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시계열분석
김재현 교수
경북대학교 대학원 경제학과 석사과정
경북대학교 대학원 경제학과 박사졸업
경북대학교 대학원 경제학과 석사과정
경북대학교 대학원 경제학과 박사졸업
경북대학교
계명대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 확률과정, 안정성, 시계열분해 | ||
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[1강] 시계열분석 개요. 확률과정. 시계열자료의 안정성 (1)
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시계열 분석과 확률과정, 안정성과 예측 개요
• 시계열 자료와 확률과정: 시간지표를 가진 확률변수 집합 {y_t}의 구조·표본경로·확률과정 정의, 랜덤워크 등 비안정적 과정과 시계열 종속성·자기상관 개념 정리 • 시계열 분석의 목표와 예측 방식: 표본경로를 이용한 패턴 추정·미래 예측, 회귀분석 기반 외생변수 예측과 자기과거값 기반 시계열 예측의 구조적 차이 정리 • 안정적 시계열(stationarity): 시간 이동에 대해 분포·모멘트가 불변인 안정성 정의, 종속성이 약해 대수의 법칙·중심극한정리가 성립하는 조건과 통계적 신뢰성 확보 필요성 설명 |
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[2강] 시계열자료의 안정성 (2)
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시계열 안정성의 개념과 강·약 정상성 조건 정리
• 시계열 안정성(정상성) 개념: 시간에 따라 확률적 성질이 변하지 않는 시계열로, 강안정성은 모든 길이 구간의 결합분포 동일성을, 약안정성은 평균·분산·공분산(1·2차 정률)의 시간 불변성과 시차 의존성만을 요구하며, 정규분포 시계열에서는 강·약안정성이 동치가 됨 • 강정상과정·약정상과정 조건 및 예: 강정상과정은 동일 길이 구간의 결합분포가 항상 동일한 과정, 약정상과정(공분산 정상과정)은 E(Y_t)=μ, Var(Y_t)=γ₀, Cov(Y_t,Y_{t+k})=γ_k가 시점이 아닌 시차 k에만 의존·유한한 과정으로, 추세·계절·순환 변동, 평균 변화, 분산 급증 등은 이를 위반하는 불안정 시계열에 해당함 • 안정성 검증 도구: 자기공분산 함수와 자기상관 함수는 약안정성을 가정해 시차별 공분산·상관 구조가 일정 범위 내에서 안정적인지 진단하는 도구로, 공분산 구조가 시차에 따라 일정하면 안정 시계열, 시차에 따라 지속적 증가·지그재그·강한 주기 진동을 보이면 불안정 시계열로 판단하여 변환·차분 등을 통한 안정화가 요구됨 |
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[3강] 이동평균법
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단순·가중 이동평균을 이용한 시계열 안정화 개념 정리
• 단순 이동평균(SMA) : 최근 N개 관측값 산술평균으로 예측값을 정의하고 재귀식으로 계산해 시계열 단기 변동을 평활화하는 기법 • 이동평균 차수 N : 포함되는 과거 자료 개수를 조절해 평활 강도와 추세·변동 정보 보존 정도 간의 trade-off를 결정하는 설계 매개변수 • 가중 이동평균(WMA) : 관측치에 의미 있는 가중치를 부여해 가중평균으로 예측하며, SMA보다 원래 시계열의 등락과 구조를 더 잘 보존하는 평활 기법 |
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[4강] 평활화법
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시계열 자료의 안정성 확보: 단순·이중 지수평활법 핵심 정리
• 지수평활법 개념: 시계열 관측값에 지수적으로 감소하는 가중치를 부여해 최근 자료를 강조하고 변동성을 완화하는 예측 기법 • 단순 지수평활법 구조: $S_t=\alpha y_t+(1-\alpha)S_{t-1}$ 기반으로 가중치 전개·평활계수 α 선택·초기값 S₀ 설정을 통해 이동평균법보다 높은 시계열 안정성 확보 • 이중 지수평활법 구조: 1차 평활값 $S_t$를 다시 $S_t'=\beta S_t+(1-\beta)S_{t-1}'$로 평활해 추세가 있는 시계열의 변동을 강하게 억제하고 완만한 추세 중심 예측치 산출 |
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[5강] 시계열분해. 예측오차
