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수리물리학Ⅱ
정진교 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
신라대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 8장. 상미분방정식 | ||
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[1강] 1차 미분방정식
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1차 미분방정식 핵심 정리: 변수분리·선형·베르누이·완전·동차 방정식
• 상미분방정식과 1차 방정식 분류: 상미분방정식 개념과 물리·공학 모델(뉴턴 운동, 열전도, RLC 회로) 설정, 1차 방정식의 변수분리형·선형형·비선형형 구조와 직교궤적·특수해·특이해 개념 정리 • 표준 해법 유형: 변수분리형(양변 분리·직접 적분), 선형 1차식 $y'+P(x)y=Q(x)$의 적분인자 $\mu=e^{\int Pdx}$ 기법, 베르누이 방정식 $y'+P y=Q y^n$의 $z=y^{1-n}$ 치환 선형화, 동차식 $y'=f(y/x)$의 $u=y/x$ 치환과 비선형 예제 풀이 절차 정리 • 완전 미분방정식과 응용 모형: $Pdx+Qdy=0$에서 $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$ 판별을 통한 포텐셜 함수 $F(x,y)$ 구성과 $F=C$ 형식의 해, 방사성 단일·연쇄 붕괴 모형 및 기타 응용 문제를 통한 방정식 유형 판별→표준기법 적용 순서 훈련 |
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[2강] 상수계수인 이차 선형 제차 미분방정식
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상수계수 이차 선형 제차 미분방정식과 진동·감쇠 운동
• 상수계수 2차 선형 제차 미분방정식 해 구조: $a_2y''+a_1y'+a_0y=0$에서 $y=e^{\lambda x}$ 가정 → 특성방정식 $a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0$ 도출, 서로 다른 실근·중근·복소수 근에 따라 각각 $c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$, $(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$, $e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)$ 일반해 결정 • 질량–용수철 단순조화진동 모델: 뉴턴의 제2법칙과 Hooke 법칙으로 $m\ddot y+ky=0$ 또는 $\ddot y+\omega^2y=0$ 유도, 특성방정식 근 $\lambda=\pm i\omega$로부터 $y=c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)=C\sin(\omega t+\gamma)$ 꼴의 주기적 단순조화진동 해 및 초기조건에 따른 특수해 도출 • 감쇠 진동과 감쇠 유형: 속도 비례 감쇠력 포함해 $m\ddot y+l\dot y+ky=0$ → $\ddot y+2b\dot y+\omega^2y=0$ 및 특성방정식 $\lambda^2+2b\lambda+\omega^2=0$ 분석으로 과감쇠($b^2>\omega^2$·비진동 수렴), 임계감쇠($b^2=\omega^2$·최속 비진동 수렴), 저감쇠($b^2<\omega^2$·지수 감쇠 진동) 해 형태와 평형점 수렴 특성 분류 |
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[3강] 상수계수인 이차 선형 비제차 미분방정식
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상수계수 이차 선형 비제차 미분방정식, 미정계수법과 강제진동 및 Fourier 해법 개관
• 비제차 이차 선형 미분방정식 구조: 상수계수 방정식 $a_2y''+a_1y'+a_0y=f(x)$에서 일반해를 제차해 $y_c$(특성방정식으로 결정)와 특수해 $y_p$의 1차독립 합 $y=y_c+y_p$로 구성 • 미정계수법과 중첩 규칙: 우변이 다항·지수·삼각 및 그 선형결합/곱형일 때 $y_p$의 꼴을 미지계수 포함 형태로 가정해 계수 결정하며, 제차해와 꼴이 겹치면 적절한 거듭제곱 $x^m$을 곱해 1차독립성을 확보 • 강제진동 및 Fourier 해법: 감쇠·외력 강제진동 $y''+2by'+\omega^2y=F\sin(\omega' t)$는 복소지수법으로 정상상태 특수해와 진폭·위상 응답을 구하고, 주기 외력 $f(t)$는 Fourier 급수로 분해해 각 지수·삼각 성분별 특수해를 합성하여 전체 비제차해를 구성 |
