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위상수학
전춘배 교수
KAIST 대학원 수학과 석사과정
KAIST 대학원 수학과 박사졸업
Tokyo Institute of Technology Post-Doc.
KAIST 대학원 수학과 석사과정
KAIST 대학원 수학과 박사졸업
Tokyo Institute of Technology Post-Doc.
KAIST
ICU
현) 유니와이즈 자문교수
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| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 기초이론 | ||
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[1강] 수리논리의 기초. 집합
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위상수학 기초: 수리논리와 집합론 핵심 정리
• 수리논리 기초: 명제 정의, 논리 연산(논리곱, 논리합, 조건문), 한정기호(∀, ∃) 등 수학적 증명의 기본 도구 정리 • 집합론 기본 개념: 집합·원소·부분집합·멱집합 정의와 합집합·교집합·여집합 등 집합 연산 및 드모르간 법칙 요약 • 집합의 확장 개념: 순서쌍 기반의 곱집합(Cartesian Product)과 임의의 첨자집합을 이용한 집합족(family of sets)의 연산 정의 |
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[2강] 관계와 사상 (1)
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관계의 정의, 동치관계와 집합의 분할
• 관계와 동치관계 : 곱집합의 부분집합으로 정의되는 관계 및 반사율·대칭률·추이율을 만족하는 특수 관계. • 동치류와 상집합 : 동치관계에 의해 분류되는 원소의 집합(동치류)과 그 집합 전체(상집합)의 개념. • 동치관계와 집합의 분할 : 동치관계가 집합을 서로소인 동치류로 분할하며, 역으로 집합의 분할이 동치관계를 정의하는 상호 대응 관계. |
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[3강] 관계와 사상 (2)
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위상수학: 사상의 정의, 종류 및 집합 연산의 성질
• 사상(함수): 정의역의 모든 원소에 유일한 공역 원소를 대응시키는 관계로, 전사·단사·전단사로 분류. • 사상의 상(Image): 합집합 연산은 보존하나, 교집합과 차집합은 단사 조건이 충족될 때 등호가 성립. • 사상의 역상(Inverse Image): 함수 종류와 무관하게 정의되며, 합집합·교집합·차집합 등 모든 집합 연산을 보존. |
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[4강] 순서집합. 군론 요약
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위상수학: 순서집합의 성질과 군론 기본 개념
• 순서집합과 관련 개념: 순서관계(반사·반대칭·추이성)로 정의되며 최대·최소·극대·극소 원소, 상한·하한, 조른의 보조정리 등 속성을 분석. • 군(Group)의 기본 구조: 결합법칙, 항등원, 역원을 만족하는 대수적 구조로, 군준동형사상과 핵(kernel)을 통해 군의 관계를 정의. • 정규부분군과 상군: 정규부분군으로 잉여류의 집합인 상군을 구성하며, 제1동형정리(G/ker f ≅ Im f)로 군의 구조를 규명. |
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| 2장. 위상공간, 유클리드 위상공간 | ||
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[5강] 위상공간
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위상공간의 정의, 종류 및 기본 성질
• 위상공간의 정의: 특정 3가지 공리를 만족하는 열린집합들의 모임(위상)을 통해 집합에 구조를 부여하는 기본 개념. • 폐집합과 부분공간: 열린집합의 여집합으로 폐집합을 정의하고, 기존 위상과 부분집합의 교집합으로 상대위상을 부여하여 부분공간을 구성. • 위상의 종류 및 비교: 이산위상·밀착위상·여유한위상 등 다양한 위상을 구분하고, 집합족의 포함 관계로 위상의 강약을 비교하는 체계. |
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[6강] 근방. 집적점. 폐포 (1)
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위상수학의 근방, 집적점, 도집합의 정의와 성질
• 근방과 근방계: 점을 포함하는 열린 집합을 기준으로 정의되며, 위상구조를 규명하는 기본 요소. • 집적점과 도집합: 점의 모든 근방이 자신을 제외하고도 특정 집합과 만나는 극한점 및 그 집합(A'). • 닫힌 집합과 도집합의 관계: 집합이 자신의 모든 집적점을 포함하는 것(F' ⊆ F)이 닫힌 집합일 필요충분조건. |
