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시계열분석 문제풀이
김재현 교수
경북대학교 대학원 경제학과 석사과정
경북대학교 대학원 경제학과 박사졸업
경북대학교 대학원 경제학과 석사과정
경북대학교 대학원 경제학과 박사졸업
경북대학교
계명대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 확률과정, 안정성, 시계열분해 | ||
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[1강] 확률과정, 안정성, 시계열분해 (1)
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시계열 연습문제 1: 선형·이차 추세모형과 OLS 추정량 유도
• 시계열 자료 구조와 iid 가정: 횡단면·시계열·패널 자료의 정의와 차이, 시점 간 의존성으로 인한 비-iid 특성 및 시계열 예측 목표 정리 • 추세모형과 거듭제곱 합 공식: 선형·이차 추세모형 설정, OLS 기본식에 시간변수 t 대입, 1차·2차 power sum 공식을 이용한 합식의 폐형식 정리 • 선형추세 OLS 추정량: 기울기 β̂와 절편 α̂를 T, ∑Y_t, ∑tY_t로 표현하는 일반식 도출 및 소프트웨어 없이 계산 가능한 선형 추세 추정 구조 정리 |
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[2강] 확률과정, 안정성, 시계열분해 (2)
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2차 추세 모형 개수 추정과 편차형 행렬 해법 정리
• 2차 추세 모형과 다중회귀 구조: $y_t=\alpha+\beta t+\gamma t^2+u_t$를 $x_{1t}=t,x_{2t}=t^2$인 2변수 다중회귀로 해석하고, OLS 공식을 통해 추세 계수 추정 문제를 $(X'X)^{-1}X'y$ 형태로 정식화 • 편차형 설계행렬과 합 공식: $x_{1t}=t-\bar t$, $x_{2t}=t^2-\overline{t^2}$ 편차변환으로 상수항과의 직교 구조를 이용해 $X'X$를 2×2 행렬로 단순화하고, $\sum t,\sum t^2,\sum t^3,\sum t^4$를 망원합·이항식 전개로 구해 $X'X$와 $(X'X)^{-1}$의 다항식 구조 정리 • 회귀계수 추정량과 고차 일반화: $\sum(t-\bar t)(y_t-\bar y),\sum(t^2-\overline{t^2})(y_t-\bar y)$를 이용해 $\hat\beta,\hat\gamma$를, $\hat\alpha=\bar y-\hat\beta\bar t-\hat\gamma\overline{t^2}$로 상수항을 복원하며, 고차 추세모형에서는 필요한 차수까지의 $\sum t^k$ 공식을 통해 동일한 행렬식 OLS 구조로 일반화 |
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[3강] 확률과정, 안정성, 시계열분해 (3)
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시계열 분해와 승법모형을 이용한 분기별 예측 (주택건설수 사례)
• 시계열 구성요소와 모형 구조: 추세(T)·계절(S)·순환(C)·오차(E) 네 요소 정의 및 가법·승법 모형 비교, 분기 자료에서 승법모형 선택 기준 제시 • 이동평균·중심이동평균과 분해 절차: 4분기 이동평균 및 중심이동평균을 통한 T·C 추정, y_t/M'_t 기반 계절지수 산출·보정, T·C·S·E 각각의 지수 도출 구조 정리 • 계절조정 예측 모형: 선형 추세식 추정(357.2+0.717t)과 계절지수 결합으로 분기별 예측치 산출, 계절·추세만 반영한 단기 예측 절차와 해석 정리 |
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[4강] 확률과정, 안정성, 시계열분해 (4)
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이동평균·지수평활·이중이동평균 예측모형 정리
• 이동평균법·단순지수평활: 최근 관측치의 단순평균 $m_t$와 지수 가중평균 $s_t$를 이용해 수준(level)만 반영하는 상수 예측 모형, 창 길이 $n$과 평활계수 $\alpha$로 스무딩 강도 조절 • 이중이동평균·이중지수평활: 1차 평활값($m_t, s_t$)에 다시 평활을 적용해 $m_t', s_t'$를 구하고, 수준·추세(α, β)를 추정하여 선형 추세를 갖는 예측식 $\hat{y}_{t+s}$ 도출 • 추세 시계열 이론구조: 선형 추세 모형 $y_t=\alpha+\beta t+\varepsilon_t$에서 $E(m_t), E(m_t')$를 통해 추세 왜곡과 보정 원리 설명, 단순·이중 모형의 상수 예측 vs 추세 반영 예측 구조 비교 |
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[5강] 확률과정, 안정성, 시계열분해 (5)
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이중지수평활법 기대값과 승법모형 계절조정 예측 비교 핵심정리
• 지수평활법 기대값 구조: 단순·이중지수평활법에서 수준평활식과 1·2차 평활값 기대값을 선형추세(α+βt) 형태로 전개하고, 이동평균법과 비교하여 보정항 (m-1)/2 와 (1-a)/a를 유효 윈도우 길이·가중치 관점에서 해석함 • 이중지수평활 예측식: 1차 평활값 s_t와 2차 평활값 s'_t 차이를 이용해 추세기울기 β를 표현하고, 예측식 ŷ_{t+s}=s_t+(s_t-s'_t)+s·(1-a)/a·(s_t-s'_t) 로 수준항·보정항·시간별 추세 증가항 구조를 제시함 • 승법모형 요소분해 및 비교: 이동평균(MA-12 등)으로 T×C를 추정하고 y_t/MA_{12,t}의 월별 평균으로 계절지수를 산정·조정해 T_t·S_t를 곱하는 승법모형 계절조정 예측을 구성하며, 단순/이중 이동평균·지수평활과 함께 5가지 예측법의 특성과 계절성이 강한 자료에서 승법모형의 적합성을 비교함 |
