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구조동역학 문제풀이Ⅱ
이은진 교수
한양대학교 대학원 건축공학과 석사과정
한양대학교 대학원 건축공학과 박사졸업
한양대학교 대학원 건축공학과 석사과정
한양대학교 대학원 건축공학과 박사졸업
홍익대학교
경희대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 3개 챕터, 16강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 6장. 다자유도계 | ||
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[1강] 다자유도계 (1)
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다자유도 전단건물의 고유진동수와 모드형상 해석 핵심 정리
• 다자유도 전단건물 모델링: 집중질량·층강성 기반 질량행렬 M(대각)과 강성행렬 K(층간 연계 띠형 행렬)로 비감쇠 다자유도계 운동방정식 Mx¨+Kx=0 구성 • 고유치·고유진동수 해석: Mx¨+Kx=0을 D=K⁻¹M으로 정의한 표준 고유치문제 (λI−D)x=0로 변환 후 det(λI−D)=0에서 λ 계산, λ=1/ω² 관계로 각 모드 고유각진동수 ω 산정 • 모드벡터 및 모드형상: 각 고유치 λ에 대한 (λI−D)φ=0 해 φ를 모드벡터로 사용해 상대 변위비(정규화) 결정, 1차·2차 모드의 동상·역상 변형 형상 도식화 및 엔지니어링 해석에 적용 |
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[2강] 다자유도계 (2)
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다자유도계 자유진동응답 – 비감쇠·비례감쇠 시스템 정리
• 모드해석 기반 자유진동해: 다자유도계 운동방정식을 모드행렬과 모드좌표(모드벡터·고유진동수)로 분리하여 비감쇠·비례감쇠 시스템의 자유진동응답을 단자유도계 해의 합으로 표현 • 모드좌표 변환과 초기조건 처리: 실제좌표–모드좌표 변환식 $X=\Phi Z,\ Z=\Phi^{-1}X$ 및 $\dot Z(0)=\Phi^{-1}\dot X(0)$를 이용해 초기변위·초기속도를 모드별 초기조건으로 변환 후, 모드별 적분상수와 위상각 결정 • 단자유도 자유진동 응답식 활용: 비감쇠계 $x''+\omega^2 x=0$의 사인·코사인 해와 감쇠계 $x''+2\zeta\omega x'+\omega^2 x=0$의 지수감쇠·코사인 해를 모드별로 적용하고, 비례감쇠계에서 $c_i=2\zeta_i\omega_i$, $\omega_{di}=\omega_i\sqrt{1-\zeta_i^2}$를 이용해 감쇠모드 응답을 계산하여 실제좌표 응답으로 합성 |
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[3강] 다자유도계 (3)
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비감쇠 2자유도계 강제진동 응답 해석(연습문제 6.4, 구조동역학)
• 비감쇠 2자유도계 모드해석: 질량·강성행렬의 고유치·모드벡터 계산, 모드행렬로 일반질량·일반강성 대각화 및 고유진동수·모드좌표 설정 • 모드좌표 강제진동 해석: 실제자표 외력의 모드좌표 하중 변환(q(t)=μ⁻¹Φᵀf(t)), 각 모드별 비감쇠 단자유도 강제진동 방정식과 정상상태 해 공식(x=F₀/k·1/(1-γ²)·sinωt) 적용 및 주파수 성분별 응답 선형중첩 • 실제자표 응답 복원: 모드좌표 응답 zᵢ(t) 계산 후 x(t)=Φz(t)로 각 층 변위 x₁(t), x₂(t) 산정, 서로 다른 하중진동수 성분의 합성 및 공진(γ≈1) 시 응답 증폭 특성 이해 |
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[4강] 다자유도계 (4)
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단위 변환 포함 이자유도 전단건물 강성 및 고유주기 해석