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[7강] 근방. 집적점. 폐포 (2)
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위상수학: 폐포의 정의, 성질 및 조밀부분집합
• 폐포(Closure): 특정 집합을 포함하는 가장 작은 폐집합으로, 해당 집합과 모든 집적점의 합집합으로 정의. • 쿠라토프스키 폐포 공리: 폐포 연산이 만족하는 4가지 기본 성질을 통해 역으로 위상 구조를 정의하는 공리 체계. • 조밀부분집합(Dense Subset): 폐포가 전체 공간과 동일한 집합($\bar{D}=X$)으로, 공집합이 아닌 모든 개집합과 만나는 특징을 가짐. |
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[8강] 내점. 외점. 경계점
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위상수학: 내점, 외점, 경계점의 정의와 성질
• 내점·외점·경계점: 위상공간의 부분집합을 내부(가장 큰 개집합), 외부(여집합의 내부), 경계로 분할하는 기본 개념. • 클로저와 경계의 관계: 집합의 클로저(폐포)를 내부와 경계의 합집합($\bar{A} = Int(A) \cup Fr(A)$)으로 정의하는 구조적 원리. • 하우스도르프 공간 및 조밀성: 점의 분리(하우스도르프)와 집합의 분포(조밀한 곳이 없는 집합, $Int(\bar{A})=\emptyset$)를 규정하는 위상적 성질. |
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[9강] 기저. 부분기저
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위상수학의 기저, 부분기저, 국소기저의 정의와 성질
• 위상의 기저(Base): 위상을 구성하는 열린집합들의 부분족으로, 원소들의 임의의 합집합을 통해 위상의 모든 열린집합을 생성하는 기본 단위. • 부분기저(Subbase): 원소들의 유한 교집합을 통해 기저(Base)를 생성하는 집합족으로, 자신을 포함하는 가장 작은 위상을 유도함. • 국소기저(Local Base): 특정 점의 근방 구조를 정의하는 집합족으로, 점의 수렴성, 집적점, 폐포 등 국소적 성질 판정에 활용됨. |
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[10강] 직선과 평면의 위상 (1)
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실수 집합의 위상적 성질과 하이네-보렐 정리
• 실수 보통위상: 열린 집합, 닫힌 집합, 집적점 개념을 통해 실수의 기본 위상 구조 정의 • 볼차노-바이어슈트라스 정리: 실수의 완비성에 근거, 유계인 무한 부분집합의 집적점 존재성 보장 • 하이네-보렐 정리: 유계 닫힌 집합과 컴팩트성(임의 열린 피복이 유한 부분 피복을 가짐)의 동치 관계 규명 |
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[11강] 직선과 평면의 위상 (2)
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실수 수열의 수렴, 코시열, 그리고 완비성
• 실수 수열의 수렴: 엡실론-델타 논법 기반의 극한 정의와 부분수열 및 집적점과의 관계 분석 • 코시열: 극한값 없이 수렴성을 판별하는 기준으로, 모든 코시열은 유계이며 수렴하는 부분수열을 가짐 • 실수의 완비성: 실수 공간 내 모든 코시열의 수렴을 보장하는 성질로, 수렴과 코시열 조건이 동치임을 의미 |
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[12강] 직선과 평면의 위상 (3)
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실수 공간(R)과 평면(R²)의 위상적 연속성 정의
• 연속성의 위상적 정의: ε-δ 논법과 동치인 개념으로, 열린 집합의 역상이 열린 집합이 되는 조건을 통해 함수의 연속성을 판별하는 일반화된 방식. • 중간값 정리: 폐구간에서 연속인 함수가 두 함숫값 사이의 모든 값을 반드시 가진다는 것을 보장하는 연속 함수의 핵심 성질. • 평면(R²)의 위상 구조: 열린 구간을 열린 원판으로 확장하여 거리, 열린 집합, 점렬 수렴 등 위상적 개념을 정의하고 다차원 공간의 연속성 분석 기반을 마련함. |
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| 3장. 연속사상 | ||
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[13강] 연속사상 (1)
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위상수학의 연속사상 정의와 주요 정리
• 연속사상: 공역의 모든 열린집합에 대한 역상이 정의역에서 열린집합이 되는 함수로, 기저 또는 부분기저 원소의 역상이 열림을 보여 판정 가능. • 연속사상의 동치 조건: 열린집합의 역상이 열린 조건, 폐집합의 역상이 닫힌 조건, 부분집합의 폐포(closure)에 대한 상의 포함 관계($f(\bar{A}) \subseteq \overline{f(A)}$)가 모두 동치임. • 연속사상의 연산과 확장: 두 연속사상의 합성과 부분공간으로의 제한은 연속성을 보존하며, 붙임 보조정리(Pasting Lemma)는 두 폐집합 위에서 정의된 연속함수들을 결합하는 원리를 제공. |