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[6강] 확률과정, 안정성, 시계열분해 (6)
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연습문제 4 – 이동평균법·지수평활법 예측과 오차 비교 핵심 정리
• 이동평균법·지수평활법 구조: 단순·이중 이동평균(m, m′)과 단순·이중 지수평활(s, s′)을 통한 수준·추세 분리 및 2012년 1~6월 시계열 예측, 추세 보정계수 (m−1)/2·α/(1−α)의 역할 정리 • 예측오차 측도(MAP, RMSP): 퍼센트 오차를 기반으로 한 MAP·RMSP 정의와 계산 구조, 표본 내·표본 외에서 네 모형(단순/이중, 이동평균/지수평활)의 오차 비교 및 상대적 예측 정확도 평가 • 예측모형 평가 기준: 관측 수 제약으로 인한 계절조정 불가 상황에서 단순·이중 모형의 특성, 변동성과 추세가 존재할 때 이중 모형의 장점, 표본 내 적합도와 표본 외 예측력을 통합 고려하는 모형 선택 원칙 정리 |
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[7강] 확률과정, 안정성, 시계열분해 (7)
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계절지수와 이동평균·지수평활을 통한 시계열 예측 비교
• 계절성·계절지수 개념: 분기별 반복 패턴을 계절지수(SE=Y/중심이동평균)로 정량화하고, 분기별 평균 계절지수의 크기·순위 일관성을 기준으로 계절성 존재 여부 판정 • 이동평균·지수평활·계절지수 산정: MA4와 중심이동평균으로 추세·순환을 제거한 뒤 SE 계산·분기별 평균·합 4로 조정해 계절지수 도출, 계절성이 약한 자료와 강한 자료의 계절지수 패턴 비교 • 예측모형 구조: 선형 추세모형 yt=α+βt에 분기별 계절지수(필요 시 Cycle 지수)를 곱한 T×S(×C) 예측과 이동평균·지수평활의 n·α 조합에 따른 평활효과·추세 반응성 차이 비교 |
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| 2장. 자기회귀, 이동평균 모형 | ||
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[8강] 자기회귀, 이동평균 모형 (1)
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자기회귀(AR)와 이동평균(MA) 모형, AR(1)과 무한 MA 변환, 랜덤워크의 특성
• 선형 시계열 모형 구조: AR(p)·MA(q)·ARMA(p,q) 모형 정의와 종속변수의 자기값·과거 오차항 의존 구조 및 정상성·충격반응 분석 틀 정리 • AR(1) 모형과 MA(∞) 변환: $y_t=αy_{t-1}+u_t$의 표본 생성 절차, 시차연산자 L을 이용한 $(1-αL)^{-1}$ 전개, $|α|<1$에서 $y_t=\sum_{j=0}^{\infty}α^j u_{t-j}$ 형태의 무한차수 MA 표현과 가역성 조건 제시 • 랜덤워크와 비가역성: $α=1$인 랜덤워크 $y_t=y_{t-1}+u_t$의 비정상성·분산 누적·확률적 추세 특성 및 $|α|<1$ 미충족으로 인한 MA(∞) 수렴 불가능성과 비가역성 설명 |
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[9강] 자기회귀, 이동평균 모형 (2)
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AR(1) 모형에서 평균·공분산·자기상관·충격반응함수 도출 정리
• AR(1) 모형 및 MA(∞) 표현: y_t = α y_{t-1} + u_t, |α|<1, u_t ~ WN(0,σ²)를 전제로 y_t = ∑_{j=0}^{∞} α^j u_{t-j} 형태의 무한 이동평균 표현과 정규 백색잡음 가정 정리 • 분산·공분산·자기상관함수: Var(y_t)=σ²/(1-α²), Cov(y_t,y_{t-j}) = α^j σ²/(1-α²), 자기상관함수 ρ_j = α^j로 정의되어 등비급수 구조와 정상성 조건에 따른 지수적 감소 패턴 설명 • 충격반응함수(Impulse Response Function): 단위 충격에 대한 반응계수 φ_j = ∂y_t/∂u_{t-j} = α^j로 정의되며, 계수 α의 절댓값이 시계열의 기억 길이와 충격의 지속성, ACF·IRF의 공통 지수감소 형태를 결정함 |
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[10강] 자기회귀, 이동평균 모형 (3)
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차분방정식과 AR 모형 해법 및 컨버터빌리티 조건 정리
• 차분방정식과 미분방정식: 불연속 정의역에서의 함수값 차이(차분) 방정식과 연속 정의역에서의 도함수(미분) 방정식의 대응 관계, 시계열에서 차분을 통한 동학 표현 구조 • 1차 차분방정식과 AR(1) 모형: Δy_t = a의 반복법 해 y_t = y_0 + at, AR(1) 모형 (1-αL)y_t = u_t 의 레그오퍼레이터 표현과 해 전개, 컨버터빌리티 조건 |α|<1 및 근의 단위원 밖 위치 기준 • AR(2) 차분방정식과 특성방정식: (1-α_1L-α_2L^2)y_t = u_t 의 레그오퍼레이터 다항식과 근 위치를 통한 컨버터빌리티 판정, 대응 특성방정식 λ^2-α_1λ-α_2=0의 고유값(복소근 포함)과 단위원 내·외 위치에 따른 안정성·역전 가능성 조건 정리 |
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[11강] 자기회귀, 이동평균 모형 (4)
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AR 모형의 MA(무한 이동평균) 표현 변환 요약
