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양자역학Ⅱ
정명신 교수
고려대학교 대학원 물리학과 석사과정
고려대학교 대학원 물리학과 박사졸업
고려대학교 대학원 물리학과 석사과정
고려대학교 대학원 물리학과 박사졸업
고려대학교
한양대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 6장. 시간에 무관한 삽동론 | ||
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[1강] 겹침 없는 상태의 섭동론
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시간에 무관한 섭동론: 비축퇴 1차·2차 근사, 무한 우물 예제 정리
• 시간에 무관한 비축퇴 섭동론: 해밀토니안 $H=H_0+\lambda H'$ 분해와 에너지·파동함수의 λ-급수 전개를 통해 차수별 슈뢰딩거 방정식 정리, 비축퇴 조건하 고유값·고유상태 보정 구조 규명 • 1차 보정 공식: 1차 에너지 보정 $E_n^1=\langle\psi_n^0|H'|\psi_n^0\rangle$ 및 1차 파동함수 보정 $|\psi_n^1\rangle=\sum_{m\ne n}\dfrac{\langle\psi_m^0|H'|\psi_n^0\rangle}{E_n^0-E_m^0}|\psi_m^0\rangle$ 도출과 Hermitian 성질·정규직교성·완전성에 기반한 의미 정리 • 무한히 깊은 퍼텐셜 우물 섭동 예제: 전구간 바닥 상승 $H'=V_0$에서 모든 에너지 준위가 $V_0$만큼 평행 이동, 반구간 상승에서 보정량 $V_0/2$가 되는 공간 평균 퍼텐셜 효과와 에너지 기대값 간의 대응 구조 설명 |
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[2강] 일차근사 이론 (1)
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무한 퍼텐셜 우물과 조화진동자의 섭동 이론 연습문제 정리
• 무한 퍼텐셜 우물 섭동 이론: 중심 델타 섭동에 대한 1차 에너지·파동함수 보정, 짝·홀 모드 선택규칙과 노드 구조 분석, 보손 바닥·들뜬상태의 상호작용 에너지 1차 보정 계산 • 조화진동자 섭동 해석: 스프링 상수 미소 변화에 따른 각주파수·에너지의 멱급수 전개, 섭동 해밀토니언 설정과 비리얼 정리를 이용한 1차 에너지 보정 도출 및 정확 해와의 일치 검증 • 보손계 상호작용 섭동: 두 보손의 대칭 파동함수 구성, 델타형 입자-입자 퍼텐셜 기대값 적분, 상태별 에너지 이동량 비교를 통한 상호작용 효과 구조적 이해 |
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[3강] 일차근사 이론 (2)
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에너지 섭동이론의 2차 보정 공식과 응용 예제 정리
• 비퇴화 섭동론 2차 에너지 보정식: $E_n^{(2)}=\sum_{m\neq n}\dfrac{|\langle m^{(0)}|H'|n^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$ 일반식 유도와 1차 보정 파동함수 전개·직교성 조건 정리 • 무한정 사각 우물과 델타 섭동: 중심 델타 퍼텐셜의 행렬원소 계산, 홀수 모드만 기여하는 선택 규칙, $\sum_{m\neq n}1/(n^2-m^2)$ 급수 정리로 $E_n^{(2)}\propto -1/n^2$ 도출 • 조화진동자 섭동 응용: 올림/내림 연산자를 이용한 $x$, $x^2$ 행렬원소 계산, 스프링 상수 섭동과 약한 전기장에 대한 1차·2차 에너지 보정, 좌표 이동을 통한 정확 해와 섭동론 결과의 일치 검증 |
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[4강] 겹쳐진 상태의 섭동론 (1)
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겹쳐진 상태에서의 섭동론(이중 겹침, 1차 보정 에너지)
• 겹쳐진 상태 퇴분 섭동론 개념: 에너지가 같은 두 고유상태(퇴분 상태)에서 비퇴분 섭동론의 분모 0으로 인한 발산 문제를, 겹친 부분공간에서의 일차결합 기저 선택과 섭동 해밀토니안 행렬요소 \(W_{ij}\)를 통해 2차 방정식으로 1차 보정 에너지 \(E_1^\pm\)를 구하는 방식으로 해결하는 이론 • 겹쳐진 상태 퇴분 섭동론 수학 구조: 섭동 해밀토니안 \(H'\)의 행렬요소 \(W_{ij}=\langle\psi_i^0|H'|\psi_j^0\rangle\)를 이용해 계수 \(\alpha,\beta,E_1\)에 대한 선형 연립방정식과 특성방정식 \((E_1-W_{aa})(E_1-W_{bb})-W_{ab}W_{ba}=0\)을 세우고, 그 두 근 \(E_1^\pm\)와 대응하는 일차결합 계수 \((\alpha,\beta)\)로 겹친 준위 분열과 특수한 경우 \(W_{ab}=0\)에서 비퇴분 섭동론 결과와의 일치를 해석함 • 좋은 기저 선택과 교환자 조건: \(H'\)와 (또는 \(H_0, H'\) 둘 다와) 교환하는 헤르미트 연산자 \(A\)를 찾아 \([A,H']=0\) 및 서로 다른 고유값 조건으로 \(\langle\psi_a^0|H'|\psi_b^0\rangle=0\)을 증명하고, \(H_0\)·\(A\)의 공통 고유기저에서 섭동 해밀토니안이 대각화되어 겹침이 사실상 제거되므로 일반 비퇴분 1차 섭동론 공식을 그대로 적용하는 실질적 사용 절차를 정리함 |
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[5강] 겹쳐진 상태의 섭동론 (2)
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원형 고리 위 자유입자의 섭동 이론과 두 상태 섞임 문제 요약
• 축퇴 섭동 이론과 좋은 비섭동 상태: 2차원 축퇴공간에서 섭동 행렬원 W_ij 구성·2×2 에르미트 행렬 대각화를 통해 좋은 비섭동 상태의 직교성·H′의 대각화·1차 에너지 보정 E_±^(1)과 행렬원 관계 정식화 • 원형 고리 자유입자 정준 상태와 가우시안 섭동: 주기 경계조건 ψ(x+L)=ψ(x)로부터 k_n=2πn/L·ψ_n(x)=L^(-1/2)e^{i2πnx/L}·E_n∝n^2 양자화 도출 및 가우시안 퍼텐셜 H′=-V_0 e^{-x^2/a^2}에 대한 대각·비대각 행렬원 계산으로 축퇴쌍 (n,-n)의 1차 에너지 분리 E_{n,±}^{(1)}=-V_0 a√π/L [1±e^{-(2πna/L)^2}] 유도 • 짝/홀 조합 상태와 방법 비교: 축퇴 상태 ψ_n·ψ_{-n}에서 짝함수·홀함수 조합 Ψ_±∝cos(2πnx/L), sin(2πnx/L)를 구성해 직접 적분으로 1차 보정 E_{n,±}^{(1)}를 계산하고 행렬 대각화 결과와 일치함을 통해 축퇴 섭동 이론의 일관성과 대칭(공간 반전) 기반 상태 선택의 의미 정리 |
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[6강] 겹쳐진 상태의 섭동론 (3)
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3차원 무한 퍼텐셜 우물의 3중 축퇴와 섭동론 요약
• 3중 이상 축퇴 섭동론: 축퇴한 고유상태 집합에서 섭동 연산자의 행렬 표현 W_{ij} = ⟨ψ_i^{(0)}|H'|ψ_j^{(0)}⟩을 구성하고, 이를 대각화하여 1차 에너지 보정(고유값)과 좋은 기저 파동함수(고유벡터 선형결합)를 얻는 절차 • 3차원 무한 입방 퍼텐셜 우물: V=∞ 경계(0 • 구간형·델타 함수 섭동 효과: 특정 영역·점에 국한된 H'에 대해 3중 축퇴 기저(ψ_{112}, ψ_{121}, ψ_{211})에서 W 행렬을 계산하고, 직교성·삼각함수 적분으로 비대각 성분을 판별하여 고유값 분할 양상(에너지 분열)과 이에 대응하는 선형결합 상태(ψ_a, (ψ_b±ψ_c)/√2 등)를 체계적으로 도출 |
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[7강] 겹쳐진 상태의 섭동론 (4)
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양자역학 겹침·비겹침 섭동이론 연습문제 6.9–6.10 정리
• 비섭동 해밀토니안·정확 고유값 구조: 3×3 해밀토니안의 비섭동 고유값·고유벡터 도출, 특성방정식으로 정확 고유값 계산 및 ε에 대한 2차 멱급수 전개 정리 • 비겹침 섭동이론: 비섭동 준위 선택, 섭동 해밀토니안 분해, 1차·2차 에너지 보정 공식과 행렬 원소 계산, 정확 해와의 2차까지 일치 관계 정리 • 겹침 섭동이론·W 행렬: 2중·n중 겹침 상태에서 겹침 부분 기저 설정, W 행렬 정의 W_{ij} = ⟨i|H'|j⟩, 1차 에너지 보정이 W 행렬 고유값이 됨을 선형대수적으로 증명하는 절차 정리 |
