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일반역학(고전역학) 문제풀이Ⅰ
김희수 교수
단국대학교 대학원 응용물리학과 석사과정
단국대학교 대학원 응용물리학과 박사졸업
단국대학교 대학원 응용물리학과 석사과정
단국대학교 대학원 응용물리학과 박사졸업
단국대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 5개 챕터, 21강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 기본 개념 : 벡터 | ||
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[1강] 벡터 기본개념 (1)
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벡터 기본연산과 삼중곱, 각도계산 핵심 정리
• 벡터 연산·각도·미분: 성분 표현과 덧셈·스칼라배·내적·외적, 시간에 따른 벡터 미분 및 수직 조건(내적=0)에 의한 매개변수 조건 도출 정리 • 삼중곱·벡터 분해: 스칼라·벡터 삼중곱 구조와 공식(순환치환, A×(B×C) 전개), 내적·외적 조건을 이용한 벡터 분해와 단위벡터 기반 C벡터 표현 방법 정리 • 공간도형·부등식: 직육면체·정육면체 대각선 벡터와 각도 계산, 내적·외적을 통한 사잇각·수직 방향 결정, 삼각부등식·Cauchy–Schwarz 부등식의 대수적·기하학적 구조 정리 |
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[2강] 벡터 기본개념 (2)
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벡터 삼중곱, 평행사변형·평행육면체, 회전변환행렬 정리
• 벡터·스칼라 삼중곱: $\vec a\times(\vec b\times\vec c)$ 항등식과 스칼라 삼중곱의 행렬식 표현·순환치환·부호 성질을 통해 외적·내적 결합 구조 정리 • 기하학적 의미: 외적 크기를 평행사변형 넓이로, 스칼라 삼중곱 절댓값을 평행육면체 부피(밑면 면적×높이)로 해석하는 벡터 기하 구조 정리 • 회전변환행렬: 단위벡터 내적=코사인 구조로 z·y′·x′·z′축 회전 행렬을 구성하고, 연속 회전을 행렬 곱으로 표현하여 좌표축 변화 시 벡터 성분 변환 절차 정리 |
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[3강] 벡터 기본개념 (3)
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벡터 운동과 가속도의 성분, 곡률 관련 연습문제 정리
• 벡터 운동 기본 관계: 곡선 궤적 r(t)에서 속도 v=dr/dt, 가속도 a=dv/dt를 직교·극·원통·구면좌표로 표현하고, v·a=vṽ, d/dt[r·(v×a)]=r·(v×ȧ) 등 미분·벡터곱·삼중곱 관계식 정리 • 가속도의 접선·법선 성분과 곡률: v=vτ, a=aττ+an n 분해, aτ=(v·a)/v, an=(a²−(v·a)²/v²)¹ᐟ², 곡률반경 ρ와 a_n=v²/ρ, |v×a|=v³/ρ 관계 및 원·타원·나선 운동에서 v,a 크기·방향·각도 분석 • 특수 좌표계 곡선 운동 사례: 극·원통·구면좌표 나선·구면 궤적에서 v,a 성분과 크기, |a| 상수 여부, v와 a 사이 각도의 시간 독립성, 지수·나선·구면 진동 궤적의 기하학적 특성 및 속력의 시간 함수 도출 |
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[4강] 벡터 기본개념 (4)
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바퀴의 가속도, 직교 변환행렬, 벡터로 유도하는 삼각함수 항등식
• 구름운동 바퀴 운동학: 순수 굴림조건에서 선속도·각속도 관계(s=bθ, v=bω)와 접선·법선 가속도 분해를 통해 중심 기준 및 지면 기준 질점 가속도 벡터와 최대가속도 위치를 유도 • 직교 변환행렬과 회전: 직교성 조건 RᵀR=I로 행렬 성분을 결정하고, 회전축·회전각(예: z축 주위 45°, 135° 회전)으로 해석하는 회전변환 구조 이해 • 벡터 기반 삼각함수 항등식: 2차원 단위벡터의 내적·외적 정의를 사용해 코사인·사인 차 공식을 벡터대수적으로 유도하고 삼각함수 합차 항등식을 기하학적 관점에서 정식화 |
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| 2장. 뉴턴 역학 : 입자의 직선 운동 | ||
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[5강] Newton 역학 (1)
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뉴턴역학 연습문제: 시간·변위 의존 힘, 위치에너지와 에너지 보존 개념 정리