• AR 모형 안정성·근 구조: AR(1)·AR(2)·AR(3) 및 일반 AR(p)에서 특성방정식 근이 복소 단위원 바깥(역수 λ의 |λ|<1)에 존재해야 하며, 실근·복소근·중근을 Lag 다항식 인수분해로 표현 • MA(∞) 전개 원리: 안정성 하에서 AR 다항식 φ(L)=(1-α₁L-⋯-α_pL^p)의 역함수 φ(L)⁻¹을 등비급수·곱 전개로 구해 y_t=ψ(L)u_t=∑_{j=0}^∞β_jL^j u_t 형태의 MA(∞) 모형으로 변환 • MA 계수 재귀식 도출: φ(L)ψ(L)=1에서 각 차수 L^k 계수 비교로 β₁=α₁, β₂=α₁²+α₂, β₃=α₁³+2α₁α₂+α₃ 등 초기 β_k와 일반 AR(p)의 재귀식 구조를 통해 충격반응과 시차 효과 분석 기반 마련 |
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[12강] 자기회귀, 이동평균 모형 (5)
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AR(1) 모형의 계수값에 따른 시계열 안정성과 그래프 형태
• AR(1) 모형 안정성 조건: 모형 구조 $y_t=\alpha y_{t-1}+u_t$, 안정성 조건 $|\alpha|<1$, 분산 공식 $Var(y_t)=\frac{\sigma^2}{1-\alpha^2}$와 α 값에 따른 분산 크기·충격 소멸 속도 비교 • α≈1 및 랜덤워크 비교: α가 1에 매우 가까운 안정적 AR(1)과 α=1 랜덤워크의 충격 누적 방식, 평균 회귀 여부, 확률적 추세 존재 여부 및 장·단기 그래프 형태 차이 정리 • 음의 계수 AR(1)과 불안정 모형: α<0, |α|<1인 감쇠 진동형 안정 시계열 구조와 α=-1에서 오차 증분 누적, 부호 교대, 진폭 확대에 따른 진동형 발산 패턴 대비 분석 |
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[13강] 자기회귀, 이동평균 모형 (6)
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AR(2) 모형의 안정성 판단과 연습문제 4 요약
• AR(2) 모형 구조와 특성방정식: $Y_t=\alpha_1Y_{t-1}+\alpha_2Y_{t-2}+U_t$ 구조, 레그 연산자식 $(1-\alpha_1L-\alpha_2L^2)Y_t=U_t$와 고유방정식 $\lambda^2-\alpha_1\lambda-\alpha_2=0$ 유도 및 AR(p)로의 일반화 • 안정성 조건과 단위원 기준: 레그식 특성근 $Z$는 단위원 밖(|Z|>1), 고유값 $\lambda$는 단위원 안(|\lambda|<1)에 모두 위치해야 안정, 계수 각각·합에 대한 직관은 보조 기준이며 최종 판정은 특성근/고유값 위치로 수행 • 안정·불안정 AR(2) 사례 비교: 안정 모형(예: 계수합<1인 5·7번)과 불안정 모형(계수합>1이거나 특수 구조인 6·8·9번)의 특성근 위치, 계수 구조, 시계열 그래프(수렴·발산·진동 패턴) 비교를 통한 안정성 판별 절차 정리 |
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[14강] 자기회귀, 이동평균 모형 (7)
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AR(2) 모형의 안정성, 자기상관함수, 충격반응함수 도출 핵심 정리
• AR(2) 안정성 조건: 특성다항식 근·고유값의 절대값과 단위원(안/밖) 비교를 통한 정상성·안정성 판정 절차 정리 • AR(2) 자기상관함수: Yule-Walker 방정식과 자기공분산·자기상관 재귀식을 이용한 ρ₁, ρ₂ 등 감쇠·진동형 ACF 도출 구조 • AR(2) 충격반응함수: 상태공간(전이행렬 F) 표현, F^j의 (1,1) 원소 계산·행렬 대각화를 통한 IRF의 지수적 감쇠·진동 패턴 분석 |
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[15강] 자기회귀, 이동평균 모형 (8)
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AR(2)·AR(3) 모형의 안정성, 자기상관함수, 충격반응함수 정리
• AR(2)·AR(3) 특성방정식과 단위근: 시차다항식·상태전이행렬 고유값 일치를 통해 안정성·단위근·랜덤 워크 여부 및 불완전 시계열 구조 판정 • AR(3) 자기공분산·자기상관함수: AR(3) 계수에 기반한 자기공분산·자기상관 재귀식 도출로 ACF 패턴과 단위근 존재 시 모든 시차 상관 유지 특성 정리 • 상태공간·충격반응함수와 고유값 분해: AR(2)·AR(3) 상태전이행렬 F 거듭제곱과 (F^h)_{11}을 통한 IRF 계산, 실수·복소 고유값 분해와 수치해석 기반 IRF 계산 전략 설명 |
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[16강] 자기회귀, 이동평균 모형 (9)
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연습문제6: AR(1) 시계열의 표본자기상관과 안정성 평가
• AR(1) 모형과 자기상관구조: AR(1) 과정에서 이론적 자기상관함수 ρj=αj, 안정성 조건 |α|<1, SACF의 지수적 감소 패턴을 통한 AR(1) 적합성과 정상성 판단 구조 제시 • 표본 자기상관함수와 소표본 보정: 표본자기공분산·분산·자기상관(γ̂j, γ̂0, ρ̂j) 정의와 계산, Fuller 보정치 ρ̃j와 Bartlett 근사분산을 이용한 소표본 바이어스 보정 및 t-검정 절차 정리 • SACF 기반 안정성 및 모형 진단: 소표본(T=15)·대표본(T=150) 사례에서 1시차만 유의한 SACF 패턴 분석, 시차별 t-통계량과 유의성 판정으로 안정적 AR(1) 구조 여부 및 고차 AR·단위근 가능성 진단 방법 정리 |
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[17강] 자기회귀, 이동평균 모형 (10)
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MA모형의 안정성과 AR모형으로의 변환 조건 정리