• 영미 단위계 및 구조동역학 상수: ft·in 길이, PSI·PSF 하중 단위와 g=386 in/sec² 중력가속도 사용하여 무게→질량 변환 및 부재 길이 단위 일원화 • 이자유도 전단건물 모델링: 2층 전단건물에서 층별 무게·질량 산정(바닥·벽체 면적하중 분배), 기둥 EI와 길이를 이용한 층강성 계산 및 질량행렬·강성행렬 구성 • 고유치 해석 및 고유주기: Mẍ+Kx=0 운동방정식 설정 후 |K-ω²M|=0 일반 고유치 문제로 두 고유각진동수와 고유주기 Tn=2π/ωn 산정 절차 정리 |
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[5강] 다자유도계 (5)
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다자유도계 질량-스프링 시스템과 2층 전단골조의 고유진동수 산정
• 질량-스프링 2자유도계 고유진동수 해석: 자유물체도 기반 운동방정식 유도, 질량·강성행렬 구성, 일반 고유치문제 |K − ω²M| = 0 설정 및 근의 공식으로 1차·2차 각진동수 산정 • 2층 전단골조(전단건물) 강성·질량 모델링: 기둥 휨강성과 경계조건으로 층강성 산정, 층당 1자유도 가정, 자유도 번호(위→아래 등) 변화에 따른 강성행렬 구조 및 행렬식 설정 • 다자유도계 고유치해석 공통 원리: 질량항은 절대가속도, 강성항은 상대/절대변위에 비례하도록 구분해 평형식 작성, 고유치해로부터 모드별 ω, f(=ω/2π) 해석 및 1차·2차 모드 구분 |
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[6강] 다자유도계 (6)
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2자유도 전단골조의 고유진동수와 모드형상 산정 요약
• 2자유도 전단골조 행렬 모델: 층질량 기반 대각 질량행렬과 층강성 기반 삼대각 강성행렬로 구성, $(K-\omega^2M)\Psi=0$의 고유치 문제로 고유진동수와 모드벡터 계산 • 고유진동수·모드형상 산정: $|K-\omega^2M|=0$에서 두 고유치(각진동수 제곱)를 구하고, 각 고유치 대입으로 고유벡터 비를 결정해 1차·2차 모드형상과 부호(동위상·반위상) 해석 • 다층 전단골조 일반화: 질량행렬은 항상 대각, 강성행렬은 대각에 층강성 합·상·하 대각에 −층강성이 배치되는 삼대각 패턴으로 확장해 다층 구조물 자유진동 해석에 적용 |
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[7강] 다자유도계 (7)
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전단 2층 건물의 다자유도계 동특성 해석 요약
• 전단건물 이상화와 시스템 정의: 2층 전단 건물의 휨강성 기반 층강성(k1, k2) 산정, 질량행렬·강성행렬 구성, 운동방정식 [M]{ü}+[K]{u}={F} 설정 • 고유치 해석과 모드형상: 일반 고유치문제 det(K−ω²M)=0으로 고유진동수 ω1, ω2 계산, 각 ωi에 대한 모드형상벡터 φi 도출 및 모드행렬 Φ 구성 • 모드좌표계 해석과 정적 응답: 모드좌표 {u}=Φ{q} 변환으로 질량·강성 대각화, 모드방정식 각 모드별 분리, 정적 하중 F0 작용 시 가속도항 소거 후 모드계수 비율 Q2/Q1≈0.0408 산정 |
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[8강] 다자유도계 (8)
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다자유도계 2·3자유도 구조물의 고유진동 및 Rayleigh 감쇠 정리
• 다자유도 전단골조 동역학: 자유물체도 기반 층별 평형식에서 질량·강성행렬(M, K) 구성 후 고유치 문제 (K−ω²M)φ=0으로 고유각진동수·모드벡터·모드형상 정규화 • 3층 전단골조 모델링: 층무게·층강성비로 대각 질량행렬과 전단골조 강성행렬을 설정하고 주어진 고유각진동수로 모드 특성 및 구조 응답 해석 • Rayleigh(비례) 감쇠: C=αM+βK와 2ζ_iω_i=α+βω_i² 관계로 두 모드 감쇠율에서 α,β 산정 후 다른 모드 감쇠율과 감쇠행렬 C 계산 및 단위 일관성 정리 |
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[9강] 다자유도계 (9)