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[4강] 다른 이차 미분방정식
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다양한 이차 미분방정식 해법 정리 (수리물리학 8.4절)
• 비선형·비상수 계수 이차 미분방정식 유형: 종속변수·독립변수 부재 유형의 p=y′ 치환, y''+f(y)=0·m x''=F(x) 꼴의 에너지 보존 적분, Euler-Cauchy 방정식의 x^m 가정 및 특성방정식 도출 • 베르누이 방정식 및 적분인자 기법: 독립변수 부재형에서 y''=p(dp/dy) 변환 후 베르누이식 y'+P y=Q y^n 인식, 지수 치환 z=y^{1-n}과 적분인자 활용을 통한 1차 선형식 해법 • 차수 줄이기(reduction of order): 2차 선형 제차식에서 한 해 y₁ 주어졌을 때 y₂=u y₁ 가정으로 차수 축소, 1차 방정식 해결을 통한 두 번째 독립해 구성 및 일반해 선형결합 정리 |
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[5강] Laplace 변환에 의한 미분방정식의 해
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라플라스 변환에 의한 미분방정식 해법과 기본 공식 정리
• 라플라스 변환 기본 개념: 정의·존재 조건·역변환 개념 및 다항식·지수·삼각·하이퍼볼릭 함수에 대한 기본 라플라스 변환 공식과 선형성·평행이동 정리 정리 • 도함수 라플라스 변환 공식: 1차·2차·일반 n차 도함수의 라플라스 변환과 초기값 포함 표현을 통해 미분연산을 s-영역의 대수식으로 바꾸는 구조 정리 • 라플라스 변환을 이용한 미분방정식 해법: 2차 및 비제차 2차 미분방정식, 연립 미분방정식에 라플라스 변환·부분분수분해·평행이동 정리·역변환을 적용해 초기값 문제를 대수 방정식 풀이 절차로 해결하는 방법 정리 |
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[6강] 합성곱과 Dirac 델타함수 (1)
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Summary Content:
합성곱과 라플라스·푸리에 변환, 미분방정식 풀이 핵심 정리 • 합성곱(Convolution) 연산: $(g*h)(t)=\int_0^t g(t-\tau)h(\tau)d\tau$ 로 정의되는 적분 연산으로, 조각적 연속·라플라스/푸리에 변환 존재 함수에 대해 교환법칙 및 시간영역-주파수영역 연결의 기본 구조 제공 • 라플라스·푸리에 변환의 합성곱 정리: 라플라스 변환에서 $\mathcal{L}\{g*h\}=\mathcal{L}\{g\}\mathcal{L}\{h\}$, 푸리에 변환에서 두 함수의 합성곱이 변환 영역의 곱에 대응하여 곱⇔시간영역 합성곱 쌍을 형성, 역변환을 통해 곱의 역변환을 합성곱 적분으로 계산 가능하게 함 • 2계 선형 미분방정식 해법: 라플라스 변환으로 미분방정식을 대수 방정식으로 변환한 뒤 해의 변환을 인자 분해하여 합성곱 형태로 표현하고 역변환(합성곱 적분)을 통해 해를 구하는 절차로, 부분분수 분해와 함께 해법 선택의 구조적 기준 제시 |
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[7강] 합성곱과 Dirac 델타함수 (2)
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Dirac 델타함수와 합성곱 – 스텝 함수, 라플라스·푸리에, 고차원 표현 핵심 정리
• 단위 계단함수·Dirac 델타함수: Heaviside step $u(t-a)$로 구간함수·시스템 on/off 표현, 사각 펄스 극한으로 정의되는 분포 $\delta(t-t_0)$의 적분 샘플링 성질 $\int p(t)\delta(t-t_0)dt=p(t_0)$ 및 임펄스 입력·임펄스 응답 개념 정리 • 라플라스·푸리에 변환과 미분방정식: 스텝 함수 평행이동 정리 $L\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}=e^{-st_0}F(s)$, $L\{\delta(t-t_0)\}=e^{-st_0}$, Fourier 표현 $\delta(x-a)=\frac{1}{2\pi}\int e^{-i\alpha(x-a)}d\alpha$, 델타 포함 강제진동 방정식의 라플라스 해법과 임펄스 응답 $y(t)=\frac{1}{\omega}\sin\omega(t-t_0)u(t-t_0)$ 도출 구조, 분포적 미분 $\int p(x)\delta^{(n)}(x-a)dx=(-1)^np^{(n)}(a)$ • 고차원·좌표계 변환과 물리적 밀도: 2·3차원 델타 적분을 통한 점에서의 함수값 추출, $\delta(\mathbf r-\mathbf r_0)$의 직교·원통·구면좌표 표현과 야코비안 계수(직교: 곱형, 원통: $\frac1r$, 구면: $\frac1{r^2\sin\theta}$), 점전하·질점 밀도 $\rho\propto\delta(\mathbf r-\mathbf r_0)$ 표기 및 좌표 변환 절차 정리 |