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시계열 분해와 예측오차, 회귀모형의 유의성 및 진단 개념 정리
• 단순회귀모형과 계수 유의성 검정: 최소제곱 추정량의 분포·분산과 기울기 t-통계량 도출, 잔차·잔차도·정규성 검정을 통한 회귀모형 진단 및 BLUE 기반 예측 개념 정리 • 시계열 안정성 및 분해모형: 약안정성 정의와 추세·순환·계절·오차 4요소 분해, 가법·승법 분해모형 구조와 불안정 요소 제거를 통한 안정적 시계열 확보 절차 • 예측오차와 평가지표: 표본 내·표본 외 예측오차 구분, 절대예측오차(MAE·MSE·RMSE)와 상대예측오차(MAPE·MSPE·RMSPE) 정의와 특성, 변화율 예측용 타일의 U 통계량 구조와 해석 |
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| 2장. 자기회귀, 이동평균 모형 | ||
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[6강] 자기회귀, 이동평균 모형 개요
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결정계수와 시계열 모형의 설명력 및 안정성 개념 정리
• 회귀모형 변동 분해와 결정계수: SST(전체변동)·SSR(설명변동)·SSE(오차변동) 관계(SST=SSR+SSE)와 결정계수 R²=SSR/SST=1−SSE/SST 정의, 단순회귀에서 상관계수 제곱 r²와의 등가 및 설명력 해석 정리 • 시계열 모형과 오차 구조: AR·MA·ARMA 모형 구조(자기회귀, 이동평균, 결합 모형)와 화이트노이즈 오차(평균 0, 분산 일정, 시차 간 공분산 0, 필요 시 정규분포 가정의 Gaussian white noise) 설정을 통한 모형화 원리 정리 • 시계열 안정성·ACF·PACF·에르고딕성: 약안정성(평균·분산·자기공분산의 시간불변·유한성), ACF·PACF 정의와 AR/MA 식별·안정성 검정 활용, 에르고딕성(기대값=시간평균, 자기공분산 절대값 무한합 수렴 조건)을 통한 시계열 모형 신뢰성 평가 기준 정리 |
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[7강] 이동평균 모형. 자기회귀 모형 (1)
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이동평균모형과 자기회귀모형 핵심 정리(시계열분석)
• 이동평균모형(MA) 구조: 과거 오차항의 선형결합으로 현재 값을 설명하는 모형으로 MA(1)·MA(q)는 자동으로 약안정성과 에르고딕성을 만족하며, 공분산·자기상관은 유한 시차에서만 비제로 값을 가짐 • 무한차수 이동평균모형 MA(∞): 무한 과거 오차의 선형결합으로 정의되며, 계수에 대해 ∑|β_j|<∞ 조건이 충족될 때 평균·분산·공분산이 유한한 약안정·에르고딕 과정이 됨 • 자기회귀모형(AR) 구조 및 MA와의 비교: 과거 자기값을 설명변수로 하는 선형 회귀구조(AR(p))로 과거 수준으로의 회귀를 표현하며, MA는 과거 충격(오차), AR은 과거 수준(level) 정보를 반영한다는 점에서 시계열 동학을 상호 보완적으로 설명함 |
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[8강] 자기회귀 모형 (2)
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AR(1) 자기회귀모형의 안정성, 분산, 자기상관 구조 정리
• AR(1) 자기회귀모형: $y_t=\alpha_0+\alpha_1 y_{t-1}+\varepsilon_t$ 구조, 화이트노이즈 오차와 과거값의 선형결합으로 정의되는 선형 시계열모형 • AR(1)의 MA(∞) 표현과 안정성: $|\alpha_1|<1$에서 $y_t=\dfrac{\alpha_0}{1-\alpha_1}+\sum_{j=0}^{\infty}\alpha_1^j\varepsilon_{t-j}$의 MA(∞) 구조·상수 평균·상수 분산·지수감소 자기상관($\rho_j=\alpha_1^j$)을 가지며 약안정성과 에르고딕성을 동시에 만족 • 불안정 AR(1)과 랜덤워크: $|\alpha_1|\ge 1$에서 평균·분산·공분산이 발산해 비정상 과정이 되고, 특히 $\alpha_1=1$인 경우 상수항과 충격이 누적되는 랜덤워크로서 대표적 불안정 시계열을 형성 |
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[9강] 자기회귀 모형 (3). Lag Operator와 차분방정식 (1)
