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공업수학(KREYSZIG)Ⅱ
김은정 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
경남대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 8개 챕터, 61강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 11장. Fourier 해석 | ||
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[1강] 11.1 Fourier 급수 (1)
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공업수학 Fourier 급수 주기함수 및 삼각함수 시스템 직교성
• Fourier 급수: 주기함수를 삼각함수(사인, 코사인)의 무한 합으로 표현하는 수단. • 주기함수 및 삼각함수 시스템: $f(x+p)=f(x)$를 만족하는 함수와 $1, \cos nx, \sin nx$로 구성된 집합. • 삼각함수 시스템의 직교성: 특정 구간 내 두 삼각함수 곱의 정적분이 0인 성질로, Fourier 급수의 핵심 원리. |
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[2강] 11.1 Fourier 급수 (2)
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퓨리에 급수 계수 계산 및 수렴 조건
* 퓨리에 급수 개념: 주기함수를 삼각함수 무한급수로 표현하며, 퓨리에 계수($a_0, a_n, b_n$)는 삼각함수 직교성 기반 오일러 공식으로 계산. * 계수 계산 최적화: 함수의 우함수/기함수 대칭성 분석을 통해 퓨리에 계수 계산을 간소화. * 퓨리에 급수 수렴: Dirichlet 조건을 만족 시 수렴하며, 불연속점에서는 좌우 극한값의 평균으로 수렴하는 특성 이해. |
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[3강] 11.2 임의의 주기. 우함수와 기함수. 반 구간 전개 (1)
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임의 주기 푸리에 급수, 우함수와 기함수 활용
* 임의 주기 푸리에 급수: 주기 $2L$ 함수에 대한 삼각함수 시스템 기반 전개 및 푸리에 계수 $a_0, a_n, b_n$ 공식 정의 * 우함수 및 기함수 활용: 대칭성 기반 푸리에 코사인 급수 또는 푸리에 사인 급수로의 계수 간소화 원리 학습 * 함수 합과 상수곱 푸리에 계수: 선형성을 통한 계수 계산 및 반구간 전개 개념 이해 |
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[4강] 11.2 임의의 주기. 우함수와 기함수. 반 구간 전개 (2)
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푸리에 급수 우함수 기함수 및 반구간 전개
• 우함수·기함수: 대칭성 정의 및 적분 특성을 활용, 푸리에 급수를 코사인 급수 또는 사인 급수로 단순화하는 원리 이해 • 푸리에 급수 선형성: 두 주기 함수의 푸리에 급수를 합하거나 스칼라를 곱하여 복합 함수의 급수 전개를 간소화하는 방법 • 반구간 전개: 특정 구간 함수를 우함수 또는 기함수로 확장하여 푸리에 코사인 급수 및 푸리에 사인 급수로 전개하는 과정 학습 |
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[5강] 11.3 강제진동(Foreced Oscillations)
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강제진동 푸리에 급수 적용 예제 분석
• 강제진동 푸리에 급수 적용: 비사인 주기 외부 힘에 대한 상미분방정식 해를 푸리에 급수로 분석. • 정상상태 해 도출: 외부 힘의 푸리에 급수 전개 및 각 조화진동 성분에 대한 특수해 중첩 과정. • 진폭 분석: 시스템 감쇠 및 강성 계수를 통한 각 주파수 성분 진폭($C_n$) 계산 및 지배적 진동 모드 파악. |
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[6강] 11.4 삼각함수 다항식에 의한 근사
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삼각함수 다항식에 의한 근사 이론
• 삼각함수 근사이론: 주어진 함수를 N차 삼각함수 다항식으로 근사화하며 오차 및 제곱오차 개념을 정의 • 최소제곱오차: 근사 다항식 계수가 푸리에 계수와 일치할 때 제곱오차가 최소화되는 원리 및 Bessel 부등식 유도 • Parseval 항등식: Bessel 부등식의 특수 형태로, N값 증가에 따른 근사 정확도 향상을 분석 |
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[7강] 11.5 Sturm-Liouville 문제. 직교함수
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Sturm-Liouville 문제와 직교함수
• Sturm-Liouville 문제 정의: 2계 선형 미분방정식과 경계조건으로 고유함수 및 고유값 산출 원리 탐구 • 고유함수 직교성 정리: 서로 다른 고유값에 대응하는 고유함수가 가중함수에 대해 직교하는 핵심 성질 • 직교함수 개념 확장: 내적, norm, 정규직교함수 정의와 특이/주기적 Sturm-Liouville 문제 분류 |
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[8강] 11.6 직교급수. 일반화된 Fourier 급수