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[14강] 연속사상 (2)
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위상수학 연속사상: 개사상, 폐사상과 위상동형사상
• 위상동형사상: 전단사 함수 f와 그 역사상 f⁻¹가 모두 연속인 함수로, 두 위상공간의 구조적 동일성을 정의. • 개사상과 폐사상: 열린집합과 닫힌집합의 상(image)을 각각 보존하는 함수로, 위상동형사상의 동치 조건을 구성. • 위상적 불변성: 위상동형사상에 의해 보존되는 위상적 성질로, 두 공간이 위상적으로 다름을 증명하는 기준으로 활용. |
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[15강] 적공간 (1)
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위상수학 적공간의 정의와 곱위상의 기저
• 적공간과 곱위상: 각 위상공간의 열린 집합들의 곱을 기저(basis)로 하여 곱집합 위에 생성되는 표준 위상 및 그 공간. • 사영 함수(Projection): 곱공간에서 각 성분 공간으로의 함수로, 곱위상은 모든 사영 함수를 연속으로 만드는 가장 작은(coarsest) 위상. • 곱공간으로의 함수 연속성: 함수 f가 연속일 필요충분조건은 모든 사영 함수와의 합성($P_i \circ f$)이 연속인 것. |
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[16강] 적공간 (2)
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위상수학 적공간의 정의와 곱위상의 특징
• 곱위상 (Product Topology): 곱집합에서 모든 사영(projection) 함수를 연속으로 만드는 가장 작은 위상인 약위상(weak topology)으로 정의. • 곱위상의 기저 (Basis of Product Topology): 유한 개의 좌표를 제외한 나머지 모든 좌표에서는 전체 공간을 택하는 형태의 집합들로 구성. • 곱공간의 성질: 곱공간으로의 함수 연속성은 모든 성분함수의 연속성과 동치이며, 사영 함수는 항상 열린 사상(open map)임. |
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[17강] 적공간 (3)
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위상수학: 적공간의 정리와 상공간의 구성
• 적공간(Product Space): 사영함수의 연속성 및 개방성과 곱집합의 폐포가 각 폐포의 곱과 같아지는 위상적 성질. • 상공간(Quotient Space): 동치관계로 상집합을 정의하고, 자연사상이 연속이 되는 가장 강한 상위상을 부여하는 공간 구성법. • 상사상(Quotient Map): 상공간으로부터 나가는 함수의 연속성 판별 조건과 동치관계를 이용한 기하학적 공간 생성 원리. |
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[18강] 상공간
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위상수학 상공간: 정의, 성질, 동치관계에 의한 분할
• 상공간 및 상위상: 전사함수 f를 연속으로 만드는 가장 큰 위상으로, 역상 f⁻¹(G)가 개집합이 되는 Y의 부분집합 G들의 모임으로 정의. • 상함수: 전사·연속 함수가 개사상 또는 폐사상일 때 성립하며, 상공간의 위상 구조를 결정하는 핵심 사상. • 상공간과 동치관계: 모든 상공간은 함수값이 같은 점들을 묶는 동치관계 R에 의한 상집합 X/R과 위상동형 관계를 가짐. |
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| 4장. 거리공간 | ||
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[19강] 거리공간
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위상수학 거리공간의 정의와 거리위상
• 거리공간과 거리함수: 4가지 공리(M1-M4)로 정의된 거리 구조와, 보통거리·이산거리·택시거리 등 주요 예시. • 거리위상: 거리함수에 의해 정의된 ε-개근방을 기저로 생성되며, 유도된 위상에 따라 보통위상, 이산위상 등으로 분류. • 동치거리함수와 연속성: 동일한 거리위상을 유도하는 동치 관계 및 ε-δ 논법으로 재정의되는 거리공간에서의 함수 연속성. |
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[20강] 거리공간의 성질 (1)
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거리공간의 기본 성질: 연속성 및 정규성 증명
