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구조동역학 문제풀이 통합과정
이은진 교수
한양대학교 대학원 건축공학과 석사과정
한양대학교 대학원 건축공학과 박사졸업
한양대학교 대학원 건축공학과 석사과정
한양대학교 대학원 건축공학과 박사졸업
홍익대학교
경희대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 구조물의 모델링 | ||
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[1강] 구조물의 모델링
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구조동역학 1장 연습문제: 다자유도 구조물의 운동방정식 유도
• 다자유도 건물 운동방정식: 자유물체도 기반 관성력·복원력·감쇠력 평형으로 질량행렬·강성행렬을 구성해 비감쇠 2층·3층 전단건물의 행렬식 $M\ddot{\mathbf x}+K\mathbf x=\mathbf0$ 유도 • 유효 횡강성 및 등가 강성: 보·기둥의 지점조건과 병렬 연결을 고려해 $3EI/L^3$, $12EI/L^3$ 등으로 층 강성을 산정하고, 전단건물 및 보-스프링 시스템의 층별·시스템별 등가 스프링 강성 $k$ 계산 • 보-스프링-감쇠기 1자유도 시스템: 질량 $M$, 감쇠계수 $c$, 등가 강성 $k=k_b+k_{st}$를 이용해 $M\ddot x + c\dot x + kx = f(t)$ 형태의 1자유도 운동방정식을 정식화하고 구조계의 동적 거동을 표현 |
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| 2장. 단자유도계의 자유진동 | ||
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[2강] 단자유도계의 자유진동 (1)
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단자유도계 자유진동: 강성, 감쇠, 고유진동수 계산 핵심 정리
• 단자유도계 비감쇠 자유진동 해석: 등가강성 k와 질량 m 산정(보·기둥 강성식, 직렬·병렬 스프링 조합) 후 SI 단위계로 정리하고, 고유각진동수·고유진동수·고유주기(ω = √(k/m), f = ω/2π, T = 1/f) 계산 • 구조요소 등가강성 산정: 단순보·기둥의 처짐식을 이용한 보강성(k_b = 48EI/L³ 등)과 기둥 횡강성(k_col = 3EI/L³), 직렬·병렬 스프링의 등가강성(직렬 역수합, 병렬 단순합)을 통해 단자유도계로 모델링 • 감쇠가 있는 단자유도계 동특성: 자유진동 변위 진폭비로 로그감소 δ 계산(δ = ln(x₁/x₂)) 후 감쇠비(ζ = δ/2π), 임계감쇠계수(c_cr = 2√(km) = 2ωm), 감쇠계수(c = ζc_cr), 감쇠 고유각진동수(ω_d = ω√(1−ζ²))를 순차적으로 산정하여 저감쇠 시스템 특성 평가 |
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[3강] 단자유도계의 자유진동 (2)
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단자유도계 감쇠 및 보-트러스 고유진동수 계산 핵심 정리
• 단자유도계 감쇠계수: 감쇠비–임계감세계수–감세계수 관계(ζ=c/c_cr, c_cr=2√(km), c=ζ·2√(km))를 이용해 주기별 진폭 감소 조건으로부터 감세계수 c를 산정하는 절차 • 보의 등가 휨강성 및 고유진동수: 캔틸레버 및 단순보 처짐식(집중하중·등분포하중)으로 등가 스프링 강성 k(예: k=3EI/L³, 384EI/5L³ 등)를 구하고 ω_n=√(k/m), f_n=ω_n/2π를 통해 EI·I를 정·역산하는 과정 • 트러스의 등가보 모델 및 사용성 검토: 상·하현재를 일체 보로 모델링해 평행축 정리로 단면2차모멘트 I를 구하고, 등가질량–병렬 스프링(k_B+k_S) 시스템에서 고유진동수 f_n을 산정하여 목표 f_n 기준으로 요구 강성(EI, I) 및 단면 증대량을 평가하는 절차 |
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[4강] 단자유도계의 자유진동 (3)
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단자유도계 자유진동: 등가강성, 고유진동수, 골조모델
• 단자유도계 동특성 개념: 등가강성 k와 질량 m으로 각진동수 ω=√(k/m), 고유진동수 f=ω/2π, 주기 T=2π/ω 관계와 스프링 병렬·직렬 연결에 따른 등가강성 변화 정리 • 골조 단자유도계 모델링: 기둥 지점조건·길이·EI를 이용한 횡강성(3EI/L³, 12EI/L³) 계산, 병렬 합성으로 등가강성 도출, 등가중량 W로부터 질량 m=W/g 산정, 운동방정식 mẍ+kx=0 구성 및 고유주기·고유진동수 계산 • 자유진동 해석 절차: 정적하중 P로부터 초기변위 x₀=P/k, 초기속도 v₀ 설정 후 x(t)=x₀cosωt+(v₀/ω)sinωt로 변위응답 표현, 힌지-고정 골조 및 강체보-기둥계의 1질점계 치환과 단위 일관성·라디안 사용 원칙 정리 |
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[5강] 단자유도계의 자유진동 (4)
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단자유도계 골조의 등가강성, 고유진동수·고유주기 계산 핵심 정리
• 단자유도계 골조 모델링: 상부 강체보·집중질량·기둥 휨강성을 단자유도 스프링-질량계로 이상화하여 양단고정(12EI/L³), 한단고정-한단회전(3EI/L³) 기둥 강성 및 병렬합에 의한 등가강성 k 산정 • 고유진동 특성 계산: 질량 m = W/g 환산 후 ω = √(k/m), f = ω/2π, T = 1/f를 이용해 고유각진동수·고유진동수·고유주기 도출 및 단층 전단골조, 비대칭 기둥 골조의 진동 특성 계산 • 동일 고유주기 조건 설계: k/m 비 동일(ω² = k/m) 조건을 활용해 강접합 vs 핀접합 골조, 기둥 높이 변화 골조 간에서 하중 W 및 질량 비율 산정(k ∝ 1/L³에 따른 강성·무게 스케일링 포함) |
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[6강] 단자유도계의 자유진동 (5)