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[8강] 수소원자의 미세구조 (1)
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수소원자의 미세구조 – 상대론적 보정과 Bohr 에너지 정리
• 수소원자 해밀토니안과 상대론적 섭동항: 비상대론적 쿨롱 해밀토니안에 상대론적 운동에너지 전개로 얻은 $H_r'=-p^4/(8m^3c^2)$를 섭동으로 도입하고, Bohr 에너지·미세구조상수(α)를 통해 에너지 스케일을 정식화함 • 1차 섭동론과 에너지 보정 일반식: $p^2=2m(E-V)$ 관계를 사용해 $\langle p^4\rangle$를 $\langle(E-V)^2\rangle$로 표현하고, $E_r^{(1)}=-\frac{1}{2mc^2}\langle(E-V)^2\rangle$ 형태의 임의 구속 퍼텐셜에 대한 상대론적 1차 에너지 보정 일반식을 유도함 • 수소 퍼텐셜에서의 기댓값과 최종 보정식: Virial 정리로 ⟨1/r⟩, Feynman–Hellmann 정리로 ⟨1/r²⟩를 계산하여 수소에서 $E_r^{(1)}=-E_n\frac{\alpha^2}{2}\left(\frac{4n}{\ell+1/2}-3\right)$ 꼴의 상대론적 보정식을 얻고, 그 결과 에너지가 n과 ℓ에 모두 의존하는 미세구조 분할이 생김 |
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[9강] 수소원자의 미세구조 (2)
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1차원 조화진동자의 상대론적 에너지 보정과 수소 ℓ=0 상태에서의 p², p⁴의 Hermitian 성질
• 1차원 조화진동자 상대론적 에너지 보정: 상대론적 운동에너지 전개를 섭동항으로 처리해 ⟨x²⟩, ⟨x⁴⟩ 기대값을 ladder operator로 계산하고, 1차 섭동론으로 에너지 준위 보정식 \(E_n^{(1)} \propto -\frac{\hbar^2\omega^2}{mc^2}(2n^2+2n+1)\) 도출 • 조화진동자 기대값 계산 구조: 위치 연산자 \(x\)를 \(a, a^\dagger\)로 표현해 선택 규칙(올라가는 횟수=내려가는 횟수)으로 ⟨x²⟩, ⟨x⁴⟩를 정리하고, 이를 통해 상대론적 보정항에 필요한 \(\langle p^k V^\ell\rangle\)를 구조적으로 계산 • 수소 ℓ=0 상태에서 p², p⁴의 Hermitian 성질: 구좌표에서 \(p^2=-\hbar^2\nabla^2\)가 적당한 정의역·경계조건(0과 ∞에서 파동함수 유한·감쇠) 하에 부분적분으로 Hermitian임을 보이는 한편, \(p^4\)는 고차 미분과 \(r^{-2}\) 구조 때문에 경계항이 소거되지 않아 ℓ=0 수소 상태 공간에서 자기수반(Hermitian) 연산자가 되지 않음을 확인 |
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[10강] 수소원자의 미세구조 (3)
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스핀-궤도 결합과 전자의 자기 모멘트 해밀토니안
• 스핀-궤도 결합 개념: 전자 스핀 자기 모멘트와 핵(양성자) 궤도운동이 만드는 자기장 사이의 상호작용으로, 비오-사바르 법칙과 궤도각운동량을 이용해 B ∝ L/r³ 형태로 표현하고 미세구조 분할을 설명함 • 자기 모멘트·자기회전비율·g-인자: 원형 전류 고리 모형에서 μ/S = q/(2m)을 도출하고, 전자 스핀에 대해 μ_e = - (e/m) S 및 g ≈ 2를 도입해 고전 결과의 두 배 크기와 부호 차이를 양자역학적으로 정식화함 • 스핀-궤도 해밀토니안과 토마스 세차 보정: H_so ∝ (e²/4πϵ₀)(1/m²c²r³) S·L에서 출발해 비관성계 효과인 토마스 세차운동으로 1/2 인자를 곱해 H_so' = (e²/8πϵ₀)(1/m²c²r³) S·L 형태로 보정하고, 디랙 방정식·QED와의 일치를 통해 물리적 의미를 정리함 |
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[11강] 수소원자의 미세구조 (4)
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수소 원자의 스핀-궤도 결합 에너지 보정 유도 정리
• 스핀-궤도 해밀토니안 구조: $H'_{so}\propto r^{-3}L\cdot S$ 형태로 정의되며, 보정 에너지는 $\langle H'_{so}\rangle$ 계산 문제로 정리됨 • 각운동량 보존량과 $L\cdot S$: $H'_{so}$는 $L^2,S^2,J^2$와만 교환자가 0이므로 상태는 $\lvert n,\ell,s,j,m_j\rangle$로 기술되고, $L\cdot S=\tfrac{1}{2}(J^2-L^2-S^2)$ 및 $s=\tfrac{1}{2}$을 사용해 $\langle L\cdot S\rangle=\dfrac{\hbar^2}{2}[j(j+1)-\ell(\ell+1)-\tfrac{3}{4}]$로 표현됨 • 수소 원자 $1/r^3$ 기대값과 보정식: 방사형 지름 방정식과 재귀관계로 $\langle r^{-3}\rangle=\dfrac{1}{\ell(\ell+\tfrac{1}{2})(\ell+1)n^3a^3}$를 유도하고, 이를 결합해 $E_{so}^{(1)}=E_n\dfrac{\alpha^2}{2n}\dfrac{j(j+1)-\ell(\ell+1)-3/4}{\ell(\ell+\tfrac{1}{2})(\ell+1)}$ 형태의 스핀-궤도 미세구조 보정식을 얻음 |
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[12강] 수소원자의 미세구조 (5)
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수소원자의 미세구조와 에너지 준위 보정 요약
• 수소 미세구조 개념: 비상대론적 수소 에너지 준위에 상대론적 운동에너지 보정과 스핀-궤도 결합을 포함해, 총각운동량 양자수 j와 주양자수 n에 의해 결정되는 미세 에너지 분할 구조를 정의 • 미세구조 보정 및 Dirac 에너지 식: 상대론적 보정항과 스핀-궤도 보정항을 j=ℓ±1/2로 통합해 E_fs^(1)=E_n²/(2mc²)·(3−4n)/(j+1/2) 형태로 정리하고, Dirac 방정식 정확식 E_nj를 α에 대한 급수 전개로 근사해 −13.6 eV/n² 위에 O(α⁴) 규모의 j-의존 보정항을 도출 • 양자수 및 준위 겹침 구조: 미세구조 포함 시 에너지는 n,j에만 의존해 ℓ-의존 겹침이 소멸하고 n,ℓ,s,j,m_j가 좋은 양자수가 되며, 같은 n,ℓ 준위가 j 값에 따라 여러 개의 fine splitting 선으로 분할되는 스펙트럼 구조가 형성됨 |
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[13강] 제만 효과 (1)
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약한 자기장 하 수소 원자의 제만 효과와 란데 g-상수
• 제만 효과와 장 세기 구분: 외부 자기장에 의한 에너지 준위 분리, 내부 자기장과의 비교를 통한 강한/약한/중간 제만장 정의, 약한 장에서 미세구조 우세와 좋은 양자수 $(n,\ell,j,m_j)$ 규정 • Zeeman 해밀토니안과 란데 g-상수: 궤도·스핀 자기 모멘트로부터 $H_Z'=\frac{e}{2m}(\mathbf{L}+2\mathbf{S})\cdot\mathbf{B}$ 구성, $L,S,J$ 벡터 결합과 평균 스핀 사영을 이용한 $g_J$ 유도 및 $g_J=1+\dfrac{j(j+1)+s(s+1)-\ell(\ell+1)}{2j(j+1)}$ 표현 • 약한 제만 에너지 보정과 수소 준위 분리: 보어 마그네톤 $\mu_B=\frac{e\hbar}{2m}$ 정의와 수치, 일반식 $E_Z^{(1)}=\mu_B g_J B_{\text{ext}} m_J$ 도출, 이를 바닥상태와 $n=2$의 8개 상태에 적용한 제만 분리와 에너지 다이어그램 구조 정리 |
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[14강] 제만 효과 (2)
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강한 자기장에 의한 Zeeman 효과와 미세구조 에너지 보정 요약