• 시간·변위 의존 힘과 운동방정식: 뉴턴 제2법칙을 $m\ddot x = F(t)$, $m\dot x\,d\dot x/dx = F(x)$, $a=v\,dv/dx$로 변환해 적분으로 $v(t)$·$x(t)$·$v(x)$를 구하고, 속도 함수 $v(x)$로부터 힘 $F(x)=mv\,dv/dx$를 도출하는 절차 정리 • 보존력과 위치에너지: 보존력 정의 $F_x(x)=-dV/dx$를 사용해 $V(x)=-\int F(x)\,dx + C$를 구성하고, 선형·비선형 복원력 계에서 위치에너지 함수, 운동에너지 $T(x)$, 전체에너지 $E=T+V$ 구조와 전향점 조건 $T=0$, $E=V_{\max}$를 통해 진동 가능 영역을 판별 • 응용 계 문제: 경사면에서 끈이 작용하는 힘의 성분 분해($Mg\sin\theta$, $Mg\cos\theta$와 장력 평형)와 공기저항이 있는 낙하에서 드래그 힘 모형($F_\text{drag}\propto v^2$), 종단속도 $v_T=\sqrt{mg/C_2}$, 초기 위치에너지–최종 운동에너지–공기저항에 의한 일(선적분)의 에너지 관계 분석 |
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[6강] Newton 역학 (2)
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공기저항 포함 낙하·경사면·점성저항·공기저항 속도제곱 문제풀이 정리
• 비보존력 역학 개념: 공기저항·점성저항·마찰력에 의한 비보존력 작용을 일·에너지 관점과 Newton 방정식, $a=v\dfrac{dv}{dx}$ 변환으로 기술하고 에너지 손실·운동에너지 변화를 연결함 • 속도 의존 저항력 운동 해석: 저항력이 $v^n$에 비례할 때 1차원 운동방정식을 $mv\dfrac{dv}{dx}=\sum F(x,v)$ 형태로 세워 분리변수 적분으로 $v(x)$, $x_{\max}$, 왕복시간을 구하는 절차 정리함 • 공기저항·마찰 응용 문제: 속도제곱 항 공기저항 낙하와 수직 발사, 경사면 마찰 왕복운동, $v^{2/3}$ 점성저항 수평운동에서 힘의 방향·부호 선택, 종단속도·시간상수 정의와 로그·지수 적분 구조를 체계화함 |
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[7강] Newton 역학 (3)
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뉴턴역학 연습문제(공기저항, 중심력, 종단속력, 가변힘 운동)
• 공기저항·비선형 저항력 운동: 공기저항(선형·제곱항) 포함 낙하운동에서 뉴턴 방정식과 변수변환(𝑎 = v dv/dx, v = dx/dt)을 이용한 속도-위치 관계 및 종단속력 산출 • 중심력·가변힘 운동: 역제곱 중심력에서의 하강 시간 적분(x = b sin²θ 치환)과 F = k v x 꼴에서 v(x)·x(t) 해를 역삼각함수 적분형으로 표현 • 힘의 함수형 비교 F(x,v), F(x,t), F(v,t): 힘의 의존형에 따른 변수 분리 가능성 분석과 v(t), x(t) 해의 존재·적분 가능 조건 정리 |
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[8강] Newton 역학 (4)
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뉴턴역학 응용: 비선형 저항 운동과 질량 증가계 운동
• 비선형 제동 운동: 지수형 속도 의존 저항력 $F(v)=-A e^{\alpha v}$ 하에서 변수분리·지수·로그 적분으로 속도–시간 관계, 정지 시간, 최대 진행거리 해석 • 변수변환을 통한 거리 계산: $m\,dv/dt = m v\,dv/dx$ 변환과 치환적분으로 시간 대신 속도를 독립변수로 사용해 포사체 최대 진행거리 공식을 도출하는 절차 구조 • 질량 증가 낙하 물방울: 질량–반지름 관계 $m\propto r^3$와 $dm/dt\propto A$ 및 운동량 방정식 $d(mv)/dt=mg$ 결합으로 반지름·속도의 시간에 대한 선형 증가 특성 증명 |
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| 3장. 진동 | ||
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[9강] 진동 (1)
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조화진동·감쇠진동 연습문제 풀이 핵심 정리 (9강)
• 단순조화진동(SHM)·단진자·용수철 계: $x=A\sin(\omega t+\phi)$, $v_{\max}=A\omega$, $a_{\max}=A\omega^2$, $T=\frac{2\pi}{\omega}$, 에너지 보존, 단진자 주기 $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, 병렬·직렬 연결 등가용수철 상수와 각진동수 계산 • 복합 계·제약 조건 해석: 상자+내부 물체의 수직항력과 이탈 조건, 두 점에서의 변위·속도로부터 $\omega$와 진폭 결정, 초기조건을 이용한 $x(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t$ 계수·위상·진폭 관계식 도출 • 감쇠·구동조화진동: 감쇠해 $x=Ae^{-\gamma t}\cos(\omega_d t+\phi)$의 연속 최대값 비 $e^{-\gamma T_d}$, 감쇠 구동진동에서 $\gamma=\frac{c}{2m}$, $\omega_0^2=\frac{k}{m}$, 공명각진동수 $\omega_r^2=\omega_0^2-2\gamma^2$, 정상상태 진폭·위상차 및 일반 매개변수계의 공명각진동수·최대진폭 표현 |