• MA(q) 모형과 약안정성: 유한차수 MA(q) 구조, 백색잡음 가정, 분산·자기공분산의 유한 지지(support)로 인한 항상 약안정성 및 MA(1)·MA(2)에서의 γj 패턴 정리 • MA(q) 모형의 AR(∞) 변환 조건: lag 다항식 θ(L)=1+β1L+…+βqLq, 역함수 θ(L)⁻¹의 무한급수 전개 가능성, 특성다항식 근의 단위원 밖 존재와 invertibility 조건을 통한 AR(∞) 표현 가능성 정리 • AR 모형과 MA(∞) 관계: 안정적 AR(1)·AR(p)의 MA(∞) 표현, |α|<1 조건과 MA 계수 제곱합 유한성, MA(q) 약안정성과 AR(∞) 변환 가능성의 차이 및 근 위치 조건 비교 정리 |
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[18강] 자기회귀, 이동평균 모형 (11)
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ARMA(1,1) 모형의 안정성·분산·공분산 정리
• ARMA(1,1) 모형과 Lag operator 표현: ARMA(p,q) 구조를 φ(L), θ(L)로 표현하고 MA(∞) 전개를 통해 자기공분산 구조를 분석하는 시계열 모형 기초 정리 • ARMA(1,1) 정상성 조건: y_t = αy_{t-1}+βu_{t-1}+u_t에서 |α|<1일 때 등비감소 가중치로 수렴하는 정상 과정이 되며, 안정성은 AR 계수에 의해만 결정됨 • ARMA(1,1) 분산·자기공분산 일반식: γ₀ = (1+2αβ+β²)/(1-α²)·σ², γ₁ = αγ₀+βσ², γ_k = α^{k-1}γ₁(k≥2) 구조를 가지며, MA 항은 1기 공분산에 직접 영향, 고차 공분산은 AR(1)처럼 지수적으로 감소함 |
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[19강] 자기회귀, 이동평균 모형 (12)
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ARMA(2,1) 모형의 안정성, 분해, 분산·공분산 요약
• ARMA 모형 안정성·특성방정식: AR 특성다항식 근의 절댓값(단위원 밖 여부)으로 ARMA(2,1), ARMA(2,2), ARMA(p,q)의 안정성·랜덤워크(단위근) 포함 여부 판단 및 1차 요인 분해 가능성 정리 • 무한 MA 표현 구조: 안정적 ARMA(2,1), ARMA(2,2), 일반 ARMA(p,q)를 AR·MA 다항식 분해 후 $(1-\lambda L)^{-1}$ 기하급수 전개를 이용해 $y_t=\psi(L)u_t$ 형태의 무한 MA 표현으로 변환하는 구조와 고유치·MA 계수 결합 패턴 정리 • Yule-Walker 방정식과 분산·공분산: ARMA(2,1), ARMA(2,2), ARMA(p,q)에 대해 Yule-Walker 연립방정식으로 $\gamma_0,\dots,\gamma_p$를 계산하고, $k>q$에서 $\gamma_k=\alpha_1\gamma_{k-1}+\dots+\alpha_p\gamma_{k-p}$ AR 재귀만 남으며 MA(q) 영향은 $\gamma_k$에서 $k\le q$까지만 나타나는 공분산 구조 정리 |
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[20강] 자기회귀, 이동평균 모형 (13)
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알몬 시차분포모형으로 본 환율과 수출의 동태적 관계 정리
• 유한·무한 시차 분포모형: 환율의 현재·과거값이 수출에 미치는 동태적 효과를 유한 시차(Almon 다항식 제약)와 무한 시차(Koyck 변환) 구조로 모델링하는 방식 정리 • Almon 시차분포모형: 시차계수 βj를 시차 j의 다항식(γ0, γ1, γ2 등)으로 제약해 Z행렬(가중합 지연변수)로 변환 후 OLS로 γ 추정, β 복원 및 누적·시차별 효과 해석 • 추정 및 검정 절차: Z'Z 역행렬과 잔차분산으로 Var(γ)·Cov(γi,γj) 산출, βj 분산·T통계량 계산을 통한 개별 시차계수 및 동태적 환율 효과의 통계적 유의성 검정 구조 정리 |
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[21강] 자기회귀, 이동평균 모형 (14)
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무한시차 분포모형과 Koyck 변환, 전이함수 추정 정리
• 무한시차 분포모형·전이함수: Lag operator와 등비계수 구조(β_j = βφ^j, |φ|<1)를 통해 무한시차 분포를 전이함수 β/(1-φL)와 누적효과 β/(1-φ)로 요약하는 모형 구조 정리 • Koyck 변환·AR(1) 회귀식: 무한시차 분포식에서 Y_t - φY_{t-1} 구성으로 무한급수 항을 상쇄해 Y_t = α(1-φ) + φY_{t-1} + βX_t + u_t 형태의 AR(1) 회귀식으로 변환하고, (β, φ, α) 및 전이함수 계수 식별·추정 절차 정리 • 내생성·도구변수 추정: Koyck 변환 후 Y_{t-1}와 변환오차 u_t의 상관으로 발생하는 내생성을 X_{t-1} 기반 예측치 Ẏ_{t-1}을 도구변수로 사용하는 IV 추정으로 해결하고, 현재효과 β, 시차별 효과 βφ^j, 장기 누적효과 β/(1-φ) 계산·해석 방법 정리 |
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[22강] 자기회귀, 이동평균 모형 (15)
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편자기상관함수(PACF)와 AR 모형에서의 도출 및 분포 요약
• 자기상관함수(ACF)·편자기상관함수(PACF) 개념: 시차 상관·편상관 정의, 표본 ACF·PACF 계산식, AR(p)에서 Yule-Walker 방정식을 이용한 ACF 재귀 구조 정리 • PACF 도출 구조와 AR 모형 특성: ACF로 구성된 Toeplitz 행렬과 크래머 공식을 통한 PACF(φkk) 도출 원리, 저차(k=1,2,3) 구체식 및 AR(1)·AR(2)·일반 AR(p)의 PACF 절단 특성(차수 이후 0) 정리 • 표본 PACF의 분포와 검정: 표본 PACF의 근사 정규분포(Var=1/T) 특성, 시차별 pacf(k)=0 가설에 대한 Z-검정 절차와 PACF 그래프를 이용한 AR 차수 식별 원리 정리 |