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AR(2) 모형과 시차연산자를 이용한 차분방정식 풀이 요약
• 시차연산자와 차분방정식: 시차연산자 L의 정의(L^j Y_t = Y_{t-j})와 선형 차분방정식 구조를 이용해 AR(1), AR(2) 자기회귀모형을 (다항식 in L)·Y_t 형태로 표현 • AR(1)·AR(2) 모형의 시차연산자 표현과 해: AR(1)은 (1-φL)Y_t = α_0+ε_t, AR(2)는 (1-φ_1L-φ_2L^2)Y_t = ε_t로 나타내고, 역연산자 (1-·)^{-1}를 무한등비급수로 전개해 Y_t를 과거 충격 ε_{t-j}의 무한합으로 표현 • 특성방정식과 안정성 조건: AR(2)의 1-φ_1L-φ_2L^2=0에서 근 λ_1, λ_2를 구해 (1-λ_1L)(1-λ_2L)로 인수분해하고, |λ_1|<1, |λ_2|<1 (혹은 AR(1에서 |φ|<1) 조건을 시계열의 수렴성과 정상성(stationarity) 조건으로 해석 |
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[10강] Lag Operator와 차분방정식 (2)
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Summary Content:
AR(p) 차분방정식, 레그오퍼레이터, 고유값과 안정성 조건 요약 • AR 차분방정식과 레그오퍼레이터: AR(1)·AR(2)·AR(p) 모형을 레그오퍼레이터 다항식으로 표현하고 $(1-\lambda L)^{-1}$의 무한등비급수 전개를 통해 해의 존재와 수렴 조건을 도출함 • 고유값·벡터 길이·단위원 조건: 특성방정식의 근(고유값)을 벡터로 보고 절대값 조건 $|\lambda_j|<1$과 벡터 길이 조건 $\sum \lambda_j^2<1$을 단위원(원·초구) 내부 조건으로 해석하여 AR(p) 모형의 강한 안정성 조건으로 정리함 • 시계열 약안정성과 공분산 안정성: AR(2)에서 평균 $\mu=\alpha_0/(1-\alpha_1-\alpha_2)$와 공분산 방정식 $\gamma_j=\alpha_1\gamma_{j-1}+\alpha_2\gamma_{j-2}$를 유도하고, 고유값의 단위원 내 존재 조건이 해의 수렴·분산·공분산 유한성·약안정성 조건과 동치임을 제시함 |
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[11강] 자기회귀 모형
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AR(2) 모형의 자기상관함수와 분산, AR(p) 모형 일반화 핵심 정리
• AR(2) 모형 자기상관 구조: 자기공분산·자기상관함수가 γj, ρj 재귀식(ρj = α1ρj-1 + α2ρj-2)을 만족하며, ρ1 = α1/(1-α2), ρ2 = α1²/(1-α2)+α2로 계수의 직접·간접 효과를 반영 • AR(2) 모형 분산 구조: γ0 = α1γ1 + α2γ2 + σ²에서 ρ1, ρ2를 대입해 γ0 = {(1-α2)/[(1+α2){(1-α2)²-α1²}]}σ² 등 계수와 오차분산만으로 표현되며, 안정성 조건 하에서 유한한 분산을 가짐 • AR(p) 모형 일반화: Yt = α0+α1Yt-1+…+αpYt-p+εt, 분산·자기공분산·자기상관이 γ0 = Σpk=1 αkγk + σ², γj = Σpk=1 αkγj-k, ρj = Σpk=1 αkρj-k 재귀식으로 주어지고, 특성다항식 근 |λj|<1일 때 평균·분산·자기공분산이 일정한 약안정 시계열이 됨 |
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[12강] AR모형-충격반응분석 (1)
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AR 모형의 충격반응분석과 Wald 표현정리 핵심 정리
• 충격 반응 분석·충격 반응 함수(IRF): AR 시계열에서 오차항 한 단위 충격이 각 시점의 Y_t에 미치는 시간별 영향(크기·지속)을 ∂Y_{t+j}/∂ε_t로 정의해 수식화하고, 안정적 과정에서 감소·수렴하는 경로로 해석 • Wald 표현정리와 약안정 시계열: 평균·분산·공분산이 시간 불변인 약안정·비결정적 시계열을 무상관 오차항들의 선형결합 Y_t = Σ ψ_j ξ_{t-j}로 표현하고, 이를 통해 AR 과정의 구조를 오차항 기반으로 해석 • AR 모형 IRF 도출과 고차 AR의 행렬 표현: AR(1)에서 Y_t=Σ α^j ε_{t-j}로부터 IRF(j)=α^j 및 안정 조건 |α|<1에서 충격 소멸을 도출하며, AR(2) 이상 AR(p)은 (1-α_1L-…-α_pL^p) 구조를 행렬·상태공간 AR(1) 형식으로 변환해 IRF를 행렬 거듭제곱 형태로 계산하는 절차 정리 |
