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해석학Ⅰ
정진교 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
신라대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 7개 챕터, 37강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 0장. 집합과 함수 | ||
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[1강] 오리엔테이션. 집합
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해석학 기초 집합 개념 및 연산
* 집합 기초 개념: 원소, 부분집합, 상등 등 집합의 구성 요소와 관계를 정의. * 집합 연산과 법칙: 합집합, 교집합, 차집합, 여집합 및 드모르간, 분배 법칙 등 집합 처리 원리 학습. * 집합족, 곱집합 및 명제: 첨자집합 기반 집합족 연산, 순서쌍 곱집합 정의 및 명제 논리 구조 파악. |
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[2강] 함수, 이항연산
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해석학 개념완성: 함수와 이항연산
* 함수 개념: 정의역, 공역, 치역 등 기본 용어 정의 및 단사, 전사, 전단사, 역함수 등 주요 함수 유형과 성질 학습. * 이항연산 정의: 집합 내 두 원소 결합 규칙과 교환, 결합, 분배 법칙 등 주요 성질 분석. * 항등원 및 역원: 이항연산을 통한 대수적 구조 이해를 위한 항등원 및 역원의 개념과 존재 조건 파악. |
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| 1장. 실수의 성질과 수열의 극한 | ||
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[3강] 실수의 연산과 순서
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실수의 연산, 순서 및 절댓값의 성질
• 실수 체 공리: 덧셈과 곱셈의 9가지 공리(교환, 결합, 항등원, 역원, 분배)를 통해 실수의 사칙연산 구조 및 대수적 성질 정의 • 실수 순서 공리: 양의 실수 집합 P의 존재와 조건(닫힘, 삼분법)으로 실수의 대소 관계 및 부등식 원리 확립 • 절댓값의 정의와 성질: 실수의 크기를 나타내는 절댓값의 개념과 삼각부등식을 포함한 주요 연산 성질 이해 |
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[4강] 완비성공리 (1)
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완비성 공리 및 실수의 연속성
* 완비성 공리: 실수계의 연속성을 보장하는 핵심 공리로, 위로 유계인 실수 부분집합의 상한이 실수 집합에 반드시 존재함을 정의. * 유계 집합 및 상한/하한: 실수의 부분집합 유계성, 상한(최소상계)과 하한(최대하계)의 정의, 유일성 및 성질을 개념화. * 아르키메데스 정리 및 유리수 조밀성: 완비성 공리 기반으로 자연수 비유계성, 유리수 조밀성을 증명하며 유리수 집합에서의 완비성 공리 불만족 사례 분석. |
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[5강] 완비성공리 (2)
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해석학에서의 완비성 공리 이해 및 적용
• 완비성 공리: 실수계의 연속성 보장 및 양수 제곱근의 존재성과 유일성 증명의 핵심 원리. • 완비 순서체: 체와 순서체의 공리 포함, 실수계의 본질적 유일성을 전단사 동형 사상으로 확립. • 상한과 하한: 집합의 덧셈·곱셈 연산 및 포함 관계에 따른 변화 성질 분석. |
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[6강] 수열의 극한
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수열의 극한 개념 및 성질
• 수열 정의 및 Epsilon-N 정의를 통한 수렴·발산 개념, 극한값 유일성 규명. • 수렴수열의 유계성 관계 분석 및 무한대 발산 정의. • 수열 극한의 사칙연산 및 스칼라 곱 등 기본 성질과 다항 함수 적용 원리 요약. |
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[7강] 단조수열, 상극한, 하극한 (1)
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단조수열, 상극한, 하극한
• 단조수열 정의: 증가 또는 감소하는 수열의 특성 분석, 단조수렴정리로 유계 단조 실수열의 수렴 조건 확립. • 무한급수 수렴: 부분합 수열의 극한으로 정의되며, 양항급수는 부분합의 유계성을 통해 수렴 판단. • 상극한/하극한: 수열의 극한 존재 여부와 수렴/발산 판단 기준 제시, 두 값 일치 시 수열 수렴. |