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직교급수 및 일반화된 Fourier 급수
• 직교급수 및 일반화된 Fourier 급수: 직교하는 기저 함수로 함수를 전개하며, Sturm-Liouville 문제의 고유함수와 Fourier 상수를 활용. • Legendre 다항식: Legendre 미분방정식의 해인 고유함수로, 그 특성과 norm을 활용하여 Fourier-Legendre 급수를 구성. • Bessel 함수 및 Fourier-Bessel 급수: Bessel 방정식 해의 Sturm-Liouville 변환과 직교성을 통해 공학 문제 모델링에 활용. |
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[9강] 11.7 Fourier 적분
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Fourier 적분 개념 완성
* Fourier 적분 개념: 주기함수 급수를 비주기함수로 확장, 절대적분가능 및 구분연속 함수의 적분 표현 정의. * Fourier 적분 조건: 구분연속성, 좌우도함수 존재, 절대적분가능성을 포함하며 불연속점에서 좌우 극한값 평균으로 수렴하는 특성. * Fourier 코사인/사인 적분: 우함수, 기함수에 대한 특수 형태와 Laplace 적분 유도를 통한 응용 원리. |
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[10강] 11.8 Fourier 코사인 및 사인변환
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Fourier 코사인 및 사인 변환 개념 완성
• Fourier 코사인/사인 변환: 우함수 및 기함수 적분 변환으로, 함수 분석 및 공식 적용 • 변환의 선형성: 함수 조합의 효율적 처리 및 복합 계산 간소화 원리 • 도함수 변환 공식: 미분 방정식 해법 지원 및 1, 2계 도함수 변환 절차 제공 |
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[11강] 11.9 Fourier 변환 (1)
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Fourier 변환 개념 및 주요 정리
• Fourier 변환 정의: Euler 공식 기반 Fourier 적분 복소수 형식 유도, 시간-주파수 영역 변환 및 역변환 과정 제시. • Fourier 변환 존재 조건 및 성질: 절대적분 가능성, 구분 연속성 등 변환 조건과 선형성, 도함수 변환 원리 규명. • 합성곱 정리와 응용: 합성곱 정의 및 Fourier 변환 시 곱셈으로 변환 원리, 다양한 함수 변환 공식 활용. |
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[12강] 11.9 Fourier 변환 (2)
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도함수의 푸리에 변환 및 합성곱의 푸리에 변환
* 도함수의 푸리에 변환: 미분 연산을 $iw$ 또는 $-w^2$ 곱셈으로 변환하여 미분방정식 해석에 활용. * 합성곱의 푸리에 변환: 복잡한 합성곱 연산을 $\sqrt{2\pi}$와 개별 푸리에 변환의 곱으로 단순화하여 신호 처리 효율화. * 푸리에 변환 규칙 증명: 특정 조건 하의 부분적분과 변수 치환을 통해 핵심 변환 원리를 확립. |
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| 12장. 편미분방정식 | ||
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[13강] 12.1 편미분방정식 기본개념
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편미분방정식 기본 개념 및 중요 방정식
• 편미분방정식 기본 개념: 시간 및 공간 변수 편도함수를 포함하는 방정식으로, 계수·선형성·제차성 등 기본 속성 파악 • 주요 2계 선형 편미분방정식: 파동·열전도·Laplace·Poisson 방정식의 형태와 특성을 분석 • 선형 제차 편미분방정식의 중첩 정리 적용 및 상미분방정식 풀이 기법을 활용한 해법 습득 |
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[14강] 12.2 모델링: 진동하는 현. 파동방정식
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진동하는 현, 1차원 파동방정식 유도
• 1차원 파동방정식 유도: 진동하는 현의 변위 $u(t,x)$를 설명하는 편미분 방정식을 물리적 가정 및 뉴턴 제2법칙 적용을 통해 도출. • 물리적 가정: 현의 균일성, 완전 탄성, 중력 무시, 미소 횡진동 등 방정식 유도에 필요한 핵심 전제 조건. • 파동 속도 $c^2$: 파동방정식에서 $T/\rho$로 정의되며, 현의 장력 $T$와 선밀도 $\rho$에 따른 파동 전달 속도. |
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[15강] 12.3 변수분리법. Fourier 급수의 사용
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변수분리법과 Fourier 급수를 이용한 1차원 파동방정식 해법
* 1차원 파동방정식 해법: 변수분리법으로 편미분방정식을 상미분방정식으로 변환하고 경계조건을 통해 고유함수를 결정. * Fourier 사인 급수: 초기조건을 활용하여 해의 계수 $A_n, B_n$을 결정하여 완전해를 구성. * d'Alembert 해: 초기속도가 0인 경우, 기함수 확장을 이용해 파동방정식 해를 간결하게 표현. |