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| 9장. 변분법 | ||
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[8강] Euler 방정식과 Euler 방정식의 이용 (1)
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수리물리학 변분법 9장: Euler 방정식 유도와 최단거리 문제
• 변분법과 함수적 극값 원리: 함수적 I[y]=∫F(x,y,y')dx의 극값을 주는 함수 y(x)를 찾는 변분법의 기본 개념과 물리 법칙의 최대·최소(정상 작용) 원리 정식화 • Euler–Lagrange 방정식: 변형 곡선 y+εh, 끝점 조건 h(x₁)=h(x₂)=0, 부분적분과 임의 함수 h(x) 논리를 통해 일반형 Euler–Lagrange 방정식 d/dx(∂F/∂y')−∂F/∂y=0 유도 • 최단거리 문제 적용: 두 점 사이 곡선 길이 I[y]=∫√(1+y'²)dx를 F=√(1+y'²)로 정식화하고 Euler 방정식에 대입해 y'가 상수, 곧 직선 y=ax+b가 최단거리 곡선임을 도출하는 절차 정리 |
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[9강] Euler 방정식과 Euler 방정식의 이용 (2)
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Euler 방정식 응용, 최소곡선, 최속강하선과 사이클로이드
• Euler 방정식·1차 적분: 좌표계·독립변수 변화(직교·극·시간 매개)에도 형식이 불변이며, 적분함수에서 특정 변수(예: x, y, θ)가 직접 나타나지 않을 때 1차 적분 형태로 단순화하여 곡선 최적화 문제를 푸는 핵심 원리 • 최소 곡선·지오데식: 굴절률이 r⁻²인 매질에서의 빛 경로, 회전체 최소 표면적 곡선(현수선), 원뿔 z²=8(x²+y²) 위 최단 경로를 변분법과 변수 교환·삼각 치환으로 해석해, 각 문제의 지오데식 방정식과 해 형태를 도출하는 절차 • 최속강하선·사이클로이드: 에너지 보존으로 v=√(2gy)와 T∝∫√(1+y'²)/√y dx를 얻고, x' 변수 교환·삼각 치환을 거쳐 x=(1/c)(θ−sinθ), y=(1/c)(1−cosθ) 매개식 유도 후, 반지름 r 원이 구를 때의 사이클로이드 x=r(θ−sinθ), y=r(1−cosθ)와 일치함을 보여 최속강하선=사이클로이드임을 증명하는 구조 |
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[10강] Lagrange 방정식
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라그랑주 방정식, 해밀턴 원리, 같은 둘레 문제 핵심 정리
• 여러 종속변수 오일러–라그랑주 방정식·라그랑주 방정식: 다수 종속변수 범함수의 극값 조건, $L=T-V$와 해밀턴 원리로부터 $ \dfrac{d}{dt}(\partial L/\partial \dot{q}_i)-\partial L/\partial q_i=0$ 형태의 운동방정식 유도 • 좌표계별 라그랑주 형식 운동방정식: 직교좌표·극좌표에서 질점의 운동에너지·퍼텐셜 설정 후 일반화 좌표 $q_i$에 대해 라그랑주 방정식을 적용하여 각 방향의 $m a = F$ 성분식 체계적으로 도출 • 변분형 라그랑주 승수법·같은 둘레 문제: 제약적분 $J=\int G\,dx=\text{상수}$ 하에서 $I=\int F\,dx$ 극값을 위해 $F+\lambda G$에 대한 오일러–라그랑주 방정식 사용, 같은 둘레 문제에서 둘레 고정 시 최대 넓이를 주는 곡선이 원의 호·폐곡선이 원임을 증명하는 구조 정리 |
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| 10장. 텐서해석 | ||
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[11강] 직각텐서
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직교좌표계에서의 직각텐서와 크로네커 델타, Levi-Civita 기호 개념 정리