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[13강] AR모형-충격반응분석 (2)
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AR(2) 모형의 State Space Form과 충격반응함수 구조 요약
• AR(2) 자기회귀모형: $y_t=\alpha_0+\alpha_1 y_{t-1}+\alpha_2 y_{t-2}+\varepsilon_t$ 구조와 안정성 조건을 통해 2차 자기상관 시계열의 동학을 정의 • State Space Form 및 행렬해: 상태벡터 $(y_t,y_{t-1})'$, 전이행렬 $F=\begin{pmatrix}\alpha_1&\alpha_2\\1&0\end{pmatrix}$, 오차벡터 $(\varepsilon_t,0)'$로 AR(2)를 행렬형 AR(1)으로 표현하고 $(I-FL)^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}F^jL^j$를 이용해 $\mathbf{y}_t=\sum_{j=0}^{\infty}F^j\boldsymbol{\varepsilon}_{t-j}$ 형태의 해 도출 • 충격반응함수(IRF): $j$기 전 오차 $\varepsilon_{t-j}$가 $y_t$에 미치는 효과를 $\text{IRF}_j=\frac{\partial y_t}{\partial \varepsilon_{t-j}}=[F^j]_{11}$로 정의하고, AR(2)에서 1기·2기 전 충격 효과를 각각 $\alpha_1$, $\alpha_1^2+\alpha_2$로 계산하여 일반 AR(p) 모형의 IRF를 $F^j$의 (1,1) 원소로 체계화 |
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[14강] AR모형-충격반응분석 (3)
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AR(p) 모형의 State Space 표현과 충격반응함수(IRF) 도출 요약
• AR(p) 모형의 state space 표현: 상태벡터를 $[y_t,\dots,y_{t-p+1}]'$로 정의하고 전이행렬 F의 첫 행에 AR 계수, 아래에 단위행렬(shift 구조), 오차벡터 첫 원소에만 충격을 두어 모든 AR(p)을 AR(1)형 행렬 모형으로 표현 • 충격반응함수(IRF)와 전이행렬 거듭제곱: 상태방정식 $y_t = F y_{t-1} + \varepsilon_t$에서 IRF는 $F^j$의 (1,1) 원소 $f^{(j)}_{11}$로 정의되며, $y_t = \varepsilon_t + \sum_{j\ge1} f^{(j)}_{11}\varepsilon_{t-j}$ 꼴로 과거 충격의 영향을 계수열로 구조화 • 행렬 대각화와 IRF 일반형: 전이행렬 $F = C\Lambda C^{-1}$, $F^j = C\Lambda^j C^{-1}$로 대각화하면 $f^{(j)}_{11} = \sum_{i=1}^{p} c_{1i}c^{*}_{i1}\lambda_i^{\,j}$ 형태가 되며, 고유값 $\lambda_i$는 동학·감쇠속도를, 가중치 $c_{1i}c^{*}_{i1}$는 각 모드 기여도(합 1)를 규정해 IRF의 시간 경로를 결정 |
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[15강] 시계열의 안정성 검정 - 자기상관계수 검정
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시계열 안정성 검증: ACF와 PACF의 정의와 검정 방법 요약
• 자기상관함수(ACF)·편자기상관함수(PACF): 시차 간 전체 상관과 직접 상관을 정의하고 AR·MA 과정에서의 이론적 패턴(점진 감소·절단 구조)을 통해 안정성 및 AR·MA 특성을 해석 • AR·MA 모형 식별: AR(p)와 MA(q) 모형에서 ACF·PACF의 상반된 패턴(AR: ACF 점진 감소·PACF 절단, MA: ACF 절단·PACF 점진 감소)을 이용해 모형 유형과 차수(p, q)를 초기 추정 • 표본 ACF·PACF 검정: 표본 자기상관·편자기상관의 추정식, 근사 정규분포와 Bartlett 분산근사·편의보정 통계량을 활용해 시계열 안정성, AR 계수 유의성, p+1 시차 이후 상관의 소멸 여부를 통계적으로 검증 |
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[16강] 시차분포모형. 자기회귀이동평균(ARMA) 모형