• 강한 장 Zeeman 효과 구조: 좋은 양자수 전이(n, ℓ, mℓ, ms), Zeeman 해밀토니안 HZ′ = (e/2m)Bext(Lz+2Sz), 에너지식 EZ = μB Bext(mℓ+2ms) 및 쿨롱 기본 에너지와의 결합 구조 정리 • 미세구조 보정 항: 상대론적 보정 Er1과 스핀-궤도 결합 Eso1의 기대값 구조, ⟨r⁻³⟩와 S·L 의존성, 두 항을 합한 Efs1 ∝ (13.6 eV) α² / n³ × [3/(4n) − {ℓ(ℓ+1) − mℓ ms}/(ℓ(ℓ+1/2)(ℓ+1))] 형태로 표현 • 강한 장에서의 전체 에너지와 특수 경우: Etot = −13.6 eV/n² + μB Bext(mℓ+2ms) + Efs1 구조, n=2에서 8개 상태의 Zeeman 분리 및 5개 에너지 준위 겹침 패턴, ℓ=0에서 Lj=0에 따른 공통 양자수(j=s)와 일반식의 0/0 문제를 E_nj 식으로 해결해 미세구조 계수 −5/8 도출 구조 정리 |
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[15강] 제만 효과 (3)
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중간 세기 자기장에서 n=2 수소 원자의 Zeeman 효과와 W 행렬 고유값
• 중간 세기 Zeeman 효과와 기저 선택: 외부·내부 자기장이 비슷한 중간 세기에서 n=2 수소 원자의 8개 상태를 j,m_j 기저로 표현하고 Clebsch-Gordan 계수로 |l,m_l;s,m_s⟩와 |j,m_j⟩를 연결하여 파동함수와 상태 구조를 정리 • 미세구조·Zeeman 에너지 파라미터: 미세구조 에너지를 상수 γ로, Zeeman 항을 β=μ_B B_ext로 정의하여 E_fs(j=1/2)=-5γ, E_fs(j=3/2)=-γ 및 E_Z=β(m_l+2m_s) 형태로 표현하고 이를 통해 8개 상태의 총에너지를 행렬 W의 대각·비대각 성분으로 구성 • W 행렬과 에너지 준위 구조: W 행렬의 8×8 구조에서 섞임이 없는 4개 상태는 대각 원소가 곧 고유값이 되며, 나머지 4개는 두 개의 2×2 블록으로 분해해 특성방정식으로 λ_±를 구하고, 이 8개 고유값이 β=0의 순수 미세구조, 약한 자기장의 선형 Zeeman, 강한 자기장의 Paschen-Back 구조를 연속적으로 연결하는 에너지 준위 분할을 규정함 |
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[16강] 초미세구조 갈라짐
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수소 원자의 초미세구조 갈라짐과 21cm 스펙트럼선
• 스핀-스핀 결합 해밀토니안: 양성자 자기모멘트와 전자 스핀 상호작용, ℓ=0에서 델타 함수 항만 남는 초미세 구조 1차 에너지 보정 • 바닥상태 초미세 분할: 전자-양성자 합스핀으로 정의되는 삼중항·단일항 상태의 에너지 분리와 그로부터 얻는 21cm(1420 MHz) 스펙트럼선 • 수소 유사계 초미세 분리: 뮤온형 수소·포지트로늄·뮤오늄에서 환산질량과 g인자 비례식을 이용한 초미세 분리 에너지 스케일링 및 크기 비교 |
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| 7장. 변분원리 | ||
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[17강] 변분원리 이론 (1)
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변분원리와 1차원 계의 바닥상태 에너지 예제 정리
• 변분원리 개념과 수학적 구조 : 해밀토니안 고유기저 전개·규격화·에너지 기대값 가중합을 통해 바닥상태 에너지 상한선 관계 \(E_{gs}\le\langle\psi|\hat H|\psi\rangle\) 및 최소화 원리 정식화 • 1차원 계 예제 적용(조화진동자·델타퍼텐셜·무한 포텐셜 우물) : Gaussian·삼각형 테스트 함수 선택, 규격화와 운동·퍼텐셜 에너지 기대값 계산, 변분 파라미터 최적화로 ground state 에너지 상한선 도출 및 정확 해와 비교 • 분포와 특수 함수 도구(델타함수·계단함수) : Heaviside 함수 미분 \(d\Theta/dx=\delta(x)\) 관계, 기울기 불연속 파동함수에서 \(d^2\psi/dx^2\)의 델타항 발생 원리, 변분법의 활용 범위(복잡계 ground state 근사)와 상한선·들뜬상태 한계 정리 |
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[18강] 변분원리 이론 (2)
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선형·4차 퍼텐셜과 1차원 조화진동자의 변분법 연습문제 정리
• 변분법 기초·적분 기술: Gaussian 적분(I₀·I₂·I₄)과 x=b tanθ 치환을 이용한 테스트 함수 규격화, 기대값 계산, 변분 파라미터에 대한 미분 절차 정리 • 선형·4차 퍼텐셜 변분 상계: V(x)=αx, V(x)=αx⁴에 Gaussian 테스트 함수를 적용해 ⟨H⟩(B)를 구성하고, d⟨H⟩/dB=0에서 최적 B와 바닥상태 에너지 상계 E_var의 스케일링(E∝α²ᐟ³, E∝α¹ᐟ³ 등) 도출 • 조화진동자 변분 상계: ψ(x)=A/(x²+b²)를 사용해 T·V 기대값과 ⟨H⟩(b)=ħ²/(4mb²)+½mω²b²를 얻고, d⟨H⟩/db=0에서 최적 b 및 E_var=0.707ħω를 계산하여 정확한 E₀=0.5ħω와 비교, 변분 상계의 의미와 테스트 함수 선택 효과 분석 |
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[19강] 변분원리 이론 (3)
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변분원리 연습문제 7.3–7.5 정리: 델타퍼텐셜·따름정리·조화진동자·섭동론
• 변분원리와 델타퍼텐셜 바닥상태 상계: 삼각형 시험함수 규격화와 델타함수 처리로 운동·퍼텐셜에너지 기대값을 계산하고, 파라미터 최적화로 1차원 델타퍼텐셜 바닥상태 에너지의 상계를 도출 • 변분원리 따름정리와 들뜬상태 에너지 경계: 고유상태 전개와 직교 조건을 이용해 바닥상태와 직교하는 시험함수의 해밀토니안 기대값이 첫 번째 들뜬상태 에너지 상계가 됨을 보이고, 조화진동자 홀수 시험함수로 정확한 1차 들뜬상태 에너지 재현 • 변분원리와 비겹침 섭동이론 부호 구조: 바닥상태 비섭동 파동함수를 시험함수로 사용해 0차+1차 바닥상태 에너지가 항상 과대평가됨을 보이고, 2차 보정식의 분자·분모 부호 분석으로 2차 에너지 보정항이 항상 음수임을 확인 |
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[20강] 헬륨원자의 바닥상태
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헬륨 원자의 바닥상태와 변분법, 유효핵전하 Z
• 헬륨 해밀토니안과 바닥상태 에너지: 두 전자계 해밀토니안 구성(운동에너지·핵-전자 퍼텐셜·전자-전자 반발)과 실험 바닥상태 에너지 및 이온화 에너지 정의·관계 정리 • 변분법과 테스트함수 근사: 전자-전자 반발 무시 수소형 $1s$ 곱파동함수와 Gamma 함수 적분을 이용한 $\langle V_{ee}\rangle$ 평가, 변분 상한값 계산으로 $E\approx -75\,\text{eV}$ 도출 구조 정리 • 유효핵전하 Z와 에너지 최소화: 차폐를 반영한 유효 전하량 $Z$를 갖는 수정 테스트함수 도입, $⟨H⟩(Z)=(-2Z^2+\tfrac{27}{4}Z)E_1$ 유도 후 $Z=27/16$에서 최소 에너지 $E\approx -77.5\,\text{eV}$ 및 실험값과 비교, He⁺ 에너지로부터 이온화 에너지 계산 구조 제시 |
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[21강] 수소분자 이온 (1)
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헬륨 기법의 H⁻, Li⁺ 적용과 수소분자이온 H₂⁺ 변분법 요약
• 2전자 계 변분 에너지 일반식: 헬륨 변분 파동함수를 임의 핵전하 Z₀로 일반화하여 유효 핵전하 z 최적화, 바닥상태 에너지 상한값 E_min = ((16Z₀−5)²/128)E₁ 도출 및 He, H⁻, Li⁺ 에너지 근사 • H₂⁺ 물리 모형과 테스트 함수: 한 전자가 두 고정 양성자 사이에 있는 계로 해밀토니안 설정 후, 수소 1s 파동함수의 대칭 선형조합 ψ = A[ψ₀(r₁)+ψ₀(r₂)]를 속박·결합 여부 판정용 변분 테스트 함수로 채택 • 중첩 적분 I와 규격화: 두 핵 중심 1s 궤도함수 겹침 I = ∫ψ₀(r₁)ψ₀(r₂)d³r을 좌표계 선택·변수 치환·구간 분할 적분으로 계산해 I = e^{-R/a}(1+R/a+R²/3a²) 얻고, A² = 1/[2(1+I)]로 규격화해 향후 에너지 기대값 평가 기반 마련 |
