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게임이론Ⅰ
김재현 교수
경북대학교 대학원 경제학과 석사과정
경북대학교 대학원 경제학과 박사졸업
경북대학교 대학원 경제학과 석사과정
경북대학교 대학원 경제학과 박사졸업
경북대학교
계명대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 3개 챕터, 36강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 게임이론 소개 | ||
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[1강] 게임이론 오리엔테이션
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게임이론 입문: 전략적 상호작용과 비협조·협조 게임 구조
• 게임이론 및 전략적 상황: 행위주체의 보수가 상호 의존하는 전략적 상황에서 최적 전략과 균형 상태를 수리적 모형으로 분석하는 응용미시·응용수학 이론 • 게임 구조 및 분류: 비협조전략게임·협조전략게임, 정태게임·동태게임, 완전·불완전정보, 동시·순차·반복 게임, 순수·혼합 전략에 따른 전략공간과 균형 개념 체계화 • 선수 지식 및 응용: 함수·기초 미적분·확률이론·미시경제학을 기반으로 군사전략, 시장진입·담합 등 현실 전략적 상호작용을 정량적으로 모델링하고 예측하는 분석 틀 구성 |
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[2강] Introduction
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게임이론 개요와 비협조게임, 경제학과의 관계
• 게임이론 핵심 개념: 전략적 상호의존성, 플레이어·전략·보수함수 구조, 비협조 게임에서의 효용·보수 극대화와 균형(내쉬 균형) 정의 • 고전·현대 게임이론 체계: 폰 노이만·모르겐스턴(제로섬 기초), 내쉬(비협조 게임과 내쉬균형), 젤튼(동적·순차게임과 부분게임완전균형), 하사니(불완전정보·Bayesian 게임)로 이어지는 균형 개념 확장 • 경제학적 위치와 응용: 전통 미시경제학과의 차이(단일 의사결정 vs 전략 상호작용)를 통해 산업조직(과점), 재무·지배구조, 정치·국제관계, 진화생물학 등 다양한 전략 분석 도구로 활용 |
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[3강] 게임의 표현
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게임의 표현과 구성요소, 정규형·전개형·동시·순차 게임 핵심 정리
• 게임의 기본 구성요소·표기: 경기자·전략집합·정보집합·결과·페이오프·균형 및 유한·무한 전략공간, 보수함수·공통지식 합리성 가정의 수리적 구조 정리 • 게임 표현 방식과 시간구조: 정규형(매트릭스)·전개형(게임 트리) 간 상호 변환, 정보집합을 통한 동시 게임·순차 게임 구분 및 후행자 조건부 전략에 따른 전략집합 차원 분석 • 전략 유형과 균형 개념: 순수전략·혼합전략의 정의와 확률적 표현, 전략 조합에 따른 페이오프 비교를 통해 전략 변경 유인이 없는 균형(안정·불안정 균형 포함) 구조 정리 |
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[4강] 게임의 균형
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게임의 균형, 우월·열등 전략, 내쉬 균형 핵심 정리
• 우월·열등 전략 개념: 강우월·약우월·강열등·약열등 전략을 보수함수 부등식으로 정의하고, 강열등 전략의 반복 소거를 통해 강우월 전략 균형 도출 절차 정리 • 강우월 전략 균형 한계: 상대 전략과 무관하게 항상 유리한 전략이 필요한 강우월 전략 균형의 존재 조건과 실제 게임에서의 부재·불분명 사례 및 분석 한계 정리 • 내쉬 균형과 최적 대응: 최적 대응(BR) 함수와 내쉬 균형의 수식 정의를 통해 정규형·k인 경기자 게임에서 BR 교점으로서의 내쉬 균형 존재·복수성·부재 구조 정리 |
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[5강] 전통적 경제학 vs 게임이론
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전통적 경제학과 게임이론의 대비, 효용극대화와 라그랑지 승수법 정리
• 비전략적 효용·이윤 극대화: 전통적 효용·이윤함수 구조, 단변수·다변수 미분과 일계조건, 편미분·전미분을 이용한 무제약 극대화 조건 정리 • 제약 있는 최적화와 라그랑지 승수법: 라그랑지안 구성, 일계조건 시스템, 목적함수와 제약식 기울기 일치(MRS = 가격비)로 해석되는 소비자 효용극대화 절차 정리 • 전략적 상호작용과 내쉬균형: 타인의 소비·생산을 포함한 전략적 효용·이윤함수, 반응함수와 내쉬균형 개념, 전략 도입 전후 소비자 최적해·균형 비교 및 전통적 모형 한계 제시 |