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| 3장. ARIMA 모형 | ||
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[23강] ARIMA 모형 (1)
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57:
05
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ARMA와 ARIMA의 추정, 추세와 차분, MA(1) MLE 요약
• 비정상 시계열과 추세·차분: 결정적 추세와 단위근에 의한 확률적 추세를 구분하고 차분 연산으로 시계열을 안정화하여 ARIMA(p,d,q) 구조(AR 차수 p, 차분 횟수 d, MA 차수 q)로 표현하는 방법 정리 • ARIMA 및 MA(1) 모형 구조: 안정적 ARMA/ARIMA 모형의 가정과 MA(1) 과정의 정의 $y_t=\mu+u_t+\beta u_{t-1}$, 정규 iid 오차 가정하에서 조건부 기댓값·분산을 이용한 조건부 분포와 체인 룰 기반 결합분포 표현 구조 제시 • MA(1) 모형의 MLE 추정: 결합우도함수와 로그우도함수 구성 후 이를 $\mu,\beta,\sigma^2$에 대해 미분하여 일차조건을 도출하고, 표본평균 형태의 $\hat{\mu}$, 비율식 구조의 $\hat{\beta}$, 오차 제곱평균 형태의 $\hat{\sigma}^2$로 정리하는 최대우도추정 절차 요약 |
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[24강] ARIMA 모형 (2)
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AR(1)·MA(1) 모형의 결합분포와 최우추정(MLE) 요약
• AR·ARMA 모형의 조건부분포 구조: AR(1)·AR(p)·ARMA(p,q)에서 시계열의 결합분포를 조건부 정규분포들의 곱으로 표현하고, 조건부 평균·분산과 로그우도 형태를 통해 MLE 목적함수를 잔차제곱합 최소화 문제로 구조화 • AR 모형에서 MLE–OLS 등가성: AR(1)·AR(p)에서 정규가정 하 MLE가 선형회귀 OLS 정규방정식과 동일해져, 상수항과 시차항을 설명변수로 하는 회귀모형의 잔차제곱합 최소화로 모수 추정 • MA·ARMA 모형의 MLE와 추정 전략: MA(1)·MA(q)·ARMA(p,q)에서 오차항이 모수의 함수로 내포되어 비선형 우도·고차 방정식이 발생하며, 오차항 재귀표현과 수치최적화, 자기상관함수·Yule–Walker 방정식 활용 등 수치적·간접 추정 방법으로 모수 추정 |
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[25강] ARIMA 모형 (3)
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AR(1), MA(1), ARMA(1,1) 모형의 최대우도추정 연습 문제 정리
• AR(1) 최대우도추정: 정규오차·잔차제곱합 기반 로그우도함수에서 α, σ² 미분을 통해 회귀계수 꼴의 폐형 해와 잔차제곱평균 추정량 도출 • MA(1) 최대우도추정: u_t = y_t - βu_{t-1} 전개 후 β에 대한 목적함수 미분으로 3차 이상 비선형 방정식 형성 및 손계산 불가 수준의 고차 다항식 구조 제시 • ARMA(1,1) 최대우도추정: u_t = y_t - αy_{t-1} - βu_{t-1} 기반 로그우도 극대화가 α, β에 대한 비선형 연립 다항식 문제로 귀결되며 다수의 실수·복소 해와 수치최적화·초기값 의존성 강조 |
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[26강] ARIMA 모형 (4)
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연습문제 3·4: 추세가 있는 시계열의 ARIMA 추정과 차수 선택 요약
• 추세·안정성·차분 개념: 가법·승법 분해와 로그변환을 통한 추세·계절·순환·오차 분리, 선형 추세 모형 추정 및 제거, 추세·단위근을 가진 불안정 시계열의 차분을 통한 ARIMA(p,d,q) 안정화 • 차분·안정성 검정: 1·2·3차 차분과 AR 계수(0.9, -0.733 등)를 이용한 안정성 비교, Q통계량·단위근 검정·ACF/PACF를 통한 화이트 노이즈 여부 및 적정 차분 차수(d) 판단 • ARMA/ARIMA 모형·차수 선택: 차분 후 ARMA/ARIMA 구조 설정, OLS·MLE 기반 AIC/BIC 정보기준 정의와 해석, 다양한 (p,q) 조합 중 AIC/BIC 최소값을 이용한 최적 차수 선택 절차 |
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[27강] ARIMA 모형 (5)
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박스-젠킨스 단계적 ARIMA 모형식별법과 연습문제 5 해설 요약
• 박스-젠킨스 ARIMA 식별 절차: 데이터 트랜스포메이션(차분에 의한 정상화)·아이덴티피케이션(ACF/PACF 기반 차수 후보 설정)·Estimation & Selection(MLE와 AIC/BIC로 모형 선택)·Checking(Ljung-Box Q통계량으로 잔차 화이트 노이즈 검정) 4단계 구조 • ARIMA 모형 개념과 차수 추정: ARIMA(p,d,q)=A(L)Δ^d y_t = B(L)ε_t에서 d는 최소 차분 차수(과도 차분 시 분산 증가·구조 불변)로 설정하고, 표본 ACF·PACF 패턴과 Q통계량을 이용해 AR, MA, ARMA 차수 범위를 좁히는 절차 • 연습자료 시계열 분석과 최종 AR(2) 모형: 안정적 시계열로 d=0인 ARMA(p,q)로 가정 후 여러 후보모형의 계수 유의성·AIC/BIC 비교를 통해 y_t = 1.946y_{t-1} - 0.952y_{t-2} + ε_t 형태의 AR(2) 모형을 선택하고, 잔차 화이트 노이즈 검정으로 모형 타당성 확인 |
