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해석학Ⅱ
정진교 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
신라대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 5개 챕터, 27강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 5장. 리만-스틸체스 적분 | ||
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[1강] 오리엔테이션. 리만적분
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리만 적분 기본 개념 및 성질
* 리만 적분 개념: 폐유계구간 함수의 적분가능성 판별을 위한 분할, 소구간, 상하합 정의. * 리만 상합 및 하합: 소구간 내 함수 상한/하한 기반 합으로, 세분할 시 상합 감소 및 하합 증가. * 리만 상적분 및 하적분: 상합 하한과 하합 상한으로 정의되며, 두 값이 같을 때 함수는 리만 적분가능. |
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[2강] 리만적분가능함수 (1)
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리만적분가능함수 주요 판정 정리
* 리만적분가능함수 정의: 상적분과 하적분이 같을 필요충분조건으로, 상합과 하합의 차이가 임의의 양수보다 작다는 원리. * 연속함수·단조함수 리만적분가능성: 폐구간 위 연속함수(평등연속성 기반)와 단조함수(상한·하한 특성)의 리만적분가능성 증명. * 리만적분가능함수 특성: 가산 불연속점 허용, 연속함수 및 단조함수 집합과의 포함 관계 분석. |
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[3강] 리만적분가능함수 (2)
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리만적분가능함수와 측도 0 집합 개념
• 리만 적분가능성: 리만 합의 극한 존재 및 정적분 일치를 통한 유계함수 적분 조건 정의. • 측도 0 집합: 가산개 열린 구간 합으로 덮이는 집합 정의 및 불연속점 집합과 리만 적분가능성 관계 분석. • 함수 진동(Oscillation): 특정 점의 불연속성 정량화 지표로, 연속 여부와 진동 값($0$ 또는 $>0$)의 관계 규명. |
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[4강] 리만적분가능함수 (3)
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리만 적분 가능 함수 성질 및 불연속점의 측도 0 조건
• 리만 적분 가능성: 유계 함수의 불연속점 집합이 측도 0일 필요충분 조건을 정의. • 상한 및 하한 연산 성질: 유계 집합의 합과 스칼라배에 대한 상한/하한의 연산 규칙 제시. • 리만 적분 가능 함수의 합: 상한/하한 연산 성질 기반으로 합 함수의 리만 적분 가능성과 적분 선형성을 증명. |
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[5강] 리만적분가능함수 (4)
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리만적분가능함수의 성질
• 리만적분가능함수의 벡터공간: 덧셈과 스칼라 곱셈에 닫혀 선형 범함수를 형성하며, 함수 대소 관계와 적분값 대소 관계를 보존. • 함수의 부분/절대값 함수 및 곱: 양의 부분, 음의 부분, 절대값 함수와 두 함수 곱의 리만적분가능성 및 특성 분석. • 적분 구간 분할/합성: 구간 분할 및 합성 시 리만적분가능성 유지, 적분값의 가법성 성립. |
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[6강] 미분적분학의 기본정리
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미분적분학의 기본정리와 적분 기법
• 미분적분학 기본정리: 리만 적분과 도함수 간의 본질적 관계 확립, 정적분으로 정의된 함수의 미분 가능성과 정적분 계산 원리 제시 • 주요 적분 기법: 적분의 평균값 정리, 치환적분법, 부분적분법 등 다양한 함수의 적분 계산 방법론 학습 • 테일러 정리 (적분형 나머지항): 함수의 다항식 근사에서 나머지항을 적분 형태로 표현하는 개념 및 증명 방법 이해 |
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[7강] 유계변동함수
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유계변동함수 정의 및 주요 성질
• 유계변동함수 정의: 구간 내 증감 총합이 유한한 함수로, 전변동을 통해 측정하며 단조함수를 포함함. • 유계변동함수 성질: 유계성을 보장하고 연속성을 보장하지 않으며, 덧셈과 스칼라곱에 대해 벡터 공간을 형성함. • 유계변동함수 분해: 두 단조증가함수의 차로 표현 가능하며, 이 성질로 리만 적분 가능성을 보장함. |
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[8강] 스틸체스 적분
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Riemann-Stieltjes 적분
• Riemann-Stieltjes 적분: Riemann 적분의 일반화된 개념으로, 단조증가 함수 $\alpha$를 기반으로 $\Delta\alpha_k$를 측정 기준으로 사용. • Riemann-Stieltjes 적분 가능성: 상적분과 하적분 일치 여부로 정의하며, 코시 기준 및 연속 함수에 대한 항상 적분 가능성 정리로 판정. • 유계변동 함수에 대한 적분: 유계변동 함수 $g$를 두 단조증가 함수의 차로 표현하여 RS 적분 개념을 확장 정의. |
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[9강] 특이적분 (1)
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특이적분 (Improper Integral) 개념과 판정법