• 거리공간의 기본 개념: 점-집합 간 거리, 지름 등 거리 관련 용어를 정의하고 모든 점이 가산 국소기저를 가짐을 증명. • 거리와 위상적 성질: 폐포를 거리 개념(d(x, A)=0)으로 재해석하고, 거리 함수 d(x, y)와 d(x, A)의 연속성을 증명. • 거리공간의 정규성: 임의의 서로소인 두 폐집합은 거리를 이용해 구성한 열린 집합들로 분리 가능한 정규 공간임을 증명. |
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[21강] 거리공간의 성질 (2)
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거리공간의 성질: 거리화, 유계 거리, 노름 공간
• 거리화 문제와 유계 거리: 위상 공간의 거리화 가능성 판별 조건과 모든 거리를 위상 동형인 유계 거리로 변환하는 원리. • 노름 공간: 벡터 공간에 크기 개념을 부여하는 노름의 정의(양의 정부호성, 삼각부등식, 동차성)와 그 구조. • 노름 유도 거리: 노름(d(v,w)=||v-w||)으로 거리를 정의하고, 이를 통해 유클리드 공간과 힐버트 공간을 구성하는 방법. |
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| 5장. 수렴성, 분리공리 | ||
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[22강] 점열. 제1가산공간
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위상수학 점열의 수렴성과 제1가산공간
• 점열의 수렴: 근방(neighborhood)을 이용한 정의, 위상 구조에 따른 수렴성 차이 및 기저(base)를 통한 판정 조건. • 점열연속과 연속성: 연속 함수는 항상 점열연속이지만, 역은 일반 위상공간에서 성립하지 않음을 정의. • 제1가산공간: 모든 점이 가산 국소기저를 갖는 공간으로, 점열연속과 연속성의 동치 관계를 보장하고 점열로 폐포(closure)를 특정하는 조건. |
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[23강] 제2가산공간
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위상수학: 제2가산공간의 정의와 주요 성질
• 제2가산공간: 위상(topology)을 생성하는 가산 기저(countable basis)가 존재하는 공간. • 주요 위상 속성과의 관계: 제2가산공간은 항상 린델레프 공간(Lindelöf) 및 가분공간(separable)의 성질을 가짐. • 거리공간에서의 동치성: 거리공간에서는 제2가산, 린델레프, 가분 성질이 모두 동치 관계를 형성. |
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[24강] T0. T1. T2 분리공리
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위상수학 분리공리: T0, T1, T2 공간의 정의와 성질
• T0 공간 (Kolmogorov 공간): 서로 다른 두 점 중 한 점만 포함하는 열린집합이 존재하여 점을 위상적으로 구별하는 최소 분리 조건. • T1 공간 (Fréchet 공간): 모든 한 점 집합(singleton set)이 폐집합인 것과 동치인 분리 조건으로, 각 점을 다른 모든 점과 분리함. • T2 공간 (Hausdorff 공간): 서로 다른 두 점이 서로소인 열린 근방을 가지는 공간으로, 수렴하는 수열의 극한 유일성을 보장. |
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[25강] T3. T4 분리공리 (1)
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위상수학 분리공리: T3(정칙)공간과 T4(정규)공간
• T3 공간 (정칙공간): 점과 그를 포함하지 않는 폐집합을 분리하는 정칙(Regular) 성질과 T1 공리를 만족하는 위상공간. • T4 공간 (정규공간): 서로소인 두 폐집합을 분리하는 정규(Normal) 성질과 T1 공리를 만족하는 위상공간. • 분리공리 포함 관계: T4 공간 ⇒ T3 공간 ⇒ T2 공간(하우스도르프) 순으로 형성되는 위상적 계층 구조. |
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[26강] T3. T4 분리공리 (2)
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위상수학: 정규공간(T4)의 성질과 동치 조건
• 정규공간(T4)의 정의 및 동치 조건: 서로소인 두 폐집합을 분리하는 성질과, 폐집합과 개집합 사이에 폐포를 포함하는 개집합을 삽입할 수 있는 조건. • 정규성의 유전성: 폐부분공간(closed subspace)에서는 성질이 보존되나, 일반 부분공간이나 곱공간(product space)에서는 보존되지 않음. • 정규공간 판정 조건: 정칙공간(regular space)이 린델뢰프(Lindelöf)이거나, T2 공간이 콤팩트(compact)일 경우 정규공간이 성립. |
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[27강] 우리존의 보조정리
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위상수학: 우리존의 보조정리와 정규공간의 특성화
