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일반역학(고전역학) 문제풀이Ⅱ
김희수 교수
단국대학교 대학원 응용물리학과 석사과정
단국대학교 대학원 응용물리학과 박사졸업
단국대학교 대학원 응용물리학과 석사과정
단국대학교 대학원 응용물리학과 박사졸업
단국대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 6개 챕터, 23강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 6장. 중력과 중심력 | ||
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[1강] 중력과 중심력 (1)
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중력과 중심력 연습문제 풀이 핵심 정리
• 만유인력·구껍질 정리: 두 점질량 사이 만유인력, 균일 얇은 구껍질 내부 중력장 0, 포텐셜 상수성 및 구 내부 중력 F ∝ r 구조 정리 • 지구 내부 단순조화진동: 지구를 관통·비스듬한 직선 터널에서 복원력 F = −kx, 각진동수 ω² = 4πGρ/3, 주기 T = 2π√(R⊕/g) ≈ 84분으로 동일함을 증명 • 궤도역학·케플러 제3법칙: 만유인력 = 구심력으로부터 T² = (4π²/GM)r³ 유도, 정지위성 궤도반경 r ≈ 6.6R⊕와 달 공전주기 ≈ 27.5일 계산 구조 정리 |
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[2강] 중력과 중심력 (2)
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지표면 위 위성 주기와 타원궤도·먼지 중력장·나선궤도 중심력 문제 풀이 정리
• 중심력·중력 기본 개념: 지표면 위 원궤도와 지구 중심 관통 단진동 주기 일치, 균일 밀도 먼지 구름의 구껍질 정리에 의한 선형(r) 중력항, 각운동량 보존과 극좌표 가속도 성분을 이용한 궤도 분석 • 특수 궤도와 힘 법칙: 타원궤도에서의 속도와 이심률 근사, 나선궤도 r=r₀e^{kθ}, r=aθ 및 원점을 지나는 원 r=r₀cosθ의 궤도 방정식으로부터 F(r)∝r⁻², r⁻³, r⁻⁵ 등 역거리지수 힘 법칙 도출 • θ(t) 시간 의존성: 각운동량 보존과 중심력 조건(F_θ=0)으로부터 나선궤도에서 θ(t)의 로그형(θ∝ln t)·멱함수형(θ∝t^{1/3}) 관계 유도 및 역세제곱·역세제곱 이상 중심력장에서의 폐곡선·나선 궤도 분류 |
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[3강] 중력과 중심력 (3)
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중력과 중심력 응용: 궤도방정식·타원궤도 속도·2단 로켓
• 중심력 운동 해석: 에너지·각운동량 보존을 이용한 특수 중심력장의 궤도방정식 유도, 시간–각도 관계와 원점 근접 시 속도 발산 특성 정리 • 역제곱 법칙 타원궤도: 타원궤도 방정식·근지점·원지점 반지름과 장반경·이심률 관계, 각운동량 보존·케플러 제3법칙으로 속도곱 (2πa/τ)² 도출 • 2단 로켓 궤도 전이: 발사 조건으로부터 타원궤도 장반경·이심률 계산, 에너지·각운동량 보존과 g·RE 치환을 통한 원지점에서의 Δv₁ 및 최종 원궤도 고도 h 산정 |
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[4강] 중력과 중심력 (4)
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중력과 중심력: 원형궤도 안정조건, 역세제곱 힘, 포물선 궤도, 랑데부 궤도
• 원형궤도 안정조건·유효퍼텐셜: 중심력장에서 유효퍼텐셜 U(r)와 테일러 전개를 사용해 d²U/dr²>0의 안정조건, r⁻²·r⁻²−r⁻³·r⁻³ 힘에서의 반지름 섭동 운동과 조화진동 방정식 도출, 역세제곱장(r⁻³)에서의 원형궤도 불안정성 판정 • 궤도 기하와 교차각: 타원·포물선 궤도의 반지름 식 r(θ)=α/(1+εcosθ)와 α=a(1−ε²), 근지점 거리 p 관계를 이용해 포물선 궤도 혜성과 반지름 a 지구 원궤도의 교차각 cosθ=2p/a−1 유도 • 전이궤도·랑데부 기하: LEO–GEO 사이 타원 전이궤도의 장반경과 케플러 제3법칙으로 전이 시간 T 계산, 정지궤도 각속도와 결합해 랑데부에 필요한 선행각 θ=180°−ωT 도출 및 수치 적용 |