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[10강] 진동 (2)
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감쇠 조화진동 연습문제 풀이 핵심 정리 (3.12~3.18, LCR 포함)
• 감쇠 진동자 주파수·주기 관계: 감쇠 진동수·고유진동수·공명진동수 관계(ωd²=ω0²-γ², ωr²=ω0²-2γ²), 연속 최대진폭비와 감쇠율, n회 진동 후 감쇠로부터 주기비 T0/Td 근사 유도 • 공진 특성·Q인수·위상: 임계 감쇠의 절반 조건에서 ωr, Q, 구동각주파수에서 위상각과 정상상태 진폭 계산, 강제진동에서 tanφ와 A(ω) 일반식으로 위상 지연·진폭 공명 구조 정식화 • LCR–역학계 대응 및 감쇠형 구동력 해: LCR 회로와 질량–스프링–감쇠계의 매개변수 대응(L↔m, R↔c, 1/C↔k)과 Q≈R0/R 도출, 사인형·지수 감쇠형 구동력에 대한 정상상태 해 x(t)=A(ω)sin(ωt-φ), x(t)=Ae^{-αt}cos(ωt-φ)의 복소수 해법 정리 |
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| 4장. 3차원의 입자 운동 | ||
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[11강] 3차원의 입자 운동 (1)
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3차원 입자운동: 보존력, 퍼텐셜, 선적분, 중력퍼텐셜 응용 정리
• 보존력과 퍼텐셜 함수: 보존력장을 퍼텐셜 V로부터 F=-∇V로 정의하고, ∇×F=0 조건·선적분 경로독립성·좌표계(직교·구좌표)별 gradient 표현으로 보존력/비보존력 및 상수 조건 판별 • 퍼텐셜 하 입자·투사체 운동: 주어진 V(x,y,z)에서 에너지 보존식과 mẍ=Fx 등 성분별 운동방정식 유도, 지구 중력퍼텐셜의 급수전개 근사로 힘과 투사체 최대고도 식 도출 및 평지 근사 h≈v0²/(2g)와 비교 • 롤링 운동과 진흙 튐 분석: 구름 바퀴 테두리 점의 사이클로이드 궤적과 속도 성분을 이용해 분리된 진흙의 초기 위치·수직속도·투사체 궤적을 설정하고, 최대 높이 Y와 최적 각도 cosθ=-bg/v0² 및 속도–반지름–중력 사이 관계 정량화 |
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[12강] 3차원의 입자 운동 (2)
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경사면 포사체 운동·타워 포 격추·야구 투구 궤적 정리
• 경사면 포사체 운동 일반식: 경사각·발사각·초기속도를 이용해 사정거리·최대 사정거리·최적 발사각을 도출하고, 좌표계 변환과 삼각함수 항등식·미분 조건 dR/dα=0으로 최적화 관계 정리 • 높이 차·이동 대포 조건: 타워·경사면·두 대포 사이의 높이 차와 기하학적 관계(R=h/ sinφ 등)를 동역학식과 연립해 최대 사정거리·최소 접근 거리·타격 가능 조건을 구조적으로 표현 • 각도 의존 속도를 가진 투구 궤적: 초기속도가 각도에 따라 변하는 포사체에 대해 R(θ), h(θ)를 세우고, 미분과 삼각함수 치환으로 최장 거리·최고 높이를 주는 각도와 대응 거리·높이를 계산하는 절차 정리 |
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[13강] 3차원의 입자 운동 (3)
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3차원 포물체 운동과 사정거리 곡면, 공기저항 포함 운동방정식
• 포물체 운동과 도달 가능 영역 곡면: 초기 속도·발사각·중력으로부터 시간 제거와 탄젠트 변수화 후 판별식 조건으로 3차원 한계 곡면 g²r² = V₀⁴ − 2gV₀²z를 유도하고, 곡면 내부·외부를 도달 가능/불가능 영역으로 구분함 • 탄젠트 각도 2차식과 사정거리 곡선: Z–R 관계식을 tanα에 대한 2차방정식으로 구성하고 계수와 판별식을 정리하여 실근 조건을 해석하며, 수직 평면 단면에서 사정거리 경계 포물선 형상과 의미를 구조적으로 제시함 • 공기저항 포함 운동방정식과 속도 감쇠 해: 속력 제곱 비례 항력을 호의 길이 s 기반으로 분해하여 각 성분 운동방정식을 세우고 연쇄법칙·변수분리로 v 성분의 지수 감쇠 해 ẋ = ẋ₀e^(-γs), ẏ = ẏ₀e^(-γs)를 도출해 실제 포물체 운동의 저항 효과를 정식화함 |