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단자유도계 자유진동: 강재 지붕-기둥 시스템 두께 계산 및 감쇠계 자유진동 해석
• 강재 지붕-기둥 단자유도계 모델링: 정적 실험(경사하중 수평성분, P/δ)을 통해 등가 수평강성 K를 산정하고, 양단 고정 기둥 휨강성식 K=24EI/L³과 등가 조건으로 기둥 두께를 역산함 • 자유진동 주기 기반 질량·두께 산정: 비감쇠 자유진동 주기 T=2π√(m/K), ω=2π/T와 재료 단위중량·부피·무게 관계(γV=W=mg)를 이용해 지붕 질량 및 두께를 역산하고 실험값과 구조 파라미터를 연계함 • 감쇠 단자유도계 동특성 해석: 운동방정식 mẍ+cẋ+kx=0과 특성방정식으로 임계감쇠 c_cr=2√(mk), 감쇠비 ζ=c/c_cr, 감쇠 고유진동수 ω_d=ω√(1-ζ²)을 정의하고, 저감쇠계 변위응답 x(t)=e^{-ζωt}[x₀cos(ω_dt)+(v₀+ζωx₀)/ω_d·sin(ω_dt)]를 유도·적용해 시간응답을 계산함 |
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[7강] 단자유도계의 자유진동 (6)
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단자유도계 감쇠계의 대수감소 및 실험 기반 감쇠 특성 계산
• 대수감소 및 감쇠비 관계: 대수감소 δ 정의(피크 진폭비 로그), 일반식 δ = (1/n)ln(x₁/xₙ₊₁)와 감쇠비 ζ와의 정확식 δ = 2πζ/√(1-ζ²), 저감쇠 근사 δ ≈ 2πζ 관계 정리 • 실험 기반 동특성 추정: 정적 처짐으로 강성 k 산정(mg=kδₛ 또는 P=kδ), 대수감소로 감쇠비 ζ 계산, 감쇠주기 T_d와 ω_d·ω 관계로 유효질량 m, 임계감쇠계수 c_cr, 실제 감쇠계수 c = ζc_cr 역산 절차 정리 • 충격흡수기 설계 파라미터: 질량–정적 처짐–강성 k–고유각진동수 ω 연결, 피크 변위로 δ·ζ 계산, 감쇠각진동수 ω_d와 감쇠주기 T_d로 시간 응답 특성 및 두 극댓값 간 시간 간격 평가 구조 정리 |
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| 3장. 단자유도계의 조화진동 | ||
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[8강] 단자유도계의 조화진동 (1)
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단자유도계 조화진동 응답해석: 외팔보, 수조, 면진 설계 문제풀이 정리
• 단자유도계 조화진동 해석: 조화하중·지반조화운동에 대한 정상상태 응답을 동적확대계수 D, 전달계수 Tᵣ, 진동수비 R, 감쇠비 ζ를 이용해 변위진폭(X = D·F₀/K, X = Tᵣ·X_g)으로 계산하는 절차 정리 • 구조 강성·가진력 산정: 외팔보·기둥의 굽힘강성으로 등가 스프링강성 K(3EI/L³, 12EI/L³, 병렬 조합) 계산, 회전불평형 가진력 F₀ = m′eω̄² 및 RPM→각진동수 변환을 통해 조화가진 응답 평가 • 지반운동·면진 설계 해석: 지반조화운동에서 전달계수 Tᵣ 식 적용 및 수조 응답 증폭 분석, 면진 시스템에서 목표 전달계수(Tᵣ ≤ 1/4)를 만족하도록 K를 해석적·반복법으로 설계하고 ζ = c/c_cr, c = k/100 관계를 통해 감쇠 특성 결정 |
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[9강] 단자유도계의 조화진동 (2)
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단자유도계 조화진동 응답해석(연습문제 3.4~3.6)
• 단자유도계 이상화·계수 산정: 골조의 등분포 자중을 집중질량으로 환산하고, 기둥 지점조건(고정·힌지·고정-자유 등)에 따른 휨강성식으로 등가 스프링계수 k와 고유각진동수 ω를 산정하는 절차 • 조화하중 정상상태응답 해석: 비감쇠·감쇠 단자유도계 운동방정식과 진동수비 r·감쇠비 ζ를 이용해 동적 확대계수 D를 구하고, 정적변위 δst=F0/k와의 관계로 정상상태응답 진폭 xmax 및 공진조건(r=1)에서 응답 특성 해석 • 동적응력 및 부재 검토: 회전기계 등 조화하중 작용 시 상·하부 기둥 강성 분담을 고려해 동적변위로부터 전단력 V=kcδ와 휘묵모멘트 M=VL, 단면계수 Z를 사용해 휘묵응력 σ=M/Z를 산정하고 부재 동적 안전성 평가에 적용하는 방법 |
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[10강] 단자유도계의 조화진동 (3)
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단자유도계 조화진동: 회전모터와 보(단순보·외팔보) 응답해석
• 단자유도계 및 등가강성·고유진동수: 단순보·외팔보 위 집중질량 시스템에서 보의 휨강성(EI)과 지점조건으로 등가강성 K 산정, 질량 M과 함께 고유각진동수 ω 및 고유진동수 f 계산 • 회전 가진 및 조화외력 모델링: 회전수 N(rpm)을 가진각진동수 ω_ex = 2π(N/60)로 변환하고, 최대하중 또는 편심질량 가진력을 F0(예: F0 = m0 e ω_ex²)로 정의하여 F(t) = F0 sin(ω_ex t) 형태의 조화외력 모델 수립 • 동적응답·증폭계수·감쇠 설계: 정적변위 δ_st = F0/K와 동적증폭계수 D = 1/√[(1−r²)² + (2ζr)²]를 이용해 정상상태 최대진폭 X = D δ_st 계산, 진동수비 r와 감쇠비 ζ 변화에 따른 공진 근처 증폭 특성 분석 및 목표 진폭 달성을 위한 감쇠비·강성·질량 조절 전략 정리 |
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[11강] 단자유도계의 조화진동 (4)
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단자유도계 골조의 지진하중, 유효횡강성, 단면계수와 최대 휨응력