• 우리존의 보조정리: 정규공간의 위상적 성질을 서로소인 두 폐집합을 분리하는 연속함수의 존재 조건과 연결하는 핵심 정리 • 티체 확장정리: 정규공간에서 폐집합 위의 연속함수를 전체 공간으로 확장 가능함을 보장하는 정리 • 완전정칙공간과 티코노프 공간: 정규공간($T_4$)과 정칙공간($T_3$) 사이의 분리 공리($T_{3\frac{1}{2}}$)로, 공간의 위상적 특성을 분류하는 기준 |
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| 7장. 컴팩트 공간 | ||
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[28강] 컴팩트성 (1)
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위상수학의 컴팩트성 정의, 주요 정리 및 위상적 성질
• 컴팩트성 정의: 위상공간의 부분집합을 덮는 임의의 열린 덮개가 항상 유한 부분 덮개를 갖는 위상적 성질. • 컴팩트성의 주요 성질: 연속함수에 의해 그 상(image)으로 보존되며, T2 공간(하우스도르프 공간) 내에서 컴팩트 부분집합은 항상 폐집합임. • 컴팩트 T2 공간의 특성: 모든 폐집합이 컴팩트하여 정규 공간(T4)이 되며, 이는 컴팩트 공간에서 T2 공간으로 가는 단사 연속함수가 매입사상임을 보장함. |
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[29강] 컴팩트성 (2)
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위상수학 컴팩트성(2): 닫힌집합, 곱공간, 칸토르 집합
• 컴팩트성과 유한교차성질: 닫힌 집합족의 유한교차성질(F.I.P.)을 통한 컴팩트 공간의 동치 조건 정의 및 무한 부분집합의 집적점 존재를 보장하는 볼차노-바이어슈트라스 정리. • 티코노프 정리: 임의의 컴팩트 공간들의 곱공간(product space) 역시 컴팩트 공간임을 증명하는 정리. • 칸토르 집합: 3진법 전개를 이용한 정의, 컴팩트성, 그리고 이산 공간의 곱공간과의 위상동형 관계 분석. |
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[30강] 가산컴팩트성. 점열컴팩트성 (1)
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위상수학: 가산컴팩트성과 점열컴팩트성의 정의와 관계
• 가산컴팩트성: 모든 가산 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는 성질이며, 모든 무한 부분집합이 ω-집적점을 갖는 것과 동치인 조건. • 점열컴팩트성: 공간 내 모든 점열이 수렴하는 부분점열을 갖는 성질로, 볼차노-바이어슈트라스 정리의 일반화된 개념. • 컴팩트성 관계: 컴팩트와 점열컴팩트는 가산컴팩트를 함의하며, 제1가산·린델레프 조건 하에 동치가 되고 거리 공간에서는 세 개념이 모두 동일. |
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[31강] 가산컴팩트성. 점열컴팩트성 (2)
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컴팩트성과 전유계, 르벡수의 관계 (거리공간)
• 전유계와 르벡수: 점열컴팩트 공간의 성질을 분석하는 핵심 개념으로, 각각 유한 근사 가능성과 열린 덮개의 균등성을 보장. • 거리공간의 컴팩트성 동치 조건: 컴팩트, 가산컴팩트, 점열컴팩트 개념이 모두 동치이며, 전유계와 르벡수를 통해 증명. • 평등연속성 정리: 컴팩트 거리공간에서 정의된 연속함수는 항상 평등연속임을 보장하는 주요 응용 정리. |
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[32강] 국소컴팩트성. 컴팩트화공간 (1)
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위상수학 국소컴팩트성의 정의와 주요 정리
• 국소 컴팩트성: 모든 점이 컴팩트 집합으로 구성된 국소 기저를 갖는 위상 공간의 성질 • 국소 컴팩트 T2 공간: 모든 점이 컴팩트 근방을 가지며, 정칙 공간(T3) 성질을 만족하는 위상 공간 • 국소 컴팩트 부분 공간 조건: 국소 컴팩트 T2 공간에서 부분 집합이 열린 집합과 닫힌 집합의 교집합으로 표현되는 필요충분조건 |
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[33강] 국소컴팩트성. 컴팩트화공간 (2)
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위상공간의 컴팩트화: 한 점 컴팩트화와 스톤-체크 컴팩트화
• 컴팩트화: 비-컴팩트 공간을 컴팩트 공간의 조밀한 부분공간으로 만드는 과정 및 그 결과 • 한 점 컴팩트화: 공간에 한 점(무한원점)을 추가하고, 기존 공간의 컴팩트-폐집합의 여집합을 열린 근방으로 정의하여 컴팩트 공간을 구성하는 방법 • 스톤-체크 컴팩트화: 티코노프 공간을 단위구간 곱공간에 매장한 후, 그 상의 폐포를 취하여 구성하는 표준 T2 컴팩트화 방식 |
