j=2πδ_ij 직교 조건 정리 • 회절 조건과 브래그 법칙: 산란 진폭 F∝∫n(r)e^{-iΔk·r}dv에서 Δk=g 회절 조건, 탄성 산란에서 |k|=|k'|과 2k·g+g²=0 관계, |G|와 d_hkl의 역비례와 2d_hkl sinθ = nλ 브래그 법칙의 등가성 제시 • 라우에식과 에발트 구성: Δk=g를 a_i와의 내적으로 표현한 라우에식 a_i·Δk=2π정수 조건, 역살창점과 에발트 구면 교차를 통해 허용 회절을 판정하는 기하학적 구성 및 라우에 패턴 형성 원리 정리 |
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[6강] 파의 에돌이와 역살창 (3)
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브릴루앙 영역과 기저의 푸리에 해석, 구조인자 정리
• 브릴루앙 영역·역격자 구조: 역살창에서 위그너-자이츠 낱칸으로 정의되는 첫째 브릴루앙 영역과 sc/bcc/fcc 실격자↔역격자 쌍(sc↔sc, bcc↔fcc, fcc↔bcc) 및 정육면체·정사방십이면체·잘린 팔면체 형태와 부피 관계 정리 • 구조인자·원자 모양 인자: 낱칸 전자밀도의 푸리에 성분으로서 구조인자 S(G)와 원자 모양 인자 f(G)의 정의, 기저 원자 위치·전자분포에 따른 X선 에돌이 진폭 표현 및 G→0에서 f(G)→Z 해석, 자유원자 form factor 근사 사용 조건 정리 • bcc·fcc 반사 선택 규칙: bcc·fcc 격자의 기저 좌표를 이용한 구조인자 계산, bcc에서 h+k+l 홀수 반사 소멸·짝수 반사 허용, fcc에서 (h,k,l) 전부 짝수/전부 홀수일 때만 반사 허용 규칙과 이를 통한 실제 결정 구조 식별(허용·소멸 반사 패턴) 정리 |
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[7강] [문제풀이] 파의 에돌이와 역살창
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결정 평면과 역살창, 육방격자와 브릴루앙 영역, 다이아몬드 구조인자 정리
• 결정 평면·역살창·평면 간 거리: 미러지수 (hkl)에 대응하는 역살창 벡터 g의 법선벡터 역할과 d₍hkl₎ = 2π/|g₍hkl₎|, 단순입방 격자에서 d₍hkl₎ = a/√(h²+k²+l²) 관계 정리 • 육방격자·역살창·브릴루앙 영역: 육방격자의 원시낱칸 부피 Vc = (√3/2)a²c, 역살창 원시벡터와 육방 대칭성, 첫째 브릴루앙 영역 형상(2D 정육각형·3D 육각기둥)과 V_BZ = (2π)³/Vc 부피 관계 정리 • 다이아몬드 구조·구조인자·허용 반사: FCC 격자 위 기저를 갖는 다이아몬드 구조의 전체 구조인자 S(G) = F_FCC·F_basis, FCC 소멸 조건과 더불어 (h,k,l 모두 홀수) 또는 (모두 짝수이면서 h+k+l = 4n)에서만 허용 반사·X선 회절 피크 발생 조건 정리 |
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| 3장. 결정결합과 탄성상수 | ||
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[8강] 결정결합과 탄성상수 (1)
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결정결합과 탄성상수: 불활성 기체 결정과 반데르발스 결합 개요
• 응집에너지와 물성: 응집에너지·살창에너지 정의 및 녹는점·부피탄성률과의 상관, 불활성 기체·이온·공유·금속·수소결합 간 결합 세기 비교 • 불활성 기체 결정과 반데르발스 상호작용: 닫힌 껍질·구대칭 전자분포·FCC 구조 특성과 유도 쌍극자-쌍극자 기원의 반데르발스 인력($-A/r^6$) 및 파울리 배타원리에 의한 짧은 거리 반발력 모델링 • Lennard-Jones 포텐셜과 결정 응집: $U(r)=4\epsilon[(\sigma/r)^{12}-(\sigma/r)^6]$ 포텐셜 기반 결합거리·응집에너지 산출, FCC 격자에서의 다입자 합산($r_0/\sigma\approx1.09$)과 질량·영점진동에 의한 양자수정 및 원소·동위원소 의존성 분석 |
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[9강] 결정결합과 탄성상수 (2)
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이온결정과 마델룽 상수, 공유·금속·수소결합 개념 정리
• 이온결정·마델룽 상수·마델룽 에너지: 양·음이온의 정전기 인력과 파울리 반발을 포함한 퍼텐셜 에너지, 마델룽 상수로 표현되는 쿨롱 에너지 합과 결합거리·응집에너지 관계 정리 • 공유결합·부분 이온성: 족외각 전자 공유·스핀(교환에너지)·혼성화에 의한 방향성 결합, 주기율표 위치에 따른 이온성/공유성 비율과 2족–6족·3족–5족 화합물의 부분 이온성 특징 정리 • 금속결합·전도전자·수소결합: 전자의 바다 모형과 전도전자에 의한 금속결합 특성, H⁺와 전기음성도 큰 원자 사이의 중간 세기 수소결합 개념과 물·유기분자 구조 안정화 역할 정리 |