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[16강] 12.4 파동방정식의 D'Alembert 해. 특성
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파동방정식 D'Alembert 해 및 편미분방정식 분류
• D'Alembert 해 유도: 파동방정식을 변수변환으로 단순화하여 일반해 `$u(x,t) = \phi(x+ct) + \psi(x-ct)$`를 도출. • D'Alembert 해 초기조건 적용: 초기 위치 및 속도 조건을 활용하여 파동방정식의 특정 해를 구성. • 편미분방정식 유형 분류: 2차 준선형 PDE를 판별식 `$AC-B^2$`의 부호에 따라 쌍곡선형, 포물선형, 타원형으로 구분. |
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[17강] 12.5 모델링: 입체 내의 열전도. 열전도방정식
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공업수학: 입체 내 열전도 방정식 유도
• 열전도 방정식 유도: 비열, 밀도, 열전도 계수 등 물리적 가정 기반, 발산 정리 및 에너지 보존 원리로 열 확산 및 시간적 온도 변화 ($∂u/∂t = c²∇²u$) 설명. • 유도 핵심 원리: 균질 물체 내 열 보존 및 온도 기울기에 비례하는 열 전도 가정을 기반, 발산 정리와 에너지 보존 원리를 적용하여 정량적 관계 도출. • 주요 구성 요소: 열전도 계수 $K$, 비열 $\sigma$, 밀도 $\rho$로 정의되는 열확산계수 $c^2$와 온도 분포를 나타내는 라플라시안($∇²u$)으로 방정식 구성. |
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[18강] 12.6 열전도 방정식
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열전도방정식 Fourier 급수에 의한 해
• 열전도 방정식: 1차원 온도 변화를 기술하는 편미분방정식으로, 변수 분리법을 통해 공간 및 시간 상미분방정식으로 분리. • 경계 조건: 양끝 0 유지 시 Fourier 사인 급수, 단열 시 Fourier 코사인 급수를 이용해 고유함수와 고유값으로 해의 형태 결정. • Fourier 급수 해법: 초기 조건으로부터 Fourier 계수를 도출하여 시간 변화에 따른 온도 함수를 예측. |
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[19강] 12.7 열전도 방정식 - 무한 막대 (1)
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공업수학: 열전도방정식-긴 막대의 모델링. Fourier 적분과 변환에 의한 해
* 무한 막대 열전도방정식: 경계 조건 없는 문제 해결을 위해 변수 분리법과 Fourier 적분을 활용한 해법 제시. * Fourier 적분 계수 결정: 초기 조건 $f(x)$를 기반으로 적분 계수를 도출하고 해의 최종 형태를 구성. * 열전도방정식 해의 구조: 치환 적분과 특정 적분 공식을 통해 간결한 형태의 해를 유도하여 온도 분포 예측 원리 확립. |
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[20강] 12.7 열전도 방정식 - 무한 막대 (2)
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열 전도 방정식 해법: 퓨리에 변환 및 합성곱
* 열 전도 방정식 (무한 막대): 퓨리에 변환으로 편미분 방정식을 상미분 방정식으로 전환, 초기 조건으로 해 결정. * 합성곱 해법: 퓨리에 변환 해를 합성곱 정리로 재구성하여 열 전도 방정식 해를 표현. * 퓨리에 사인 변환 (반무한 막대): 경계 조건 적용으로 반무한 막대 열 전도 방정식 해 도출. |
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[21강] 12.8 모델링: 박막. 2차원 파동방정식
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미분방정식 모델링: 박막, 2차원 파동방정식
• 미분방정식 모델링: 박막 운동의 물리적 가정을 바탕으로 2차원 파동방정식을 유도하는 과정. • 2차원 파동방정식 유도: 박막에 작용하는 힘의 수직성분 분석과 Newton의 제2법칙 적용을 통해 편미분방정식 형태로 도출. • 물리적 가정: 질량 밀도, 유연성, 고정된 경계, 장력, 작은 변위 등 박막 모델링의 전제 조건 정의. |
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[22강] 12.9 직사각형의 박막. 이중 Fourier 급수 (1)
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직사각형 박막의 파동방정식 해법, 이중 Fourier 급수
• 직사각형 박막 파동방정식: 2차원 파동 현상 기술 및 초기/경계 조건 설정 원리 • 변수분리법: 파동방정식을 상미분방정식으로 분해하고 경계조건 적용해 고유함수 도출 절차 • 이중 Fourier 급수: 고유함수 선형 중첩으로 일반해 구성 및 초기조건으로 계수 결정 방식 |
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[23강] 12.9 직사각형의 박막. 이중 Fourier 급수 (2)
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2차원 파동 방정식의 이중 푸리에 계수 결정 및 응용