* 특이적분 개념: 리만 적분 한계를 보완, 유계성 결여 및 무한 구간에서 적분 가능성을 확장. * 특이적분 정의 및 유형: 불연속점, 무한 구간을 포함하는 특이적분의 정의와 계산 절차 이해. * 특이적분 판정법: 적분 수렴·발산 판별을 위한 코시 판정법 및 양함수의 유계성 조건 적용. |
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[10강] 특이적분 (2)
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특이적분 판정법 및 절대적분가능성
* 특이적분 판정법: 비유계 구간 또는 함수에서 비교판정법(양함수 대소)과 극한비교판정법(극한 비)으로 수렴성 판단. * 절대적분가능성: 함수 $|f|$의 특이적분 수렴 시, $f$ 또한 특이적분 가능함을 의미하는 개념 및 정리. |
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| 6장. 함수열 | ||
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[11강] 연속함수열
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연속함수열: 점별수렴과 평등수렴
• 함수열 수렴 개념: 점별수렴과 평등수렴 정의, N의 의존성 차이로 수렴 방식 비교. • 평등수렴 판정: 코시 판정법을 통한 함수열의 평등수렴 조건 분석 및 적용. • 극한함수 연속성: 연속함수열의 평등수렴이 극한함수 연속성을 보장하며 극한 연산 교환 가능성 확립. |
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[12강] 미분·적분가능함수열 (1)
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미분 및 적분 가능 함수열의 수렴성
* **미분 가능 함수열**: 점별/평등수렴 시 극한 함수의 미분 가능성 및 도함수열 극한 교환의 일반적 한계 분석. * **미분 가능 함수열 정리 1**: 특정 점 함수열 수렴 및 도함수열 평등수렴 시 극한 함수의 미분 가능성, 도함수 극한 교환 성립 조건. * **적분 가능 함수열**: 극한 함수의 리만 적분 가능성 및 적분 극한 교환의 보장 여부와 평등수렴의 역할 탐구. |
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[13강] 미분·적분가능함수열 (2)
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미분·적분 가능 함수열의 수렴과 적분 교환 정리
• 함수열의 평등수렴: 리만 적분 가능 함수열에서 극한 함수의 적분 가능성 및 극한·적분 순서 교환의 핵심 조건 제시 • 점별수렴과 평등수렴 비교: 극한과 적분 교환 보장의 차이점 분석 및 특이 적분에서 예외 발생 조건 설명 • 연속 함수열의 평등수렴: 리만 적분 가능성과 극한·적분 순서 교환을 보장하는 특수 사례 정리 |
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[14강] 이중수열과 이중급수
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이중수열과 이중급수
* 이중수열 및 이중급수: 두 인덱스 수열과 이중합의 수렴 정의 및 극한/합의 순서 교환 조건 파악 * 평등수렴: 이중수열 극한과 이중급수 합의 순서 교환을 보장하는 개념 및 Weierstrass M-판정법 적용 * 코시 곱: 절대수렴하는 두 급수 간의 곱셈 연산 정의 및 몇급수에서의 수렴 특성 분석 |
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[15강] 거듭제곱급수 (1)
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해석학 개념완성 49강. 거듭제곱급수 (1)
• 함수항급수 개념: 점별수렴 및 평등수렴 정의와 코시, 바이스트라스 M-판정법으로 평등수렴성 확인. • 거듭제곱급수 정의: 수렴반경 계산 및 수렴구간 결정 원리 학습. • 거듭제곱급수 성질: 수렴반경 내 절대수렴, 폐구간 위 평등수렴 조건 파악. |
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[16강] 거듭제곱급수 (2)
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거듭제곱급수의 미적분 및 주요 특성
• 거듭제곱급수 미적분: 수렴반경 내 항별 미분 및 적분 가능하며, 수렴반경 유지. • 거듭제곱급수 특성: 수렴 구간 내 연속성, 표현의 유일성, 테일러 급수 전개 가능. • Abel의 정리: 급수 수렴 끝점에서의 극한 함수값과 급수 합의 일치 (연속성 보장). |
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[17강] 삼각급수 (1)
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해석학 삼각급수 개념 완성
* 삼각급수 정의 및 성질: $\sin x, \cos x$의 테일러 급수 표현과 항별 미분 가능성을 통해 기본 개념 확립. * 아벨의 보조정리: 디리클레(감소수열·유계 부분합) 및 아벨(수렴 단조수열·수렴 급수) 판정법의 이론적 기반 제공. * 삼각급수 수렴 판정: $\sum a_n \cos nx, \sum a_n \sin nx$ 급수에 디리클레 판정법 적용 및 부분합 유계성 증명. |
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[18강] 삼각급수 (2)
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삼각급수 평등수렴 판정법과 오일러 공식
* 삼각급수 평등수렴 판정: 딜리클레 및 Weierstrass M-판정법을 통한 함수열의 평등수렴 조건과 증명 절차. * 오일러 공식과 복소급수: $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 유도 및 복소수열 평등수렴, 삼각합 공식 유도 원리. * 함수열과 급수 개념: 점별수렴·평등수렴 구분 및 평등수렴이 보장하는 연속성·미분·적분 성질. |
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| 7장. R^n에서의 미분과 적분 | ||
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[19강] R^n에서의 미분