• 지진하중과 등가지진력: 슬래브 질량 산정과 $F = ma$를 이용한 $F = 0.3mg$ 등가지진력 계산, 단자유도계에서 지진가속도 기반 수평하중 정의 • 기둥 횡강성과 유효횡강성: 고정-핀 강재 기둥의 $k = 3EI/L^3$ 개별 횡강성 산정, 병렬 스프링 합성 $K = k_{C1} + 2k_{C2} + k_{C3}$에 의한 전체 유효횡강성 도출 및 강성비 기반 횡력 분담 • 단면계수와 최대 휨응력: ㅁ-125×125×6 각형강관의 45° 회전 마름모 단면에 대한 $Z = I/y$ 산정, 각 기둥 모멘트 $M = FL$ 계산과 $\sigma = M/Z$를 통한 최대 휨응력 및 가장 짧고 강성이 큰 C1 기둥의 위험 부재 판별 |
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| 4장. 일반 동적하중에 의한 단자유도계의 응답 | ||
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[12강] 일반 동적하중에 대한 단자유도계의 응답 (1)
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단자유도계에 총탄이 박혔을 때 비감쇠·저감쇠 자유진동 응답 요약
• 충격 모델링과 초기조건: 총탄–질량 완전 비탄성 충돌을 운동량 보존으로 해석하여 등가질량 (m+m_b)와 초기속도 u'(0)=m_b v_b/(m+m_b), 초기변위 u(0)=0을 설정함 • 비감쇠·저감쇠 자유진동 응답식: 비감쇠에서 u(t)=u'_0/ω_n·sin(ω_n t), 저감쇠에서 u(t)=e^{-ζω_n t}·(u'_0/ω_d)·sin(ω_d t)로 표현하고, 고유진동수 ω_n=√(k/(m+m_b)), 감쇠고유진동수 ω_d=ω_n√(1-ζ²)을 사용함 • 감쇠 특성 파라미터: 임계감쇠계수 c_cr=2√{k(m+m_b)}, 감쇠비 ζ=c/c_cr로 정의하고, ζ 크기에 따라 비감쇠는 일정 진폭 사인 진동, 저감쇠는 지수감소하는 사인 진동 형태의 응답 특성을 구분함 |
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[13강] 일반 동적하중에 대한 단자유도계의 응답 (2)
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단층 전단골조의 직사각형 충격하중 응답 해석 요약
• 단자유도 전단골조 모델링: 단층 전단골조를 질량-강성 1자유도계로 이상화하고, 질량·강성·고유원형진동수·고유주기 및 밑면 전단력(V = k u) 관계를 통해 기본 동특성 및 최대 전단력 산정 • 순수 충격하중 근사 및 최대응답 근사해: 하중지속시간 비 t₀/Tₙ < 0.25 판정으로 순수 충격하중 근사 가능 여부 결정 후, 충격량 I = ∫P(t)dt(직사각형: I = P₀t₀)과 u_max ≈ (I/k)ω_n 식을 이용해 최대 횡변위와 밑면 전단력의 보수적 근사값 계산 • 충격응답함수·합성적분을 이용한 정밀해: 비감쇠 충격응답함수 h(t) = (1/(mω_n))sin(ω_n t)와 합성적분 u(t)=∫₀ᵗ f(τ)h(t-τ)dτ로 강제진동 구간(0≤t≤t₀) 응답 u(t)= (P₀/k)(1−cosω_n t)을 유도하고, t=t₀에서의 u₀·ũ₀를 초기조건으로 자유진동 해를 구성해 최대변위의 정밀값을 도출하는 절차 정리 |
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[14강] 일반 동적하중에 대한 단자유도계의 응답 (3)
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철근콘크리트 방폭구조물 단자유도계의 폭발하중 응답 변위 해석
• 단자유도계 모델링과 폭발하중 정의: 철근콘크리트 방폭 구조물을 질량-강성 단자유도계로 이상화하고, 짧은 지속시간의 선형감소 삼각형 폭발하중을 시간함수 f(τ)로 정식화하여 비감쇠 운동방정식과 자연진동수·고유주기를 설정함 • 충격응답함수·합성적분 기반 동적응답 해석: 비감쇠 단자유도계의 충격응답함수 h(t-τ)을 정의하고 합성적분으로 강제진동 구간 변위·속도·가속도 응답식을 유도한 뒤, t=t₀에서의 u₀, ṳ₀를 자유진동 초기조건으로 전달하여 자유진동 구간 해를 구성하고 최대변위 및 발생 시각을 계산함 • 순수 충격근사 및 구조응답 산정: t₀/Tₙ 비를 이용해 순수 충격하중 근사 가능성을 판단하고, 충격량 I와 u_max,imp = (I/k)ωₙ으로 근사 최대변위를 구해 정확해와 비교하며, 최종적으로 최대 수평변위로부터 전단력 V_max = k u_max와 모멘트 M_max = V_max h를 산정하여 방폭구조물의 구조응답과 안전성을 평가함 |
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[15강] 일반 동적하중에 대한 단자유도계의 응답 (4)
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반주기 정현파 하중 및 기초가진 수조구조물 응답 해석 핵심 정리
• 비감쇠 단자유도계 강제·자유진동 해석: 반주기 정현파 조화하중을 가진·자유 구간으로 분리하고 운동방정식, 진동수비 γ, 정적 처짐 ust 기반 응답식 및 무차원화 변위응답 도출 • 기초가진 수조구조물 동적응답: 지진 가속도에 따른 등가 하중 f(t)=-müg(t) 설정, 삼각형 기초가속도의 충격하중함수·충격응답함수 합성적분으로 변위·속도응답 산정 • 최대변위 평가 절차: 강제구간 끝 값 u0, u̇0를 자유진동 해 u(t)=u0cosωnt+(u̇0/ωn)sinωnt에 적용하고 진폭합성으로 umax=√(u0²+(u̇0/ωn)²) 계산해 전체 구간 최대응답 결정 |
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[16강] 일반 동적하중에 대한 단자유도계의 응답 (5)
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단자유도계 Wilson-θ 방법에 의한 일반동적하중 응답 해석 개요
• 수치해석적 시간적분 기법 개념: 단자유도계 일반 동적하중 문제를 해석적 해 대신 시간 분할·수치적 적분으로 풀이하는 방법으로, 중앙차분법·Houbolt·Wilson-θ·Newmark 중 Wilson-θ·Newmark를 중심으로 응답 이력 산출 • Wilson-θ 방법 알고리즘 구조: m·c·k, Δt, θ 선택, 하중 샘플링, 초기조건, 계수 a0~a8 및 유효강성 k̂를 준비계산으로 결정한 뒤, 각 단계마다 유효하중→중간시점 변위 x_{n+θ}→가속도 x''_{n+1}→속도 x'_{n+1}→변위 x_{n+1} 순으로 반복 계산해 변위·속도·가속도 시계열을 구하는 절차형 수치적분법 • Wilson-θ 응용 및 구현: 단자유도 예제(m, c, k, Δt, θ, f_n, 초기조건)에 대해 n=0,1 단계 수치계산으로 절차를 검증하고, k̂와 a0~a8를 상수로 재사용하는 코드(반복 루프·배열 구조)로 장시간 응답 곡선(시간-변위·속도·가속도)을 산정하며, Newmark 방법과의 안정성·정확도 특성 비교 학습에 활용 |