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[10강] 결정결합과 탄성상수 (3)
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결정결합에서의 원자 반지름과 탄성 변형 분석 요약
• 원자 반지름과 결합 거리: 불활성 기체형·공유결합형·금속형 반지름을 결합 관점의 유효 크기로 정의하고, 이온/공유/금속 결합에서 반지름 합과 배위수 보정으로 결합거리·격자상수 추정 • 이온결정 구조 분석: NaF·SiC·BaTiO₃ 등 이온결정을 대상으로 이온반지름·배위수·격자기하(FCC/HCP)를 사용해 원자간 거리, 격자상수, 결합성(이온성·공유성 혼합) 정량 평가 • 3차원 탄성 변형 이론: 미소 변형률·스트레스 텐서를 6개 독립 성분으로 정의하고, 변위장의 편미분으로 스트레인 표현, 체적 변화와 변형률 합 관계, 대칭 스트레스 텐서 및 일반화된 후크 법칙(6×6 탄성 상수 행렬) 기반 탄성 거동 기술 |
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[11강] 결정결합과 탄성상수 (4)
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탄성 용량상수, 탄성 뻣뻣함 상수와 입방결정에서의 탄성파 개념 정리
• 탄성 상수 행렬과 대칭성: 변형률–응력 선형 관계를 6×6 행렬 Sij(용량상수)·Cij(뻣뻣함 상수)로 표현하고, 에너지 밀도에서 유도되는 Cij=Cji 대칭으로 독립 상수를 일반결정 21개, 입방결정 3개(C11, C12, C44)로 축소 • 부피 탄성률과 압축률: 등방 압력–부피 변형률 관계를 통해 부피 탄성률 B와 압축률 κ(=1/B)를 정의하고, 입방결정 탄성 상수와의 관계 B = (C11 + 2C12)/3로 연결하여 실험값으로 C11, C12를 추정 • 입방결정 탄성파 모드: Cij와 밀도 ρ를 이용해 탄성파 기본 방정식을 세우고, [100]·[110] 방향에서 세로파와 두 종류 가로파의 속도(vL,[100]=√(C11/ρ), vT,[100]=√(C44/ρ))와 편광 조건(u=v, u=-v 등)을 해석하여 포논 모드 기술의 기초로 사용 |
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[12강] [문제풀이] 결정결합과 탄성상수
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양자 고체와 Lennard-Jones 응집에너지, 입방결정 탄성파 속도 관계
• 양자 고체 영점 운동에너지: 1차원 양자우물 모형과 $E=\hbar^{2}k^{2}/2m$을 이용해 반발에너지 기원과 격자 간격 $L$에 따른 영점에너지 규모 $E\propto 1/L^{2}$ 정식화 • Lennard-Jones 응집에너지와 구조 안정성: Lennard-Jones 퍼텐셜·격자합·평형조건($dU/dr=0$)으로 bcc·fcc 응집에너지와 비 $B=U_{\text{fcc}}/U_{\text{bcc}}$를 계산하고, 네온 및 분자 수소에서 양자보정이 응집에너지(실험값 대비 이론값)와 구조 안정성에 미치는 영향 분석 • 입방결정 탄성파 속도 합 관계: 탄성파 방정식을 평면파로 대입해 3×3 행렬 고유값 문제로 환원하고, 고유값 합 = 대각합 성질로 임의 전파 방향에서 세 모드 탄성파 속도 제곱합 $v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}=(C_{11}+2C_{44})/\rho$ 관계 도출 |
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| 4장. 포논 : 결정체 떨기 | ||
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[13강] 포논: 결정체 떨기 (1)
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포논과 단원자 기저 결정체의 떨기, 브릴루앙 영역과 분산관계
• 포논과 1차원 진동 모델: 결정체 집단 진동의 양자화된 준입자인 포논 정의, 단원자 기저 1차원 사슬에서 뉴턴 법칙·훅의 법칙으로 운동방정식과 분산관계 ω² = (2C/m)(1 − cos ka) 유도 • 브릴루앙 영역·정상파·군속도: 분산관계의 2π/a 주기성과 k ↔ k − 2πn/a 등가성을 통해 첫째 브릴루앙 영역(−π/a ≤ k ≤ π/a) 정의, 경계에서 정상파 형성과 군속도 v_g = dω/dk → 0 해석, 긴 파장 극한에서 선형 분산 ω ≈ v_s k와 음속 v_s = a√(C/m) 도출 • 일반화된 분산과 힘상수 역산: 다중 이웃 상호작용을 포함한 일반화된 분산식 ω²(k) = (2/m)∑_{p≥1} C_p[1 − cos(pka)] 제시, 브릴루앙 영역에서 ω²(k)·cos(rka) 적분과 직교성 이용해 실험 분산곡선으로부터 각 층 간 힘상수 C_p를 역으로 결정하는 절차 정리 |
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[14강] 포논: 결정체 떨기 (2)