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| 4장. 단위근 검정 | ||
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[28강] 단위근 검정 (1)
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AR(1) 모형에서 단위근 검정과 추정량의 정근분포
• 단위근과 정상성 조건: AR(p) 특성방정식 근·계수합 조건을 통한 단위근 정의, 단위원 안/밖 위치와 시계열 정상성·비정상성 및 랜덤워크 구조 연결 • AR(1) 추정량 정근분포: AR(1)에서 OLS 추정량의 불편성·일관성, √T(α̂−α)의 정규 극한분포와 정규성 가정하 표준화 검정통계량 구성 원리 • 단위근 검정(Dickey-Fuller): H0:α=1에서 분산 붕괴·비표준 극한분포 문제, Δ모형(Δy_t=δy_{t-1}+u_t) 재표기와 DF/ADF 통계량 및 시뮬레이션 기반 Dickey-Fuller 분포 임계값 활용 구조 |
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[29강] 단위근 검정 (2)
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가성회귀와 추세가 있는 시계열 회귀분석
• 가성회귀와 단위근·추세 시계열: 단위근·공통 추세를 가진 비정상 시계열을 그대로 회귀했을 때 높은 t통계량·R²가 나타나는 가성회귀 현상과 비표준 분포 특성 정의 • 선형추세 모형과 공통추세 메커니즘: 각 시계열을 시간추세에 회귀해 추세계수를 추정하고, 공통 시간추세가 공분산과 회귀계수를 크게 만드는 구조(결정적 추세·확률적 추세 공유) 정리 • 추세 제거 후 회귀 절차: 차분·추세제거 후 시계열 간 회귀에서 계수 유의성 소멸로 관계 부재를 확인하고, 단위근 검정·추세 점검·차분·공적분 검토 등 시계열 회귀의 올바른 분석 절차 제시 |
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[30강] 단위근 검정 (3)
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단위근 검정 DF와 ADF, AR(p)에서의 확장 구조
• Dickey-Fuller(DF) 단위근 검정: AR(1) 모형에서 $H_0:\alpha=1$을 $T(\hat{\alpha}-1)$의 Dickey-Fuller 특수분포와 임계값으로 검정하고, $\Delta y_t = b y_{t-1} + \varepsilon_t$ 회귀식으로 단위근 존재 여부 판정 • AR(p) 모형 단위근 검정 변환: $y_t=\sum_{j=1}^p \alpha_j y_{t-j}+\varepsilon_t$에서 계수합 $H_0:\sum \alpha_j=1$을 $\Delta y_t = \phi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\beta_j \Delta y_{t-j} + \varepsilon_t$ 형태로 변환해 $H_0:\phi=0$을 DF형 통계량으로 검정 • Augmented Dickey-Fuller(ADF) 검정: DF 모형의 자기상관·설명변수-오차 상관 문제를 보완하기 위해 과거 차분항을 포함한 $\Delta y_t = \phi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\beta_j \Delta y_{t-j} + \varepsilon_t$ 회귀로 추정하고, 동일 DF 분포 임계값을 이용해 보다 신뢰도 높은 단위근(비정상성) 검정 수행 |
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[31강] 단위근 검정 (4)
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단위근 검정과 결정적 추세 통제의 의미와 모형 형태
• 단위근·추세 구조: 확률적 추세(랜덤워크)와 결정적 추세(상수항·시간추세항)의 결합 구조, 0차·1차·2차 이상 추세에 따른 시계열 수준의 형태 구분 • DF/ADF 모형 형태: 상수·추세 포함 여부에 따른 세 가지 단위근 모형과 대응 DF/ADF 검정식(추세 없음, 상수만 포함, 상수+선형추세 포함) 및 각 모형의 추세 차수 해석 • 검정 왜곡과 단측검정: 결정적 추세 미포함 시 단위근 오판단·검정통계량 분포 왜곡 문제와 이를 완화하기 위한 적절한 모형 선택(그래프 기반 판단) 및 좌측 단측검정 사용 원리 |
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| 5장. 변동성 모형 | ||
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[32강] 변동성 모형 (1)
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조건부 이분산과 ARCH/GARCH(시계열 2분산 모형) 정리
• AR(1) 시계열 모형 특성: 안정성 조건($|\alpha|<1$) 하 무조건부 평균·분산과 조건부 평균·분산 구조를 통해 시계열의 장기수준과 예측값의 변동성 규정 • 변동성·이분산과 ARCH(p) 모형: 분산·표준편차 기반 변동성, 등분산 vs 이분산 및 조건부 이분산 정의, 오차제곱 AR구조를 갖는 ARCH(p) 분산방정식과 평균·분산 방정식 분리·추정 방식 정리 • GARCH(1,1) 모형과 안정성: ARCH 차수 증가의 자유도 문제를 완화하는 GARCH(1,1) 구조와 무한 ARCH 표현, ARCH·GARCH 계수 해석 및 안정성 조건 $\gamma+\eta<1$ 을 통한 장기 변동성·리스크 모형화 정리 |
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[33강] 변동성 모형 (2)
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연습문제 3: 역사적 변동성, EWMA, ARCH를 이용한 변동성 추정