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| 7장. 입자계의 운동학 | ||
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[5강] 입자계의 운동학 (1)
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입자계의 운동학 연습문제 정리 (질량중심·운동량·충돌·탄도)
• 질량중심·선운동량·각운동량: 질량중심 위치·속도 정의, 총 선운동량 P = Mv_cm 관계, 원점 기준 각운동량 L = Σ(r×mv) 계산 구조 정리 • 운동에너지 분해와 보존 법칙: 계의 총 운동에너지 T = Σ(½mv²)와 질량중심 운동에너지·상대운동 에너지 분해, 충돌·폭발·반동에서 운동량 보존 및 상대속도·성분분해 활용 • 충돌·반발·투사 운동 응용: 총-탄환 반동 속도, 관통 시 에너지 손실 비와 마찰 열, 포탄 분열 후 파편 속력·방향, 반발계수 e를 이용한 튀는 공의 총 운동거리·전체 시간과 등비수열 구조 정리 |
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[6강] 입자계의 운동학 (2)
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입자계 정면충돌과 운동에너지 분해 핵심 정리
• 정면충돌 해석 개념: 운동량 보존·반발계수·운동에너지 보존을 사용해 1차원 충돌 후 속도와 에너지 변화를 계산하는 절차 정리 • 두 입자계 운동에너지 분해: 전체 운동에너지 T를 질량중심 운동에너지(½ M v_cm²)와 상대운동에너지(½ μ v²)로 분해하고, 환산질량 μ와 상대속도 v의 역할 구조화 • 에너지 손실 및 전달 식: 비탄성 정면충돌의 에너지 손실 ΔT=½ μ v²(1−e²) 및 탄성충돌에서 입사입자의 에너지 손실 비율 ΔT/T₁ = 4μ/M로 질량비·반발계수에 따른 에너지 전달 효율 규명 |
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[7강] 입자계의 운동학 (3)
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두 입자계 각운동량, 쌍성계 궤도, 양성자–헬륨 충돌 운동학 정리
• 두 입자계 각운동량과 환산질량: 질량중심–상대좌표 변환으로 전체 각운동량을 질량중심 궤도항과 상대좌표·환산질량(μ) 스핀항으로 분해하고, 두 입자 문제를 단입자 운동으로 등가 변환 • 쌍성계 궤도와 케플러 법칙: 케플러 제3법칙 T² ∝ a³/(M₁+M₂)를 태양질량·지구–태양 거리 단위로 무차원화하여 시그너스 X-1과 같은 쌍성계의 장반경·질량비·궤도 특성 계산 • 양성자–헬륨 충돌 운동학: mp–4mp 계의 2차원 탄성·비탄성 충돌에서 성분별 운동량·에너지 보존으로 최종속도·산란각을 해석하고, 실험실계–질량중심계 산란각 변환식과 에너지 손실을 반영한 감마(γ) 인자 정의 정리 |
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[8강] 입자계의 운동학 (4)
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입자계의 운동학: 비탄성 충돌·질량변화계 연습문제 정리
• 비탄성 충돌 역학: 운동량 보존과 에너지 관계식을 이용한 에너지 손실 Q 표현, 질량중심계–실험실계 산란각 변환 계수 γ 유도 • 질량 변화계 운동방정식: F = mẋv + vẋm 형태의 운동량 미분식을 사용한 체인 끌어올리기·책상 끝 체인 낙하에서의 장력·속도 계산 • 질량 증가 낙하계: 질량·반지름·위치 사이 관계 설정과 변수변환을 통한 미분방정식 해석으로, 습기 흡수 물방울의 유효 가속도 g/7 도출 |