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| 2장. 순수전략과 균형 | ||
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[6강] 순수전략 Nash 균형
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순수전략 내시균형과 강우월전략, 최적대응 개념 정리
• 순수전략 내시균형: 동시게임 정규형에서 각 경기자의 최적 대응이 교차하는 전략 조합으로 정의되며, 전략 프로파일 관점에서 균형 존재·복수·부재 조건을 규정함 • 강우월 전략균형: 상대 전략과 무관하게 항상 더 높은 보수를 주는 전략으로 구성된 균형으로, 모든 강우월 전략균형은 내시균형이지만 그 역은 아니며, 무차별·강우월 부재 시 복수 또는 비존재 내시균형을 유도함 • 최적 대응 함수와 보수행렬 분석: 각 경기자의 최적 대응 집합 BR_i(s_{-i})를 보수행렬에 표시해 교차점으로 내시균형을 도출하고, 가격경쟁 등 응용 게임에서 보수구조 설계와 균형 해석 절차를 제시함 |
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[7강] 죄수의 딜레마 게임
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Summary Content:
죄수의 딜레마, 강우월 전략, 공공재와 파레토 최적의 관계 • 죄수의 딜레마와 강우월 전략: 배신 전략이 강우월 전략이 되어 내쉬균형이 파레토 열등 결과를 낳는 보수구조(π₁,₂ > π₂,₂ > π₁,₁ > π₂,₁)와 전략 선택 원리 정리 • 공공재 게임과 무임승차: 공공재의 비경합성·비배제성, 비용 회피가 강우월 전략이 되는 무임승차 구조 및 시장에 맡길 경우 공공재 과소공급·파레토 열등 균형 발생 정리 • 후생경제학 제1정리와 해결 메커니즘: 완전경쟁 균형의 파레토 최적성 한계, 전략적 상호의존에서 이기적 선택과 사회적 최적의 괴리, 제도 개입·커뮤니케이션·사회적 신뢰를 통한 보수구조 변화와 사회적 최적 유도 메커니즘 정리 |
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[8강] Hawk-Dove 게임
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혹도브(Hawk-Dove, Chicken) 게임의 구조와 죄수의 딜레마 비교
• 혹도브 게임 구조와 보수조건: 혹(H)·도브(D) 전략, 승자-패자 구조, 일반 보수 순서(π₁₂>π₂₂>π₂₁>π₁₁)와 (H,D)/(D,H) 두 내쉬균형 및 강우월 전략 부재 정리 • 죄수의 딜레마 비교 분석: 죄수의 딜레마 보수관계(T>R>P>S)와의 공통점(상대 협조/온건 시 공격 유인)·차이점(상대 공격 시 최적 대응: 죄수의 딜레마는 공격, 혹도브는 회피) 및 사회적 효율·승자-패자 구조 대비 • 전략적 해석과 응용: 신뢰할 수 있는 위협과 신호를 통한 균형 선택, 동시게임·순차게임에서의 의미 차이, 기업 가격경쟁·군사·국제정치 갈등 상황에의 응용 구조 정리 |
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[9강] 조정 게임
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조정게임과 기술표준, 경로의존성 핵심 정리
• 조정게임과 내쉬균형 구조: 대각선 보수가 비대각선보다 큰 동일전략 조합 게임으로, 최소 두 개의 내쉬균형·최적 대응 규칙·좌/우 통행 규칙 등의 균형 전환 메커니즘 정리 • 기술표준·선점효과·경로의존성: 기술표준 형성, 초기 선점·네트워크효과·전환비용·주변기기(컴플리먼트) 축적에 따른 경로의존성과 균형 이동 조건을 QWERTY vs 드보락, IBM PC vs 맥, DC vs AC 사례로 구조화 • 비대칭 조정게임과 포컬포인트: 성대결 게임의 선호 비대칭·협상력에 따른 균형 선택, 셸링의 포컬포인트를 통한 다수 내쉬균형 중 실제 선택되는 균형의 문화·심리적 결정 요인 정리 |
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[10강] 사슴사냥 게임, 제로섬 게임
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사슴사냥게임과 Zero Sum 게임의 보수구조와 균형 비교
• 사슴사냥게임·조정게임 구조: Stag–Rabbit 보수행렬과 π₁₁ > π₂₂ = π₂₁ > π₁₂ 조건, 두 개의 순수전략 내시균형과 파레토 우월·리스크 격차 구조 정리 • Zero Sum·상수합 게임 구조: 보수합 0인 Zero Sum 정의, 매칭페니·가위바위보의 순환적 최적대응으로 인한 순수전략 내시균형 부재, 상수합 게임의 선형변환을 통한 Zero Sum 동등성 정리 • 전략·균형 분석: 위험선호·위험회피에 따른 균형 선택, 상수합·Zero Sum에서 최적대응 구조와 내시균형 존재 조건, 전략 수 확장 시에도 유지되는 순환/비순환 우월구조와 균형 존재 가능성 정리 |