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[8강] 단조수열, 상극한, 하극한 (2)
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해석학 상극한 및 하극한과 축소구간정리
* **해석학 상극한 및 하극한**: 유계수열의 극한적 거동을 정의하고 분석하는 성질, 연산, 필요충분조건 학습. * **수렴과 상하극한**: 수열의 수렴 여부를 판단하는 상극한 및 하극한 동일성의 필요충분조건 이해. * **축소구간정리 및 완비성**: 유계 폐구간의 단조감소열 교집합 존재성과 실수 완비성공리와의 동치 관계 파악. |
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[9강] 셀수있는집합과 셀수없는집합
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셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합
• 집합의 대등 관계: 전단사 함수로 크기를 비교하고 유한/무한, 가산/비가산 집합을 정의. • 가산 집합 성질: 자연수 정렬성, 수학적 귀납법 활용하여 부분 집합 및 합집합의 가산성 유지 원리 이해. • 주요 수 체계 가산성: 자연수, 정수, 유리수가 가산무한집합임을 증명하고 개념 적용. |
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| 2장. 좌표공간과 위상적 성질 | ||
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[10강] 좌표공간
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좌표공간의 벡터, 내적, 노음 개념
• 실벡터공간 $R^n$: 벡터합과 스칼라곱 연산을 통한 7가지 공리의 대수적 구조 이해 • 실내적공간 및 코시-슈바르츠 부등식: 내적 정의와 5가지 공리, 내적 공간의 기본 부등식 원리 파악 • 노음 공간 및 종류: 벡터의 길이를 정의하는 3가지 공리와 $L_1, L_\infty$ 노음의 기하학적 의미 분석 |
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[11강] 열린집합과 닫힌집합 (1)
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열린집합과 닫힌집합 (1)
• 근방 개념: 실수 공간에서 개집합과 폐집합 정의의 기반이 되는 점들의 집합. • 개집합: 모든 원소를 포함하는 근방이 집합 내에 존재하는 구조를 갖는 집합. • 폐집합: 여집합이 개집합인 특성을 지니며, 실수 $R$과 공집합 $\emptyset$은 개집합이자 폐집합. |
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[12강] 열린집합과 닫힌집합 (2)
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해석학 열린집합과 닫힌집합 (2): 개념 및 성질
* 내점, 집적점, 폐포: 근방 개념 기반 집합의 내부, 경계, 닫힘 특성 및 상호 관계 정의. * 개집합·폐집합: 내점 집합($O^\circ=O$), 집적점($F' \subseteq F$), 폐포($\bar{F}=F$) 기준 개폐성 판별 및 폐포 연산 성질 이해. * 점열·폐포 관계: 점열 수렴을 통한 집적점·폐포 원소 존재성 확인, 상한과 폐포의 관계, 조밀 집합의 정의 및 활용. |
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[13강] 유계집합과 코시수열
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유계집합과 코시수열
• 부분수열, 유계집합: 수열의 수렴 및 발산 분석을 위한 기본 개념과 범주 정의. • 볼자노-바이어슈트라스 정리: 유계수열에서 수렴하는 부분수열의 존재성을 보장하여 실수의 완비성 특성을 설명. • 코시 수열 및 코시 판정법: 수열의 수렴 필요충분조건으로, 실수의 완비성을 바탕으로 수렴 여부를 판정하는 핵심 원리 제시. |
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[14강] 급수의 수렴판정법 (1)
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급수의 수렴판정법 (1)
• 급수 기본 개념: 무한급수 정의와 부분합 수열을 이용한 수렴/발산 판정 원리 및 무한등비급수 수렴 조건 이해 • 급수 수렴 판정법: 코시 판정법, 수렴급수 일반항 극한 관계, 급수 연산의 성질을 통한 수렴 및 발산 조건 학습 • 양항급수 수렴: 일반항이 양수인 양항급수의 부분합 유계성 수렴 조건과 조화급수 발산 사례 분석 |
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[15강] 급수의 수렴판정법 (2)
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급수의 수렴 판정법: p-급수, 비교, 제곱근, 비판정법