• 역사적 변동성 추정: 과거 수익률의 표준편차를 이용한 균등가중 단순 이동평균 분산·변동성 계산, 시점 증가에 따른 완만한 변동성 변화 구조 • EWMA 변동성 추정: 수익률 제곱에 지수가중(감가계수 λ) 부여해 최근 정보에 민감한 가중이동평균 분산·변동성 추정, 스파이크를 매끄럽게 완화하는 시계열 구조 • ARCH 변동성 추정: AR(1) 평균방정식과 잔차 제곱 기반 ARCH(1) 조건부 분산 모형으로 스파이크·volatility clustering를 포착하는 동태적 변동성 추정 및 세 방법 간 가중 구조·이분산 설명력 비교 |
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| 6장. VAR 모형 | ||
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[34강] VAR 모형 (1)
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VAR 모형과 동태 IS-LM 균형의 VAR 표현
• VAR·VMA·VARMA 구조: 다변량 시계열의 VAR(p) 모형을 행렬·lag 연산자로 표현하고, VMA·VARMA와 AR(∞) 근사 관계를 통해 벡터 자기회귀 추정의 이론적·실증적 기반 정리 • VAR의 경제학적 의의: 거시 연립방정식(IS-LM)의 동태 구조를 통해 소득·금리 상호작용, 피드백, 균형조정 계수(소득·금리 탄력성)를 VAR 계수로 해석하는 이론적 연결 • 동태 IS-LM과 VAR(1) 균형식: IS·LM 곡선의 도출과 축약형 설정 후 균형소득·균형금리를 과거 소득·금리의 선형결합인 2변수 VAR(1) 행렬 구조로 표현하고, 계수 부호·안정성 조건을 파악하는 절차 정리 |
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[35강] VAR 모형 (2)
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IS-LM 동태모형의 구조모형과 VAR 축약모형 도출 연습
• IS-LM 동태 구조모형: IS·LM 연립방정식을 시차 포함 행렬식 구조모형 Bx_t = η + Γx_{t-1} + ε_t 로 설정·정리 • VAR 축약모형: 구조모형에 역행렬 B^{-1} 을 적용해 x_t = α_0 + A x_{t-1} + u_t 꼴로 표현하고, α_0 = B^{-1}η, A = B^{-1}Γ 로 계수 도출 • 경제적 동태 해석: 추정된 VAR 계수로 소득(y)과 금리(r)의 상호 작용, 자기시차 효과, 안정성 및 평균회귀·추세 구조를 분석 |
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[36강] VAR 모형 (3)
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이변수 VAR 구조모형과 충격반응분석 핵심 정리
• 이변수 구조 VAR 모형과 축약형·정규화: 구조 VAR(연립방정식)과 축약형 VAR의 관계 정리, 오차 분산 정규화(단위분산 구조충격)와 A = B⁻¹Γ, Γ = BA, uₜ = B⁻¹ηₜ 연결 구조 정리 • 구조충격 식별과 B행렬·공분산·Cholesky 분해: uₜ 공분산 Ω = Var(uₜ)와 B⁻¹(B⁻¹)′ 관계, 하삼각 B(Cholesky 제약)를 통한 구조충격 분리, 주어진 B로 Ω 계산 및 주어진 Ω에서 Cholesky 분해로 B⁻¹·B 복원 절차 정리 • 충격반응함수(IRF)와 동태 분석: 축약형의 MA 표현과 IRF 정의, 구조 IRF Φⱼ = AʲB⁻¹ 계산 절차와 계수 부호·크기·진동(oscillation) 패턴을 통한 변수 간 동태적 인과·조정 과정 해석 |
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[37강] VAR 모형 (4)
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VAR 모형의 안정성 판단과 분산·충격반응함수 계산 요약
• 구조 VAR 모형과 분산 추적량: 구조모형 Byₜ=Γyₜ₋₁+εₜ에서 B⁻¹·오차분산행렬·추적량(tr Var(uₜ)) 및 L(하삼각) 분해를 이용해 B⁻¹ 요소를 계산·식별하고, 주대각 양수 제약으로 구조모형을 정규화함 • VAR 안정성 조건과 고유값: VAR(1) yₜ=Ayₜ₋₁+uₜ에서 특성방정식 det(λI−A)=0의 고유값 |λ|<1 여부로 안정성(stationarity)을 판단하고, 2×2 VAR의 경우 λ²−(a₁₁+a₂₂)λ+(a₁₁a₂₂−a₁₂a₂₁)=0 형태로 고유값을 해석해 안정·불안정 사례를 구분함 • 충격반응함수(IRF) 구조와 패턴: 안정 VAR에서 Φⱼ=Aʲ를 이용해 IRF=ΦⱼB⁻¹로 정의하고, 구조충격의 단위 충격에 대한 각 변수의 시차별 반응이 0 또는 일정 상수로 수렴(단조·진동 수렴)하는지, 혹은 고유값이 단위원 밖일 때 진동·발산하는지 비교하여 충격 전파·소멸 특성을 분석함 |
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[38강] VAR 모형 (5)
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3차 VAR 모형의 고유값, 안정성, 충격반응함수와 분해
• 3차 VAR(1) 안정성 조건: 계수행렬 A의 특성방정식에서 고유값 {0.7, 0.1±0.1i}를 도출하고, 절댓값<1 여부로 단위원 내 존재·모형 안정성·충격반응 수렴 조건을 확인하는 절차 • Cholesky 분해와 구조행렬: 오차 공분산 행렬을 LLᵀ로 분해해 하삼각 행렬 L의 원소 l₁…l₆를 연립식으로 계산하고, 이로부터 B⁻¹, B를 구성하며 부분 행렬식 양수성으로 positive definite 조건을 점검하는 과정 • 충격반응함수(IRF) 계산: 안정적인 VAR(1)에서 IRF를 AʲB⁻¹ 형태로 정의하고, A·B⁻¹, A²B⁻¹ 등의 반복 곱셈을 통해 계수 감소와 0으로의 수렴을 수치적으로 검증하는 충격 전달 분석 구조 |
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[39강] VAR 모형 (6)