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[11강] 과점시장 모형 (1)
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과점시장 Cournot 복점모형과 담합 비교 핵심 정리
• Cournot 복점모형 구조: 소수기업 과점·복점에서 역수요함수 p=a-βQ, 상수 한계비용 c 하의 이윤함수 설정과 미분을 통한 반응곡선·내쉬균형 q_i^*=(a-c)/(3β) 도출 및 행렬 해석 정리 • Cournot 균형 결과와 비교: 균형 생산량 Q^*=2(a-c)/(3β), 가격 p^*=(a+2c)/3, 개별 이윤 π_i^*=(a-c)^2/(9β) 산출과 완전경쟁·독점 대비 생산량·가격·이윤의 중간적 위치 및 수요탄력성에 따른 전략적 상호의존성 분석 • 담합과 죄수의 딜레마: 두 기업이 독점처럼 담합할 때의 생산·가격·총이윤 구조와 Cournot 비협조 균형 대비 효율성 차이, 각 기업의 배신 유인으로 인한 협조전략(C)·배신전략(D) 간 죄수의 딜레마적 게임구조 설명 |
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[12강] 과점시장 모형 (2)
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과점시장 담합과 독점균형, Cournot와의 비교 핵심 정리
• 선형수요와 비용 구조: 시장수요 p=a-βq, 상수 한계비용 c를 전제로 경쟁·Cournot·담합(독점)에서 한계편익(MB), 한계비용(MC), MR=MC 이윤극대화 조건 정식화 • 담합(독점) 균형 분석: 두 기업을 하나의 독점기업으로 환원해 Q_M=(a-c)/(2β), P_M=(a+c)/2, Π_M=(a-c)²/(4β) 도출하고, 담합 시 생산량·이윤의 기업 간 배분 구조 정리 • Cournot·경쟁과의 비교 및 전략적 성격: 경쟁 Q^{PC}>(Cournot Q^*)>담합 Q_M, 가격은 P_M>P^*>P^{PC} 관계와 이윤 격차 정리, 담합의 배반 유인과 죄수의 딜레마·내시균형 구조로 과점시장 전략적 특성 설명 |
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[13강] 과점시장 모형 (3)
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과점시장 쿠르노모형과 죄수의 딜레마, 내시균형과 코어
• 쿠르노 과점모형·담합·정규형 게임: 동질재 duopoly에서 생산량 경쟁 구조, 쿠르노 내시균형·담합 생산량 도출과 보수행렬(1/9, 1/8, 5/36, 5/48) 비교를 통한 이윤 구조 분석 • 죄수의 딜레마·우월전략 내시균형: 협조(C, 담합 생산량)와 비협조(D, 쿠르노 생산량) 전략 정의, 배신 유인과 (C,C) 파레토 우월성 대비 (D,D) 지배전략 내시균형 형성 메커니즘 정리 • 반응함수·등이윤곡선·코어: 두 기업 반응함수 교점으로서 쿠르노 내시균형, 등이윤곡선의 이윤 증가 방향과 코어 영역, 파레토 최적·결합이윤 극대화 담합점의 의미를 통한 균형 비효율성 설명 |
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[14강] 과점시장 모형 (4)
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Summary Content:
과점시장 Cournot 모형의 N개 기업 일반해, 행렬해법과 독점 대비 비교 • Cournot 모형 일반 구조: 선형 수요·동일 한계비용 하에서 N개 기업의 이윤극대화 조건을 선형 연립방정식과 행렬(역행렬·판별식·여인수)을 이용해 Cournot 균형 생산량·이윤·가격의 폐형식 해로 도출 • N개 기업 Cournot 균형식: 계수행렬 A=I_N+J_N 구조에서 A⁻¹을 구해 각 기업 산출량 $q_i^*=\dfrac{a-c}{(N+1)\beta}$, 개별 이윤 $\pi_i^*=\dfrac{(a-c)^2}{(N+1)^2\beta}$, 총산출량 $Q^*=\dfrac{N}{N+1}\dfrac{a-c}{\beta}$, 가격 $P^*=\dfrac{a+Nc}{N+1}$의 일반식을 정리 • 담합(독점)과 비교 및 기업 수 효과: 독점(담합) 산출·가격·이윤($Q_M,P_M,\pi_{iM}$)과 Cournot 균형을 비교해 담합 시 가격↑·산출↓·이윤↑ 관계를 제시하고, 기업 수 N 증가가 개별 산출량 감소·총산출량 증가·가격의 경쟁효과와 비용효과 상쇄로 인해 비단조적 변화를 가져오는 메커니즘 분석 |