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[17강] 일반 동적하중에 대한 단자유도계의 응답 (6)
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단자유도계 뉴마크 방법 응답해석 및 윌슨 방법 비교 요약
• 뉴마크 방법 수치적 직접 적분법: γ·β 계수와 시간증분 Δt로 a0~a7 수치계수·유효강성도 Keff·유효하중 f̂를 정의하여 단자유도계 운동방정식을 시간 단계별로 적분하는 변위·속도·가속도 응답 해석 기법 • 뉴마크 방법 계산 절차: 질량·감쇠·강성 및 초기조건·하중 이산값 설정 후 a0~a7 및 Keff 준비계산을 하고, 각 단계마다 유효하중 계산 → 변위 → 가속도 → 속도 순으로 반복하여 수치해를 구성하는 구조화된 알고리즘 • 뉴마크 방법-윌슨 방법 비교: 동일 단자유도계와 하중에 대해 뉴마크(γ=0.5, β=0.25)와 윌슨(θ≈1.4) 결과를 비교했을 때 변위·속도·가속도 응답, 최대값, 감쇠 진동 형상이 거의 일치하며, 적절한 계수·Δt 선택 시 두 직접 적분법의 예측 정확도는 동등한 수준임 |
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[18강] 일반 동적하중에 대한 단자유도계의 응답 (7)
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엘센트로 지진하중에 대한 단자유도계 윌슨-θ법 응답 계산 요약
• 지진하중과 상대응답 개념: 엘센트로 지반가속도 기록을 하중항 $f(t)=-m\ddot x_g(t)$로 변환하고, 운동방정식을 상대변위 $u$ 기준 $m\ddot u + c\dot u + ku = -m\ddot x_g(t)$ 형태로 설정하여 상대변위·상대속도·상대가속도 응답을 계산 • 윌슨-θ 수치적분 알고리즘: 시간증분 $\Delta t$와 파라미터 $\theta$(≈1.4)를 이용해 $t_{n+\theta}$ 시점의 유효하중 $\hat f_{n+\theta}$와 유효강성도 $\hat k = k + a_0 m + a_1 c$를 정의하고, 준비계수 $a_0\sim a_8$를 활용해 $x_{n+\theta}$, 이어서 $t_{n+1}$의 가속도–속도–변위를 순차 갱신 • 지진하중 샘플링 및 단계별 응답해석: 지반가속도 표를 0.02초 간격으로 샘플링하여 $f(t_i)=-m a(t_i)$를 산정하고, 초기조건 $u_0=\dot u_0=\ddot u_0=0$에서 출발해 각 단계별 유효하중·변위·가속도·속도를 반복 계산함으로써 전 시간대의 상대응답 이력과 최대 변위·속도·가속도를 수치적으로 평가 |
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[19강] 일반 동적하중에 대한 단자유도계의 응답 (8)
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강재기둥·스프링 보의 충격하중과 에너지 해석 핵심 정리
• 충격하중·에너지 원리: 하중 지속시간이 매우 짧은 충격하중에서 외부 충격에너지 = 구조물 탄성변형에너지(½Pδ = ½kδ²)로 두어 최대변위·단면력·응력과 충격계수 μ를 계산하는 해석 개념 • 캔틸레버 강재기둥 접안에너지 해석: 균일 캔틸레버의 등가강성 k = 3EI/L³와 접안에너지 W를 이용해 W = ½kδ²에서 최대변위 산정 후, 등가정적하중 P = 2W/δ와 Mmax = PL, σmax = Mmax/Z(또는 My/I)로 최대휨응력 계산하는 절차 • 스프링 단부 캔틸레버 보 충격해석: 스프링-보 부정정 구조를 겹침의 원리·적합조건(δB1 + δB2 = RB/k)·가상일법(δ = (1/EI)∫MM*dx)으로 해석해 정적 처짐 δST 구한 뒤, 충격계수 μ = 1 + √(1 + 2h/δST)로 최대변위 δmax = μδST 산정하는 구조해석 방법 |
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[20강] 일반 동적하중에 대한 단자유도계의 응답 (9)
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단자유도계 충격하중 응답과 스프링 지지 보, 번지점프 예제 정리
• 단자유도계 충격응답 개념: 보와 번지점프 시스템을 단자유도계로 이상화하고 충격하중 작용 시 에너지 평형식 W(h+δ)=½kδ²와 충격계수 μ를 이용해 최대변위·내력·응력을 계산함 • 등가강성 및 지점조건 모델링: 단순지지보, 양단 스프링 지지보, 힌지-스프링 지지보에서 보 강성 k_b와 지점 스프링 강성 k_s의 직렬·병렬 결합으로 등가강성 k_eq를 도출하고 이를 통해 등가 정적하중, 최대모멘트 M, 최대굽힘응력 σ_max를 산정함 • 번지점프 스프링 모델: 번지 끈을 선형 스프링(k)으로 모델링하여 자유낙하 높이 h와 정적변위 δ_st=W/k로부터 충격계수 μ=1+√(1+2h/δ_st)를 구하고 최대변위 δ_max=μδ_st 및 발목에 작용하는 최대 스프링력 P=kδ_max를 평가함 |
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| 5장. 응답 스펙트럼 | ||
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[21강] 응답 스펙트럼 (1)
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응답 스펙트럼 수치해석(뉴마크 방법)과 감쇠비 비교 개념 정리