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Rn에서의 미분 기초 개념 및 미분가능성
• Rn 다변수 미분 개념: n차 직방체, 편도함수, 그래디언트 정의 및 다변수 함수의 극한·연속성 원리 학습 • 다변수 미분가능성: 선형 근사 정의, 일계 편도함수 존재 및 연속성, C1급 함수를 통한 미분가능성 판단 조건 이해 • 편도함수: 1변수 미분 개념의 확장으로, 편도함수가 불연속일 경우 직접 정의를 통해 미분가능성을 판단하는 원리 적용 |
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[20강] R^n에서의 적분 (1)
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$\mathbb{R}^n$에서의 적분과 푸비니 정리
• $\mathbb{R}^n$ 리만 적분: $n$차원 직방체와 조르당 영역의 부피를 기반으로 상합, 하합, 리만 적분 가능성 조건을 확장하여 정의. • 반복적분 및 푸비니 정리: 다변수 함수를 순차적으로 적분하는 방식으로, 적분 가능한 함수에 대해 직방체 영역에서 적분 순서 교환을 통한 다중 적분 계산 가능. • 다중 적분 계산: 비직방체 영역에서 적분 순서 변경 시 영역 표현이 중요하며, 푸비니 정리 조건 미충족 시 적분 순서 교환 결과가 달라질 수 있음에 유의. |
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[21강] R^n에서의 적분 (2)
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해석학: $R^n$에서의 적분, 곡선, 그린정리
• $R^n$ 공간 다변수 적분: 야코비안과 변수변환은 복잡한 적분 영역 계산을 단순화하며, 다양한 좌표계는 기하학적 대칭 영역 적분에 최적화. • $R^n$ 곡선 및 선적분: 곡선은 매개변수화 함수로 정의되고 길이를 계산하며, 선적분은 이 곡선을 따라 함수를 적분하는 물리량 합 계산 방식. • 그린 정리: $R^2$의 단순 폐곡선 경계 선적분을 영역의 이중적분으로 변환하여 계산을 간소화하는 정리. |
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| 8장. 감마함수와 푸리에 급수 | ||
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[22강] 감마함수 (1)
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감마함수와 베타함수 개요 및 성질
• 감마함수: 특이적분으로 정의되며 팩토리얼 함수의 일반화 및 점화식 $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$를 통해 다양한 수학 문제 해결에 활용. • 볼록함수 및 보어-몰럽 정리: 감마함수의 유일성을 증명하는 원리 이해; 오일러 상수를 포함한 무한곱 형태의 다양한 표기법 학습. • 베타함수: 적분으로 정의되며 감마함수와의 관계 $B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$를 통해 복잡한 적분 계산을 효율적으로 수행. |
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[23강] 감마함수 (2)
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감마함수 (2), 적분변환, 푸리에 급수
• 감마함수와 베타함수: 정의, 상호 관계식 및 $\Gamma(1/2)$ 유도, 가우스 적분 등 응용 원리. • 적분변환: 라플라스, 푸리에 변환 등 종류와 미분방정식 해법에의 활용 개념. • 푸리에 급수: 주기 함수 표현을 위한 삼각함수 직교성 기반 계수 계산 및 급수 정의. |
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[24강] 푸리에 급수
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푸리에 급수의 점별수렴과 주요 정리
* 푸리에 급수 정의: 리만 적분 가능 함수의 삼각다항함수 표현과 최소제곱 근사를 통한 부분합의 원리. * 베셀 부등식: 푸리에 계수의 제곱합 수렴을 보장하여 각 푸리에 계수가 0으로 수렴함을 증명. * 푸리에 급수의 점별수렴: 디리클레 핵과 리만-르벡 보조정리를 활용한 부분합의 함수 수렴 조건 증명. |
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| 특강 | ||
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[25강] 기출 및 예상문제 (1)
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해석학2 기말고사 기출 분석 및 핵심 문제 풀이
• 급수 수렴 판정: 아벨 판정법·비교판정법·산술기하평균 기반의 급수 수렴성 조사 및 증명 • 다변수 미적분: 야코비안 변수변환을 통한 중적분 계산 및 오차항 극한 기반의 미분가능성 판별 • 평등수렴 및 적분성: 극한-적분 기호 교환 조건 분석과 상하합 성질을 이용한 리만 적분가능성 판정 |
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[26강] 기출 및 예상문제 (2)
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해석학 특강 기말고사 기출 풀이 및 특이적분 함수열 요약
• 특이적분 수렴성 판정: 구간 분할 및 비교판정법을 통한 특이점 처리와 적분 수렴·발산 결정 원리 정리 • 함수열 및 함수항 급수의 평등수렴: Mn 판정법과 Weierstrass M-test를 활용한 수렴성 판별 및 증명 절차 체계화 • 항별 미분 및 적분의 정당성: 평등수렴 성질 기반의 극한·미분·적분 연산 순서 교환 가능성 및 평등연속성 분석 |
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[27강] 정오표
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정오표만 있습니다.
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정진교 교수님
해석학Ⅱ