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[14강] 3차원의 입자 운동 (4)
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선형 공기저항 포물 운동, 2차원/3차원 진동자의 연습문제 풀이 정리
• 선형 공기저항 포물 운동: 수평 도달거리 식의 로그항을 급수전개·다항식 정리·근의 공식으로 처리하여 무저항 사거리와 공기저항 1차 보정항이 포함된 $x_{\max}$ 근사식 유도 • 2차원 등방성 진동자: 동일 각진동수 해 $x(t),y(t)$에 초기조건을 적용해 진폭·위상차 결정 후, 직사각형 내 타원 궤도 크기와 기울기 각 $\Phi$ 를 $\tan 2\Phi$ 공식으로 계산 • 3차원 비등방성 진동자: 위치에너지에서 분리된 각 방향 운동방정식과 고유각진동수로 $x(t),y(t),z(t)$ 를 구하고, 초기속도 방향 (1,1,1) 조건으로 진폭 결정 및 세 고유주기의 최소공배수로 전체 운동주기 도출 |
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[15강] 3차원의 입자 운동 (5)
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2차원 등방성 진동자의 타원궤도와 3차원 조화진동자 퍼텐셜 유도
• 2차원 등방성 진동자 타원궤도 회전: 타원 방정식에 좌표 회전변환을 적용해 교차항 소거 조건을 구하고, 주축 기울기 각도에 대한 관계식 $\tan 2\psi = \dfrac{2AB\cos\delta}{A^2-B^2}$을 유도함 • 좌표변환과 대칭성 활용: 회전 행렬을 이용한 타원 주축 정렬과, 격자 대칭성을 이용한 홀수차 항 소거를 통해 물리계의 효과적 기술과 단순화 원리를 제시함 • 정육면체 격자 3차원 조화진동자 퍼텐셜: 중심 원자와 6개 최근접 원자 사이의 $r^{-\alpha}$ 상호작용을 소변위에 대해 테일러 전개하여, 전체 퍼텐셜을 $V = A + B(x^2 + y^2 + z^2)$ 형태의 3차원 조화진동자 퍼텐셜로 근사함 |
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[16강] 3차원의 입자 운동 (6)
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32:
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전자 사이클로이드 운동과 구·루프·사이클로이드 도랑 문제 정리
• 전자의 교차장(E⊥B) 운동과 사이클로이드 궤도: 로렌츠 힘과 cyclotron 주파수를 이용해 연립 운동방정식 설정, 비제차 2차 미분방정식 해로 사이클로이드 궤도 매개방정식 도출 • 매끄러운 구면·원형 루프 위 입자 운동: 에너지 보존과 구심력·수직항력 조건을 결합해 구면 이탈 조건(R=0, h=b/3)과 루프 최하단에서의 반작용 크기(R=3mg) 계산 • 사이클로이드 도랑에서의 조화진동: 도랑을 따른 에너지식을 조화진동자 형태(E=½mẋ²+½kx²)로 변환해 유효 용수철 상수(k=3mg/4A)와 각주파수·주기(T=2π√(4A/3g)) 및 등시성 성질 분석 |
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| 5장. 비관성 기준계 | ||
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[17강] 비관성 기준계 (1)
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48:
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비관성계에서의 역학
• 비관성계와 관성력: 가속·회전 기준계에서 관성력(가속 관성력·원심력)을 도입해 승강기·원심분리기·가속·감속 차량 문제의 평형 조건과 겉보기 중력, 수직항력·장력·마찰력 변화를 해석하는 원리 • 유효 중력과 상대운동: 가속 기차 속 연추의 평형·편향각·진자 주기 변화를 유효 중력으로 표현하고, 제동 트럭 짐의 운동을 관성계와 비관성계에서 각각의 가속도와 마찰 조건으로 비교하는 해석 절차 • 회전계 운동 표현: 회전 좌표계에서 속도 변환식 $\mathbf{v}=\mathbf{v}'+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}'$과 복소수 표현을 사용해 원운동의 결합 미분방정식을 유도·해결하고 회전계에서 본 입자 궤적을 구하는 방법 |
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[18강] 비관성 기준계 (2)
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48:
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태양-지구-소행성, 회전계 운동과 비관성력 정리