• 급수의 수렴 판정법: p-급수, 비교, 제곱근, 비판정법 등 무한급수 수렴 및 발산 결정 원리. • p-급수/비교판정법: $p>1$ 수렴, $p \le 1$ 발산 조건 및 대소 관계를 통한 급수 판정. • 제곱근/비판정법: 극한값 $r$ 기준 $r<1$ 수렴, $r>1$ 발산, $r=1$ 판정불가 규칙 적용. |
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[16강] 급수의 수렴판정법 (3)
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급수의 수렴판정법 (3): 교대급수, 절대/조건수렴, 재배열급수
• 교대급수 판정법: 교대 부호 급수의 수렴 조건을 단조 감소 및 극한 0으로 판정; 극한비교판정법: 양항급수 간 수렴성 비교 판단. • 절대수렴: 급수 $|a_n|$ 수렴 시 $\sum a_n$도 수렴; 조건수렴: $\sum a_n$은 수렴하나 $|a_n|$은 발산. • 재배열급수: 항 순서 변경 시 급수의 수렴값 변화 분석; 절대수렴은 수렴값 보존, 조건수렴은 수렴값 변경 및 발산 가능. |
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[17강] 급수의 수렴판정법 (4)
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급수의 수렴판정법 (4) - 코시 곱
• 급수의 재배열: 절대수렴 시 합 보존, 조건수렴 시 합 변동 원리 이해 • 코시 곱 정의: 두 급수의 곱셈 방식으로, 개별 수렴과 무관하게 발산 가능한 특성 분석 • 코시 곱 수렴 정리: 두 급수가 절대수렴할 때 코시 곱이 수렴하는 조건 및 증명 과정 학습 |
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[18강] 옹골집합(콤팩트집합)
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옹골집합(콤팩트 집합) 개념 및 정리
• 옹골집합 정의: 모든 열린 피복이 유한 부분 피복을 갖는 집합 개념과 피복 종류 설명. • 하이네-보렐 정리: 옹골집합이 폐집합이자 유계집합이라는 동치 조건 제시. • 옹골집합 주요 성질: 폐구간의 옹골성 및 옹골집합이 폐집합임을 증명하는 원리. |
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[19강] 연결집합
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해석학 연결집합
* 연결집합 정의: 해석학에서 두 개의 분리된 개집합으로 나눌 수 없는, 빈틈없이 연속적으로 구성된 집합의 위상적 개념. * 연결집합 특성: 실수 $\mathbb{R}$에서 연결집합은 모든 구간 형태로 나타나며, 임의 두 원소 사이의 모든 중간 원소를 포함하는 성질. * 비연결집합 및 연결집합 족의 합집합: 두 개의 분리된 개집합으로 분할 가능한 비연결집합과 달리, 교집합이 존재하는 연결집합들의 합집합은 연결집합. |
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| 3장. 연속함수의 성질 | ||
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[20강] 함수의 극한과 연속성의 성질 (1)
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함수 극한 정의 및 성질 (해석학)
• 함수 극한 정의: $\epsilon-\delta$ 논법을 활용하여 집적점에서의 극한값과 함수값의 엄밀한 관계를 이해. • $\epsilon-\delta$ 증명 절차: 상수함수, 항등함수, 삼각함수, 다항함수 등 다양한 함수 극한값의 존재를 $\delta$ 설정 및 $\min$ 함수로 증명. • 극한의 일반화: 좌표공간에서 노음(norm) 기반 $\epsilon-\delta$ 정의를 통한 극한 개념의 확장 및 적용 원리 학습. |
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[21강] 함수의 극한과 연속성의 성질 (2)
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함수 극한과 연속성의 성질
• 함수 극한 기본 개념: $\epsilon-\delta$ 정의, 유일성, 동치 조건을 통해 극한의 존재 여부 및 특성 이해 • 함수 극한 성질: 사칙연산, 조임 정리(샌드위치 정리)를 활용한 극한값 계산 및 추론 방법 분석 • 극한 부존재 및 무한 극한: 수열의 극한을 통한 부존재 증명, 무한 발산 및 무한대에서의 수렴 정의 학습 |
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[22강] 함수의 극한과 연속성의 성질 (3)
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함수 극한 및 연속성 성질 (3)
• 함수의 연속성 정의: 델타-입실론 논법을 통한 연속성 개념과 고립점, 집적점에서의 연속성 조건 이해 • 연속성 판단 조건: 극한값과 함수값의 일치 여부 및 수열적 동치 조건을 활용한 연속성 및 불연속성 분석 • 특수 함수 연속성: 딜리클레 함수와 티오매 함수의 유리수, 무리수 점에서 나타나는 연속성 및 불연속성 특징 파악 |