* 2차원 파동 방정식 이중 푸리에 계수: 초기 변위 $f(x,y)$와 초기 속도 $g(x,y)$를 이용해 $a_{mn}$, $b_{mn}$을 유도 결정하는 과정. * 이중 푸리에 계수 결정: $a_{mn}, b_{mn}$은 초기 조건에 대한 이중 적분으로 유도되며, $g(x,y)=0$ 시 $b_{mn}$이 0이 됨. * 고유값 및 고유함수 관계: 2차원 파동 방정식의 고유값 $\lambda_{mn}$은 다중 고유함수를 가질 수 있으며, 특정 조건에서 계수 $a_{mn}, b_{mn}$은 홀수 인덱스에서만 유효. |
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[24강] 12.10 극좌표에서의 Laplace 연산자. 원형 박막. Fourier-Bessel 급수
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극좌표 라플라스 연산자, 원형 박막, 푸리에-베셀 급수
• 극좌표계 라플라스 연산자: 직교좌표 변환으로 유도, 원형 박막의 2차원 파동방정식 모델링에 활용. • 원형 박막 파동방정식 해법: 변수분리법으로 0차 베셀 방정식 유도, 물리적 유한성 조건으로 제1종 베셀 함수 $J_0$를 해로 채택. • 푸리에-베셀 급수: 경계 및 초기 조건에 따라 원형 박막 진동의 고유값과 $J_0$ 함수 계수를 결정하여 최종 해를 구성. |
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[25강] 12.11 원통좌표 및 구좌표에서의 Laplace 방정식. 퍼텐셜
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원통 및 구좌표계 Laplace 방정식 해법
• Laplace 방정식: 정의, 조화함수 및 원주/구면좌표계 연산자 변환을 통한 경계값 문제 분석. • 구면좌표계 Dirichlet 해법: 변수분리법으로 Euler-Cauchy 및 Legendre 방정식 해인 Legendre 다항식을 유도. • Fourier-Legendre 급수: Legendre 다항식과 조합하여 내부/외부 퍼텐셜을 표현하고 경계조건으로 계수를 결정. |
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[26강] 12.12 Laplace 변환에 의한 해
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반무한 현의 파동방정식, 라플라스 변환 해법
• 라플라스 변환: 파동방정식을 상미분방정식으로 변환하여 해를 도출하는 핵심 수학적 기법 • 반무한 현 파동방정식 해법: 초기/경계 조건을 활용하여 변환된 방정식의 미지 상수를 결정하는 절차 • 역라플라스 변환 및 단위계단함수: 변환된 해를 원래 시공간 영역으로 복원하고 최종 물리적 해를 도출하는 과정 |
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| 13장. 복소수와 복소함수, 복소미분 | ||
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[27강] 13.1 복소수와 이들에 대한 기하학적인 도식
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복소수와 기하학적 도식 개념 정리
* 복소수 정의 및 구성: 실수부와 허수부로 구성된 순서쌍 $(x,y)$ 또는 $x+iy$ 형태의 수 체계 정리. * 복소수 연산 및 단위 허수: 단위 허수 $i$ ($i^2=-1$)를 활용한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산 절차. * 복소평면과 켤레복소수: 복소수를 기하학적으로 나타내는 평면과 허수부 부호를 바꾼 $\bar{z}$의 정의 및 연산에서의 활용. |
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[28강] 13.2 복소수의 극형식. 거듭제곱과 근
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복소수의 극형식, 거듭제곱과 근
* 복소수의 극형식: 크기와 편각을 활용하여 직교좌표계 복소수를 기하학적으로 표현하고 연산 효율성을 높이는 방법. * 극형식 연산: 복소수의 곱셈·나눗셈은 크기 및 편각 연산으로 간소화되며, 드무아브르 공식은 거듭제곱을 체계화. * 복소수의 근: $n$제곱근 공식을 통해 $n$개의 근을 체계적으로 구하고, 단위 $n$제곱근은 단위원 상의 특수 근을 명시. |
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[29강] 13.3 도함수와 해석함수
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복소함수의 도함수와 해석함수 개념
• 복소평면 영역 및 집합 개념: 단위원, 열린 원판, 열린/연결/닫힌 집합 등 복소공간 기본 구조와 특성 정의. • 복소함수 극한, 연속성, 미분가능성: 복소변수 함수의 극한, 연속성 및 도함수 정의, 미분규칙과 미분불가능성 사례($f(z)=\bar{z}$) 분석. • 해석함수 정의 및 특성: 특정 열린 영역에서 모든 점 미분가능한 복소함수 개념과 다항식, 유리함수 등 주요 예시 이해. |
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[30강] 13.4 Cauchy-Riemann 방정식과 Laplace 방정식
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코시-리만 및 라플라스 방정식의 개념과 활용
* Cauchy-Riemann 방정식: 복소함수의 해석성 및 미분가능성 판별의 핵심 필요충분 조건으로, 극형식으로도 표현 가능. * Laplace 방정식: 조화함수 정의 및 해석함수의 실수부와 허수부가 만족하는 2계 편도함수 관계 규명. * 공액조화함수 도출: Cauchy-Riemann 방정식을 활용하여 조화함수 쌍을 구성, 복소함수의 해석적 특성 분석. |