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[9강] 입자계의 운동학 (5)
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입자계 운동학: 모래 방출 풍선의 운동, 높이·속도·급수전개
• 가변 질량계 모델링: 부력·중력 평형 조건에서 선형 감소 질량 함수 m(t)를 도입하고 뉴턴 제2법칙으로 dv/dt, v(t), y(t) 운동방정식 유도 • 모래 방출 완료 시 상태량 계산: t=T₀에서 높이 h와 속도 v(T₀)를 M, m₀, T₀, g의 조합과 로그항으로 표현하고 질량비 구조(로그+선형 항) 분석 • 무차원화와 멱급수 근사: 질량비 ε=m₀/M≪1을 도입해 h, v(T₀)를 무차원화하고 ln(1+ε) 멱급수 전개로 h≈(1/6)εgT₀², v(T₀)≈(1/2)εgT₀ 스케일 근사 및 수치 검증 |
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[10강] 입자계의 운동학 (6)
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입자계의 운동학: 로켓 운동 문제(연습문제 7.23–7.25)
• 로켓 방정식과 질량 감소 계: 질량감소율·상대 분사속도·외력(없음/중력/공기저항)을 포함한 기본 로켓 방정식 설정 및 속도·거리 해의 로그·적분 표현 • 무중력·공기저항 로켓 운동: 무중력에서 일정 연소율 로켓의 속도·비행거리 유도와 비례 공기저항 포함 시 체인룰·변수분리를 통한 최종속도 식 도출 • 중력장 로켓과 이탈속도: 중력장 내 수직 발사 로켓의 운동방정식 수립, 연료질량·적재물질량 관계식과 연료/적재물 비 도출 및 이탈속도 조건에서 지수함수적 연료 요구량 분석 |
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| 8장. 강체의 역학 : 평면운동 | ||
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[11강] 강체의 역학 : 평면운동 (1)
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질량중심 계산 연습문제 정리(선·면·입체 분포 사례)
• 질량중심 일반식과 밀도 분포: r_cm = (1/M)∫ r dM 공식을 선·면·체적 분포에 적용하고, 균질/비균질 밀도(λ, ρ)에 따른 dM 설정과 대칭성으로 불필요한 좌표 성분 제거 • 대표 도형별 적분 설정: U자형 철사·사분원·포물선-직선 영역·포물형 회전체·균질 원뿔·선밀도 λ=cx 막대에서 dl, dS, dV 요소와 적분 범위, 반지름·길이의 좌표 표현(기하학적 닮음비 포함)을 통한 질량중심 좌표 계산 • 공통 계산 전략과 출제 포인트: 점질량 치환, 단면 원판 적분, 가로 막대 적분, 대칭 도형에서 차원 축소, 전체 질량과 1차 모멘트 분리 적분을 통한 비율 계산 등 일반 절차를 회전관성·복잡 형상 문제로 확장하는 능력 강조 |
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[12강] 강체의 역학 : 평면운동 (2)
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균일 구의 공동 구멍 질량중심과 여러 평면도형·회전체의 관성모멘트 정리
• 질량중심·음의 질량 모델링: 공동이 있는 구를 ‘양의 구 + 음의 구’로 등가 변환하여 질량비·거리비로 질량중심 위치를 계산하는 선형성·대칭성 활용 원리 • 평면도형의 관성모멘트: 철사(ㄴ자), 사분원, 포물선-직선 영역에 대해 적절한 좌표계 선택(직교·극좌표), 미소선분·면적 요소 설정, $I=\int r^2 dm$ 면적분 구성 및 질량·밀도 관계 정리 • 회전체의 관성모멘트: 회전 포물체·원뿔을 원통껍질로 분해해 체적분 $I=\int r^2 dm$ 구성, 기하학적 닮음·$r$–$z$ 관계로 적분구간과 밀도 표현을 정리해 표준 공식($I\propto mb^2, mr_0^2$) 도출 |
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[13강] 강체의 역학 : 평면운동 (3)