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[15강] 과점시장 모형 (5)
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과점시장 가격경쟁과 베르트랑 모형 핵심 정리
• 베르트랑–동질재 모형: 두 기업이 동질재 가격을 전략변수로 선택할 때 한계비용까지 가격 인하가 진행되어 내시균형이 p_i = p_j = c, Q^* = (a - c)/β, 초과이윤 0인 완전경쟁 구조로 수렴하는 모형 • 베르트랑–이질재 모형: 수요 q_i = A - p_i + β p_j, 비용 C(q_i) = c q_i 하에서 반응함수 p_i = p_M + (β/2)p_j, 내시균형 가격 p^* = (A + c)/(2 - β), 생산량 q_i^* = (A - c)/[(2 - β)(1 - β)]을 통해 교차효과 β(대체·보완 관계)에 따른 가격·생산 구조를 분석하는 모형 • 대체·보완 관계 및 쿠르노 비교: 0 < β < 2(대체재)에서 p^* > p_M 및 Q^* ≥ Q_M, −2 < β < 0(보완재)에서 p^* < p_M가 성립하며, 생산량을 전략변수로 하는 쿠르노 모형과 대비해 전략변수(가격 vs 생산량)·재화 관계(동질 vs 이질)가 과점시장 균형 가격·생산·이윤에 미치는 차이를 구조적으로 설명하는 커리큘럼 |
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[16강] 경매, 호텔링모형, 합리성에 대한 재론
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경매, Hotelling 모형, 합리성 재론 요약
• 경매와 전략적 상호작용: 낙찰자의 불행, 입찰가 선택 게임, 순수전략 내쉬균형 구조와 비효율적 중간가–고가 조합 분석 • Hotelling 모형·중위투표자 정리: 위치선정 게임의 중앙 수렴 균형, 정치 스펙트럼에서 단봉형·대칭 선호 하 중위투표자 정책 수렴 결과 정리 • 합리성·내쉬균형 도출: 완비성·이행성 기반 전통적 합리성과 게임이론의 초합리성·공통상식, 강열등전략 소거·합리화 가능한 전략·보수표·반응함수를 통한 순수전략 내쉬균형 도출 절차 정리 |
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| 3장. 혼합전략과 균형 | ||
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[17강] 혼합전략
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혼합전략과 내시균형 기초 개념 정리
• 혼합전략 개념과 확률 구조: 순수전략 위의 확률분포로서 정의되며, 이산전략은 확률벡터(차원 n-1), 연속전략은 CDF·pdf와 적분을 통해 전략 선택확률을 표현함 • 순수전략과 혼합전략 관계: 순수전략은 각 전략에 확률 0 또는 1을 부여한 혼합전략의 특수한 경우이며, 일반적 혼합전략은 단일 순수전략으로 환원 불가능하고 확률분포 집합 Δ로 formalize됨 • 혼합전략 내시균형 의의: 순수전략 내시균형이 존재하지 않는 게임에서도 균형 존재를 보장하며, 실제 전략 사용빈도와 확률적 행동 패턴을 설명하는 실증적 균형 개념으로 사용됨 |
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[18강] 혼합전략 내쉬균형 (1)
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혼합전략 내쉬균형에서 기대보수와 최적대응 정리
• 혼합전략·최적대응 개념: 전략을 확률분포로 혼합해 선택하고, 상대 확률분포가 주어졌을 때 자신의 기대보수를 극대화하는 전략집합을 최적대응으로 정의 • 기대값·기대보수 함수: 기대값은 확률변수 값들의 가중평균 $E[X]=\sum_x x p(x)$, 기대보수는 보수함수의 기대값 $E\pi_k(s_{k,i})=\sum_j p_{-k,j}\pi_k(i,j)$로 2×2 게임에서 상대 확률에 대한 1차식 구조로 표현 • 사례 게임 기대보수 비교: Hawk-Dove, 조정게임, 동전던지기에서 각 전략의 기대보수식을 도출하고, 상대 전략확률에 따른 무차별점·유리한 전략 영역·제로섬 구조 등을 분석해 혼합전략 내쉬균형 조건을 도출 |
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[19강] 혼합전략 내쉬균형 (2)
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혼합전략 내시균형에서 최적 대응과 반응곡선 개념 정리