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다원자 결정에서의 포논 분산, 양자화, 비탄성 산란 정리
• 다원자 격자 포논 구조: 원시 기저에 P개 원자가 있을 때 총 3P개 포논 모드(음향 3개 LA·TA, 광 3P-3개 LO·TO)와 이원자 1차원 체인(M1–M2 모델)의 분산 관계에서 음향·광 갈래 분리 및 운동 형태(동상·반상 진동) 정리 • 포논 양자화와 진폭: 탄성파를 조화진동자로 양자화하여 포논 에너지 εn = (n+1/2)ħω, 운동량 p = ħK, 평균제곱 떨기 너비 U0² ∝ (2n+1)ħ/(ρVω)의 양자화 및 안정/불안정 격자를 결정하는 ω²의 부호 분석 • 포논 산란과 선택 규칙: 포논 준운동량과 역격자벡터를 포함한 파동벡터 선택 규칙 k' = k ± K + G, 비탄성 산란에서 에너지 보존 ħ²k'²/2m = ħ²k²/2m ± ħω(K)을 이용한 중성자·전자·광의 포논 산란과 분산 관계 측정 원리 정리 |
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[15강] [문제풀이] 포논: 결정체 떨기
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연속체 파동방정식과 2원자 사슬 포논 연습문제 정리
• 연속체 파동방정식 유도: 미시적 격자 운동방정식에 Taylor 전개를 적용해 장파장 극한에서 ∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x² 형태의 탄성파 방정식과 음속 v(힘상수·질량 의존) 도출 • 2원자 기저 사슬 포논 분산: 서로 다른 질량·힘상수를 가진 1차원 2원자 사슬에서 2×2 행렬식으로 acoustic/optical branch, K=0·π/a에서 진폭비와 decoupling 모드, 교대 힘상수(C₁,C₂)일 때 분산관계와 gap 구조 분석 • Kohn 비정상과 특수 힘상수 Cp: Cₚ = A sin(pk₀a)/(pa)를 갖는 장거리 상호작용 사슬에서 ω²(K)와 ∂ω²/∂K를 합형태로 계산하고 K=k₀에서 기울기 발산과 분산관계의 수직 접선(Kohn anomaly) 및 특이점 조건 정리 |
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| 5장. 포논 : 열 특성 | ||
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[16강] 포논: 열 특성 (1)
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포논 열특성: 상태밀도, Debye 모형, T³법칙
• 포논 열들이와 상태밀도: 포논을 양자화된 격자진동으로 보고 보즈–아인슈타인 분포와 상태밀도 D(ω)를 이용해 격자 내부에너지 U(T)와 정적 격자 열용량 C_V를 적분형으로 표현 • Debye 상태밀도와 Debye 온도: 선형 분산 ω = vk와 연속체 근사를 통해 D(ω) ∝ ω²를 도입하고, 전체 모드 수 3N으로부터 차단진동수 ω_D와 특성 온도 Θ_D = ħω_D/k_B를 정의 • Debye T³ 법칙과 한계: Debye 상태밀도를 내부에너지 적분에 대입해 저온에서 C_V ∝ T³(Debye T³ 법칙), 고온에서 C_V → 3Nk_B(Dulong–Petit 값)를 도출하나, 선형 분산·평균 음속 가정으로 광학포논 및 실제 분산의 세부 구조는 설명 제한 |
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[17강] 포논: 열 특성 (2)
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포논 열특성: 비조화 상호작용과 열전도율
• 비조화 포텐셜과 열팽창: 조화항에 3차·4차 비조화항을 포함한 결정 포텐셜을 도입해 포논-포논 상호작용, 열팽창, 탄성상수의 온도·압력 의존성을 설명하고 열평균 변위 ⟨x⟩ ∝ T 및 열팽창계수 정의를 제시함 • 열전도율과 평균자유거리: 포논 기체에 기체운동론을 적용해 열전도율 κ = (1/3) C v L을 도출하고, 포논 열용량 C, 군속도 v, 평균자유거리 L의 온도 의존성과 열비저항 W = 1/κ 개념 및 기하산란·결함·시료 크기에 의한 L 제한을 구조적으로 정리함 • 포논 산란 과정과 Umklapp: 비조화 상호작용이 유도하는 3-포논 과정에서 정상(N) 과정과 움클랍(Umklapp) 과정의 운동량 보존식, 브릴루앙 영역·역살창벡터 G 역할을 구분하고, 저온 N 우세·고온 U 우세에 따른 열비저항 증가와 κ(T)의 봉우리형 온도 의존성을 체계적으로 정리함 |
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[18강] [문제풀이] 포논: 열 특성
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포논 상태밀도 특이점과 층상 격자의 포논 열용량