• 회전·비관성계 가속도 공식: 회전 좌표계에서의 가속도 분해식 $\mathbf{a}=\mathbf{a'} + 2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v'} + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r'}) + \dot{\boldsymbol{\omega}}\times\mathbf{r'} + \mathbf{a}_{O'}$ 을 이용해 태양-지구-소행성 상대위치·상대속도, 자전거 바퀴 앞점 가속도 등 회전운동을 해석함 • 원심력·Coriolis 힘 응용: 회전판 위 벌레와 회전 막대 염주알 운동에서 구심·원심·Coriolis 가속도 성분을 합성해 미끄럼 임계속도와 방사방향 운동방정식( $\ddot{x'}-\omega^{2}x'=0$ ) 및 해( $\cosh,\sinh$ )를 도출함 • 지구 자전과 Coriolis 효과: 지구 자전에 의한 Coriolis 힘 $\mathbf{F}_{\text{cor}}=2m\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}$, $2m\omega v\sin\lambda$ 를 이용해 크기·방향(진행방향 오른쪽 편향)과 중력과의 비를 정량적으로 평가하고, 직선 운동체(자동차 등)의 실제 편향 효과를 분석함 |
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[19강] 비관성 기준계 (3)
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49
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비관성계에서의 코리올리 힘과 낙하·투사 운동, 고계도함수
• 코리올리 힘과 비관성계 역학: 지구 자전 각속도와 속도의 외적으로 정의되는 코리올리 힘, 위도에 따른 각속도 분해, 수평 성분 크기가 속도 크기에만 비례함을 벡터 성분으로 증명 • 코리올리 편향 응용 문제: 자유낙하와 포물선 운동에서 비관성계 운동방정식 설정, 중력·코리올리 항만 포함한 미분방정식 해석, 낙하·비행 시간과 편향 거리의 근사식 및 수치 계산 • 회전좌표계 고계 도함수: 회전계와 관성계 미분 관계식 사용해 위치벡터의 가속도와 가가속도(3계 도함수) 일반식 유도, 가로힘·코리올리·원심항 분해와 jerk의 물리적 의미 정리 |
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[20강] 비관성 기준계 (4)
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비관성계에서의 탄도 및 Larmor 정리 요약 (코리올리 힘 응용)
• 코리올리 힘에 의한 탄도 편향: 지구 자전각속도·위도·초기속도의 함수로 수직·경사 발사체의 서쪽 편향 및 위도 변화(북–남 변위) 유도, 낙하 시간 계산 후 수평/위도 변위에 대입하는 절차 정리 • 비관성계 동역학: 지구 고정계에서 코리올리 힘만 고려한 운동방정식 설정, 각속도 벡터 분해와 성분별 가속도 방정식 구성, $\omega^2$ 및 $B^2$ 고차항 무시 근거를 이용한 근사 해법 구조화 • Larmor 정리와 회전좌표계: 로렌츠 힘 $q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})$에 대해 Larmor 각속도 $\boldsymbol{\omega}=-\dfrac{q}{2m}\mathbf{B}$를 갖는 회전좌표계를 선택하여 자기사항을 상쇄하고, 회전계에서 $m\mathbf{r}''{}'=q\mathbf{E}$ 형태로 단순화되는 자기장 속 입자 운동 기술 |
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[21강] 비관성 기준계 (5)
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54:
54
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푸코 진자의 운동방정식과 세차운동, 자전거 바퀴 비관성계 가속도
• 푸코 진자 동역학: 지구 자전 비관성계에서 코리올리 힘만을 남기는 근사(원심·병진가속도 무시)와 장력 방향코사인 분해를 통해 작은 진폭 2차원 조화진동 방정식 및 타원 궤도 운동 유도 • 회전 좌표계와 세차운동: 진동면 각속도에 맞춘 회전 좌표계 변환으로 X,Y 운동을 분리된 조화진동자로 단순화하고, 위도 의존 세차각속도 Ω′=Ωsinλ 및 세차 주기 T=24 h/sinλ의 극·적도·중위도 특성 정식화 • 비관성계 가속도 해석: 자전거 바퀴에 고정된 좌표계에서 총 각속도(바퀴 회전+트랙 원운동)를 이용해 가속도 일반식의 코리올리·원심·병진 항을 구조적으로 분리하고, 최고점 가속도 성분 3V₀²/ρ·k′와 −V₀²/b·n 도출 절차 정리 |
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김희수 교수님
일반역학(고전역학) 문제풀이Ⅰ