• 응답 스펙트럼 개념: 지반가속도 입력에 대한 단자유도계의 주기·감쇠비별 최대 변위·속도·가속도 응답을 곡선으로 정리하고, 감쇠비 변화에 따른 응답 크기 변화를 비교하는 지진응답 특성 분석 도구 • 뉴마크 방법 수치해석 절차: 단자유도계 운동방정식을 기준으로 Δt, β, γ로부터 A0~A7 계수와 유효강성도를 산정하고, 이산 시각마다 유효하중 계산 → 변위 → 가속도 → 속도 순으로 반복 갱신하여 시간 이력과 최대 응답을 산정하는 수치적분 알고리즘 • 주기·감쇠비에 따른 응답 특성: 주기 증가 시 변위 응답은 크게 증가, 속도 응답은 완만한 변화, 가속도 응답은 단주기에서 크고 장주기에서 평탄화되며, 감쇠비 증가(예: 0.05→0.08)에 따라 변위·속도·가속도 최대 응답이 전 주기 영역에서 일관되게 감소하고 설계 스펙트럼 설정 시 지진하중 크기 결정의 기준이 됨 |
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[22강] 응답 스펙트럼 (2)
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단자유도계 응답스펙트럼 활용 및 전단력·강성 산정 핵심 정리
• 응답 스펙트럼·Sa–Sv–Sd 관계: 고유주기·고유각진동수 산정 후 가속도–속도–변위 스펙트럼 상호관계(Sa = ωSv = ω²Sd)를 이용해 최대 절대가속도, 상대속도, 상대변위 산정 • 응답 스펙트럼 기반 전단력 계산: 고유주기에 해당하는 스펙트럼 가속도 Sa(T)을 이용해 V = M·Sa로 전단력 산정, 선형 스펙트럼 구간의 1차 함수 유도 및 질량·강성 변화에 따른 주기·응답·전단력 비교 • 유사 가속도 스펙트럼과 최소 횡강성: F = M a = KΔ와 유사 가속도 스펙트럼 Sa(중간·장주기 구간)을 결합해 허용 최대 횡변위 조건을 만족하는 최소 횡강성 산정 및 스펙트럼 구간 자기일관성 검증 |
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[23강] 응답 스펙트럼 (3)
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구조동역학 응답 스펙트럼 문제 5.5·5.6 핵심 정리
• 단자유도 시스템 이상화: 라멘 전단건물을 보 강성 무한·기둥 병렬 시스템으로 등가화하고, 각 기둥 강성 $K_{\text{col}}=12EI/L^3$ 및 병렬 합성으로 전체 강성 $K$와 집중·분포하중으로부터 질량 $M$ 산정 • 주기·스펙트럼 가속도 산정: $T=2\pi\sqrt{M/K}$로 고유주기 계산 후, 설계 응답 스펙트럼에서 주기 구간별 관계식과 감쇠비·PGA 차이에 따른 수직축 스케일 조정으로 유사 가속도 $A$ 획득 • 밑면전단력·변위·응력 계산: $V=MA$로 전체 밑면전단력, $\delta=V/K$로 최상층 횡변위, 전단력 분배와 $M=Vh$, $\sigma=My/I$(또는 $M/Z$)를 이용해 각 기둥 최대 휨모멘트와 휨응력 산정 |
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[24강] 응답 스펙트럼 (4)
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대한민국 건축구조기준 설계응답가속도스펙트럼 작성과 변위 산정
• KBC 설계응답가속도 스펙트럼 개념: 지역계수 S·지반증폭계수 F_a, F_v·위험도계수 기반으로 S_DS, S_D1, T_0, T_S를 산정하고 주기 구간별(선형–수평–1/T) 가속도 응답 스펙트럼을 정의함 • 재현주기별 스펙트럼 작성 절차: 1g 기준 S_DS, S_D1 계산 후 유효지반가속도와 위험도계수 비율로 2400년·50년 재현주기 스펙트럼을 스케일링하여 S_DS, S_D1, S_DS/2.5, T_0, T_S 및 장주기 구간 가속도식 S_a(T)=S_D1/T를 도출함 • 특정 주기 응답 산정: 주기 T(예: 0.8초)에서 장주기 구간 가속도 S_a=S_D1/T를 구한 뒤 ω=2π/T, S_D=S_A/ω² 관계를 이용해 2400년·50년 지진에 대한 가속도 및 변위 응답(mm 단위)을 계산함 |
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[25강] 응답 스펙트럼 (5)
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구조동역학 응답 스펙트럼 기반 철골 3층 건물 지진력 산정 절차 요약
• 지진하중 기본 개념 및 설계 파라미터: 지역계수 S, 지반분류(SA~SE)와 지반증폭계수(FA, FV), 중요도계수 IE, 지진력저항시스템과 반응수정계수 R를 이용해 설계 스펙트럼 가속도(SDS, SD1)와 내진설계범주를 결정하는 절차 정리 • 지진응답계수 및 밑면전단력 산정: 고정하중·자중을 포함한 유효중량 W 산정, 근사식 고유주기 Ta=CT·HN³/⁴ 계산, SDS·SD1·IE·R·T로 지진응답계수 CS를 구하고 V=CS·W로 전체 지진력(밑면전단력) 산정 및 등가정적해석법 적용 조건 제시 • 층별 지진력 연직분포: 연직분포계수 Cvx = (wx·hxᵏ / Σwi·hiᵏ)와 지수 k 결정식(주기구간에 따른 1~2 보간)을 사용해 층별 유효중량·층높이 기반 층별 지진력 Fx = Cvx·V 분배 절차와 구조설계에의 활용 구조 제시 |
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[26강] 응답 스펙트럼 (6)
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구조동역학 응답 스펙트럼 응용: 비율 비교와 밑면전단력·휨응력 계산
• 응답스펙트럼 기반 단자유도계 응답: 고유주기–각진동수 관계(T=2π/ω)와 a=ωv=ω²d를 이용해 스펙트럼가속도(SA)로부터 속도(SV)·변위(SD) 응답을 비율 비교로 환산하는 절차 정리 • 설계응답가속도스펙트럼과 밑면전단력: 질량·강성 변화에 따른 고유주기 변화(T∝√(m/k))와 SA 가정(상수, 1/T 비례 등)에 따라 V=mSA 또는 V=kΔ로 밑면전단력 배율을 비교·평가하는 방법 정리 • 다기둥 골조 지진응답 해석: 응답스펙트럼 가속도에서 전체 지진력(V=m·a) 산정 후 기둥 강성비에 따른 전단력 분배(Vi=V·ki/K), 모멘트(Mi=ViHi), 휨응력(σi=Mi yi/Ii) 계산으로 부재 강성·응력 평가하는 해석 절차 정리 |
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[27강] 응답 스펙트럼 (7)