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[22강] 수소분자 이온 (2)
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수소 분자 H₂⁺의 변분법: 직접·교환 적분과 에너지 함수 F(x)
• 수소분자 이온 H₂⁺ 변분 모형: 1s 궤도 선형결합 테스트 함수·해밀토니안 기대값·직접적분 D·교환적분 X·겹침 적분 I 정의 및 무차원화 x=R/a 도입 • 직접적분 D·교환적분 X·겹침 적분 I 구조: 구면좌표·코사인법칙·감마함수형 및 부분적분을 통해 D(R/a), X(R/a), I(R/a)를 유도하고 전자 에너지 ⟨H⟩ = E₁(1+2D+X)/(1+I)로 표현 • 전체 에너지 함수 F(x): 전자 에너지와 양성자-양성자 퍼텐셜을 합쳐 F(x) = -E_total/E₁ 형태로 정의하고, F(x) 최소 조건으로 평형 핵간 거리·결합 에너지·H₂⁺ 공유결합(속박 상태) 형성 조건 해석 |
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| 8장. WKB 근사법 | ||
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[23강] 고전적인 영역
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WKB 근사법과 고전적인 영역, 양자화 조건, 대안적 유도 요약
• WKB 근사법 기본 개념: 퍼텐셜이 완만히 변하는 1차원 시간독립 슈뢰딩거 방정식에서 파동함수를 $\psi(x)\sim p(x)^{-1/2}\exp[\pm\frac{i}{\hbar}\int p(x')dx']$ 로 근사하고, 고전적/비고전적 영역 구분과 확률밀도 $|\psi|^{2}\propto 1/p(x)$의 준고전적 해석을 정리함 • WKB 양자화 조건과 퍼텐셜 우물: 무한 퍼텐셜 우물 및 선반이 있는 변형 우물에서 $\int p(x)dx = n\pi\hbar$ 양자화 조건을 적용하여 에너지 고유값을 근사하고, 평평한 우물에서 정확 해와의 일치 및 선반 우물에서 섭동이론 1·2차 보정과의 대응을 구조적으로 제시함 • ℏ 전개를 이용한 대안적 유도: 파동함수를 $\psi(x)=\exp[\frac{i}{\hbar}f(x)]$로 두고 $f(x)$를 ℏ 멱급수로 전개하여 $(f_{0}')^{2}=p^{2}$, $if_{0}''=2f_{0}'f_{1}'$ 등을 얻고, 이를 통해 진폭이 $1/\sqrt{p(x)}$인 WKB 공식과 그 준고전적 의미를 체계적으로 재유도함 |
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[24강] 터널링 현상
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터널링 현상과 알파붕괴 WKB 해석 요약
• WKB 비고전적 파동함수와 터널링 투과율: E • Gamow 알파붕괴 모형과 수명 공식: 핵 내부 사각 우물+외부 쿨롱 장벽 퍼텐셜, r₁·r₂ 반환점과 WKB 적분으로부터 γ≈K₁Z/√E−K₂√Z R₁ 도출, 충돌 빈도 v/(2R₁)와 T≃e⁻²γ를 결합한 붕괴 상수 λ≃(v/2R₁)e⁻²γ 및 평균수명 τ≃(2R₁/v)e²γ 표현 • 유한 장벽·실제 핵종 적용: 유한 사각장벽에 대한 감쇠지수 γ=(2a/ħ)√{2m(V₀−E)}와 T≃exp(−4aħ⁻¹√{2m(V₀−E)}) 유도, 정확해의 지수부와 WKB 일치 조건(T≪1) 제시, 질량 결손·핵반지름·딸핵 Z를 사용한 U-238·Po-212 알파붕괴 에너지·속도·γ·수명 계산 구조 정리 |
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[25강] 연결 공식 (1)
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WKB 근사법에서의 반환점 연결 공식과 짜집기 파동함수 요약
• 반환점 근처 짜집기 파동함수: 퍼텐셜을 $V(x)\simeq E+V'(0)x$로 1차 근사해 슈뢰딩거 방정식을 에어리 방정식 $d^2\psi/dz^2=z\psi$로 변환하고 $Ai(z)$만을 채택해 반환점 부근의 물리적 짜집기 파동함수 구성 • 에어리 함수–WKB 겹침 영역 연결: 고전적($x<0$)·비고전적($x>0$) 영역에서 $p(x)$와 $\int p(x')dx'$를 근사해 WKB 해의 점근형과 $Ai(\alpha x)$ 점근형을 겹침 영역에서 일치시켜 계수 관계 $a,D,B,C$를 결정 • 최종 WKB 연결 공식(일반 반환점 $x_2$): 고전적 영역 $x |
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[26강] 연결 공식 (2)
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수직벽을 갖는/갖지 않는 퍼텐셜 우물에서의 WKB 양자화 조건
• WKB 파동함수와 변환점 연결공식: 고전·비고전 영역에서의 WKB 해와 Airy 함수 근사를 일치시켜 $\psi \propto \dfrac{1}{\sqrt{p(x)}}\sin\!\big(\frac{1}{\hbar}\!\int p\,dx+\frac{\pi}{4}\big)$ 형태와 위상 보정항을 도출 • 수직벽 유무에 따른 WKB 양자화 조건: 한쪽 수직벽+한쪽 변환점에서 $\int p\,dx=\big(n-\tfrac{1}{4}\big)\pi\hbar$, 양쪽 모두 변환점(수직벽 없음)에서 $\int_{x_1}^{x_2}p(x)\,dx=\big(n-\tfrac{1}{2}\big)\pi\hbar$ 로 위상 보정($\pi/4$·$\pi/2$)이 달라짐 • 반쪽짜리 조화진동자 에너지 준위: $V(x)=\tfrac{1}{2}m\omega^2x^2$와 $p(x)=\sqrt{2m(E-V)}$ 적분을 이용해 $\int_0^{x_2}p(x)\,dx=\tfrac{\pi E}{2\omega}$ 를 얻고, WKB 조건에 대입하여 $E_n=\big(n-\tfrac{1}{4}\big)\hbar\omega$ 형태의 양자화된 에너지 준위 도출 |
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[27강] 연결 공식 (3)
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양자역학에서 튕기는 공과 WKB, 조화진동자 에너지 quantization 요약
• 중력 퍼텐셜과 에어리 함수: 선형 퍼텐셜 V(x)=mgx와 바닥 경계조건 ψ(0)=0에서 Schrödinger 방정식을 Airy 방정식으로 환원하고, Ai 함수 영점 a_n으로부터 이산 에너지 준위 E_n∝(-a_n)(mg^2ħ^2)^{1/3} 및 Virial 정리로 평균 위치 ⟨x⟩=2E_n/(3mg)를 도출함 • WKB 근사와 튕기는 공: 한쪽 벽·한쪽 전환점 구조에서 고전 운동량 p(x)=√{2m(E-mgx)}와 전환점 x_2=E/(mg)를 사용해 WKB 조건 ∫_0^{x2}p(x)dx=(n-1/4)πħ을 적용하고, 에너지 스펙트럼 E_n∝[mg^2ħ^2]^{1/3}(n-1/4)^{2/3}과 거대 양자수 n에서의 준연속·고전적 거동을 설명함 • WKB 근사와 조화진동자: 조화 퍼텐셜 V(x)=½mω^2x^2에서 양쪽 전환점 x_1, x_2와 p(x)=√{2m(E-½mω^2x^2)}로 WKB 조건 ∫_{x1}^{x2}p(x)dx=(n-1/2)πħ을 적용해 E_n=(n+½)ħω를 재도출하고, 전환점 근처 선형화·에어리 점근식(Ai) 정확도 조건(상대 오차 (d/x_2)^2, αd≳5)로부터 큰 n에서만 WKB·에어리 근사가 1% 이내로 유효함을 정량적으로 평가함 |
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| 9장. 시간-의존 삽동론 | ||
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[28강] 두 개의 에너지 준위를 가진 물리계 (1)
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시간-의존 섭동론: 두 에너지 준위, 수소 원자 전기장, 전이확률 해석 요약
• 시간-의존 섭동 이론: 두준위 계의 해밀토니안 분해(H=H₀+H′(t))와 정지상태 일차결합 표현을 통해 시간-의존 슈뢰딩거 방정식에서 전이 진폭 c_a(t), c_b(t)와 천이 주파수 ω₀=(E_b−E_a)/ħ의 결합 미분방정식 유도 • 두준위 계와 수소 원자 섭동 행렬원소: 수소 원자에 전기장 H′=−eEz를 가했을 때 정규직교 상태 집합에서 H′_ij=⟨ψ_i|H′|ψ_j⟩를 계산하고, 짝·홀 함수성과 대칭성을 이용해 H′_ii=0 및 소수의 유효 비대각 원소만 전이를 유도함을 보이는 행렬원소 구조 정리 • 시간-독립 섭동에서 전이 진폭 해: H′_aa=H′_bb=0인 시간-무관 섭동에서 c_a(t), c_b(t)에 대한 2차 미분방정식과 특성방정식을 풀어 Ω=√(ω₀²+4|H′_ab|²/ħ²)를 정의하고, 정규화 |c_a|²+|c_b|²=1을 만족하는 진동형 해를 통해 두준위 전이 확률의 시간발전과 라비형 진동 특성 정식화 |