• 혼합전략 기대보수와 무차별 조건: 2×2 정규형 게임에서 각 전략의 기대보수 함수를 상대방 혼합전략 확률의 선형함수로 표현하고, 기대보수 비교·무차별(indifference) 조건으로 순수전략·혼합전략 최적 대응을 구하는 절차 정리 • 임계확률과 최적 대응 구조: 두 전략 기대보수의 부등식을 정리해 각 플레이어의 임계확률(p1c, p2c)을 도출하고, 임계값 기준으로 p=0, p=1, p∈[0,1]이 되는 최적 대응 집합과 무차별 구간의 구조를 정의 • 반응곡선과 혼합전략 내시균형: 플레이어 1·2의 최적 대응을 반응곡선으로 표현하고, (0,0), (1,1), (p1c,p2c) 등 교점에서 순수전략·혼합전략 내시균형이 형성되며 임계확률이 상대방을 두 전략 사이에서 무차별하게 만드는 확률이라는 해석 정리 |
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[20강] 혼합전략 내쉬균형 (3)
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혼합전략 내쉬균형
• 혼합전략 내쉬균형 개념: 정규형 게임에서 각 경기자가 순수전략을 확률적으로 혼합할 때 지지집합 내 모든 순수전략의 기대보수가 서로 같고 지지 밖 전략보다 크거나 같은 상태를 내쉬균형으로 정의 • 혼합전략 기대보수와 최적대응함수: 2×2 정규형 게임에서 상대 혼합전략 확률에 따른 각 순수전략의 기대보수 선형함수를 계산하고, 기대값 비교를 통해 구간별 최적대응함수와 무차별 구간을 도출 • Hawk-Dove 게임 내쉬균형 구조: 대칭적 보수행렬을 기반으로 각 경기자의 기대보수식과 최적대응함수(BR₁, BR₂)를 구해 (H,D), (D,H) 두 개의 비대칭 순수전략 내쉬균형과 (½,½)의 대칭 혼합전략 내쉬균형을 도출 |
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[21강] 혼합전략 내쉬균형 (4)
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혼합전략 내쉬균형과 호크-도브 게임
• 혼합전략 내쉬균형과 기대보수 구조: 2x2 정규형 게임에서 각 순수전략에 확률을 부여해 기대보수를 동일하게 만드는 크리티컬 포인트를 구하고, 무차별 조건을 통해 상대의 혼합전략과 내쉬균형을 도출하는 절차 정리 • 반응곡선과 내쉬균형 개수: 각 경기자의 기대보수 동일 조건에서 반응함수를 조각 함수 형태로 정의하고, 반응곡선 교점을 통해 순수·혼합전략 내쉬균형의 존재와 개수(1·2·3개)를 분류하는 구조적 분석 • 호크-도브 게임 구조와 해석: 호크(H)·도브(D) 전략의 보수구조를 기반으로 (H,D),(D,H) 순수전략 NE 및 혼합전략 NE의 확률(예: p=4/13, 1/2)을 계산하고, 비대칭 조정(anti-coordination) 게임으로서 국제정치·갈등 상황에서 강경·유화 전략을 확률적으로 섞는 균형 의미를 해석 |
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[22강] 혼합전략 내쉬균형 (5)
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조정게임에서 혼합전략 내쉬균형 도출 절차 정리
• 조정게임 구조와 보수함수: 2×2 좌·우 선택 조정게임에서 순수전략 집합 S_k={L,R}와 보수행렬·보수함수 π_k(s_k,s_{-k})를 행렬 형태로 정의하고 순수전략 내쉬균형 (L,L),(R,R) 도출 • 혼합전략과 기대보수 최적화: 각 전략에 확률을 배분하는 혼합전략 p_k∈[0,1]과 기대보수 Eπ_k(p_k,p_{-k})를 구성하고, 각 순수전략 기대보수와 무차별 조건 또는 미분을 이용해 best response 함수 BR_k(p_{-k})를 도출 • 혼합전략 내쉬균형과 코너해: 대칭 조정게임에서 반응함수 교점 (1/3,1/3)을 혼합전략 내쉬균형으로 규명하고, 내부해 외에 p_k=0,1 코너에서 순수전략 내쉬균형 (L,L),(R,R)을 함께 검토하여 전체 내쉬균형 집합을 구조적으로 제시 |
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[23강] 혼합전략 내쉬균형 (6)
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사슴사냥 게임의 혼합전략 내쉬균형과 조정게임 비교 요약
• 사슴사냥 게임과 조정게임 구조: 사슴사냥 게임·단순 조정게임의 보수행렬, 순수전략 내쉬균형 존재 조건, 위험 전략·무위험 전략의 구분과 기대보수 기반 내쉬균형 도출 구조 정리 • 혼합전략 내쉬균형과 임계 확률: 혼합전략 내쉬균형에서 무차별 조건을 통한 임계 확률 도출, 보수 수준(π11 등)이 반응함수와 균형 확률에 미치는 영향, 보수 증가 시 전략 선택 최소 필요 확률 감소 원리 정리 • 무위험 전략 도입 효과와 유리 구간 비교: 단순 조정게임 vs 사슴사냥 게임에서 전략의 유리 구간 비율 비교(π11/(π11+π22) vs (π11-π22)/π11), 한 전략을 무위험 전략으로 만들 때 혼합전략 내쉬균형 확률·유리 구간 길이 변화 및 정책·경제적 해석 정리 |