• 포논 상태밀도 특이점: 1차원 단원자 격자와 3차원 광학포논 가지 분산관계로부터 Van Hove 특이점과 임계주파수에서의 상태밀도 불연속성 구조를 유도 • 2차원 포논 상태밀도: 강결합 층상 2차원 격자에 Debye 근사를 적용해 선형 비례 상태밀도 D(ω)∝ω와 모드 수 보정을 포함한 일반식을 정식화 • 층상계 포논 열용량: 2차원 Debye 모형에서 C∝T², 층간 약결합이 지배적인 초저온 영역에서 C∝T 스케일링을 통해 차원성과 결합 강도에 따른 열용량 지수 변화를 정리 |
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| 6장. 자유전자 페르미 기체 | ||
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[19강] 자유전자 페르미 기체 (1)
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자유전자 페르미 기체: 1차원 에너지준위와 페르미-디락 분포 개념 정리
• 자유전자 페르미기체와 양자화 에너지 준위: 금속 내 자유전자를 1차원 무한 퍼텐셜 우물에서 슈레딩거 방정식으로 기술하고, 경계조건에 따른 이산 에너지 준위와 파동함수, 스핀 1/2·파울리 베타 원리에 따른 상태 겹침수 및 한 준위당 2전자 점유 구조 정리 • 페르미 에너지·페르미준과 바닥상태: 다전자계에서 가장 낮은 에너지부터 상태를 채운 바닥상태 구성, 전자수와 최대 점유 양자수의 관계로 정의되는 페르미준·페르미 에너지와 T=0K에서 E≤E_F 완전 점유·E>E_F 완전 비점유 구조를 통해 금속 전자계의 기준 에너지 스케일 설명 • 페르미-디락 분포·화학퍼텐셜과 고온 극한: 에너지별 점유 확률 f(E)=1/(exp((E-μ)/k_BT)+1)과 화학퍼텐셜 μ의 역할, T=0에서 μ→E_F와 유한 온도에서의 S자형 점유 변화, E-μ≫k_BT 또는 고온 극한에서 Maxwell-Boltzmann 분포로의 근사와 고전 통계와의 연결 구조 제시 |
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[20강] 자유전자 페르미 기체 (2)
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자유전자 페르미 기체: 3차원 자유전자, 상태밀도, 열용량
• 3차원 자유전자 페르미 기체: 주기적 경계조건에서 자유전자 에너지-파수 관계( E=ℏ²k²/2m ), k-공간 페르미 구·페르미 에너지·페르미 속도 및 전자 밀도 n과의 관계로 금속 전도 전자의 양자 상태 구조 규정 • 상태밀도와 페르미-디락 통계: 3차원 자유전자 상태밀도 D(E)∝E^{1/2}, E≈E_F 근사와 D(E_F)=3N/(2E_F)을 이용해 U(T)=∫E D(E)f(E)dE로 평균에너지와 점유 상태 분포를 기술 • 전자열용량과 Sommerfeld 매개변수: 전자열용량 C_e=γT, γ=(π²/3)k_B²D(E_F), C_e=(π²/2)Nk_B(T/T_F)로 저온 선형·고전값 대비 축소 설명, 실험값으로부터 Sommerfeld 계수와 열적 유효질량 m*/m=γ_exp/γ_free 추정 및 격자 퍼텐셜·포논·전자-전자 상호작용·heavy fermion의 유효질량 증대 해석 |
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[21강] 자유전자 페르미 기체 (3)
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자유전자 페르미 기체: 전기전도, Hall 효과, 열전도 요약
• 자유전자 전도 모형: 전자 운동방정식·평균 자유시간·산란(포논·불순물·Umklapp)을 통해 전기전도율 σ=ne²τ/m, 비저항의 온도 의존성과 잔류 비저항 구조 해석 • 자기장과 Hall 효과: Lorentz 힘과 텐서 전도도, Hall 전기장·Hall 계수 R_H=-1/(ne)로 캐리어 농도·부호(전자 vs 정공) 규명, 양·음 Hall 계수에 따른 전도 캐리어 해석 • 열전도와 Wiedemann–Franz 법칙: 전자 열용량·Fermi 속도·평균 자유거리로 열전도율 κ를 구하고 κ/(σT)=L 관계(로렌츠 수)를 통해 금속에서 전하·열 운반자로서 전자의 공통 메커니즘 정식화 |
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[22강] [문제풀이] 자유전자 페르미 기체
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자유전자 페르미 기체: 운동에너지, 압력·탄성률, He-3 예제 정리
• 자유전자 페르미 기체 에너지: 0K에서 단입자 에너지·상태밀도 적분으로 평균 에너지 ⟨E⟩ = (3/5)E_F, 총 에너지 U₀ = (3/5) N E_F 도출 • 전자기체 압력·부피 탄성률: 열역학 관계 P = - (∂U/∂V)_S 와 E_F(n) 의존성으로 P = (2/3)(U₀/V), B = -V(∂P/∂V)_S = (10/9)(U₀/V) = (5/3)P 유도 및 금속 K에서 수치 검증 • He-3 페르미 기체 특성: 주어진 질량밀도에서 입자 농도 n 계산 후 E_F = (ħ²/2m)(3π²n)^{2/3}, T_F = E_F/k_B 로 액체 He-3의 페르미 에너지·페르미 온도 산출 및 저온 페르미 기체 거동 해석 |