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다자유도 보·라멘 구조물의 고유진동수와 모드형상 요약
• 다자유도 구조계 행렬 모델링: 집중질량 보·라멘 구조물의 자유도 정의, 유연도 행렬·강성행렬·질량행렬 구성 및 변위–하중 관계 설정 • 고유진동수·모드형상 해석: $[K]=[F]^{-1}$, $[M]$ 기반 고유치 문제 $([K]-\omega^2[M])\phi=0$ 혹은 $[D]\phi=\lambda\phi$ 설정, 고유값→고유진동수·고유벡터(모드형상) 도출 및 1차·2차 모드 특성 정리 • 라멘 구조 동적 특성: 수평·수직 변위 연계 처짐으로부터 라멘의 유연도·강성·질량 행렬 산정, 등가질량 개념 적용, 자유진동 운동방정식 $[M]\ddot{u}+[K]u=0$ 수립 및 모드 해석 구조 이해 |
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| 7장. 다자유도계의 지진응답 | ||
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[10강] 다자유도계의 지진응답 (1)
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다자유도 3층 전단건물의 지진 시간이력해석과 모드중첩법 요약
• 전단건물 동적모델링: 3층 전단건물의 질량·강성·감쇠 행렬 구성, 고유치·정규모드벡터 산정, 정규화 조건(ΨᵀMΨ=I)에 따른 모드 형상 정의 • 모드중첩 응답해석: 모드 참여계수·진량참여율(L=ΨᵀM1, 참여진량·누적참여율 90% 기준) 계산으로 유효 모드 선정 후, 각 모드별 비연계 1자유도 지진응답방정식(zᵢ''+2ζᵢωᵢzᵢ'+ωᵢ²zᵢ=-γᵢx_g'')을 Newmark법 등 수치적분으로 시간이력해석 • 응답 복원 및 설계지표 산정: 모드좌표 응답으로부터 u(t)=Ψz(t)로 층 변위 복원, K u(t)로 층지진력 및 합력으로 밑면전단력 계산, 전 시간구간 절대 최대값을 변위·층전단력·밑면전단력 설계응답으로 정리 및 해석 의미 평가 |
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[11강] 다자유도계의 지진응답 (2)
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다자유도 3층 전단구조물 지진응답 해석 요약
• 응답스펙트럼 기반 지진응답해석: 3층 전단구조물의 질량·강성행렬을 이용해 고유치·모드벡터·주기 산정 후, 주기별 응답스펙트럼으로 Sa, Sd를 구해 모드별 최대 상대변위 도출 • 모달 파라미터 및 모드응답: 일반질량행렬(모드질량)과 모드참여계수를 계산하고, φi(Li/Mu,ii)Sd,i 관계로 모드별 최대 층변위 계산 후 K u로 층전단력(부재력) 산정 • 모드합성법에 의한 최대응답: 절대합성법과 SRSS법으로 모드별 변위·층전단력을 합성해 최대 층변위, 최대 부재력, 최대 밑면전단 및 밑면전단력 비교·평가 |
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[12강] 다자유도계의 지진응답 (3)
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5층 전단건물의 모드중첩법을 이용한 시간이력해석 절차 요약
• 5층 전단건물 동적계 모델링: 질량 행렬(M)·강성 행렬(K) 구성, 고유치·고유진동수·모드벡터 계산 및 정규모드벡터·모드참여계수·질량참여율 산정으로 지배 모드(1·2차) 선정 • 모드별 비연계 운동방정식과 시간이력해석: 각 모드에 대해 감쇠·고유진동수·모드참여계수를 반영한 단자유도 지진응답 방정식 설정 후, El Centro 지진가속도 입력에 대한 모달응답 z_i(t) 수치 적분 • 실제 응답 및 설계지표 산정: 정규모드벡터 행렬로부터 u(t)=Ψz(t)로 층변위 계산, F_s(t)=Ku(t)로 층 전단력 및 V_b(t)=∑F_si(t)로 밑면 전단력의 시간이력·최대응답 평가 |
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[13강] 다자유도계의 지진응답 (4)
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다자유도계 지진응답: 응답스펙트럼·모드참여·유효질량