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[24강] 혼합전략 내쉬균형 (7)
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제로섬 동전 던지기 게임의 혼합전략 내쉬균형 도출 과정 요약
• 제로섬 동전 던지기 게임 구조: 두 전략(H, T)과 상반된 보수행렬(1, -1; -1, 1)로 정의되는 제로섬 게임에서 $\pi_1=-\pi_2$, 기대값 수준에서도 $\mathbb{E}[\pi_1]+\mathbb{E}[\pi_2]=0$인 보수 구조 제시 • 혼합전략 내쉬균형 계산: 각 플레이어의 동전 앞면 확률을 $(p_1,p_2)$로 두고 기대보수함수와 편미분을 이용해 best response 조건을 도출, 순수전략 내쉬균형 부재를 확인하고 균형 혼합전략 $(p_1^*,p_2^*)=(1/2,1/2)$ 도출 • Best response와 균형 해석: 반응곡선과 기대효용 비교를 통해 네 코너 전략에서 상호 best response 부재를 보이고, 전략 무작위화(각 전략 1/2 확률)를 통해 상대의 예측 가능성을 최소화하는 혼합전략 내쉬균형의 의미와 제로섬 경쟁 상황에서의 전략적 함의를 정리 |
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[25강] 혼합전략 내쉬균형 (8)
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3x3 조정게임에서 혼합전략 내시균형과 최적대응 조건 정리
• 3x3 대칭 조정게임 구조: 전략집합 {L,M,R}, 동일 전략 선택 시 보수 1·상이한 전략 시 보수 0인 베르누이형 보수구조와 이에 따른 기대보수 함수 설정 • 혼합전략 내시균형 도출: 혼합전략 확률벡터를 이용한 기대보수 극대화(편미분 1차 조건)와 무차별 조건 $U(L)=U(M)=U(R)$ 적용으로 $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ 혼합전략 내시균형 도출 • 최적대응 집합 및 영역: 상대방 전략 확률 $(P_2,Q_2)$ 에 대한 기대보수 부등식(예: $P_2\ge Q_2$, $P_2\ge 1-P_2-Q_2$ 등)으로 순수전략(L,M,R)과 혼합전략의 최적대응 영역을 2차원 평면에서 직선들로 분할해 정리 |
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[26강] 혼합전략 내쉬균형 (9)
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3x3 조정게임에서 혼합전략 내쉬균형 도출 핵심 정리
• 3x3 조정게임 확률공간 구조: 세 전략에 대한 확률벡터 (p1, p2, 1−p1−p2)와 삼각형 허용영역, 기대효용 UL·UM·UR 비교에 따른 세 영역 및 경계직선·대칭점 (1/3,1/3,1/3) 정의 • 최적 대응전략과 반응함수: 각 기대효용 우위 영역에서 순수전략 꼭짓점 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 및 무차별점 (1/3,1/3,1/3)을 최적 대응으로 선택하고, 두 플레이어의 영역 분할·반응함수 평면을 결합해 교점 구조 도출 • 내쉬균형 분석 및 2x2와의 비교: 세 꼭짓점 순수전략 균형 세 개와 대칭 혼합전략 균형 (1/3,1/3,1/3) 한 개로 총 네 개 내쉬균형 도출, 2x2 게임의 단일 확률·1차원 반응함수 개념을 3x3 게임의 이차원 삼각형 확률공간·다차원 기하 문제로 일반화하는 원리 정리 |
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[27강] 혼합전략 내쉬균형 (10)
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가위바위보 혼합전략 내쉬균형과 기대보수 함수 구조 요약
• 가위바위보 게임 구조와 순수·혼합전략 내쉬균형: 3전략(zero-sum, 승1·패-1·무0)에서 순수전략 내쉬균형이 부재하고, 각 전략 조합을 확률로 섞는 혼합전략 내쉬균형 개념을 통해 균형 존재를 정의 • 기대보수 함수와 최적 대응 조건: 각 전략 기대보수를 “이기는 상대 전략 확률 − 지는 상대 전략 확률”로 표현하고, 양 플레이어의 전체 기대보수를 혼합전략 확률의 함수로 정리해 미분·부등식 비교로 베스트 리스폰스와 영역 분할 조건을 도출 • 혼합전략 내쉬균형 도출과 해석: 기대보수 동등화·최적 대응 교차 조건을 풀어 양 플레이어가 rock·paper·scissors를 각각 1/3 확률로 사용하는 유일하고 대칭적인 혼합전략 내쉬균형과 그 그래프적·수리적 의미를 정리 |
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[28강] 혼합전략 내쉬균형 (11)
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가위바위보 제로섬 게임의 혼합전략 내쉬균형 도출 과정 요약