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시차분포모형과 다중공선성, 다항·기하시차 및 코익변환 요약
• 시차분포모형과 전이함수: 설명변수 현재·과거값이 종속변수에 미치는 동태적 효과를 시차분포가중치와 전이함수로 표현하고, 유한·무한시차 구조와 장·단기 효과를 분석하는 모형 체계 • 다항·기하시차분포와 코익변환: 유한시차에서 다항시차분포(Almon lag)를 통해 시차계수를 시차 인덱스의 저차 다항식으로 제약해 다중공선성을 완화하고, 무한시차에서는 기아시차(β_j=βφ^j)와 코익변환으로 AR(1) 회귀형으로 전환해 시차가중치와 전이함수 장기효과를 추정하는 방법 • 내생성·도구변수, 정보기준과 ARMA 안정성: 코익변환 후 AR(1) 모형의 내생성을 도구변수·2SLS로 처리해 일치추정량을 확보하고, 시차 길이·다항차수·ARMA 차수 선택에 AIC·BIC 정보기준을 사용하며, ARMA 모형의 특성방정식 근을 통해 정상성·안정성 조건을 판별하는 절차 정리 |
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| 3장. ARIMA 모형 | ||
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[17강] ARIMA 모형 개요. ARIMA 모형
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ARIMA 모형과 차분을 통한 비정상 시계열의 안정화 개념 정리
• 비정상 시계열과 추세·랜덤워크: 평균·분산·공분산이 시간에 따라 변하는 비정상 시계열과 랜덤워크 구조, 결정적·확률적 추세 개념 및 AR(1) 안정 조건(|φ|<1)과 발산 문제 정리 • 차분 연산과 추세 제거: 1·2·3차 차분과 라그 연산자(Δ^d y_t=(1-L)^d y_t) 구조, n차 다항 추세–n차 차분을 통한 정상화 원리, 차분에 따른 수준 정보 손실과 안정성·정보 손실 간 트레이드오프 정리 • ARIMA 모형 구조: ARIMA(p,d,q)의 정의와 ARMA와의 관계, 라그 다항식 표현 Φ(L)(1-L)^d y_t = Θ(L)ε_t, I(d)의 “차분-적분” 의미 및 ARIMA(1,1,1)·ARIMA(1,2,1)의 표기와 해석 정리 |
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[18강] Box-Jenkins 방법. ARIMA 모형의 추정 방법 (1)
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박스-젠킨스 ARIMA 모형 추정과 진단 검정 핵심 요약
• ARIMA·AR·MA·ARMA 모형군: ARIMA(p,d,q)의 구조와 차분을 통한 정상화, AR·MA·ARMA 간 포함 관계 및 정상 시계열 전제 정리 • 박스-젠킨스 4단계와 모형 추정: 데이터 변환·안정화(차분·함수변환) → ACF·PACF 기반 모형 식별 → MLE·OLS와 정보 기준(AIC·BIC) 활용 추정·차수 선택 → Q·Box–Pierce Q 통계량으로 잔차 화이트 노이즈 진단 • 추정 이론과 방법 비교: AR 모형의 OLS 추정량 형태와 일치성 조건(정상성·약한 의존성·내생성 부재), MA·ARMA의 반복 추정 필요성과 MLE 선호, AR(1) MLE의 결합·조건부 분포 기반 로그우도 구성 및 효율적 모수 추정 구조 정리 |
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[19강] ARIMA 모형의 추정 방법 (2). 차수의 선택-정보기준
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ARMA/ARIMA 모형의 MLE, 정보기준, 차수 선택 정리
• ARMA/ARIMA 모형의 모수 추정: AR(1)에서 OLS·MLE 관계와 초기값 처리 차이, 일반 ARMA(p,q)에서 조건부/비조건부 분포를 이용한 우도함수·로그우도함수 구성 및 수치최적화 기반 MLE 추정 절차 정리 • OLS와 MLE 비교 및 정보기준: 잔차제곱합 최소화 OLS와 우도 극대화 MLE의 성질 비교, 정보기준의 정의와 역할, AIC·BIC의 공식(ln(MSE)+패널티) 및 패널티 구조 차이에 따른 모형 단순화 성향 정리 • 정보기준 기반 ARMA/ARIMA 차수 선택: 후보 모형 설정 → 모수 추정 및 잔차 계산 → AIC/BIC 최소값 모형 선택 → 잔차 화이트 노이즈(Q-test) 검정까지의 Box–Jenkins 모형 선택·검증 절차 정리 |