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[31강] 13.5 지수함수
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복소 지수함수 정의 및 성질
• 복소 지수함수 $e^z$: $e^x(\cos y + i \sin y)$로 정의하며, 완전함수로서 코시-리만 방정식을 만족함 • 복소 지수함수 성질: 자기 자신을 도함수로 가지며, 지수법칙을 복소수 범위에서 확장 적용함 • 복소 지수함수 주기성: $2\pi i$ 주기를 가지며, 복소 지수방정식의 해는 주기성을 반영한 일반해로 결정됨 |
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[32강] 13.6 삼각함수와 쌍곡선함수. Euler 공식
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삼각함수와 쌍곡선함수. Euler 공식
* **Euler 공식**: 지수함수 $e^{ix}$를 $\cos x + i \sin x$로 표현하며, 복소 삼각함수 및 쌍곡선함수 정의와 관계 설정의 기초 원리. * **복소 삼각함수/쌍곡선함수**: 복소수 영역에서 정의되는 이들 함수의 완전함수(해석적) 특성, 도함수, 주요 항등식 및 복소 방정식 해법 분석. * **복소함수 간 관계**: 복소 삼각함수와 쌍곡선함수 간의 $\cos(iz)=\cosh z$ 등 상호 변환 관계 및 성질 규명. |
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[33강] 13.7 로그. 일반 거듭제곱. 주값
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공업수학 복소 로그함수, 일반 거듭제곱, 주값
• 복소 로그함수 개념: $e^z$의 역함수인 다가함수 $\ln z$는 $\ln|z|+i\arg(z)$로 정의되며, 주값 $\operatorname{Ln} z$는 주값 편각을 통해 단일 값으로 처리. • 복소 로그함수 해석성: $z=0$ 및 음의 실수축 제외 영역에서 해석적이며, 도함수 $1/z$는 코시-리만 방정식을 만족. • 일반 거듭제곱 정의: $z^c = e^{c \ln z}$로 복소 로그함수를 활용하여 정의되며, 주값을 통해 단일 값을 결정. |
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| 14장. 복소적분 | ||
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[34강] 14.1 복소평면에서의 선적분 (1)
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복소평면에서의 선적분 개념 및 정리
* 복소 선적분 정의: 복소함수의 경로 적분 개념, 매개변수 표현, 리만 합, 선형성 등 기본 성질 이해. * 해석함수 부정적분 정리: 단순 연결 영역 내 해석함수의 경로 독립성 기반 적분 계산 원리 및 부정적분 활용. * 경로 적분 정리·ML 부등식: 경로를 사용한 직접 적분법과 복소 선적분 절대값의 상한 추정 기능. |
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[35강] 14.1 복소평면에서의 선적분 (2)
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복소 선적분 계산 방법 및 특성
• 복소 선적분 매개변수 표현: $z(t)$를 활용한 $t$ 정적분 변환 절차로, 일반 경로 선적분 계산의 핵심 원리 학습. • 특정 복소 선적분 ($ (z-z_0)^m $): $m=-1$일 때 $2\pi i$, 그 외 $0$인 함수 특성 및 해석/비해석 함수의 경로 독립성/의존성 비교. • ML 부등식: 복소 선적분 값의 크기 상한을 추정하는 원리이며, $M$ (최댓값)과 $L$ (경로 길이) 정의 및 적용 방법 학습. |
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[36강] 14.2 Cauchy 적분정리
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복소선 적분의 Cauchy 적분정리 및 관련 정리
• Cauchy 적분 정리: 단순 연결 영역에서 해석적 함수의 닫힌 경로 선적분 값이 0임을 정의. • 경로 독립성 및 부정적분 존재성: 해석적 함수의 복소 선적분은 경로에 무관하며 부정적분이 존재함을 규명. • 다중 연결 영역 Cauchy 적분 정리: 다중 연결 영역 내 해석적 함수의 경계 경로 적분값이 동일함을 설명. |
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[37강] 14.3 Cauchy 적분공식
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Cauchy 적분공식
• Cauchy 적분 공식: 단순 닫힌 곡선 내 특이점 z0를 포함할 때 복소함수 적분값을 2πi f(z0)로 계산하는 핵심 원리. • 공식 증명 및 구분: 경로변형 원리, ML 부등식 활용, 함수 해석성과 특이점 위치에 따라 Cauchy 적분 정리와 명확히 구분. • 적용 및 계산: 특이점 z0 위치 판별, 해석적 f(z) 설정, 복소수 계산을 통한 복소함수 적분 문제 해결. |
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[38강] 14.4 해석함수의 도함수
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해석함수의 도함수