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강체의 평면운동 연습문제 8.5–8.11 핵심 정리
• 관성모멘트·선의 반경 개념: 공동이 있는 구·1/8 구 조각·속이 빈 구 등 복합 강체를 완전한 구와의 질량·관성모멘트 분해/조합, 평행축정리, 구면좌표 적분으로 계산하여 $I$, $K_{\text{cm}}^2 = I/M$를 도출함 • 물리진자 동역학: 일반식 $T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{MgL}}$와 선의 반경 관계 $K^2 = Ld$를 이용해 $T = 2\pi\sqrt{\frac{d}{g}}$를 유도하고, 원형고리의 축 위치(평면 수직/평면 내)에 따른 관성모멘트와 등가 단진자 길이 변화를 비교함 • 구름·병진·회전 결합 운동: 줄이 감긴 구, 속이 빈 구 vs 꽉 찬 구, 한쪽을 놓은 널판자에서 병진방정식($\sum F = Ma$)과 회전방정식($\sum\tau = I\alpha$, 구름 조건 $a = R\alpha$)을 연립하여 가속도·반력·가속도 비율 $a = \dfrac{g\sin\theta}{1 + K_{\text{cm}}^2/R^2}$를 중심으로 정리함 |
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[14강] 강체의 역학 : 평면운동 (4)
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일반역학 강체의 평면운동: 예제 8.12–8.16 핵심 정리
• 에너지 보존·운동방정식 결합: 도르래–질점계, 원통·사다리·구·당구공에서 위치에너지 ⇄ 병진·회전 운동에너지 전환과 $m\vec a$, $I\alpha$를 동시에 사용하여 가속도·각속도·각가속도 계산 • 기하학적 구속·구심력 조건: 줄 불변성, 구름 조건 $v=R\omega$, 원운동에서 $mg\cos\theta - R = m v^2/r$를 이용해 도르래의 유효질량, 원통·사다리의 이탈 각도, 구름 시작 시점·위치 도출 • 마찰력과 토크의 동시 효과: 거친 경사면 구, 회전 당구공에서 마찰력이 병진가속과 회전 감·가속을 동시에 유도하며, 임계 마찰계수 $\mu_{\text{crit}}$와 미끄럼→순수 구름 전이 시간·이동거리 계산 |
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[15강] 강체의 역학 : 평면운동 (5)
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강체의 평면운동 연습문제 8.17–8.19 핵심 정리
• 균질 널빤지 충격 회전축(8.17) : 균질 막대의 질량중심 기준 관성모멘트와 관성반경을 이용해 충격각운동량 조건을 세우고, 질량중심에서 l/6 떨어진 점이 실제 회전축이 됨을 각운동량–기하 조건으로 도출 • 당구공–쿠션 충돌 높이 설계(8.18) : 미끄럼 없는 구름조건 v = rω와 충돌 시 운동량·각운동량 보존을 결합해 Ft, 토크팔 (h−r), 구의 관성모멘트 I = (2/5)mr²를 사용하고, 바닥 반작용이 0이 되도록 하는 최적 쿠션 높이 h = (7/10)d를 계산 • 탄도진자(널빤지+총알) 초기 속도(8.19) : 충돌 구간에서 축 O에 대한 각운동량 보존(m'v₀l' = Iθ̇)과 이후 구간에서 회전운동에너지–위치에너지 보존을 적용하고, 합성 관성모멘트 I = (1/3)ml² + m'l'²를 이용해 총알 속도 v₀를 m, m', l, l', θ₀, g의 함수로 표현하는 해법 구조 정리 |
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| 9장. 3차원의 강체 운동 | ||
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[16강] 삼차원의 강체운동 (1)
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삼차원 강체운동: 얇은 직사각형 판과 3축 막대의 관성텐서와 회전운동