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| 4장. 단위근 검정 | ||
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[20강] 단위근 검정 (1)
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단위근과 랜덤워크, 가성회기, 단위근 검정 개념 정리
• 랜덤워크와 불안정 시계열: AR(1)에서 φ=1인 랜덤워크를 단위근을 가진 불안정 확률과정으로 정의하고, 평균 회귀 부재·충격의 영속성(지속성 1)·안정적 AR(1)과의 대비를 통해 충격 누적 구조 정리 • 가성회기와 차분: 단위근·추세를 가진 시계열을 직접 회귀할 때 공통 추세로 인한 높은 R²·유의한 계수를 보이는 가성회기 현상을 설명하고, 차분을 통한 추세·단위근 제거 후 회귀로 문제를 완화하는 절차 제시 • 단위근·특성근·단위근 검정: AR(p)의 특성근이 단위원 위(절대값 1)에 있을 때 단위근과 불안정성이 발생함을 정리하고, φ=1을 귀무가설로 두는 단위근 검정(DF, ADF, PP)의 가설 구조와 비표준 분포 임계값 사용 필요성을 개념적으로 요약 |
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[21강] 단위근 검정 (2)
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단위근 검정과 Dickey-Fuller/ADF/PP/KPSS 요약
• 단위근·DF 분포 개념: AR(1)·AR(p)에서 단위근(φ=1) 존재 여부와 랜덤워크/비정상성 판별, √T 대신 T(φ̂−1)을 사용하는 Dickey-Fuller(DF) 분포와 추세 유무·AR阶수에 따른 임계값 구조 정리 • DF·ADF·PP 검정 구조: DF와 AR(2)/AR(p) 변형을 통한 ρ=1 단위근 검정, ADF에서 Δy_t 종속변수와 지연 차분항 포함으로 자기상관 보정, PP 검정에서 DF형 모형 유지 + 장기분산 비모수 추정으로 자기상관·이분산 조정 및 DF 분포 유지 방식 정리 • KPSS·비모수 단위근 검정: LM 통계량 기반 KPSS에서 정상성/추세정상성을 귀무가설로 두는 DF 계열 확장 구조와, 부트스트랩·커널 추정·장기분산 비모수 추정 등을 활용한 대안적 단위근·정상성 검정 절차 정리 |
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| 5장. 변동성 모형 | ||
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[22강] 변동성 모형 (1)
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시계열 변동성과 조건부 이분산 모형 개요 요약
• 변동성·조건부 분산 개념: 시계열 변동성은 조건부 분산·표준편차로 정의되며, 경제·금융 시계열의 위험(리스크) 측정과 예측 정확도 향상을 위한 핵심 지표로 사용됨 • 조건부 이분산과 변동성 모형 구조: 조건부 이분산은 과거 정보에 따라 시점별 분산이 달라지는 현상으로, 원계열 방정식과 분산 방정식을 동시에 모형화하는 ARCH/GARCH류 변동성 모형의 필요성을 제기함 • 역사적 변동성·EWMA 추정 방법: 역사적 변동성은 과거 자료의 표본분산으로부터 계산한 단순 표준편차이고, EWMA는 시계열 제곱값에 지수적으로 감소하는 가중치를 부여해 변동성을 추정하나, 조건부 이분산 구조를 충분히 설명하지 못하는 한계를 가짐 |
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[23강] 변동성 모형 (2)
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조건부 이분산과 ARCH·GARCH 변동성 모형 핵심 정리
• 조건부 이분산과 변동성 군집: 시계열 분산의 시간가변성·변동성 군집 개념과 단기 금융시계열(일별·시간별)에서의 위험 측정 필요성 정리 • ARCH 모형과 추정·검정: 평균방정식·분산방정식 구조, 오차항 제곱 기반 조건부 분산식, MLE를 통한 모수 추정과 ARCH 효과에 대한 LM·LR 검정 절차 정리 • GARCH 모형과 변동성 예측: ARCH의 일반화로서 GARCH(p,q) 분산방정식 구조, GARCH(1,1)의 무한차수 ARCH 해석, 조건부 변동성 예측과 VaR 등 금융 리스크 관리 활용 의의 정리 |
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| 6장. VAR 모형 | ||