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VAR(2) 모형의 안정성 조건과 충격반응함수(IRF) 도출 요약
• VAR(2) 안정성 조건·특성방정식: VAR(2) 특성방정식 det(λ²I − λA₁ − A₂)=0에서 pk개(여기선 4개)의 고유값 |λᵢ|<1 여부로 안정성 판단, 일반 VAR(p)은 차수 pk의 다항식으로 수치적으로 근 계산 • VAR(2) 상태공간·VMA(∞) 표현: 상태벡터 z_t=[y_t', y_{t-1}']'와 전이행렬 F=[[A₁ A₂],[I 0]]로 z_t=F z_{t-1}+η_t 구성 후, (I−FL)⁻¹ 전개를 통해 z_t=∑_{j=0}^{∞}F^j η_{t−j}형 VMA(∞)로 변환 • 구조충격·IRF 도출: 축약형 오차 u_t와 구조오차 ε_t를 u_t=B⁻¹ε_t, η_t=V⁻¹ε_t(상단블록 B⁻¹)로 연결해 z_t=∑_{j=0}^{∞}F^j V⁻¹ε_{t−j} 표현, 각 시차 j에서 IRF_j는 F^j V⁻¹의 상단 k×k 블록으로 정의되며 B⁻¹은 공분산행렬의 Cholesky 분해로 추정됨 |
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[40강] VAR 모형 (7)
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예측오차 분산분해(FEVD)와 VAR 공분산 구조 해석
• 예측오차·분산 및 FEVD 개념: VAR의 예측치·예측오차·예측오차 분산을 정의하고, MA(∞) 표현을 통해 예측오차를 정보집합 이후 구조적 충격들의 선형결합으로 나타낸 뒤 각 충격이 예측오차 분산을 설명하는 비율로 FEVD를 정의 • FEVD 일반식과 계산 구조: n변수 VAR의 MA(∞) 계수행렬(Θ_k)과 구조적 충격 분산(σ_j²)을 이용해 i번째 방정식·j번째 충격의 FEVD를 분자(해당 충격 기여분)·분모(전체 충격 합) 형태로 정식화하고, 2변수 VAR에서는 독립 충격 가정하에 계수 제곱×분산 비율로 FEVD를 계산 • 공분산 행렬·Cholesky 분해와 FEVD 해석: 축약형 공분산 행렬 Ω를 Cholesky 분해(Ω=LL')하여 B⁻¹=L로 두고, 1기 후 예측오차를 FE_{t+1}=B⁻¹ε_{t+1}로 표현함으로써 B⁻¹ 각 행 원소 제곱 비율로 1기 후 FEVD를 계산하며, 공분산 구조 유형(단위·대각·대칭행렬 등)과 변수 순서·분해 방식이 FEVD 패턴(자기 충격 비중, 교차 충격 비중)을 어떻게 제약·고정하는지 비교·해석 |
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[41강] VAR 모형 (8)
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예측오차 분산분해(FEVD)와 공분산 구조 사례 정리
• 예측오차 분산분해(FEVD) 구조: VAR 모형에서 각 시점·방정식 예측오차를 구조충격(오차항) 계수 제곱합 비율로 분해하고, 2기 이상에서 A·B⁻¹·ε 선형결합 구조를 통해 자기·교차 충격 기여도를 계산하는 절차 • 분산–공분산 행렬과 FEVD 패턴: 단위·대각·비대칭 분산 및 양·음의 공분산 구조에 따라 Cholesky 분해로 얻는 B⁻¹ 계수가 달라지고, 이에 따라 각 변수 예측오차에서 자기충격과 상대 변수 충격의 단기·장기 기여도 및 FEVD 궤적(수렴값 포함)이 결정되는 원리 • 구조 VAR vs 축차 VAR(Cholesky): 축차 VAR은 하삼각 B(Cholesky)를 사용해 변수 순서에 따라 초기 충격이 한 변수에 집중되는 FEVD를 산출하고, 구조 VAR은 이론 제약이 반영된 일반 구조행렬 B 전체를 사용해 처음부터 여러 구조충격이 동시에 각 변수 예측오차를 설명하는 분산분해를 수행하는 체계 |
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[42강] VAR 모형 (9)
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VAR 모형에서 인과관계검정과 구조 VAR·축차 VAR의 관계 핵심 정리
• Granger 인과관계검정: Restricted/Unrestricted VAR 방정식의 SSE 차이로 F통계량을 계산해 변수 간 단·쌍방 인과 방향을 판정하고, 외생·내생성 정도를 비교 • 축차 VAR(Cholesky VAR): B행렬을 상·하삼각(또는 주대각 1)으로 제약해 변수 순서를 “많이 주고 적게 받는 변수 → 많이 받는 변수” 기준으로 배치하고, 구조충격을 Cholesky 분해로 식별 • 구조 VAR(structural VAR): 이론 기반 제약으로 B·Ω를 설정하며, 식별 조건 ½k(k−1)를 충족시켜 과대·적정·미식별을 구분하고, Var(uₜ)=B⁻¹Ω(B⁻¹)′ 구조에서 충격반응함수·예측오차 분산분해를 도출 |
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| 7장. VECM 모형 | ||
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[43강] VECM 모형
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벡터 오차수정 모형과 공적분 검정 연습문제 핵심 정리
• 단위근·공적분·가성회귀: 단위근 시계열의 차분·수준 VAR 한계와 공통 확률추세 존재 시 공적분 관계 및 가성회귀 문제 구조 정리 • 공적분 검정과 VECM: Engle–Granger(2단계 회귀-잔차 DF)와 Johansen(랭크·고유값 기반) 공적분 검정 절차, 공적분 벡터·오차수정항·조정속도 계수를 포함한 VECM 구조 및 해석 • 벡터 시계열 모형 선택과 IRF: 단위근·공적분 유무에 따른 수준 VAR·차분 VAR·VECM 선택 기준과 각 모형의 충격반응함수(IRF) 특성, FEVD·Granger 인과관계 검정까지 포함한 전체 분석 절차 요약 |
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김재현 교수님
시계열분석 문제풀이