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구조동역학 응답 스펙트럼 예제: 강재기둥 지지 슬래브의 고유진동수와 휨모멘트
• 단자유도계 이상화: 슬래브 질량 집중·기둥 횡강성 스프링 모델링을 통해 전체 질량 M과 병렬 기둥 강성 합 K 산정, 고유각진동수·고유진동수·주기 계산 • 지진응답 하중 분배: 지진가속도와 F=Ma로 밑면 전단력 산정 후, 병렬 스프링 강성비에 따른 기둥별 전단력 및 휨모멘트(Vi=F·Ki/K, Mi=Vi·hi) 계산 • 접합조건에 따른 모멘트 분배: 상단 핀-하단 고정·양단 고정 조건에 따른 단부 모멘트(집중 vs 반분) 특성과 기초-기둥 접합(핀 vs 고정)이 기둥·기초 설계와 내력 분배에 미치는 영향 정리 |
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[28강] 응답 스펙트럼 (8)
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철근콘크리트 중간 모멘트 골조의 밑면전단력 산정 절차 요약 (KBC2016 기준)
• 지진 설계 기본 계수·지반 조건: 지역계수 S, 중요도계수 I_e, 반응수정계수 R, 지반종류(SD) 및 지반증폭계수 F_a·F_v를 표와 직선보간으로 산정하고, 이를 통해 S_DS·S_D1·T_0·T_s로 설계 응답스펙트럼을 구성함 • 내진설계범주·고유주기·지진응답계수: S_DS·S_D1을 기준표에 대입해 내진설계범주(C/D 중 불리한 D)와 해석방법(등가정적해석 가능 여부)을 결정하고, 근사식 T_a = C_t h_n^{3/4}로 고유주기를 산정한 뒤 두 식의 C_s(주기 의존식·상수구간식) 중 작은 값과 최소값 조건을 적용함 • 밑면전단력 및 층 전단력 분배: 전체 유효중량 W를 층면적·등분포 고정하중으로 산정하고 V = C_s W로 밑면전단력을 구한 후, F_x = (w_x h_x^k / Σ w_i h_i^k) V와 주기 기반 지수 k(1~2, 구간별 직선보간)를 사용해 층별 전단력을 분배함 |
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| 6장. 다자유도계 | ||
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[29강] 다자유도계 (1)
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다자유도 전단건물의 고유진동수와 모드형상 해석 핵심 정리
• 다자유도 전단건물 모델링: 집중질량·층강성 기반 질량행렬 M(대각)과 강성행렬 K(층간 연계 띠형 행렬)로 비감쇠 다자유도계 운동방정식 Mx¨+Kx=0 구성 • 고유치·고유진동수 해석: Mx¨+Kx=0을 D=K⁻¹M으로 정의한 표준 고유치문제 (λI−D)x=0로 변환 후 det(λI−D)=0에서 λ 계산, λ=1/ω² 관계로 각 모드 고유각진동수 ω 산정 • 모드벡터 및 모드형상: 각 고유치 λ에 대한 (λI−D)φ=0 해 φ를 모드벡터로 사용해 상대 변위비(정규화) 결정, 1차·2차 모드의 동상·역상 변형 형상 도식화 및 엔지니어링 해석에 적용 |
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[30강] 다자유도계 (2)
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다자유도계 자유진동응답 – 비감쇠·비례감쇠 시스템 정리
• 모드해석 기반 자유진동해: 다자유도계 운동방정식을 모드행렬과 모드좌표(모드벡터·고유진동수)로 분리하여 비감쇠·비례감쇠 시스템의 자유진동응답을 단자유도계 해의 합으로 표현 • 모드좌표 변환과 초기조건 처리: 실제좌표–모드좌표 변환식 $X=\Phi Z,\ Z=\Phi^{-1}X$ 및 $\dot Z(0)=\Phi^{-1}\dot X(0)$를 이용해 초기변위·초기속도를 모드별 초기조건으로 변환 후, 모드별 적분상수와 위상각 결정 • 단자유도 자유진동 응답식 활용: 비감쇠계 $x''+\omega^2 x=0$의 사인·코사인 해와 감쇠계 $x''+2\zeta\omega x'+\omega^2 x=0$의 지수감쇠·코사인 해를 모드별로 적용하고, 비례감쇠계에서 $c_i=2\zeta_i\omega_i$, $\omega_{di}=\omega_i\sqrt{1-\zeta_i^2}$를 이용해 감쇠모드 응답을 계산하여 실제좌표 응답으로 합성 |
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[31강] 다자유도계 (3)
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비감쇠 2자유도계 강제진동 응답 해석(연습문제 6.4, 구조동역학)
• 비감쇠 2자유도계 모드해석: 질량·강성행렬의 고유치·모드벡터 계산, 모드행렬로 일반질량·일반강성 대각화 및 고유진동수·모드좌표 설정 • 모드좌표 강제진동 해석: 실제자표 외력의 모드좌표 하중 변환(q(t)=μ⁻¹Φᵀf(t)), 각 모드별 비감쇠 단자유도 강제진동 방정식과 정상상태 해 공식(x=F₀/k·1/(1-γ²)·sinωt) 적용 및 주파수 성분별 응답 선형중첩 • 실제자표 응답 복원: 모드좌표 응답 zᵢ(t) 계산 후 x(t)=Φz(t)로 각 층 변위 x₁(t), x₂(t) 산정, 서로 다른 하중진동수 성분의 합성 및 공진(γ≈1) 시 응답 증폭 특성 이해 |
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[32강] 다자유도계 (4)
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단위 변환 포함 이자유도 전단건물 강성 및 고유주기 해석
• 영미 단위계 및 구조동역학 상수: ft·in 길이, PSI·PSF 하중 단위와 g=386 in/sec² 중력가속도 사용하여 무게→질량 변환 및 부재 길이 단위 일원화 • 이자유도 전단건물 모델링: 2층 전단건물에서 층별 무게·질량 산정(바닥·벽체 면적하중 분배), 기둥 EI와 길이를 이용한 층강성 계산 및 질량행렬·강성행렬 구성 • 고유치 해석 및 고유주기: Mẍ+Kx=0 운동방정식 설정 후 |K-ω²M|=0 일반 고유치 문제로 두 고유각진동수와 고유주기 Tn=2π/ωn 산정 절차 정리 |
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[33강] 다자유도계 (5)