• 응답스펙트럼 기반 최대응답 산정: 고유치·고유주기 산정 → 주기별 가속도 응답스펙트럼에서 $S_A(T_i)$ 추출 → $S_D=S_A/\omega^2$ 로 모드별 변위스펙트럼·최대층변위·부재력(층전단력) 계산 • 모드참여계수·유효질량·질량참여율: 질량·강성행렬과 모드벡터로 모드참여계수 $l_i=\frac{\Phi_i^TM\mathbf{1}}{\Phi_i^TM\Phi_i}$, 유효질량 $\bar m_i=\frac{(\Phi_i^TM\mathbf{1})^2}{\Phi_i^TM\Phi_i}$, 질량참여율 $\bar m_i/m_{\text{tot}}$ 산정하여 동적거동에 지배적인 모드 식별 • 모드중첩·SRSS 합성 및 시간영역 응답: 모드별 최대 변위·전단력을 SRSS로 합성해 전체 최대 층변위·층전단력·밑면전단력 계산하고, 지반가속도 작용 시 모드좌표 응답 $u_i(t)$ 를 이용한 $\mathbf{u}(t)=\sum\Phi_i\frac{l_i}{\omega_{d,i}}u_i(t)$ 및 $\mathbf{F}_s(t)=K\mathbf{u}(t)$ 로 시간영역 층변위·층지진력·밑면전단력 산정 |
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[14강] 다자유도계의 지진응답 (5)
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3층 전단건물의 지진응답, 모드해석·SRSS 최대층변위 계산
• 전단건물 동적모델링: 3층 전단건물의 질량행렬·강성행렬 구성, 고유치해석을 통한 고유진동수·주기·모드형상 산정 • 응답스펙트럼 기반 모드응답: 설계 응답스펙트럼과 최대 지반가속도·감쇠비를 이용한 각 모드의 PSA·PSV 계산 및 모드 참여계수·감쇠진동수를 통한 모드별 최대 층변위 산정 • SRSS 응답합성: 모드별 층변위를 제곱합의 제곱근(SRSS)으로 합성하여 층별 최대 변위를 구하는 다자유도 전단건물 지진응답 평가 절차 정리 |
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| 8장. 보, 골조, 트러스의 모드해석 | ||
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[15강] 보, 골조, 트러스의 모드해석 (1)
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골조 구조계의 분포질량 모드해석 절차 정리
• 구조요소 자유도와 모델링: 보·골조·트러스 요소의 자유도 구성과 축변형 고려 여부에 따른 요소모델 구분, 축변형 무시 골조의 보요소화 및 표준 4×4 요소강성행렬·분포질량행렬 패턴 정리 • 요소 행렬 계산과 시스템 조립: 단위길이당 질량과 EI·L 조건을 이용한 각 요소의 K, M 수치계산, 경사진·수직 부재에 대한 좌표변환 적용 후 전체 8×8 강성행렬·질량행렬로 조립하는 절차 정리 • 모드해석(고유치·고유벡터): K, M으로 일반화 고유치 문제를 구성해 고유각진동수와 모드벡터를 산정하고, 모드 정규화·동일 모드 판정 기준 및 다자유도 응답해석에서의 모드 합성법 활용 개념 정리 |
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[16강] 보, 골조, 트러스의 모드해석 (2)
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트러스 교량의 모드해석 절차와 요소 행렬 구성 핵심 정리
• 트러스 자유도 및 지점조건: 트러스 절점 X·Y 변위 2자유도 체계와 라멘과의 자유도 차이, 회전단·이동단 지점조건 반영을 통한 전체 자유도 축소 규칙 정리 • 요소 행렬·좌표변환·조립: 트러스 요소 축강성·분포질량 국부행렬 형식, 부재 각도 θ 기반 좌표변환행렬(T) 구성, 변환된 요소행렬의 자유도 매핑 및 절점별 성분 합산을 통한 전체 K·M 행렬 조립 절차 정리 • 고유치해석 및 모드벡터: [K−ω²M]{φ}=0 형태 고유치 문제 정식화, λ·ω 관계 및 고유각진동수 계산, 모드벡터 산정·정규화 방식과 모드형상을 통한 트러스 교량 진동 특성 해석 방법 정리 |
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이은진 교수님
구조동역학 문제풀이Ⅱ