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[23강] 함수의 극한과 연속성의 성질 (4)
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해석학: 연속함수의 성질 및 연속함수 공간
• 연속함수 개념: 개집합·폐집합 역상을 통한 위상적 동치 조건 정의 및 상과의 위상 성질 차이 • 연속함수 공간 C(E): 연속함수 집합이 덧셈·스칼라곱에서 형성하는 벡터 공간 구조 • 연속함수 연산 성질: 사칙연산, 절댓값, 최댓값·최솟값, 합성함수의 연속성 보존 원리 |
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[24강] 최대, 최소정리와 중간값정리 (1)
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해석학: 최대·최소정리 및 연속함수의 컴팩트성
• 유계함수 정의: 컴팩트 집합 위 연속함수의 유계성 및 치역의 컴팩트성 원리 이해 • 최댓값, 최솟값 정리: 컴팩트 집합과 연속함수의 조건 하 최댓값·최솟값 존재 증명 및 조건 분석 • 역함수 연속성: 컴팩트 집합 위 연속 전단사 함수의 역함수 연속성 원리 및 조건 확인 |
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[25강] 최대, 최소정리와 중간값정리 (2)
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해석학 최대최소정리, 중간값정리 및 연속함수의 성질
• 중간값 정리: 폐구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f$가 $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 모든 값을 취함을 보장하는 존재성 원리. • 고정점 정리: 폐구간 $[a, b]$에서 $[a, b]$로 가는 연속함수가 항상 $f(c)=c$를 만족하는 고정점을 가짐을 증명하는 원리. • 연속함수 성질: 연결성 보존, 폐구간 상 상(image)의 폐구간성, 단조함수의 역함수 존재 및 연속성을 포괄하는 개념. |
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[26강] 고른연속함수 (1)
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고른 연속 함수의 정의와 특징
• 고른 연속 함수: 델타($\delta$)가 정의역 내 $x$의 위치와 무관하게 오직 입실론($\epsilon$)에만 의존하는 강력한 연속성 조건. • 고른 연속 함수는 항상 연속 함수이지만 역은 아니며, 콤팩트 집합 위에서 정의된 연속 함수는 반드시 평등 연속이 됨. • 평등 연속이 아님의 증명: 특정 $\epsilon_0$가 존재하여 모든 $\delta$에 대해 $|x-y|<\delta$이지만 $|f(x)-f(y)| \ge \epsilon_0$를 만족하는 $x,y$가 존재함을 보임. |
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[27강] 고른연속함수 (2)
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고른연속함수 (2) 및 관련 개념
* 고른연속함수: 코시 수열의 상을 코시 수열로 보존하는 핵심 성질 및 개념 정의. * 립시츠 함수: 유계된 기울기 조건을 만족하는 함수로, 항상 고른연속함수이나 역은 불성립. * 연속확장정리: 개구간의 고른연속함수를 폐구간으로 연속 확장할 수 있는 원리 및 조건. |
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[28강] 단조함수
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단조함수 개념 완성
• 단조함수 기본: 좌우 극한 및 불연속점 정의를 기반으로 단조함수의 극한 존재성 및 제2종 불연속점 부재 원리 이해. • 단조함수 불연속점: 단조함수의 불연속점 집합이 항상 가산집합임을 증명하고 그 특성 분석. • 연속성 및 역함수: 연속 단사함수가 단조함수와 동치임을 확인하고 순단조함수 역함수의 연속성 및 순단조성 분석. |
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| 4장. 미분가능함수의 성질 | ||
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[29강] 미분가능성 (1)
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미분가능성 (1): 정의 및 고계 도함수
• 미분가능성 정의: 극한값을 통한 미분계수 개념과 동치 조건을 엄밀히 이해 • 고계 도함수 및 $C^n$급 함수: n차 도함수 존재 및 연속성에 따른 함수의 등급 분류 • 미분가능성 판별: 좌우 미분계수 일치 조건 활용 및 미분가능성과 연속성의 관계 분석 |