• 가위바위보 제로섬 게임 구조: 세 순수전략(가위·바위·보) 간 순환적 우위로 인해 모든 순수 전략 조합이 상쇄되어 순수전략 내쉬균형이 부재임을 확률평면에서 최적 대응 영역으로 표현 • 최적 대응 대응관계와 내쉬균형 조건: 각 경기자의 혼합전략을 확률벡터로 두고 기대보수 비교를 통해 최적 대응집합(Best Response Correspondence)을 정의하며, 두 전략이 서로의 최적 대응집합에 동시에 속하는 점을 내쉬균형으로 규정 • 혼합전략 내쉬균형 도출과 일반화: 세 전략의 기대보수가 일치하는 혼합전략 $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$만이 상호 최적 대응을 만족하는 유일한 내쉬균형이며, 전략 수가 3개 이상일 경우 고차원 확률공간에서 그래프 대신 방정식·부등식 체계를 사용해 혼합전략 내쉬균형을 분석함 |
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[29강] 혼합전략 내쉬균형 (12)
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혼합전략 내시균형과 손떨림 완전균형
• 혼합전략 내시균형·반응함수 구조: 순수·혼합전략 내시균형 정의, 기대보수 함수와 미분을 통한 반응함수 도출 및 조정게임에서 다중 균형(약열등·약우월 전략 균형) 존재 분석 • 약열등 전략·약우월 전략: 상대전략에 대한 보수 비교를 통한 약열등·약우월·강우월 전략 정의, 조정게임에서 $(S_1,S_1)$과 $(S_2,S_2)$가 모두 내시전략이 되는 조건과 열등/우월 균형 구조 정리 • 손떨림 현상·손떨림 완전균형: 손떨림(trembling hand) 도입, 모든 전략이 양의 확률로 선택되는 게임에서 내시균형 재계산 후 $\varepsilon\to 0$ 극한에서 남는 균형을 손떨림 완전균형으로 정의하고 약열등 전략 균형의 배제 메커니즘 설명 |
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[30강] 혼합전략 내쉬균형 (13)
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강우월 전략 게임에서 혼합전략 내쉬균형과 기대보수 극대화
• 죄수의 딜레마와 강우월 전략 구조: 죄수의 딜레마 보수관계(π_{1,2,1} > π_{1,1,1} > π_{1,2,2} > π_{1,1,2})에서 배신 D가 모든 상대 전략에 대해 협조 C를 강우월하며, 순수전략 내쉬균형이 (D,D) 한 점으로 존재함 • 기대보수와 반응함수 분석: 전략 선택확률을 이용해 기대보수 Eπ_i(C), Eπ_i(D)를 선형함수로 정의하고 일반형·부등식으로 D의 강우월성을 증명하며, 기대보수 극대화의 일계조건(∂Eπ_i/∂p_i=0)을 통해 반응함수를 구하되 강우월·약우월 게임에서는 내부해가 존재하지 않고 전략공간 밖에서만 해가 나타남 • 코너 해와 혼합전략 내쉬균형 존재: 최적해가 확률 0 또는 1의 코너에서만 존재해 강우월·약우월 전략 균형은 순수전략 내쉬균형이자 혼합전략 내쉬균형의 코너 해로 해석되며, 유한 정규형 게임에서는 내부 혼합전략이든 코너 해든 적어도 하나의 혼합전략 내쉬균형이 항상 존재함 (내쉬균형 존재 정리) |
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[31강] 내쉬균형 존재 정리 (1)
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내쉬균형 존재정리
• 내쉬균형 존재정리: 모든 유한 정규형 게임에서 혼합전략 내쉬균형이 최소 하나 존재함을 고정점정리와 혼합전략 공간의 볼록·콤팩트 구조로 증명하는 정리 • 2x2 혼합전략 내쉬균형 도출: 2x2 정규형 게임에서 기대보수 함수를 확률에 대한 선형식으로 표현하고, 무차별 조건과 최적대응함수 교점을 통해 혼합전략 내쉬균형 확률쌍 \((p_1^\ast, p_2^\ast)\)을 도출하는 절차 • 강월전략과 내쉬균형 구조: 혼합전략 해가 [0,1] 밖에 위치할 때 각 경기자의 강월전략 존재 조건을 보수표 부호·절대값 비교로 판별하고, 이 경우 강월전략 조합이 유일한 내쉬균형이 됨을 정식화하는 체계 |
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[32강] 내쉬균형 존재 정리 (2)
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혼합전략 내쉬균형 존재 정리와 Kakutani·Brouwer 고정점 정리