• 해석함수의 도함수: 복소 해석함수는 모든 계의 도함수가 존재하며 역시 해석적이며, 코시 적분 공식의 확장형으로 표현 가능. • 코시 부등식: 도함수의 크기를 유계하는 부등식이며, 유계인 완전함수가 상수 함수임을 증명하는 리우빌 정리의 핵심 원리. • 모레라 정리: 코시 적분 정리의 역으로, 연속 함수의 닫힌 경로 적분값이 0일 경우 그 함수가 해석적임을 보장. |
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| 15장. 거듭제곱 급수, Taylor 급수 | ||
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[39강] 15.1 수열과 급수. 수렴판정 (1)
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수열과 급수, 수렴판정
• 복소수 수열 및 급수: 수렴, 발산 정의와 엡실론-N 정의; 실수부·허수부 수렴 기반 복소수 수열·급수 수렴 판정. • 절대수렴과 조건수렴: `**$\sum |z_m|$**` 수렴 여부에 따른 급수 분류 및 `**$\lim z_m = 0$**` 발산 판정의 중요성 이해. • 주요 수렴 판정법: 비교, 기하, 비, 근 판정법의 원리와 적용을 통한 복소수 급수 수렴 여부 결정. |
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[40강] 15.1 수열과 급수. 수렴판정 (2)
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복소수 수열의 급수 판정법
• 복소수 급수의 수렴 판정: 복소수의 크기를 이용한 절대수렴 개념 및 비교판정법, 기하급수 판정법의 수렴 조건 분석. • 비판정법(Ratio Test): 이웃 항 비의 극한값을 활용하여 급수의 절대수렴, 발산 또는 판정 불가능 조건 탐구. • 근판정법(Root Test): 각 항의 n제곱근 극한값을 통해 급수의 절대수렴, 발산 또는 판정 불가능 조건 이해. |
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[41강] 15.2 거듭제곱급수
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거듭제곱 급수의 정의와 수렴성
• 거듭제곱 급수 정의: 복소변수 z, 계수 $a_n$, 중심 $z_0$를 포함하는 무한 급수 형태로 그 구조를 이해. • 거듭제곱 급수 수렴성: 특정 지점에서의 수렴/발산 여부에 따라 전체 수렴 영역을 결정하는 원리 파악. • 수렴반경 (R): 급수의 수렴원 반지름으로, 계수 비율 극한을 통해 계산하며 수렴 경계를 규정. |
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[42강] 15.3 거듭제곱급수로 주어지는 함수
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거듭제곱 급수로 주어지는 함수
• 거듭제곱 급수 정의: 수렴반경 내에서 함수를 유일하게 표현하며, 해석함수로 전개 가능 • 거듭제곱 급수의 성질: 수렴원 내 연속성을 가지며, 항별 덧셈·뺄셈·곱셈·미분·적분 연산 적용 가능 • 거듭제곱 급수 연산 결과: 항별 미분 및 적분 시 원래 급수와 동일한 수렴반경을 유지하며, 도함수 또한 해석함수 |
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[43강] 15.4 Taylor 급수와 Maclaurin 급수 (1)
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공업수학: Taylor 급수와 Maclaurin 급수
• Taylor 급수/Maclaurin 급수: 복소 함수를 특정점 주위에서 거듭제곱 형태로 전개하는 개념과 표현 방식 정의 • Taylor의 정리: 급수 전개의 유일성, 나머지 항의 수렴 조건, 계수 크기 제약 설명 및 특이점 기반 수렴반경 결정 원리 제시 • 거듭제곱 급수 관계: 모든 수렴 거듭제곱 급수가 Taylor 급수와 동일함을 보이며, 주요 초월 함수 및 이항급수의 구체적인 전개 활용 |
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[44강] 15.4 Taylor 급수와 Maclaurin 급수 (2)
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복소함수 테일러 및 매클로린 급수 전개
• 복소함수 매클로린/테일러 급수: 지수, 삼각, 하이퍼볼릭, 로그, 아크탄젠트 함수 급수 전개 원리 및 일반 테일러 급수 유도 방법 학습. • 오일러 공식 및 이항 급수: $e^{iY}$ 기반 오일러 공식 유도, 비정수 지수 이항 급수 전개 개념 및 활용법 정리. • 유리함수 급수 전개 및 수렴 분석: 부분분수 분해, 기하/이항 급수 적용을 통한 유리함수 테일러 급수 전개 및 수렴 범위 결정. |
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[45강] 15.5 균등수렴 (1)
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공업수학 균등수렴의 개념과 성질
• 균등수렴 개념: 급수의 수렴 상한이 변수에 독립적으로 결정되어 합의 연속성, 항별 적분 및 미분 등 함수적 성질을 보존. • Weierstrass M 판정법: 함수 급수의 균등수렴을 상수항 비교를 통해 판정하며, 거듭제곱 급수는 수렴반경 내 닫힌 원판에서 균등수렴. • 균등수렴과 절대수렴: 서로 독립적인 개념으로, 하나가 성립해도 다른 하나를 보장하지 않음. |
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[46강] 15.5 균등수렴 (2)