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[29강] 두 개의 에너지 준위를 가진 물리계 (2)
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델타 함수 섭동을 받은 2준위계의 전이 확률 해석
• 델타 함수형 섭동 해밀토니언: 2준위계에 시간 의존 섭동을 $H'(t)=U\delta(t)$, $U_{ab}=\alpha$로 정의하고 직사각형 펄스 근사 및 $\epsilon\to0$ 극한을 통해 순간 펄스 섭동의 수학적 모형화 수행 • 시간 전개 계수 해 및 유니터리 회전: 슈뢰딩거 방정식에서 $c_a(t), c_b(t)$ 결합미분방정식을 2차 방정식과 특성방정식으로 풀어 삼각함수형 해를 얻고, 펄스 후 계수를 $c_a=\cos(|\alpha|/\hbar)$, $c_b=-i(\alpha^*/|\alpha|)\sin(|\alpha|/\hbar)$ 꼴의 순간 유니터리 회전으로 해석 • 정규화 보존과 전이 확률: $|c_a|^2+|c_b|^2=1$ 정규화 보존을 확인하고, $\;P_{a\to b}=\sin^2(|\alpha|/\hbar)$ 형태의 전이 확률을 도출하여 델타 섭동 강도 $|\alpha|$가 즉각적인 Rabi 회전각으로 작용함을 구조적으로 정리 |
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[30강] 두 개의 에너지 준위를 가진 물리계 (3)
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시간-의존 섭동론: 반복근사, 차수별 해 및 연습문제 9.4 정리
• 시간-의존 섭동론 구조: 작은 섭동 H′를 가정해 0차 자유해에서 출발, 결합미분방정식을 적분형으로 풀어 1차·2차·일반 n차 근사에서 H′의 곱 개수와 섭동 차수가 일치하는 반복 적분 구조 정리 • 정규화와 1차 근사 한계: 계수 c_a, c_b가 |c_a|²+|c_b|²=1을 만족해야 하며, 1차 섭동해에서는 엄밀히 1이 아니지만 H′의 1차항까지만 남기고 2차 이상 항을 버리면 정규화가 1차 정확도로 유지되는 근사적 성격 설명 • 대각 성분 포함 일반화와 변수 변환: 시간-의존 대각 성분 H′_aa, H′_bb를 포함한 경우의 1차 해 유도와, 위상 인자 φ(t) 및 새로운 변수 d_a, d_b 정의로 대각 성분을 지수 위상으로 흡수해 방정식을 단순화하고 두 방법이 동일한 1차 물리적 결과를 줌을 비교·정리 |
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[31강] 사인함수 형태의 섭동
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시간에 무관·사인형 섭동에서의 2준위 전이와 확률 특징 요약
• 2준위 계 시간 의존 섭동 전개: 일반/특수 초기조건에서 계수 c_a(t), c_b(t)의 0·1·2차 적분식 구조와 선형성, 시간에 무관한 섭동에서 정확해의 라비 주파수 Ω에 대한 테일러 전개와 2차 섭동 해의 일치 관계 정리 • 시간에 무관한 섭동 전이진폭: 초기조건 (1,0)에서 1차 전이진폭 c_b(t)와 2차 보정이 포함된 c_a(t)의 해를 유도하고, 소량 매개변수 |H'_{ab}|/(ℏω_0)에 대한 2차 근사로서 정확해와의 대응 구조 분석 • 사인형 섭동과 전이확률 공명 구조: H'(t)=V cos ωt에서 1차 전이진폭 c_b(t) 도출, 회전파 근사(RWA) 조건과 공명(ω≈ω_0)에서의 전이확률 P_{a→b}(t)의 sin² 의존성, 최대값·주기·선폭(Δω≈4π/t) 및 시간–에너지 불확정성과의 연계 특성 설명 |
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[32강] 전자기파의 방출과 흡수
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양자계와 전자기파 상호작용, Rabi 진동과 흡수·방출
• Rabi 진동과 확률 보존: 두 상태 계에서 시간 의존 쌍극자 섭동에 의한 Rabi 주파수·전이 확률·공명 조건과 확률 보존 관계 정식화 • 전기쌍극자 섭동 해밀토니안: 전자기파 전기장과 전기쌍극자 모멘트로부터 H'=-qE₀zcos(ωt) 유도, 행렬요소·짝홀성·선택규칙 구조 정리 • 포톤 흡수·유도·자발적 방출과 레이저: 흡수·유도방출 전이 확률 동형성, 진공장에 의한 자발적 방출 기원, 밀도반전 기반 레이저 광 증폭 메커니즘 정리 |
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[33강] 결맞지 않은 섭동
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결맞지 않은 섭동과 아인슈타인 A,B 계수를 통한 자발적 방출 전이율
• 결맞지 않은 섭동과 전이율: 다중 주파수·비편광 전자기파에서 교차항이 소멸한다는 가정 하에 에너지 밀도 스펙트럼 ρ(ω)를 사용해 전이확률을 적분으로 표현하고, 공명 근사와 방향 평균 ⟨(p·n)²⟩=p²/3을 통해 결맞지 않고 편광되지 않은 장에 대한 유도 전이율 R ∝ p²ρ(ω₀)를 도출함 • 아인슈타인 A,B 계수와 열적 평형: 두 준위 계에서 자발적 방출(A), 유도 방출·흡수(B_ab,B_ba)를 이용해 개수 변화 방정식을 세우고, 볼츠만 분포와 플랑크 흑체복사 공식 ρ(ω)를 결합하여 B_ab=B_ba 및 A = (ħω₀³/π²c³)B_ba 관계를 얻음 • 자발적 방출률과 주파수 의존성: 유도 방출률 R = B_baρ(ω₀)= (π/3ε₀ħ²)p²ρ(ω₀)로부터 B_ba를 구해 A = ω₀³p²/(3π ε₀ħ c³)을 전기 쌍극자 전이에 대한 자발적 방출률로 표현하고, R_T/A = 1/(e^{ħω/k_BT}-1)을 이용해 실온에서 열적 유도 방출이 저주파(적외선·마이크로파)에서 우세하고, 고주파(가시광)에서는 자발적 방출이 지배적임을 정량적으로 비교함 |
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[34강] 자발적 흡수
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들뜬 상태 수명과 붕괴 모드, 조화진동자 및 수소원자의 방출 전이
• 들뜬 상태 지수 붕괴와 수명: 자발 방출률 A에 따른 원자 수 지수 감소 N(t)=N(0)e^{-t/τ}, 평균수명 τ=1/A와 반감기 t_{1/2}=τ ln2의 정의 및 여러 붕괴 모드에서 전체 붕괴율 A_tot=ΣA_i, τ=1/A_tot 관계 정리 • 조화진동자 자발 방출과 Larmor 공식: 1차원 조화진동자의 전이 쌍극자 모멘트와 photon 각진동수로부터 A_n ∝ n q^2ω^2/(ε_0 m c^3), τ_n ∝ 1/n, P=Aħω ∝ (E_n-½ħω) 유도하고 고전 Larmor power P_class ∝ E와 비교하여 높은 양자수에서 대응원리 확인 • 수소 원자 n=2 상태 전이와 선택규칙: 분리형 파동함수 ψ_{nlm}, 좌표 r·Y_{lm} 구조를 이용해 1s↔2s,1s↔2p_0 E1 전이 금지, 1s↔2p_{±1}만 허용되는 dipole 선택규칙과 parity 분석으로 전이 모멘트 |P|^2, 자발 방출률 A = ω_0^3|P|^2/(3π ε_0 ħ c^3), 2p 상태 평균수명 τ ≈ 1.6×10^{-9} s 도출 과정 정리 |
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[35강] 선택규칙
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양자역학 선택 규칙: m, ℓ 선택 규칙과 준안정 상태
• 선택 규칙과 행렬요소: 구대칭 계에서 전기쌍극자 전이 행렬요소 ⟨n′ℓ′m′|r|nℓm⟩가 0이 되는 조건을 각운동량 연산자의 교환자 관계와 헤르미트 성질로 규정하여, 허용 전이와 금지 전이를 구분하는 원리 정식화 • m, ℓ 선택 규칙: Lz와 x,y,z 및 L²와 r의 이중 교환자를 이용해 전기쌍극자 전이에 대한 자화양자수·궤도양자수 선택 규칙 Δm = 0,±1 및 Δℓ = ±1을 도출하고, 포톤 스핀 1과 각운동량 덧셈 규칙으로 허용 붕괴 모드·금지 전이 구조를 설명 • 준안정 상태와 붕괴 메커니즘: 선택 규칙으로 인해 전기쌍극자 전이가 차단된 장수명 상태(예: 수소 2S)를 준안정 상태로 정의하고, 충돌, 다중 포톤 방출, 고차 다극자에 의한 금지 전이 등으로 발생하는 실제 붕괴 경로를 개념적으로 정리 |