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[24강] VAR 모형 (1)
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다변량 시계열 VAR와 연립방정식, 축약·정교화 모형 구조 핵심 정리
• VAR 모형 구조: 여러 내생변수 벡터와 계수행렬을 사용해 각 변수의 현재값을 자기 과거값과 다른 변수 과거값으로 설명하는 다변량 자기회귀 구조 정리 • 구조모형–축약형 관계: 동시적 내생성을 가지는 연립방정식 구조모형을 행렬식 By_t = Γy_{t-1} + ε_t 로 표현하고 B^{-1}을 곱해 내생성을 제거한 VAR 축약형 y_t = Ay_{t-1} + u_t 로 전환하는 원리 정리 • 정교화 축약형: 축약형 오차항 분산을 단위행렬이 되도록 정규화해 B* y_t = Γ* y_{t-1} + η_t, y_t = A* y_{t-1} + u_t 형태로 만들고 충격반응함수·분산분해 계산을 단순화하는 절차 정리 |
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[25강] VAR 모형 (2)
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VAR 모형의 충격반응 분석과 Cholesky 분해 개념 정리
• VAR 충격반응 함수 구조: VAR(1) 모형의 Wold/MA 표현에서 계수행렬 $\Delta_j = A^j$를 통해 $IRF(j) = A^j V^{-1}$로 정의하고, 각 원소를 구조충격에 대한 미래 시계열 반응으로 해석 • 식별 문제와 구조오차 전환: 축약형 오차 $u_t$의 상관으로 인해 IRF가 식별되지 않으므로, 분산이 단위행렬이고 서로 독립인 구조오차 $\varepsilon_t$와 변환행렬 $V^{-1}$을 도입하여 $y_t = \sum_{j=0}^{\infty} \Delta_j V^{-1} \varepsilon_{t-j}$ 형태로 재구성 • 오차분산과 Cholesky 분해: 축약형 오차분산 $\Omega = Var(u_t) = V^{-1}(V^{-1})'$를 추정한 뒤 Cholesky 분해 $\hat{\Omega} = C C'$를 적용해 $V^{-1}$를 하삼각행렬로 식별하고, 이 하삼각 제약이 변수의 동시적 인과 순서를 규정함 |
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[26강] VAR 모형 (3)
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VAR 모형의 구조식 식별과 Granger 인과관계 검정 개요
• 구조 VAR와 축약 VAR: 구조모형(B, Γ, ε)과 축약모형(A, u)의 관계·식별 문제와 Cholesky 분해를 통한 B의 하삼각행렬 제약으로 구조계수 식별 및 recursive VAR 구조 규정 • Recursive VAR와 변수 배열: 하삼각 B가 정의하는 위→아래 외생성·내생성 구조, 변수 배열에 따른 동시적 영향 방향과 충격반응함수 해석 원칙 정리 • Granger 인과관계 검정: UR/R 모형과 F-통계량을 이용한 인과 방향·내·외생성 판별, 그 결과를 이용한 VAR 변수 배열 규칙 및 시차 선택에 따른 검정 민감도와 한계 정리 |
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[27강] VAR 모형 (4)
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벡터 자기회귀(VAR) 모형에서의 예측오차 분산분해(FEVD)
• 예측오차 분산분해(FEVD) 개념: VAR 모형에서 각 변수 예측오차 분산을 구조충격별 기여 비율로 분해하여 예측 불확실성의 주요 원천을 규명하는 방법 정리 • FEVD 수리 구조: Wold 표현 기반 1기후 예측오차 행렬식·분산 계산과 구조충격별 분산 기여도 및 FEVD 비율(합이 1인 분해)의 일반식 제시 • VAR 분석 절차 내 FEVD 위치: 안정성 검정·변수 순서(Cholesky 분해)·모형 추정·IRF 이후 단계에서 FEVD를 통해 각 변수 충격의 상대적 영향력과 정책적 중요도 평가 구조 설명 |
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[28강] VAR 모형 (5)
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예측오차 분산분해와 구조 VAR 모형 핵심 정리