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함수 급수의 균등수렴과 성질
• **균등수렴**: 함수 급수의 연속성, 항별 적분 및 미분 가능성을 보장하는 핵심 조건. • **바이어슈트라스 M 판정법**: 함수 급수의 균등수렴 여부를 효과적으로 판단하는 수렴 판정 방법. • **균등수렴과 절대수렴**: 상호 독립적인 개념으로, 각각 급수의 수렴 특성 및 성질을 결정. |
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| 16장. Laurent 급수. 유수적분 | ||
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[47강] 16.1 Laurent 급수
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Laurent 급수와 특이점 주변 전개
• Laurent 급수: 특이점을 중심으로 함수를 해석하는 정수 거듭제곱 급수, Taylor 급수와의 차이점은 음의 거듭제곱(주부) 포함. • Laurent 정리: 환형 영역에서 해석적인 함수의 급수 전개 조건 및 계수 공식 정의. • 영역별 전개: 중심점과 특이점 위치에 따른 환형 영역 구분으로 다양한 급수 표현 방식 학습. |
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[48강] 16.2 특이점과 영점. 무한대
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특이점과 영점. 무한대
• 복소함수 특이점: Laurent 급수 주부 특성 기반 극, 고립진성, 제거가능 특이점으로 분류 및 정의 • 해석함수 영점: 함수값이 0인 지점의 위수를 Taylor 급수 및 미분계수로 정의하고, 영점의 고립성 원리 분석 • 극과 영점 관계: 역수 함수에서의 상호 위수 일치 관계 및 Picard의 정리로 고립진성 특이점의 전역적 거동 파악 |
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[49강] 16.3 유수적분법
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유수적분법 개요 및 적용
* 유수적분법 개념: 복소함수 적분 간소화를 위한 로랑급수 $b_1$ 계수 정의 및 활용 원리 이해. * 유수 계산: 단순극, 위수 $m$인 극 등 특이점 종류별 유수 계산 공식과 적용 절차 분석. * 유수정리 활용: 닫힌 경로 내 다수 특이점 유수 합을 이용한 복소적분 값 도출 및 응용. |
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[50강] 16.4 실적분의 유수적분 (1)
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실적분의 유수적분 개념 및 활용
• 실적분의 유수적분: 삼각함수 유리함수 적분 및 이상적분을 복소변환과 유수 정리를 통해 계산하는 방법론 정리 • 이상적분 유수 정리: 무한 구간 적분 시 분모 차수 조건 하에 상반평면 극점의 유수 합으로 계산하는 원리 제시 • 코시 주값 및 실축 특이점 처리: 특이점 포함 이상적분에서 코시 주값 정의와 실축 단순극 유수 처리 방식 요약 |
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[51강] 16.4 실적분의 유수적분 (2)
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복소적분과 특이적분 활용
• 복소적분 유수 정리: 우함수 및 푸리에 형태 이상적분 계산의 핵심 원리 및 적용 절차. • 코시 주값 (Cauchy Principal Value): 실수축 특이점 포함 이상적분의 정의와 계산 방법 이해. • 실수축 극 유수 정리: 상반평면 및 실수축 단순 극을 활용한 코시 주값 공식 적용. |
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| 17장. 등각사상 | ||
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[52강] 17.1 해석함수의 기하학:등각사상
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해석함수의 기하학: 등각사상
• 등각사상 정의: 복소평면 내 곡선 간 각도와 방향을 보존하는 기하학적 사상 원리 • 해석함수의 등각성: 도함수가 0이 아닌 임계점에서 각을 보존하는 성질 및 예외 분석 • 복소함수 사상: $w=z^n, w=e^z$ 등 주요 복소함수의 기하학적 변환 원리 및 등각성 증명 절차 |
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[53강] 17.2 선형분수변환(Mobius 변환)
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선형분수변환 (뫼비우스 변환) 개요 및 특성
• 선형분수변환 (Möbius 변환): $w=\frac{az+b}{cz+d}$ 형태로 정의되며, 복소평면에서 원과 직선을 원 또는 직선으로 사상하는 기하학적 특성 • 선형분수변환 원/직선 사상: 평행이동, 회전, 반전 사상의 합성으로 원과 직선을 원 또는 직선으로 사상하는 원리 • 선형분수변환 고정점: 항등사상이 아닌 경우 최대 두 개의 고정점을 가지며, 셋 이상 고정점 시 항등사상으로 정의 |
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[54강] 17.3 특별한 선형분수변환
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특별한 선형분수변환