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| 10장. 단열근사 | ||
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[36강] 단열정리
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양자역학에서의 단열정리와 무한 퍼텐셜 우물 예제 요약
• 단열과정·단열정리·보른-오펜하이머 근사: 내부 시간 $T_i$와 외부 시간 $T_e$의 분리, $T_e \gg T_i$ 조건에서 순간 고유상태 추적 및 전자·핵 자유도의 느린/빠른 스케일 분리로 분자 에너지 곡선·평형거리·진동수 결정 • 무한 퍼텐셜 우물의 가변 폭 동역학: 서서히 혹은 빠르게 팽창하는 무한 우물에서 정확해 $\Phi_n(x,t)$와 팽창 계수 $c_n$ 전개를 통해 단열 조건 $\alpha \ll 1$ ↔ $T_e \gg T_i$를 연결하고, 단열 영역에서 $c_n \approx \delta_{n1}$로 바닥상태 유지와 에너지·상태 변화를 비교 • 동적 위상과 순간 에너지: 시간 의존 폭 $w(t)$에서 순간 에너지 $E_n(t)=\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m w(t)^2}$와 동적 위상 $\theta(t)=-\hbar^{-1}\int_0^t E_1(t')dt'$의 적분 표현을 통해 단열정리의 위상 요인 구조(동적 위상)와 가변 계의 시간발전 규칙 정식화 |
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[37강] 단열정리의 증명
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단열 정리 증명과 회전 자기장 속 스핀 1/2 전자의 동역학 요약
• 시간의존 해밀토니안과 단열 정리: 시간에 따라 천천히 변하는 비축퇴 해밀토니안의 순간 고유기저 전개, 계수 결합방정식과 전이항 분석을 통해 초기 고유상태 유지와 동적 위상·단열(베리) 위상 분리를 정식화 • 베리 위상과 단열 조건: $\langle\psi_m|\dot\psi_n\rangle$, $\langle\psi_m|\dot H|\psi_n\rangle/(E_n-E_m)$ 관계로부터 계수 미분방정식과 기하학적 위상(베리 위상) 정의, 해밀토니안의 느린 변화와 비축퇴 스펙트럼을 요구하는 단열 조건 제시 • 회전 자기장 속 스핀 1/2 동역학: 회전 자기장 해밀토니안과 파울리 행렬 표현, 스핀 고유스피너와 에너지 고유값 계산, 정확해로부터 전이확률 $P_{+\to-}(t) = (\omega\sin\alpha/\lambda)^2\sin^2(\lambda t/2)$ 도출 및 $\omega\ll\omega_1$ 단열 근사와 $\omega\gg\omega_1$ 비단열 전이 비교 분석 |
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[38강] 단열근사 연습문제 풀이
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시간에 의존하는 2수준 스핀계 슈뢰딩거 방정식 해의 검증과 확률 보존
• 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식과 2수준 스핀 해밀토니안: 2×2 행렬 해밀토니안과 주어진 스피너 해가 iℏ∂t|ψ⟩=H|ψ⟩를 만족함을 각 성분에 대해 시간미분(좌변)과 행렬 작용(우변)을 비교·검증 • 스피너 성분별 등식 검증 구조: 스피너 1·2행에서 공통 지수因자와 삼각함수因자를 묶고, λ²=ω²+ω₁²−2ωω₁cosα 정의와 삼각함수 항등식을 사용해 sin(λt/2), cos(λt/2) 계수들을 상쇄시켜 좌변=우변을 성립시킴 • 에너지 고유상태 기저 분해와 정규화 보존: |ψ(t)⟩=c₊(t)|↑⟩+c₋(t)|↓⟩로 표현하고 c₊(t), c₋(t)의 명시적 형태에서 |c₊(t)|²+|c₋(t)|²=1을 λ² 관계로 증명하여 확률 보존·유니터리 시간 진화를 확인함 |
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[39강] 베리의 위상. 비홀로노믹 과정
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베리 위상과 비홀로노믹 과정, 푸코 진자 및 예제 정리
• 비홀로노믹 과정·푸코 진자·입체각: 단열 조건에서 폐곡선 경로를 따른 매개변수 변화가 상태를 바꾸는 비홀로노믹 과정 정의, 이상적인 진자·푸코 진자에서 세차각이 경로가 둘러싼 구면 입체각(위도에 따른 $2\pi\cos\theta_0$)으로 결정됨을 입체각 적분과 코리올리 효과로 설명 • 기하학적 위상·베리 위상·베리 곡률: 단열 변화에서 파동함수 위상을 동역학적 위상과 기하학적 위상으로 분리하고, $\gamma_n=i\oint\langle\psi_n|\nabla_R\psi_n\rangle\cdot dR$로 주어지는 베리 위상을 매개변수 공간에서의 Berry connection·Berry 곡률을 통한 “가상 자기선속” 구조(선적분–면적분, 스토크스 정리)로 해석 • 실수 파동함수·모형 예제와 위상: 무한 퍼텐셜 우물과 델타 함수 우물에서 매개변수(우물 폭, 결합 세기)를 단열적으로 변화시킬 때 $\langle\psi|\partial_R\psi\rangle=0$이 되어 기하 위상이 0이 되고 동역학적 위상만 남으며, 일반적으로 실수 고유함수(실수 게이지 선택 가능)에서는 정규화 조건 미분을 통해 $\gamma_n=0$이 됨을 증명하고 간섭 실험에서 측정되는 것은 총 위상차(동역학+기하)임을 정리함 |
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[40강] 아하로노프-봄 효과 (1)
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스핀 1/2, 1 입자의 Berry 위상과 아하로노프-봄 효과, 게이지 변환 정리
• Berry 위상과 스핀 계: 단열적으로 변화하는 자기장에 따른 스핀 1/2, 1 입자의 Berry 위상 구조 정리, 스핀 1/2의 γ₊ = -½Ω와 스핀 1의 γ₊ = -Ω, 일반 공식 γ_m = -mΩ 도출 • Berry 접속·곡률과 단극자 해석: 스피너(χ⁺, χ⁽¹⁾_⁺)로부터 Berry 접속과 곡률 계산, 구면 좌표계에서 curl·Stokes 정리를 이용해 Berry 곡률을 자기 단극자 형태와 입체각 Ω에 대응시키는 절차 정리 • 전자기 퍼텐셜과 게이지 변환: 전기장·자기장을 생성하는 스칼라 퍼텐셜 φ와 벡터 퍼텐셜 A의 정의, E = -∇φ - ∂A/∂t, B = ∇×A 구조와 게이지 변환 (φ' = φ - ∂Λ/∂t, A' = A + ∇Λ)에 대한 E,B 불변성 및 게이지 자유도의 의미 정리 |
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[41강] 아하로노프-봄 효과 (2)
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전하를 띤 입자의 해밀토니안과 로렌츠 힘의 양자역학적 유도
• 전자기 퍼텐셜과 해밀토니안: 전자기장 속 전하입자의 운동을 스칼라 퍼텐셜 φ, 벡터 퍼텐셜 A로 기술하고, 라그랑지안에서 일반화 운동량을 통해 H=\frac{1}{2m}(\mathbf{p}-q\mathbf{A})^2+q\phi 형태의 게이지 불변 해밀토니안을 유도함 • 일반화 운동량·속도 연산자: 라그랑지안 L=\frac{1}{2}mv^2 -q\phi+q\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}로부터 일반화 운동량 \mathbf{p}=m\mathbf{v}+q\mathbf{A}를 정의하고, 이를 통해 속도 \mathbf{v}=\frac{1}{m}(\mathbf{p}-q\mathbf{A}) 및 [H,\mathbf{r}] 계산으로 양자역학적 속도 연산자와 고전 속도의 일치를 정식화함 • 양자 로렌츠 힘과 고전 극한: 에렌펠스트 정리 \frac{d}{dt}\langle O\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[H,O]\rangle+\left\langle\frac{\partial O}{\partial t}\right\rangle, 전자기장 정의 \mathbf{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}, \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} 및 균일장 근사를 사용해 m\frac{d}{dt}\langle\mathbf{v}\rangle = q\mathbf{E}+q\langle\mathbf{v}\rangle\times\mathbf{B}를 유도하고 고전 로렌츠 힘 법칙과의 대응원리를 확인함 |