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| 7장. 에너지 띠 | ||
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[23강] 에너지 띠 (1)
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에너지 띠, 준자유전자 모형, Bloch 함수, Kronig-Penney 모형 개념 정리
• 에너지 띠와 밴드 갭: 주기적 퍼텐셜에서 형성되는 허용 에너지 띠와 금지대 구조를 통해 금속·반도체·절연체(및 반금속)를 밴드 채움과 밴드 갭 크기로 구분 • 준자유전자 모형·Bragg 반사·브릴루앙 존: 자유전자 분산관계에 주기적 결정 퍼텐셜 효과를 도입하여 Bragg 반사 조건과 브릴루앙 존 경계에서 정상파·확률밀도 차이로 밴드 분할과 에너지 간격(밴드 갭) 발생 과정을 기술 • Bloch 정리와 Kronig-Penney 모형: Bloch 함수(평면파×격자주기함수) 형태의 전자 상태와 주기적 퍼텐셜(사각/델타 장벽 배열)에 대한 Kronig-Penney 분산식에서 |f(E)|≤1 구간을 허용 띠, 그 외를 금지대로 해석해 밴드 구조의 수학적 기원 정리 |
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[24강] 에너지 띠 (2)
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주기적 퍼텐셜에서의 전자 파동방정식과 에너지 띠 구조 핵심 정리
• 주기적 퍼텐셜과 Bloch 상태: 퍼텐셜·파동함수의 Fourier 전개를 통한 중심방정식 유도, Bloch 정리(ψk=uk e^{ikx})와 결정운동량 개념, 빈 살창 어림법과 역격자(Kronig-Penney) 기반 자유전자 밴드 구조 해석 • 에너지 띠와 금지대 형성: Brillouin 영역·역격자 벡터를 사용한 자유전자 포물선 folding, 영역 경계에서의 2×2 근사와 밴드 분리(E=λ±|UG|)에 따른 밴드 갭 2|UG| 발생 및 경계 근처 분산관계·유효질량 평가 • 밴드 점유와 전기적 성질: 한 띠당 상태 수(원시낱칸 N개 → 스핀 포함 2N 상태)와 가전자 수에 따른 밴드 반충만·완전충만 여부, 밸런스/전도 밴드와 밴드 갭 크기를 기준으로 한 금속·절연체·반도체 구분 원리 정리 |
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[25강] [문제풀이] 에너지 띠
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정사각형·입방살창 자유전자 에너지와 Kronig-Penney 띠구조
• 자유전자 에너지와 Brillouin 영역 대칭점: 정사각형·입방살창에서 E∝k² 관계로 중심–모서리·꼭짓점 간 k-벡터 크기 비교를 통해 2D에서 에너지비 2, 3D에서 에너지비 3 도출 및 Brillouin 영역 내 에너지 분포 구조 이해 • 2가 금속 전도성 및 밴드 채움: 제1·제2 Brillouin 영역의 역축소 표현과 면 중심·모서리 부근 상태 점유를 통해 밴드갭 크기와 운동에너지 차이 비교로 밴드 중첩 여부, 2가 금속의 금속/부도체 전도성 판별 • Kronig-Penney 델타 퍼텐셜 모형(P≪1): 분산식 P(sin ka/ka)+cos ka=cos Ka에서 k≈0, k≈π/a 영역 테일러 전개로 최저 에너지띠 E_min ≃ (ħ²/ma²)P와 브래그면(k=π/a) 근처 띠 간격 ΔE ≃ (2ħ²/ma²)P 유도 및 퍼텐셜 세기–밴드 구조 정량 관계 분석 |
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| 8장. 반도체 결정체 | ||
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[26강] 반도체 결정체 (1)
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반도체 결정체의 띠 간격, 밴드 구조, 운동방정식 핵심 정리
• 반도체 밴드 구조와 운반자: 원자가띠·전도띠·띠 간격(밴드갭) 기반 금속·반도체·부도체 구분, 고유운반자 농도·비저항·온도 의존성, 양공 개념 및 원소/화합물(III-V, II-VI, IV-VI) 반도체 특성·응용(LED, 태양전지, 검출기) 정리 • 직접/간접 천이와 광특성: k-공간에서 가전자대 최대·전도대 최소의 위치로 직접/간접천이 분류, 포톤·포논이 관여하는 광흡수·발광 과정, 흡수 계수 스펙트럼과 발광 효율 차이 및 재료 선택 원리 정리 • k-공간 운동방정식과 유효질량: 군속도 \(v_g=\frac{1}{\hbar}\nabla_k E\), 힘-운동량 관계 \(\hbar\frac{d\vec k}{dt}=\vec F\), 전기장·자기장 하 등가 에너지면 상의 k-궤도, 밴드 곡률로 정의되는 유효질량과 준입자(전자·양공) 기술의 기초 정리 |
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[27강] 반도체 결정체 (2)