• 관성모멘트·관성곱 계산: 균질 얇은 직사각형 판의 관성모멘트와 관성곱을 면밀도 적분·수직축정리·대칭성을 통해 구하고 관성텐서 행렬로 표현 • 관성텐서 기반 회전운동: 방향코사인과 관성텐서를 이용해 임의 축(대각선 축 포함)에 대한 관성모멘트, 각운동량, 회전운동에너지를 벡터·행렬 연산으로 계산 • 대칭성과 불변성: 서로 수직인 세 막대 강체와 정사각형 판에서 주축 성분 동일성에 따른 임의 축 관성모멘트 불변성 및 완전 평면 대칭 구조의 특성 분석 |
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[17강] 삼차원의 강체운동 (2)
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삼차원 강체운동 연습문제 9.3–9.9 핵심 정리
• 강체 회전 기본 개념: 직사각형 판·직육면체·막대·평판의 주축과 관성모멘트(대각·곱관성), 각속도 성분 분해를 통해 회전 운동에너지 T와 각운동량 L 방향·크기를 계산하는 방법 정리 • Euler 방정식·수직축 정리: 토크 유무에 따른 회전 운동 방정식 활용, 자유회전에서 T와 L² 보존, 평판에서 면 내 각속도 투영 불변 조건 및 대칭조건(I₁=I₂, I₃=I₁+I₂) 도출 • 세차 운동 분석: 대칭 강체(원판·정사각판·두꺼운 판)의 대칭축·각운동량축 둘레 세차각속도와 세차 주기 계산, 공간 대각선 축 회전 시 필요한 구속 토크와 각속도–각운동량 벡터 기울기 관계 정리 |
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[18강] 삼차원의 강체운동 (3)
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삼차원 강체의 자유 회전과 세차·흔들림 문제 풀이 정리
• 대칭축 강체 자유회전 기하 구조: 각속도 벡터–각운동량 벡터–대칭축 사이 각도 관계, 관성모멘트 비(Is/I)에 따른 최대각·안정성 조건, 판·원반 등 대칭체의 구체적 각도 계산 • 세차·흔들림 운동 해석: 충격에 따른 각운동량 변화(ΔL = r×P)와 세차율·흔들림 비율 산출, 공기 저항 토크 N = −cω가 만드는 각속도 성분 및 기울기 각도의 지수 감쇠 특성 • 자이로스코프 동역학: 복합 강체의 관성모멘트(I, Is) 계산, 세차각속도 해(두 개의 가능한 \dot{φ}), 중력 모멘트와의 평형으로부터 임계 회전수 및 안정 세차 조건(Is²S² ≥ 4mglI) 도출 |
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[19강] 삼차원의 강체운동 (4)
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연필·동전 안정 회전, 강체의 관성텐서와 대각선 회전 운동 정리
• 강체 안정 회전 조건: 세워진 원통·원판의 중력장 내 안정 회전 조건식, 최소 스핀각속도·선속도 계산과 회전수 환산 구조 정리 • 관성텐서와 주축: 점질량 십자 막대·균질 직육면체의 관성모멘트 텐서 구성, 관성곱과 주축 판별, 평행축 정리를 통한 중심축·꼭짓점 축 비교 • 분자 회전과 안정성: 포름알데히드 분자의 기하·질량 분포로부터 주모멘트 계산, 주축 선정, 최대·중간·최소 주모멘트 비교를 통한 불안정 회전 축 판별 |
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| 10장. 라그랑주 역학 | ||
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[20강] Lagrange 역학 (1)
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라그랑주 역학 연습문제 (포물선 운동, 구의 구름, 질량 있는 줄, 복합 Atwood, 움직이는 경사면)
• 라그랑주 역학 일반 원리: 운동에너지·위치에너지·일반화 좌표를 이용한 포물선 운동, 굴러내리는 구, 질량 있는 줄, 복합 Atwood, 움직이는 경사면 계의 통일적 운동방정식 유도 • 회전·구름 계 분석: 관성모멘트·무미끄럼 조건을 통한 구의 가속도 일반식 도출, 복합 구름/경사면 계에서 교차항과 사이클릭 좌표·보존량 활용 구조 제시 • 다질점·구속조건 계 해석: 질량 있는 줄과 복합 Atwood 기계에서 구속조건 설정, 일반화 좌표 선택, 연립 라그랑주 방정식 구성 및 가속도 해 풀이 절차 정리 |