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[42강] 아하로노프-봄 효과 (3)
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아하로노프-봄 효과와 벡터 퍼텐셜의 양자역학적 의미
• 아하로노프-봄 효과·벡터 퍼텐셜: 자기장 0 영역에서 벡터 퍼텐셜이 파동함수 위상에 영향을 주어 간섭무늬·에너지 스펙트럼·2중 겹침을 변화시키는 양자 효과, 솔레노이드 외부에서의 A(r)=Φ/2πr ϕ̂와 위상차 qΦ/ħ, 장이 아닌 퍼텐셜의 물리적 의미와 게이지 변환의 위상 인자 해석 포함 • 원형 고리 양자역학·슈뢰딩거 방정식: 솔레노이드 선속 Φ가 있는 반지름 b 원 고리에서 최소 결합 해밀토니안과 1차원 각도 슈뢰딩거 방정식, 경계조건으로부터 Eₙ = (ħ²/2mb²)(n - qΦ/2πħ)² 에너지 고유값 도출, 자유입자 고리 문제와의 비교를 통한 2중 겹침 형성·소멸 구조 정리 • 간섭 실험·기하학적 위상(베리 위상): B=0이지만 A≠0인 영역에서의 순수 위상 요인 e^{ig}와 간섭 실험의 위상차 Δphase = qΦ/ħ, 상자에 갇힌 입자의 고유상태가 경로에만 의존하는 베리 위상 γ = (q/ħ)∮A·dR = qΦ/ħ를 획득함을 통해 AB 효과와 기하학적 위상의 통합적 이해 정리 |
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| 11장. 산란 | ||
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[43강] 산란
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고전 및 양자역학적 산란이론과 러더퍼드 산란 요약
• 산란 기하와 단면적: 충격매개변수 b·산란각 θ 정의, 미분단면적 D(θ)=dσ/dΩ 및 총단면적 σ 개념, 강체구 산란에서 b=Rcos(θ/2), D(θ)=R²/4, σ=πR² 관계 정리 • 러더포드 산란: 쿨롱 퍼텐셜에서 b∝cot(θ/2) 유도, 러더포드 미분단면적 $D(θ)=\left(\frac{q_1 q_2}{16\pi\varepsilon_0 E}\right)^2 \sin^{-4}(\theta/2)$ 도출, θ→0에서 총단면적 발산과 장거리 퍼텐셜 특성 설명 • 양자역학적 산란 구조: 평면파+구면파 해 $\psi≈Ae^{ikz}+f(θ)e^{ikr}/r$ 형태, 산란진폭 f(θ) 정의와 미분단면적 관계 dσ/dΩ=|f(θ)|², 1·2·3차원에서 파동 감쇠 형태와 슈뢰딩거 방정식 기반 산란 기술 개괄 |
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[44강] 부분파 분석법
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부분파 분석법: 구대칭 퍼텐셜 산란, 한켈함수와 단면적
• 부분파 분석법과 지름방향 방정식: 구대칭 퍼텐셜에서 슈뢰딩거 방정식을 부분파로 분리하고, $u(r)=rR(r)$를 도입해 각운동량 양자수 $\ell$별 지름방향 방정식을 해석하는 방법 정리 • 구면 Bessel·Hankel 함수와 복사 영역: 중간 영역에서 해를 구면 Bessel 함수 $j_\ell,n_\ell$로 표현하고, 큰 $r$에서 구면 Hankel 함수 $h_\ell^{(1,2)}$로 재표현하여 밖으로 나가는/들어오는 구면파를 구분하는 근사와 의미 정리 • 산란진폭과 단면적: 산란 영역 밖 파동함수의 부분파 전개로 산란진폭 $f(\theta)=\sum(2\ell+1)a_\ell P_\ell(\cos\theta)$를 도출하고, 미분 단면적 $d\sigma/d\Omega=|f(\theta)|^2$와 총 단면적 $\sigma=4\pi\sum_{\ell}(2\ell+1)|a_\ell|^2$의 구조를 Legendre 다항식 직교성과 함께 정리 |
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[45강] 부분파 진폭을 계산하기 위한 전략 (1)
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양자 강체구 산란에서 부분파 진폭과 레일리 공식
• 레일리 공식과 자유영역 해: 자유입자 영역에서 슈뢰딩거 방정식 해를 구면 Bessel/Neumann 함수로 표현하고, 평면파 \(e^{ikz}\)를 레일리 공식 \(e^{ikr\cos\theta}=\sum i^\ell(2\ell+1)j_\ell(kr)P_\ell(\cos\theta)\)로 구면파 기저에 전개하는 절차 정리 • 부분파 전개와 강체구 경계조건: 전체 파동함수를 입사파+산란파의 부분파 전개 \(\psi \sim \sum_\ell [j_\ell(kr)+ik a_\ell h_\ell^{(1)}(kr)]P_\ell(\cos\theta)\)로 두고, 무한 퍼텐셜 강체구 \(V(r)=\infty(r\le a)\)의 경계조건 \(\psi(a,\theta)=0\)으로부터 부분파 계수 \(a_\ell = -\frac{i}{k}\frac{j_\ell(ka)}{h_\ell^{(1)}(ka)}\)를 도출하는 구조 제시 • 총산란 단면적과 저에너지 한계: 부분파 진폭으로 표현된 총산란 단면적 \(\sigma_{\text{tot}}=4\pi\sum_{\ell}(2\ell+1)|a_\ell|^2=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{\ell}(2\ell+1)\big|\frac{j_\ell(ka)}{h_\ell^{(1)}(ka)}\big|^2\)의 일반식과, \(ka\ll1\) 저에너지에서 s-wave(\(\ell=0\)) 지배로 \(\sigma_{\text{tot}}\to 4\pi a^2\)가 되어 고전적 기하학적 단면적에 수렴하는 한계 분석 |
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[46강] 부분파 진폭을 계산하기 위한 전략 (2)
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구면 델타 함수 껍질에서의 저에너지 산란: s-wave 근사와 단면적
• 구면 델타 껍질 포텐셜과 s-wave 근사: 구면 대칭 델타 함수 껍질 $V(r)=\alpha\delta(r-a)$에서 저에너지 조건 $ka\ll1$ 하에 ℓ=0(s-wave) 부분파만 고려하여 radial 슈뢰딩거 방정식으로 산란 문제를 단순화함 • 내부·외부 영역 파동함수와 경계 조건: 내부·외부 영역에서 자유입자형 구면 Bessel/Hankel 해를 사용하고, $r=a$에서 파동함수 연속 조건과 델타 포텐셜에 의한 미분 불연속 조건 $u'(a^+)-u'(a^-)=\frac{2m}{\hbar^2}\alpha u(a)$(또는 $\Delta\psi'(a)=\frac{\beta}{a}\psi(a)$)을 적용하여 부분파 계수 $a_0$를 $\beta$로 표현함 • 저에너지 근사와 산란 단면적: 저에너지 전개( $\sin ka\approx ka$, $\cos ka\approx1$, $e^{ika}\approx1+ika$ )로 $a_0\approx-\frac{a\beta}{1+\beta}$를 얻고, 이를 이용해 산란진폭 $f(\theta)=a_0$, 미분 단면적 $\frac{d\sigma}{d\Omega}=|a_0|^2=\frac{a^2\beta^2}{(1+\beta)^2}$, 총 단면적 $\sigma=4\pi|a_0|^2=4\pi\frac{a^2\beta^2}{(1+\beta)^2}$ 구조를 정리함 |
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[47강] 위상 변화
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1차원·3차원 산란에서 위상변화와 부분파 해석 개요
• 위상변화 개념: 1차원·3차원 산란에서 퍼텐셜이 입사·반사·구면파의 진폭은 보존하고 위상만 이동시키며, 산란 문제를 위상변화 δ, δℓ 계산으로 단순화함 • 부분파 분해와 단면적: 구대칭 퍼텐셜에서 평면파를 각운동량 ℓ별 부분파로 분해하고, 각 부분파의 위상변화 δℓ로 산란진폭 f(θ), 부분파 진폭 aℓ, 총 산란단면적 σ를 구조적으로 표현함 • 퍼텐셜별 위상변화 계산: 유한·깊은 퍼텐셜 우물, 강체구, 델타 함수 껍질 퍼텐셜에 대해 경계조건과(또는) 도함수 불연속 조건을 적용하여 δ, δℓ, δ0(k)를 폐형식으로 구하고 산란 특성을 정량화함 |