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양공과 유효질량, 반도체 밴드 구조의 운동방정식 정리
• 양공과 유효질량 개념: 가전자대 전자 빈자리를 양전하·양의 유효질량을 갖는 준입자로 정의하고, 전자와 부호만 반대인 에너지·운동방정식·군속도 관계로 기술하며, 유효질량을 밴드 에너지 곡률에서 정의되는 격자 퍼텐셜 포함 효과 질량으로 사용 • 유효질량 수학적 정의와 측정: 에너지-파수 관계에서 $1/m^*=(1/\hbar^2)\,d^2E/dk^2$ 혹은 텐서식으로 유효질량을 정의하고, 사이클로트론 공명에서 $\omega_c=|q|B/m^*$와 공명·릴랙세이션 조건을 이용해 전자·정공의 방향별 유효질량과 에너지 타원체를 실험적으로 결정 • 반도체 밴드 구조와 홀 밴드: 직접·간접 밴드갭(Γ·L·X 포인트 위치), 가전자대의 heavy-hole·light-hole·split-off 밴드 분할과 스핀-궤도 결합 기원을 통해 정공 유효질량·비등방성 특성을 규정하고, Si·Ge·GaAs 등의 밴드 구조와 전자·정공 유효질량 값이 전기·광학·수송 특성을 결정함 |
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[28강] 반도체 결정체 (3)
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반도체 고유캐리어 농도, 이동도, 불순물·열전기 효과 개관
• 고유반도체·캐리어 농도: 전도대·가전자대 상태밀도와 페르미-디락 분포(볼츠만 근사)로부터 $n=N_C e^{-(E_C-E_F)/k_BT}$, $p=N_V e^{-(E_F-E_V)/k_BT}$, $np=N_C N_V e^{-E_g/k_BT}=n_i^2$ 및 고유캐리어 농도·페르미 준위 위치(띠 간격 중앙 근방)와 n형·p형 도핑 시 다수·소수 캐리어 관계 정식화 • 이동도와 전도율: 이동도 정의 $\mu=|v_d|/E$와 미시적 표현 $\mu=q\tau/m^*$, 포논 산란·유효질량에 따른 온도·물질 의존성으로 전자 이동도 $\mu_n>\mu_p$ 경향 설명, 전도율 식 $\sigma=q(n\mu_n+p\mu_p)$로 캐리어 농도·이동도·도핑에 따른 전기전도 특성 정량화 • 도핑·열여기 평형 관계: 열여기·광여기에 의한 전자–양공 생성·재결합 평형에서 $np$ 상수 관계와 $np=n_i^2$ 활용, 도핑 시 한 캐리어 증가에 따른 반대 캐리어 감소(보족 캐리어·보상 개념) 및 n형·p형 반도체의 전하 수송 메커니즘 구조적 이해 |
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[29강] 반도체 결정체 (4)
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불순물 전도율, 열전기 효과, 가웃금속, 초살창 요약
• 불순물 도핑과 전도 특성: 주개·받개 불순물의 수소원자 모형 기반 이온화 에너지·Bohr 반지름, 유전율·유효질량에 따른 전자·양공 농도 변화와 질량작용법칙을 통한 N형·P형 전도 특성 설명 • 열전기 효과 파라미터: 전류 밀도·에너지 플럭스 관계로 정의되는 펠티에 계수 Π와 절대 열전력 Q(Seebeck 계수), Kelvin 관계 Π=QT 및 부호에 따른 N형·P형 판별 원리 정리 • 가웃금속·초살창 밴드 구조: 세미메탈의 밴드 중첩에 따른 전자·양공 동시 존재와 중간 전도성, 초살창의 인공 주기 포텐셜에서의 블로흐 진동·제너 터널링 및 고속 전자소자 응용 개념 정리 |
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[30강] [문제풀이] 반도체 결정체
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InSb 불순물 주개와 이온화, 전도전자 농도 및 Hall 계수 계산 정리
• 주개 이온화 에너지와 궤도 반지름: 수소원자 모형 기반으로 $E_D\propto m^\*/\varepsilon^2$, $a_D\propto \varepsilon/(m^\*/m)$을 사용해 InSb 주개의 이온화 에너지와 바닥상태 궤도 반지름을 계산하고, 전도띠 근접 얕은 불순물 준위 특성 규명 • 불순물 띠 형성 임계 농도: 궤도 반지름 $a_D$를 갖는 구의 체적 근사 $N_D\approx 1/(\frac{4}{3}\pi a_D^3)$로 주개 궤도 겹침 시작 농도와 불순물 띠 형성 조건을 산정하고, 희석 도핑 영역에서의 hopping 전도 가능성 정리 • 저온 전도전자 농도 및 Hall 계수: $n=N_0\sqrt{N_D}\exp(-E_D/2k_BT)$로 저온에서 이온화 주개가 공급하는 전도전자 농도와 온도·도핑 의존성을 평가하고, $R_H\approx -1/(nec)$ 관계로 N형 반도체의 Hall 계수 부호·크기와 다수 운반자 농도 연계를 정리 |
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| 9장. 페르미 면과 금속 | ||