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다자유도계 질량-스프링 시스템과 2층 전단골조의 고유진동수 산정
• 질량-스프링 2자유도계 고유진동수 해석: 자유물체도 기반 운동방정식 유도, 질량·강성행렬 구성, 일반 고유치문제 |K − ω²M| = 0 설정 및 근의 공식으로 1차·2차 각진동수 산정 • 2층 전단골조(전단건물) 강성·질량 모델링: 기둥 휨강성과 경계조건으로 층강성 산정, 층당 1자유도 가정, 자유도 번호(위→아래 등) 변화에 따른 강성행렬 구조 및 행렬식 설정 • 다자유도계 고유치해석 공통 원리: 질량항은 절대가속도, 강성항은 상대/절대변위에 비례하도록 구분해 평형식 작성, 고유치해로부터 모드별 ω, f(=ω/2π) 해석 및 1차·2차 모드 구분 |
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[34강] 다자유도계 (6)
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2자유도 전단골조의 고유진동수와 모드형상 산정 요약
• 2자유도 전단골조 행렬 모델: 층질량 기반 대각 질량행렬과 층강성 기반 삼대각 강성행렬로 구성, $(K-\omega^2M)\Psi=0$의 고유치 문제로 고유진동수와 모드벡터 계산 • 고유진동수·모드형상 산정: $|K-\omega^2M|=0$에서 두 고유치(각진동수 제곱)를 구하고, 각 고유치 대입으로 고유벡터 비를 결정해 1차·2차 모드형상과 부호(동위상·반위상) 해석 • 다층 전단골조 일반화: 질량행렬은 항상 대각, 강성행렬은 대각에 층강성 합·상·하 대각에 −층강성이 배치되는 삼대각 패턴으로 확장해 다층 구조물 자유진동 해석에 적용 |
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[35강] 다자유도계 (7)
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전단 2층 건물의 다자유도계 동특성 해석 요약
• 전단건물 이상화와 시스템 정의: 2층 전단 건물의 휨강성 기반 층강성(k1, k2) 산정, 질량행렬·강성행렬 구성, 운동방정식 [M]{ü}+[K]{u}={F} 설정 • 고유치 해석과 모드형상: 일반 고유치문제 det(K−ω²M)=0으로 고유진동수 ω1, ω2 계산, 각 ωi에 대한 모드형상벡터 φi 도출 및 모드행렬 Φ 구성 • 모드좌표계 해석과 정적 응답: 모드좌표 {u}=Φ{q} 변환으로 질량·강성 대각화, 모드방정식 각 모드별 분리, 정적 하중 F0 작용 시 가속도항 소거 후 모드계수 비율 Q2/Q1≈0.0408 산정 |
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[36강] 다자유도계 (8)
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다자유도계 2·3자유도 구조물의 고유진동 및 Rayleigh 감쇠 정리
• 다자유도 전단골조 동역학: 자유물체도 기반 층별 평형식에서 질량·강성행렬(M, K) 구성 후 고유치 문제 (K−ω²M)φ=0으로 고유각진동수·모드벡터·모드형상 정규화 • 3층 전단골조 모델링: 층무게·층강성비로 대각 질량행렬과 전단골조 강성행렬을 설정하고 주어진 고유각진동수로 모드 특성 및 구조 응답 해석 • Rayleigh(비례) 감쇠: C=αM+βK와 2ζ_iω_i=α+βω_i² 관계로 두 모드 감쇠율에서 α,β 산정 후 다른 모드 감쇠율과 감쇠행렬 C 계산 및 단위 일관성 정리 |
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[37강] 다자유도계 (9)
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다자유도 보·라멘 구조물의 고유진동수와 모드형상 요약
• 다자유도 구조계 행렬 모델링: 집중질량 보·라멘 구조물의 자유도 정의, 유연도 행렬·강성행렬·질량행렬 구성 및 변위–하중 관계 설정 • 고유진동수·모드형상 해석: $[K]=[F]^{-1}$, $[M]$ 기반 고유치 문제 $([K]-\omega^2[M])\phi=0$ 혹은 $[D]\phi=\lambda\phi$ 설정, 고유값→고유진동수·고유벡터(모드형상) 도출 및 1차·2차 모드 특성 정리 • 라멘 구조 동적 특성: 수평·수직 변위 연계 처짐으로부터 라멘의 유연도·강성·질량 행렬 산정, 등가질량 개념 적용, 자유진동 운동방정식 $[M]\ddot{u}+[K]u=0$ 수립 및 모드 해석 구조 이해 |
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| 7장. 다자유도계의 지진응답 | ||
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[38강] 다자유도계의 지진응답 (1)
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다자유도 3층 전단건물의 지진 시간이력해석과 모드중첩법 요약
• 전단건물 동적모델링: 3층 전단건물의 질량·강성·감쇠 행렬 구성, 고유치·정규모드벡터 산정, 정규화 조건(ΨᵀMΨ=I)에 따른 모드 형상 정의 • 모드중첩 응답해석: 모드 참여계수·진량참여율(L=ΨᵀM1, 참여진량·누적참여율 90% 기준) 계산으로 유효 모드 선정 후, 각 모드별 비연계 1자유도 지진응답방정식(zᵢ''+2ζᵢωᵢzᵢ'+ωᵢ²zᵢ=-γᵢx_g'')을 Newmark법 등 수치적분으로 시간이력해석 • 응답 복원 및 설계지표 산정: 모드좌표 응답으로부터 u(t)=Ψz(t)로 층 변위 복원, K u(t)로 층지진력 및 합력으로 밑면전단력 계산, 전 시간구간 절대 최대값을 변위·층전단력·밑면전단력 설계응답으로 정리 및 해석 의미 평가 |
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[39강] 다자유도계의 지진응답 (2)
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다자유도 3층 전단구조물 지진응답 해석 요약