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| 8장. 연결공간 | ||
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[34강] 연결성 (1)
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위상수학의 연결공간과 비연결공간의 정의 및 판정법
• 연결공간과 비연결공간: 공집합과 전체집합 외에 열린집합이자 닫힌집합인 부분집합의 존재 유무로 공간의 분리 가능성을 판정하는 위상적 성질. • 연속사상과 연결성: 연결공간의 연속적 상(image)은 항상 연결집합으로, 연결성이 위상적 불변량임을 나타내는 핵심 원리. • 분리된 집합과 연결성 판정: 두 집합의 폐포가 서로 교차하지 않는 '분리' 개념으로 연결성을 재정의하고, 연결집합들의 합집합과 폐포의 연결성을 보존. |
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[35강] 연결성 (2)
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위상수학 연결성(2): 실수, 중간값 정리, 연결성분
• 실수 공간의 연결성: 실수 집합의 부분집합이 연결집합일 필요충분조건이 구간임을 증명. • 중간값 정리와 고정점 정리: 연결공간의 연속적 상이 연결집합이라는 성질을 이용한 위상적 증명. • 연결성분과 곱공간: 극대연결부분집합으로 공간을 분할하는 원리와 곱공간 연산의 연결성 보존 원리. |
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[36강] 국소연결성
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위상수학: $\mathbb{R}^n$의 연결성분과 국소연결성
• 연결성과 위상동형: $\mathbb{R}^n$의 연결성 보존 원리를 이용해 $\mathbb{R}$과 $\mathbb{R}^2$가 위상동형이 아님을 증명 • 국소연결성: 각 점의 근방에서 연결성을 판별하는 국소적 성질로, 연결성과는 독립적인 개념 • 국소연결 공간의 성질: 열린 부분집합의 성분이 열린집합이 되는 조건과 곱공간에서의 국소연결성 판별 |
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[37강] 호. 호상연결성
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위상수학: 호(Path)와 호상연결성(Path-connectedness)의 정의 및 성질
• 호(Path)와 호상연결성: 단위 폐구간 [0,1]로부터의 연속사상을 '호'로 정의하고, 공간 내 임의의 두 점을 호로 이을 수 있는 성질을 '호상연결성'으로 규정. • 연결성과의 관계: 호상연결집합은 항상 연결집합이나 역은 성립하지 않으며, 연속사상에 의해 보존되는 위상적 불변량. • 국소호상연결성: 연결공간이 이 조건을 만족하면 호상연결공간이 되며, 이때 연결성분과 호상성분이 일치함. |
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[38강] 부록 (1)
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위상수학 우리존의 보조정리와 거리화 정리
• 우리존의 보조정리: 정규공간의 위상적 성질과 특정 조건을 만족하는 연속함수의 존재성을 연결하는 정리. • 우리존의 거리화 정리: 제2가산공간이자 T4 공간인 위상공간이 거리화 가능함을 보이는 정리. • 힐버트 공간 매장 기법: 우리존 함수들을 좌표로 삼아 위상공간을 힐버트 공간에 매장시켜 위상동형임을 증명하는 핵심 전략. |
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[39강] 부록 (2)
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위상수학: 티체 확장정리와 곱공간의 컴팩트성
• 티체 확장정리: 정규공간의 폐집합에 정의된 연속함수를 유리존의 보조정리를 이용해 전체 공간으로 확장하는 정리. • 튜브 보조정리: 컴팩트 공간과의 곱공간에서, 특정 슬라이스를 포함하는 열린 집합은 반드시 튜브 형태의 근방을 포함함을 증명. • 곱공간의 컴팩트성: 튜브 보조정리를 이용해, 유한개의 컴팩트 공간의 곱공간이 컴팩트임을 보이는 정리. |
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[40강] 부록 (3)
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위상수학: 티콘오프 정리 증명과 파라컴팩트 공간
• 티콘오프 정리: 유한교차성(FIP)과 초른의 보조정리를 이용해 임의 개수의 컴팩트 공간의 곱공간이 컴팩트임을 증명하는 정리 • 파라컴팩트 공간: 모든 열린 덮개가 국소유한(Locally Finite) 열린 세분(Refinement)을 갖는 T2 공간으로, 컴팩트 개념을 일반화 • 스미르노프 거리화 정리: 파라컴팩트 및 국소적 거리화 가능성을 위상공간의 거리화 가능(Metrizable) 필요충분조건으로 제시 |
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전춘배 교수님
위상수학