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[21강] Lagrange 역학 (2)
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탄성진자와 사이클로이드·회전진자·구속계의 라그랑주 역학 문제 풀이 정리
• 라그랑주 역학 일반 원리: 극좌표·매개변수 좌표·회전계·분포질량을 포함한 계에 대해 일반화 좌표 선택, 운동·위치에너지 계산, 라그랑지안 구성 및 라그랑주 방정식 도출 절차 정리 • 구속계와 등가 단진동계: 사이클로이드 고랑, 회전 원반 진자, 줄에 감긴 구의 비홀로노믹 구속을 라그랑주 승수와 새로운 좌표(곡선 길이 s 등)로 처리하여 조화진동 방정식, 가속도, 장력·토크 등 구속력 해석 • 유효 질량과 유효 퍼텐셜: 탄성 진자·무거운 용수철 등에서 분포질량의 운동에너지 적분을 통해 유효 질량 정의, 평형점 치환으로 선형화된 단진동 방정식과 진동수·진동주기 관계 정식화 |
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[22강] Lagrange 역학 (3)
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일반역학 Lagrange·Hamilton 역학 연습문제 정리 (이중 Atwood, 염주알, 반구, 해밀턴)
• Lagrange 곱수법과 구속조건 계: 이중 Atwood 기계, 회전 막대 위 염주알, 반구 위 입자에서 길이·각속도·반지름 구속식을 설정하고 Lagrangian에 곱수를 도입해 장력·법선반작용·이탈 조건을 계산하는 절차 정리 • Hamilton 정준방정식과 에너지 표현: 단진자, 간단한 Atwood 기계, 경사면 입자에 대해 일반화좌표·운동량을 정의하고 Hamilton 함수 H(p,q)를 구성한 뒤 두 개의 정준방정식으로 기존 Newton·Lagrange 운동방정식을 재도출하는 구조 제시 • 공통 해석 요소: 각 계의 자유도와 구속식 설정, 운동·퍼텐셜에너지 표현, Lagrange/Hamilton 형식 간 등가성, 선형 ODE·쌍곡함수 해·에너지 보존을 이용한 속도–각도 관계 및 가속도‧구속력 도출 과정 통합 정리 |
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| 11장. 진동계의 역학 | ||
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[23강] 진동계의 역학
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진동계 평형과 안정성, 다입자 결합 진동의 해석
• 평형점과 안정성 판정: 위치에너지 기울기 조건($V'(x)=0$, $\nabla V=0$)으로 평형점 도출, 1차원에서는 2차 미분 $V''(x_0)$ 부호, 다차원에서는 Hessian 행렬 양의 정부호성으로 안정·불안정 판단 • 단일 자유도 진동과 유효 계수: 안정 평형점 근처 운동을 조화진동으로 근사하고 $\omega^2=\dfrac{k_{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}$로 각진동수·주기를 계산하며, 소각도 근사와 병진·회전 운동에너지로 유효질량·유효스프링상수 정의 • 다자유도 결합 진동과 정규모드: 라그랑지안으로 질량행렬 $M$·강성행렬 $K$를 구성하고 $\det(K-\omega^2 M)=0$ 영년방정식으로 고유진동수와 모드벡터(대칭·반대칭 모드 등)를 구하며, $N$질점 결합계의 고유진동 분포를 일반식 $\omega_N=2\omega_0\sin\!\big(\frac{N\pi}{2n+2}\big)$으로 구조적으로 해석한다 |
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김희수 교수님
일반역학(고전역학) 문제풀이Ⅱ