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[30강] 미분가능성 (2)
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미분가능성 심화 개념 정리
* 미분가능 함수 연산 성질: 덧셈, 스칼라 곱, 곱셈, 나눗셈 규칙을 통해 도함수를 계산하는 원리 정리. * 연쇄법칙 및 역함수 미분법: 합성함수와 역함수의 도함수를 효율적으로 계산하는 공식 및 적용 방법 학습. * 미분계수 부호와 증감 상태: 특정 지점의 미분계수 부호로 함수의 순간적인 증가 및 감소 상태를 분석하는 원리 이해. |
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[31강] 평균값 정리 (1)
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평균값 정리 (1) 및 관련 정리
* 평균값 정리 기초: 극댓값·극솟값 정의 및 페르마 정리로 미분 가능한 극점의 도함수 0 규명. * 평균값 정리 (MVT): 롤의 정리에서 확장되어 평균 변화율과 순간 변화율이 일치하는 점 존재 보장. * 코시 평균값 정리 및 따름정리: 두 함수 일반화, 상수성·단조성·립시츠 조건 등 함수 성질 분석. |
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[32강] 평균값 정리 (2)
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해석학: 평균값 정리와 로피탈 법칙
* 평균값 정리: 미분가능 함수의 성질을 이용한 부등식 증명 방법론. * 로피탈 법칙: $0/0, \infty/\infty$ 부정형 극한 계산 절차와 코시 평균값 정리 기반 증명. * 도함수 중간값 정리: 도함수가 연속이 아니어도 중간값 속성을 만족하는 다르부 정리 및 원시함수 정의. |
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[33강] 테일러 전개 (1)
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테일러 정리 및 급수
• 테일러 정리: 함수를 다항함수로 근사하는 원리 정의 및 근사 오차를 나머지 항(코시/라그랑주)으로 분석. • 테일러 다항함수: 특정 점에서의 미분계수를 활용한 유한 차수 다항식 구성 및 매클로린 다항함수 개념 포함. • 테일러 급수: 무한히 미분 가능한 함수의 무한 다항식 표현, 나머지 항의 수렴 조건을 통해 원함수 일치 보장. |
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[34강] 테일러 전개 (2)
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테일러 전개와 해석적 함수
• 테일러/매클로린 급수: 무한번 미분 가능한 함수를 다항식으로 표현, 비판정법을 이용한 수렴 구간 결정. • 급수의 수렴성 증명: 나머지 항이 0으로 수렴함을 코시/라그랑주 정리를 통해 확인. • 해석적 함수 정의: 자신의 테일러 급수로 표현 가능한 함수, 무한번 미분 가능 함수와의 차이점 이해. |
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| 특강 | ||
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[35강] 기출 및 예상문제 (1)
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해석학 1 중간고사 기출 실수의 성질과 수열의 극한 요약
• 상극한 및 하극한 : 부분수열의 항 분리와 상·하계 분석을 통한 수열의 극한 존재성 및 수렴·발산 판정 • 수렴성 증명 원리 : 단조수렴정리, 수학적 귀납법, 조임 정리를 활용한 실수열의 유계성 및 단조성 입증 • 코시 수열 및 거듭제곱급수 : 삼각부등식을 활용한 완비성 증명과 비판정법 기반 수렴 반경 및 구간 산출 |
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[36강] 기출 및 예상문제 (2)
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해석학 특강 미분가능성 평균값정리 테일러급수 평등연속
• 미분가능성 및 연속성 판별: 유리수·무리수 분할 함수의 미분계수 정의 적용 및 ε-δ 논법 기반의 국소적 연속성 증명 • 평균값 정리(MVT) 및 평등연속: 도함수 성질을 활용한 부등식 유도와 립시츠 조건을 통한 함수의 전역적 연속성 분석 • n계 도함수 및 테일러 급수: 수학적 귀납법과 극한 치환을 통한 특이점의 고계 미분가능성 검증 및 매클로린 급수 도출 |
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| 부록 | ||
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[37강] 정오표
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교재만 있습니다.
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정진교 교수님
해석학Ⅰ