• 선형분수변환 정의: 서로 다른 세 점과 그 상이 주어질 때 유일하게 존재하며, 특정 공식으로 계산 가능. • 특수 선형분수변환 처리: 무한대 포함 시 해당 항을 1로 대체하며, 단위원판 사상은 특정 형태로 원점과 단위원 특성을 유지. • 복합 영역 사상: 부채꼴 등 복잡한 영역은 선형 및 비선형 변환의 조합을 통해 단위원판으로 변환 가능. |
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[55강] 17.4 다른 함수들에 의한 등각사상
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공업수학 다른 함수들에 의한 등각사상
* 등각사상 개념: 복소 해석 함수 $f(z)$가 $f'(z) \neq 0$ 조건을 만족할 때 각의 크기와 방향을 보존하는 변환 * 사인/코사인 함수 등각사상: 주기성으로 인한 정의역 제한 및 등각성 예외 지점 분석, 수직/수평선이 쌍곡선/타원으로 변환되는 원리 * 하이퍼볼릭/탄젠트 함수 등각사상: 기본적인 등각사상들의 합성 함수 구조, 특정 띠 영역이 단위원 내부로 사상되는 변환 과정 |
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| 18장. 복소해석과 퍼텐셜이론 | ||
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[56강] 18.1 정전기장
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정전기장 복소해석과 퍼텐셜 이론
• 정전기퍼텐셜 개념: 전하 없는 공간에서 Laplace 방정식의 조화함수 해로 정의되며, 다양한 기하학적 조건에서 퍼텐셜 함수 결정. • 복소퍼텐셜 구성: 정전기퍼텐셜과 공액조화함수를 코시-리만 방정식으로 연결하여 등퍼텐셜선 및 역선 특성을 분석. • 등퍼텐셜선과 역선 직교성: 전기장 문제 해결을 위해 복소퍼텐셜을 활용, 퍼텐셜 및 힘선의 물리적 관계를 체계적으로 이해. |
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[57강] 18.2 등각사사상의 이용. 모델링
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등각사상의 이용 및 모델링
* 등각사상 기본: 복잡한 Z-평면의 정전기 퍼텐셜 문제를 W-평면으로 변환, 조화함수 성질 보존 원리를 활용하여 해를 구함. * 퍼텐셜 모델링: 비동축 원기둥 및 반원판 등 특정 경계 조건에 맞춰 등각사상 함수를 적용, 복소 퍼텐셜을 도출하는 과정. * 해결 절차: 등각사상 함수 결정, W-평면에서 퍼텐셜 함수 설정 및 경계 조건 대입으로 상수 결정, Z-평면으로 역변환하여 최종 퍼텐셜 계산. |
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[58강] 18.3 열에 관한 문제
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열방정식 및 복소 열퍼텐셜
• 열방정식: 열전도 현상을 모델링하며, 정상상태에서 조화함수 기반 Laplace 방정식으로 귀결. • 복소 열퍼텐셜: 온도(조화함수)와 공액조화함수를 결합하여 등온선 및 열흐름선으로 열전도 현상 해석. • 등각사상: 복잡한 경계값을 가진 열전도 문제를 단순화하여 해결하는 강력한 해석 기법. |
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[59강] 18.4 유체흐름
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유체 흐름 복소해석 적용
* 유체 흐름 복소해석: 2차원 유체 현상 분석을 위한 복소퍼텐셜 $F(z)=\phi+i\psi$ 정의 및 속도퍼텐셜, 흐름함수로 구성. * 복소퍼텐셜 성질: 비회전·비압축성 유체 흐름에서 해석함수로 존재하며 라플라스 방정식 만족, 등퍼텐셜선 및 흐름선 정의. * 유체 흐름 분석: 속도벡터 $V = \overline{F'(z)}$ 관계를 통한 속도·속력 계산 및 흐름 패턴 분석. |
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[60강] 18.5 퍼텐셜에 대한 Poisson 적분공식
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퍼텐셜에 대한 Poisson 적분공식 및 급수전개
• Poisson 적분공식: 원판 내부 퍼텐셜을 경계값 함수로 표현하며, 코시 적분공식을 기반으로 유도되는 기본 원리 • 퍼텐셜 급수 전개: Poisson 적분공식의 적분항을 기하급수로 전개하여 퍼텐셜을 퓨리에 급수 형태로 표현 • Dirichlet 문제 해결: 주어진 경계값 함수로부터 퓨리에 계수를 계산하여 원판 내부 퍼텐셜 급수를 도출하는 과정 적용 |
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[61강] 18.6 조화함수의 일반성질. Dirichlet 문제에 대한 유일성 정리
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공업수학 개념완성 조화함수의 일반 성질, Dirichlet 문제 유일성 정리
• 해석함수 및 조화함수의 평균값 성질: 원 및 원판 상의 평균값으로 함수값을 표현하고 코시 적분 공식을 통해 증명 • 해석함수 최대 절대값 정리 및 조화함수 최대값 원리: 함수값의 최대 또는 최소가 영역 내부가 아닌 경계에서 나타남을 규명 • Dirichlet 문제 유일성 정리: 경계에서 같은 조화함수는 영역 전체에서 동일하다는 성질을 통해 라플라스 방정식 해의 유일성을 입증 |
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김은정 교수님
공업수학(KREYSZIG)Ⅱ