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[31강] 페르미 면과 금속 (1)
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페르미면과 금속: 환산/주기적 영역, 준자유전자, 궤도
• 페르미면·브릴루앙 존·k-공간: k-공간 등에너지면으로서의 페르미면 정의, 브릴루앙 존 구성과 자유전자·준자유전자 모형에서의 페르미면 형태 및 금속 전기·자기적 성질과의 관계 • 환산 영역 방식·주기적 영역 방식·에너지 띠: 역격자 벡터로 모든 상태를 제1 브릴루앙 존에 모으는 환산 방식과 E(k)=E(k+G) 주기성을 이용하는 주기적 영역 방식, 이들로 표현되는 밴드구조 Eₙ(k)와 밴드갭 형성 • 전자 궤도·양공 궤도·열린 궤도: 자기장 하 페르미면 단면에서의 전자형/양공형 닫힌 궤도와 브릴루앙 존 경계 통과로 생기는 열린 궤도 정의, 이들의 전하 유효거동 및 자기저항 등 수송 특성에 대한 영향 정리 |
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[32강] 페르미 면과 금속 (2)
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에너지 띠의 계산: Tight-binding, Wigner-Seitz, Pseudopotential 개요 정리
• 밀접결합 방법(Tight-binding, LCAO)과 격자 구조: 원자 궤도 선형결합을 통한 에너지 띠 형성, 최근접 이웃·겹침 에너지 γ에 따른 단순입방/bcc/fcc에서의 띠 폭·에너지 분산·유효질량 관계 정리 • Wigner-Seitz 방법과 응집에너지: Bloch 함수와 k·p 섭동을 이용한 알칼리 금속 띠 구조 근사, Wigner-Seitz 셀·공 근사와 자유원자 대비 에너지 감소로 정의되는 응집에너지 개념 정리 • 유사퍼텐셜·빈핵 모형·EPM·제1원리 계산: 코어 포텐셜을 약한 유사퍼텐셜·빈 핵심 모형으로 치환하는 스크리닝 기반 근사, 실험 유사퍼텐셜(EPM)과 제1원리 계산을 통한 밴드 구조·유효질량·응집에너지·탄성 상수 예측 방법 정리 |
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[33강] 페르미 면과 금속 (3)
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페르미면 연구의 실험 방법과 드하스-반 알펜 효과 요약
• 페르미면·자속 양자화: k공간에서 페르미 에너지 면(페르미면)과 자기장 속 전자 궤도의 보어–서머펠트 조건에 따른 자속 양자화, k공간 궤도 면적–자기장 비례 관계 정식화 • 드하스-반 알펜 효과: 란다우 준위 양자화로 인한 총 에너지 톱니형 변화와 자기 모멘트의 1/B 주기 진동, 극대 궤도 면적·유효 질량·페르미면 형상 역추출 원리와 관측 조건(저온·고순도·강한 자기장) • 페르미면 구조·자기적 깨짐: 구리·금·마그네슘 등의 페르미면 형상(neck·hole 구조)과 극대 궤도 개념, 강한 자기장에서 밴드 간 터널링에 의한 magnetic breakdown과 dHvA·수송 특성의 수정 메커니즘 |
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[34강] [문제풀이] 페르미 면과 금속
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직사각형 및 정방 2차원 살창에서 브릴루앙 영역과 페르미면, 진동 현상 정리
• 역격자·브릴루앙 영역: 2차원 직사각형·정방 격자에서 aᵢ·bⱼ=2πδᵢⱼ 조건으로 역격자 벡터를 정의하고, 최근접 역격자점의 수직이등분선으로 1차·2차 브릴루앙 영역과 자유전자 띠 구조를 구성함 • 페르미 원·전자 밀도: 단위 셀 면적과 셀당 전자 수로 전자밀도 n을 구하고 n=k_F²/(2π) 관계로 2차원 자유전자 페르미 반지름 k_F를 계산해, 1차 브릴루앙 영역 내 페르미 원 위치와 점유 상태(고차 영역 전개 포함)를 해석함 • 열린 궤도·드하스–반 알펜 효과: 자기장 하에서 열린 궤도의 k-공간 운동 주기를 사이클로트론 동역학으로 평가하고, 극대 궤도 단면적 S에 비례하는 드하스–반 알펜 주기 Δ(1/B)와 칼륨 자유전자 모형(k_F, S, 실공간 궤도 반지름·면적)으로 페르미면 구조를 역추론하는 원리를 정리함 |
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| 10장. 초전도성 | ||
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[35강] 초전도성 (1)
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초전도성 실험적 관점 핵심 정리
• 초전도 정의·임계조건: 임계온도 이하 전기저항 0, 임계자기장 이하 완전 반자성(마이스너 효과) 유지, 제I형·제II형 구분 및 온도–자기장 상도에서 상전이 조건 규정 • 열역학·전자상태: 초전도 전이 시 엔트로피·자유에너지·열용량 변화와 2차 상전이 특성, 전자–전자 상호작용 기원 에너지 간격과 온도의존성, 마이크로파·적외선 흡수 스펙트럼과의 연관 구조 정리 • 물질계·격자 진동 효과: 금속·합금·고온초전도체의 임계온도 및 상자성 불순물 민감도, 제II형 초전도체의 고자기장 응용 영역, 동위원소 효과를 통한 임계온도–격자 진동(phonon)·전자–격자 상호작용 의존성 정리 |