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[48강] 보른 근사법 (1)
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보른 근사에서의 헬름홀츠 방정식과 그린 함수 유도
• 비균질 헬름홀츠 방정식 정식화: 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 $(\nabla^2 + k^2)\psi = Q$ 형태로 변환하고, 델타함수원을 갖는 그린 함수 $(\nabla^2 + k^2)G = \delta^3$ 정의 • 그린 함수 기반 적분표현: 비균질항 $Q(\mathbf{r})$에 대한 해를 $\psi(\mathbf{r}) = \int G(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)Q(\mathbf{r}_0)\,d^3r_0$로 표현하고, 델타함수 성질을 통해 비균질 헬름홀츠 방정식의 해임을 구조적으로 검증 • 헬름홀츠 그린 함수 계산 구조: 푸리에 변환으로 $G(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{(2\pi)^3}\int d^3s\,\dfrac{e^{i\mathbf{s}\cdot\mathbf{r}}}{k^2 - s^2}$를 얻고, 구면좌표·각도 적분으로 1차원 적분으로 축소한 뒤 $I_1, I_2$ 복소적분 평가를 통해 최종 그린 함수 형태 도출 |
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[49강] 보른 근사법 (2)
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코시 적분 공식과 헬름홀츠·슈뢰딩거 방정식의 그린 함수
• 해석함수와 코시 적분 공식: 코시-리만 조건에 의한 해석함수 정의, 코시 적분 공식 및 Stokes 정리를 이용한 폐곡선 적분과 singularity(폴) 유무에 따른 적분값 구조 정리 • 헬름홀츠 방정식 그린 함수: 복소 경로적분과 residue를 이용한 3차원 헬름홀츠 그린 함수 \(G(r)=-e^{ikr}/(4\pi r)\) 유도, \(\nabla^2(1/r)=-4\pi\delta^{(3)}(\mathbf r)\)를 포함한 \((\nabla^2+k^2)G=\delta^{(3)}\) 검증 및 동차 해를 더한 그린 함수 비유일성 설명 • 슈뢰딩거 방정식 적분형 표현과 수소 1s 상태: 헬름홀츠형 변환과 그린 함수 컨볼루션으로 얻는 시간독립 슈뢰딩거 방정식의 적분형 일반해 구조, 적분식에 포함된 자기일관성 조건, 수소 원자 바닥상태(1s) 파동함수와 쿨롱 퍼텐셜·음의 에너지 대입을 통한 적분형 방정식 만족 검증 |
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[50강] 보른 근사법 (3)
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일차 보른 근사법과 구대칭 퍼텐셜 산란 정리
• 일차 보른 근사와 산란진폭 일반식 : 약한 국소 퍼텐셜·far-field 가정·입사파 유지(ψ≈ψ₀) 하에서 산란진폭을 운동량 전달 q=ħ(k′−k)에 대한 퍼텐셜의 푸리에 변환 형태로 표현하고, 저에너지 한계에서 f∝∫V(r)d³r인 등방 산란 조건 정리 • 구대칭 퍼텐셜 보른 공식 : V(r)=V(r)일 때 파수 전달 κ=|k′−k|=2k sin(θ/2)를 도입하여 f(θ)=−(2m/ħ²κ)∫₀^∞ rV(r)sin(κr)dr 형태의 단일 적분 공식으로 유도하고, 산란각 의존성을 κ를 통해 해석 • 대표 퍼텐셜별 보른 산란 : 유한 구퍼텐셜·Yukawa·Coulomb(Rutherford 한계)·연한 껍질·구면 델타 껍질 퍼텐셜에 구대칭 보른 공식을 적용하여 산란진폭 f(θ), 미분 단면적 dσ/dΩ=|f|², 총 단면적 σ=∫dΩ|f|² 계산 구조 및 저에너지 극한의 일치성 정리 |
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[51강] 보른 근사법 (4)
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보른 급수와 충격량 근사, 파인만 도형 개념 정리
• 충격량 근사와 러더퍼드 산란: 직선 궤도 가정·가로 성분 힘 적분을 통한 충격량 계산으로 산란각–충격 매개변수(b) 관계를 유도하고, 작은 산란각에서 고전 러더퍼드 산란식과의 일치성 분석 • 보른 근사·보른 급수·전파인자: 슈뢰딩거 방정식을 적분형(그린 함수 g와 퍼텐셜 V)으로 표현해 보른 급수 ψ=ψ₀+gVψ₀+gVgVψ₀+… 구조를 정의하고, 그린 함수의 전파인자(propagator) 역할과 각 항의 도형적(상호작용점·전달) 의미를 정식화 • 1차·2차 보른 근사와 연한-껍질 산란: 유한 범위 퍼텐셜(연한-껍질)에서 1차·2차 보른 근사로 산란 진폭 f(θ)를 계산하고, 낮은 에너지(kr≪1)에서 s-wave 지배·각도 비의존 형태와 V₀a³, V₀²a⁵에 비례하는 보정 구조를 통해 보른 급수의 수렴 조건과 근사 타당성 정리 |
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[52강] 보른 근사법 (5)
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1차원 산란에서의 그린 함수, 보른 근사, 투과계수 및 공학정리
• 1차원 슈뢰딩거 방정식 그린 함수와 LS 적분식: Helmholtz형 방정식의 그린 함수 $G(x)=-\frac{i}{2k}e^{ik|x|}$ 유도와 이를 이용한 1차원 산란 문제의 Lippmann–Schwinger 적분형 표현 • 1차 보른 근사와 반사·투과계수: 자유입자 해를 적분식에 대입한 1차 보른 근사 정의, 일반 퍼텐셜에서의 반사계수 $R\propto|\int e^{2ikx}V(x)dx|^{2}$ 도출 및 $T\simeq 1-R$ 근사 적용 • 구체 퍼텐셜과 공학정리: 델타 퍼텐셜·유한 사각 퍼텐셜 우물의 $R(E),T(E)$ 근사식 계산과 정확해와의 비교, 3차원 중심퍼텐셜 산란에서 편파전개로 유도되는 공학정리 $\sigma=\frac{4\pi}{k}\mathrm{Im}f(0)$ 관계 정리 |
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| 12장. 덧붙이는 말 | ||
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[53강] EPR 역설. 벨의 정리
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양자역학 해석, EPR 역설과 벨의 정리 핵심 정리
• 양자역학 해석과 EPR 역설: 파동함수의 통계적 해석·측정 문제에 대한 사실주의·정통주의·불가지론 세 관점과, 얽힌 스핀 상태(단일항 상태)에서 국소성 원리와 파동함수 붕괴가 충돌하는 EPR 역설 구조 정리 • 벨의 정리와 상관함수: 감춰진 변수(히든 베리어블)와 국소성 가정 하에서 상관함수 정의, 단일항 상태의 스핀 상관함수 \(P(\mathbf{a},\mathbf{b})=-\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) 계산, 벨 부등식 유도와 국소적 감춰진 변수 이론과의 양립 불가능성 제시 • 벨 부등식 위반과 실험적 함의: 특정 검출기 각도 설정에서 양자역학 예측의 벨 부등식 위반, 얽힌 광자·난수 기반 측정 방향 변경을 이용한 벨 실험 결과를 통해 국소적 사실주의 배제와 비국소적 양자 얽힘의 현실성 확인 |
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[54강] 복사 불가능 정리. 슈뢰딩거의 고양이. 양자 제노 역설
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양자역학: 복사 불가능 정리, 슈뢰딩거의 고양이, 양자 제노 효과 정리
• 복사 불가능 정리와 양자 복사기: 임의의 미지 양자 상태 복사 불가능성, 선형성과 중첩 원리에 따른 복제 연산의 수학적 모순, 초광속 통신과의 연관성 정리 • 슈뢰딩거의 고양이와 측정 문제: 거시계-미시계 결합 계의 중첩 상태 구성, 파동함수 붕괴 시점(계수기 작동 vs 관측자 관여) 규정과 현대적 통계적 해석 정리 • 양자 제노 효과와 파동함수 통계 해석: 짧은 시간 이차 전이확률과 반복 측정에 따른 전이 억제 메커니즘, 무한히 잦은 측정 극한, 파동함수의 붕괴 가설과 보른 규칙의 역할 정리 |
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정명신 교수님
양자역학Ⅱ