• 응답스펙트럼 기반 지진응답해석: 3층 전단구조물의 질량·강성행렬을 이용해 고유치·모드벡터·주기 산정 후, 주기별 응답스펙트럼으로 Sa, Sd를 구해 모드별 최대 상대변위 도출 • 모달 파라미터 및 모드응답: 일반질량행렬(모드질량)과 모드참여계수를 계산하고, φi(Li/Mu,ii)Sd,i 관계로 모드별 최대 층변위 계산 후 K u로 층전단력(부재력) 산정 • 모드합성법에 의한 최대응답: 절대합성법과 SRSS법으로 모드별 변위·층전단력을 합성해 최대 층변위, 최대 부재력, 최대 밑면전단 및 밑면전단력 비교·평가 |
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[40강] 다자유도계의 지진응답 (3)
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5층 전단건물의 모드중첩법을 이용한 시간이력해석 절차 요약
• 5층 전단건물 동적계 모델링: 질량 행렬(M)·강성 행렬(K) 구성, 고유치·고유진동수·모드벡터 계산 및 정규모드벡터·모드참여계수·질량참여율 산정으로 지배 모드(1·2차) 선정 • 모드별 비연계 운동방정식과 시간이력해석: 각 모드에 대해 감쇠·고유진동수·모드참여계수를 반영한 단자유도 지진응답 방정식 설정 후, El Centro 지진가속도 입력에 대한 모달응답 z_i(t) 수치 적분 • 실제 응답 및 설계지표 산정: 정규모드벡터 행렬로부터 u(t)=Ψz(t)로 층변위 계산, F_s(t)=Ku(t)로 층 전단력 및 V_b(t)=∑F_si(t)로 밑면 전단력의 시간이력·최대응답 평가 |
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[41강] 다자유도계의 지진응답 (4)
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다자유도계 지진응답: 응답스펙트럼·모드참여·유효질량
• 응답스펙트럼 기반 최대응답 산정: 고유치·고유주기 산정 → 주기별 가속도 응답스펙트럼에서 $S_A(T_i)$ 추출 → $S_D=S_A/\omega^2$ 로 모드별 변위스펙트럼·최대층변위·부재력(층전단력) 계산 • 모드참여계수·유효질량·질량참여율: 질량·강성행렬과 모드벡터로 모드참여계수 $l_i=\frac{\Phi_i^TM\mathbf{1}}{\Phi_i^TM\Phi_i}$, 유효질량 $\bar m_i=\frac{(\Phi_i^TM\mathbf{1})^2}{\Phi_i^TM\Phi_i}$, 질량참여율 $\bar m_i/m_{\text{tot}}$ 산정하여 동적거동에 지배적인 모드 식별 • 모드중첩·SRSS 합성 및 시간영역 응답: 모드별 최대 변위·전단력을 SRSS로 합성해 전체 최대 층변위·층전단력·밑면전단력 계산하고, 지반가속도 작용 시 모드좌표 응답 $u_i(t)$ 를 이용한 $\mathbf{u}(t)=\sum\Phi_i\frac{l_i}{\omega_{d,i}}u_i(t)$ 및 $\mathbf{F}_s(t)=K\mathbf{u}(t)$ 로 시간영역 층변위·층지진력·밑면전단력 산정 |
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[42강] 다자유도계의 지진응답 (5)
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3층 전단건물의 지진응답, 모드해석·SRSS 최대층변위 계산
• 전단건물 동적모델링: 3층 전단건물의 질량행렬·강성행렬 구성, 고유치해석을 통한 고유진동수·주기·모드형상 산정 • 응답스펙트럼 기반 모드응답: 설계 응답스펙트럼과 최대 지반가속도·감쇠비를 이용한 각 모드의 PSA·PSV 계산 및 모드 참여계수·감쇠진동수를 통한 모드별 최대 층변위 산정 • SRSS 응답합성: 모드별 층변위를 제곱합의 제곱근(SRSS)으로 합성하여 층별 최대 변위를 구하는 다자유도 전단건물 지진응답 평가 절차 정리 |
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| 8장. 보, 골조, 트러스의 모드해석 | ||
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[43강] 보, 골조, 트러스의 모드해석 (1)
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골조 구조계의 분포질량 모드해석 절차 정리
• 구조요소 자유도와 모델링: 보·골조·트러스 요소의 자유도 구성과 축변형 고려 여부에 따른 요소모델 구분, 축변형 무시 골조의 보요소화 및 표준 4×4 요소강성행렬·분포질량행렬 패턴 정리 • 요소 행렬 계산과 시스템 조립: 단위길이당 질량과 EI·L 조건을 이용한 각 요소의 K, M 수치계산, 경사진·수직 부재에 대한 좌표변환 적용 후 전체 8×8 강성행렬·질량행렬로 조립하는 절차 정리 • 모드해석(고유치·고유벡터): K, M으로 일반화 고유치 문제를 구성해 고유각진동수와 모드벡터를 산정하고, 모드 정규화·동일 모드 판정 기준 및 다자유도 응답해석에서의 모드 합성법 활용 개념 정리 |
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[44강] 보, 골조, 트러스의 모드해석 (2)
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트러스 교량의 모드해석 절차와 요소 행렬 구성 핵심 정리
• 트러스 자유도 및 지점조건: 트러스 절점 X·Y 변위 2자유도 체계와 라멘과의 자유도 차이, 회전단·이동단 지점조건 반영을 통한 전체 자유도 축소 규칙 정리 • 요소 행렬·좌표변환·조립: 트러스 요소 축강성·분포질량 국부행렬 형식, 부재 각도 θ 기반 좌표변환행렬(T) 구성, 변환된 요소행렬의 자유도 매핑 및 절점별 성분 합산을 통한 전체 K·M 행렬 조립 절차 정리 • 고유치해석 및 모드벡터: [K−ω²M]{φ}=0 형태 고유치 문제 정식화, λ·ω 관계 및 고유각진동수 계산, 모드벡터 산정·정규화 방식과 모드형상을 통한 트러스 교량 진동 특성 해석 방법 정리 |
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| 부록 | ||
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[45강] 정오표
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이은진 교수님
구조동역학 문제풀이 통합과정