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[36강] 초전도성 (2)
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초전도 전이의 열역학과 London 방정식
• 초전도 전이·임계자기장·자유에너지: 임계온도·임계자기장에서 정상/초전도 상태 자유에너지 곡선 교차로 상전이 발생, 자유에너지 차이 ΔF는 임계자기장 제곱에 비례하는 안정화 에너지 밀도로 해석 • London 방정식·마이스너 효과·London 침투깊이: J∝A 로 수정된 옴의 법칙과 Maxwell 방정식 결합해 ∇²B=B/λ_L² 유도, 초전도체 내부 B=0인 마이스너 효과와 B(x)=B₀exp(-x/λ_L)로 정의되는 London 침투깊이(전하·질량·초전도 전자밀도에 의해 결정되는 자기장 감쇠 길이) 규정 • 결맞음 길이·평균 자유행로·BCS 연결: 초전도 질서 유지 공간 스케일인 결맞음 길이 ξ(ξ₀≈ħv_F/Δ)와 평균 자유행로 l의 상관관계로 불순 초전도체에서 ξ 감소·실제 침투깊이 λ 증가 및 κ=λ/ξ에 따른 제1형/제2형 구분 설명, 이 길이 스케일과 에너지 간격이 BCS 이론의 쿠퍼쌍·에너지 갭·전이온도 T_c 와 연결됨 |
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[37강] 초전도성 (3)
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BCS 이론과 초전도 바닥상태·자속 양자화·제II형 초전도체 정리
• BCS 초전도 이론·쿠퍼 쌍·에너지 갭: 전자-살창 유도 인력에 의한 쿠퍼 쌍 응축, 에너지 갭과 임계온도식 Tc=1.14θDexp(-1/UD), 침투깊이 λ·결맞음 길이 ξ 및 전통적 저온 초전도체 설명 • 초전도 바닥상태·자속 양자화·지속전류: 쿠퍼 쌍 기반 BCS 바닥상태와 비저항 0, 초전도 응축 파동함수 위상 조건과 London 방정식에 따른 자속 양자 Φ0=h/2e, 플럭소이드 탈출에 대한 열활성 장벽으로 인한 사실상 영구 지속전류 • 제I형·제II형 초전도체·보텍스·임계자기장: λ·ξ 관계와 표면에너지 부호에 따른 제I형/제II형 구분, 제II형 혼합 상태의 보텍스 격자 및 플럭소이드 구조, Hc1≈Φ0/πλ²·Hc2≈Φ0/πξ²·Hc와의 관계를 통한 고자기장 초전도 응용 조건 정리 |
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[38강] 초전도성 (4)
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조셉슨 터널링, 고온 초전도체, 좌표계 변환 핵심 정리
• 초전도체·조셉슨 효과·디바이스: 초전도체 정의(비저항 0·마이스너 효과), 제I형·제II형·에너지 간격·BCS 이론과 조셉슨 접합에서의 직류·교류 조셉슨 효과·자기선속 양자화·SQUID를 통한 초고감도 자기장·기본상수 측정 기능 정리 • 고온 초전도체 공학적 의의: 산화물계 고온 초전도체(YBCO 등)의 높은 임계온도와 액체질소 온도(77 K) 운전 가능 조건, 기존 극저온 금속 초전도체 대비 전력 전송·자성 응용·전자공학 활용성 비교 • 원통·구좌표계 벡터 표현: 원통·구좌표계와 직각좌표계 단위벡터의 스칼라곱 관계, 좌표·벡터 성분 변환 절차, 각도 범위(θ, φ) 및 사분면 보정 규칙을 이용한 벡터의 좌표계별 표현 방법 정리 |
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[39강] [문제풀이] 초전도성
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초전도체 판에서의 자기마당 침투와 박막 임계자기마당
• 런던 방정식과 자기장 분포: 침투방정식 λ²∇²B = B의 1차원 해와 경계조건으로 판 내부 자기마당 B(x) = Bₐ cosh(x/λ) / cosh(δ/2λ) 및 침투깊이·하이퍼볼릭 함수 기반 자기장 침투 구조 정리 • 얇은 판 자기화와 자유에너지: δ ≪ λ 조건에서 cosh 테일러 전개로 B(x)−Bₐ ∝ (δ²−4x²) 근사, 유효 자기화 4πM(x) = Bₐ(δ²−4x²)/(8λ²)와 이에 따른 자유에너지 밀도 Fₛ(x) 및 두께 적분 후 평균 자유에너지 ΔFₛ,avg ∝ Bₐ²(δ/λ)² 도출 • 박막 임계자기마당 스케일링: 박막의 자기적 자유에너지와 덩어리 시료 자유에너지 Fₛ,bulk ∝ B_ac² 비교로 임계자기마당 B_af = √12 (λ/δ) B_ac ∝ (λ/δ)H_c 관계 유도, 두께와 침투깊이가 임계자기마당을 지배하는 설계 파라미터임을 구조적으로 정리 |
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김진배 교수님
고체물리학Ⅰ