• 혼합전략 집합과 최적대응 대응함수: 유한 게임에서 각 선수의 혼합전략 집합을 simplex로 정의하고, 기대효용을 극대화하는 전략들의 집합으로 최적대응 Correspondence를 구성하여 전체 전략공간에서 다가 값 함수로 표현함 • Kakutani·Brouwer 고정점 정리와 내쉬균형: 혼합전략 최적대응 Correspondence가 컴팩트·볼록 정의역, 비공허·볼록값, 상반연속성을 만족함을 보이고 Kakutani 고정점 정리를 적용하거나, 보수 증가분에 기초한 연속 자기사상 G를 구성해 Brouwer 고정점 정리로 혼합전략 내쉬균형의 존재를 증명함 • Simplex 공간과 내쉬 존재 정리의 의의: 확률 simplex에서 고정점을 기하적으로 해석하여 내쉬균형을 고정점으로 이해하고, 유한 전략 일반형 게임에서 최소 하나의 혼합전략 내쉬균형 존재를 보장함으로써 경제학·게임이론에서 전략적 상호작용 분석의 이론적 토대를 제공함 |
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[33강] 혼합전략 게임 응용 (1)
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혼합전략게임 응용: Maximin·Minimax와 혼합전략 내시균형
• Maximin·Minimax·안장점: Maximin·Minimax의 정의와 계산 절차, 안장점 조건 및 내시균형·제로섬게임과의 관계 정리 • 순수·혼합전략 최적화: 순수·혼합전략에서 Maximin·Minimax를 기대보수 기반 최적화·선형계획 문제로 정식화하고 제약집합 해석 • 혼합전략 균형 도출: 기대보수 직선의 교점 계산을 통해 최적 혼합전략, 게임의 값, 혼합전략 내시균형 및 안장점 도출 방법 정리 |
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[34강] 혼합전략 게임 응용 (2)
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혼합전략 맥스민·민맥스와 선형계획법(심플렉스법) 개요
• 선형계획법과 비선형계획법: 목적함수·제약이 모두 선형인 최적화 모형과 비선형 모형의 구조 비교, LP에서 실현가능 영역의 첨점에서 최적해가 존재함을 이용하는 구조 제시 • 혼합전략–LP 정식화: 혼합전략 기대보수를 확률에 대한 선형함수로 두고 맥스민·민맥스·내쉬균형을 확률벡터·보장수준 η에 대한 선형계획 모형(목적함수 선형, 확률·기대보수 제약 선형)으로 표현하는 방법 정리 • 심플렉스법 절차 요소: 부등식 제약의 슬랙변수·인공변수 도입과 등식화, 초기 기저가능해 설정, 기저·비기저변수 전환을 통한 첨점 간 이동으로 목적함수를 단조 개선하는 심플렉스 알고리즘 개념 정리 |
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[35강] 혼합전략 게임 응용 (3)
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혼합전략게임의 최소극대화와 Simplex법 풀이 구조
• 혼합전략 게임 LP 정식화: 전략확률(p₁, p₂)·기대보수 하한(η)·목적함수(π)를 변수로 두고, 확률합·비음 제약과 각 상대전략에 대한 기대보수 ≥ η 제약을 슬랙변수로 등식화한 선형계획 표준형 구성 • Simplex법과 기저가능해 구조: 연립방정식 소거법을 행렬·테이블 형태로 확장해 피벗팅으로 단위열(기저열)을 형성하고, 초기 슬랙기저에서 p₁, p₂, η가 기저로 교체되는 과정을 통해 기저가능해를 갱신 • 피벗 선택 기준과 최적 혼합전략: 목적함수 계수(기울기)가 가장 큰 변수를 우선 피벗으로 선택해 η → p₁ → p₂ 순으로 기저 편입 후, 최종 Simplex 테이블의 단위열과 우변 상수에서 p₁* = 1/4, p₂* = 3/4, η* = π* = 5/2를 읽어 최적 혼합전략과 극대화된 기대보수 도출 |
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[36강] 혼합전략 게임 응용 (4)
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혼합전략 맥시민·민맥스와 연속전략 혼합균형(심플렉스법 응용, 동전던지기·닭싸움·지대추구 게임)
• 혼합전략 맥시민·민맥스 해: 심플렉스법을 이용한 선형계획 정식화, 2×2 제로섬에서 기대보수–확률 직선 교점으로 맥시민·민맥스·혼합전략 내시균형 도출, 동전던지기·닭싸움 게임에서 맥시민 해와 내시균형의 관계 비교 • 연속전략 지대추구 게임 구조: 0~100 실수 뇌물액을 전략으로 갖는 두 기업의 경쟁, 순수전략 내시균형 부재와 최적반응함수의 모순, 연속형 확률·CDF·PDF 개념을 이용한 기대보수함수 $\pi_i=100p-x_i$ 구조 정리 • 연속전략 혼합전략 내시균형: 모든 순수전략의 기대보수를 상수로 평탄화하는 조건에서 $F(x)=x/100$, $f(x)=1/100$을 만족하는 균등분포 $U(0,100)$ 도출 및 두 기업이 [0,100] 구간에서 동일 밀도로 뇌물액을 무작위 선택하는 균형 전략 설명 |
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김재현 교수님
게임이론Ⅰ