• 예측오차 분산분해: VAR 모형의 예측오차 분산을 구조적 충격별·시차별로 분해해 각 충격의 단기·장기 기여도와 변수 간 상대적 중요도를 측정하는 절차 • Recursive VAR와 구조 VAR: 하삼각 B행렬에 의존하는 축차 VAR의 한계를 지적하고, 경제이론 기반 0 제약을 직접 부과한 구조 VAR에서 B·Γ를 동시에 추정해 구조충격·충격반응·분산분해를 이론 일관적으로 분석하는 방법 • 구조 VAR 식별·제약 검정: 차원 n에서 최소 제약 수 (n²−n)/2에 따른 과소·적정·과다식별 구분과, 축약형·구조형 오차 공분산행렬의 행렬식 차이에 대한 카이제곱 검정으로 B행렬 제약의 타당성을 검증하는 절차 |
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| 7장. VECM 모형 | ||
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[29강] VECM 모형 (1)
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공적분과 벡터오차수정모형 개념 및 VAR 분석 정리
• 공적분과 공적분 벡터: 단위근을 가진 I(1) 시계열들의 특정 선형결합이 I(0) 안정 과정이 되는 관계로, 공통 확률추세와 장기균형식을 정의하는 벡터를 공적분 벡터로 사용함 • 오차수정모형(ECM) 구조: 차분 방정식에 공적분 관계에서 나온 균형오차(오차수정항, ECT)를 포함해 단기 증분 관계와 장기균형으로의 조정 속도(계수 γ)를 동시에 표현하는 모형임 • 벡터오차수정모형(VECM)과 VAR 분석: 공적분 관계가 있는 비정상 변수들을 VAR 구조에 통합해 VECM으로 추정함으로써, 단순 차분 VAR의 장기정보 소실을 보완하고 장·단기 효과 및 충격반응을 일관되게 분석함 |
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[30강] VECM 모형 (2)
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벡터오차수정모형과 공적분 검정 핵심 구조 정리
• 벡터오차수정모형(VCM)·오차수정항·감마(Γ): 단위근 벡터시계열의 차분 VAR에 공적분식(수준변수 선형결합)을 오차수정항으로 포함하여 장기균형 이탈과 조정속도(Γ, n×r)를 함께 모형화하는 구조 • 공적분 구조와 차원: 공적분 벡터는 수준변수들의 안정 선형결합으로, 변수 수 n에 대해 선형독립 공적분 벡터 수 r은 0≤r≤n−1을 만족하며, r개 공적분식은 r차원 오차수정항 벡터와 n×r 조정속도 행렬 Γ를 통해 VCM(p)에 편입됨 • 공적분 검정(AEG·Johansen): 두 변수는 Engle–Granger 2단계(수준 회귀 → 잔차 ADF 단위근 검정)로 공적분 여부를 판정하고, 다변량은 Johansen 검정으로 Γ의 랭크를 추정하며 고유값 문제와 trace/max 통계량을 이용해 공적분 개수 r과 공적분 벡터(β)·조정속도 행렬(α)을 결정함 |
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| 보강 | ||
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[31강] 보강
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AR 모형 안정성, 고유값과 복소 단위원 조건 정리
• 행렬 고유값·고유벡터와 특성방정식: $AX=\lambda X$ 정의, $\det(A-\lambda I)=0$을 통한 고유값 계산 및 2×2 행렬에서의 특성다항식 도출 절차 정리 • AR(p) 모형 특성다항식과 안정성 조건: Lag operator로 표현한 AR(p) 모형의 특성방정식 근이 복소 단위원 밖($|Z|>1$)에 있을 때 안정성이 성립함을 복소 단위원 개념과 함께 구조적으로 제시 • companion matrix 고유값과 안정성 동치성: AR(p) 상태공간 표현의 companion matrix 고유값 방정식과 Lag 특성다항식의 동형성을 이용해 근의 단위원 밖 조건과 고유값의 단위원 안 조건($|\lambda|<1$) 동치 및 실무적 활용(고유값 기반 안정성 판정) 정리 |
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| 정오표 | ||
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[32강] 강의 정오표
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교재만 있습니다.
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김재현 교수님
시계열분석