• 직교좌표계 텐서 구조: n차 텐서의 성분 수(3^n)와 0·1·2·4차 텐서 정의, 좌표축 회전에 따른 벡터·텐서 성분의 회전행렬(방향코사인, 직교행렬) 기반 변환 규칙 정리 • 지표 표기와 합 규약: 첨자 표기($x_i,V_i,a_{ij}$ 등)와 1·2·4차 텐서의 성분 변환식, 텐서곱 $u\otimes v$의 성분 $u_i v_j$, 아인슈타인 합 규약을 통한 행렬곱·미분 연산의 지표 표현 체계화 • Kronecker 델타·Levi-Civita 기호: $\delta_{ij}$의 단위행렬·내적·지표 치환 기능과 합성규칙, $\varepsilon_{ijk}$의 완전 반대칭 성질과 순열에 따른 부호 규칙, 내적·외적·행렬식·체적요소 표현에서의 활용 원리 정리 |
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[12강] 곡선좌표계와 직각이 아닌 텐서 (1)
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곡선좌표계와 직각이 아닌 텐서, 원통좌표계에서의 ds와 일반 곡선좌표계 표현
• 곡선좌표계·축적계수(척도인수)·기준벡터: 곡선좌표계 정의와 축적계수 \(h_i\), 기준벡터 \(a_i=\partial\mathbf{s}/\partial x_i\) 를 통해 실제 길이요소 \(ds=\sum a_i dx_i\) 와 직교성 구조 정리 • 원통좌표계 기하 표현: 원통좌표계에서 기준벡터 \(e_r,e_\theta,e_z\) 와 \(ds^2=dr^2+r^2 d\theta^2+dz^2\), \(ds=e_r dr+e_\theta(r d\theta)+e_z dz\), 속도·가속도 성분 표현 구조 정리 • 일반 곡선좌표계 계량텐서와 부피요소: 계량성분 \(g_{ij}=a_i\cdot a_j\) 로 \(ds^2=g_{ij}dx_i dx_j\) 를 행렬·텐서로 표현하고, 직교 곡선좌표계에서 \(g_{ii}=h_i^2\), \(ds^2=\sum h_i^2 dx_i^2\), \(dv=h_1 h_2 h_3 dx_1 dx_2 dx_3\) 및 원통좌표계 적용 정리 |
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[13강] 곡선좌표계와 직각이 아닌 텐서 (2)
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수리물리학 곡선좌표계 벡터연산자와 직각이 아닌 텐서, 반변·공변벡터 핵심 정리
• 직교·곡선좌표계 벡터연산자: 척도인자 h_i와 기저벡터 e_i를 사용해 기울기·발산·라플라스·회전의 일반식을 정의하고, 원통·구면좌표계에 h_i를 대입해 각 연산자 공식을 도출하는 체계 정리 • 좌표변환과 야코비안: 구면·일반좌표계에서 좌표관계식과 야코비안 행렬로 미분요소(dx_i)와 편미분(∂u/∂x_i) 변환을 연쇄법칙과 지표 표기법(아인슈타인 합 규약)으로 구조화 • 반변벡터·공변벡터와 텐서: 좌표변환에 따른 성분 변환식으로 반변(위첨자)·공변(아래첨자) 벡터를 정의하고, 직교/비직교 좌표계에서 두 성분의 차이와 텐서 해석에서의 지표 구분 필요성 정리 |
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| 11장. 특수함수 | ||
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[14강] 감마함수와 베타함수
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감마함수와 베타함수, 감마함수 성질, 단진자 주기
• 감마함수·베타함수 개념: 감마함수 적분정의·재귀식·팩토리얼 일반화(Γ(x+1)=xΓ(x), Γ(1/2)=√π)와 음수 영역 확장, 베타함수 정의 B(x,y)=∫_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt 및 B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) 관계 정리 • 특이적분 계산 구조: 감마·베타함수로 ∫_0^∞ x^n e^{-ax}dx, ∫_0^∞ x^{m}/(1+x)^n dx, ∫_0^{π/2} cos^{α-1}θ·sin^{β-1}θ dθ 등을 파라미터 식별 후 폐형식으로 계산하는 절차 정리 • 단진자 라그랑지안·주기: L=T−V로부터 단진자 운동방정식 𝜃¨+(g/l)sin𝜃=0 유도, 소진폭 근사에서 조화진동 주기 T=2π√(l/g) 도출, 비선형 정확식에서 에너지적분·변수분리로 얻는 주기 적분형(타원적분·베타함수와의 연결) 구조 제시 |
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[15강] 오차함수와 Striling의 공식
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오차함수, Stirling 공식, 타원적분·타원함수 핵심 정리
• 오차함수·가우스 누적분포함수: erf, erfc, Φ(x)의 정의·상호변환 관계와 테일러 급수·점근 전개 구조, 정규분포 적분의 표준 표현 기능 정리 • Stirling 공식·감마함수: 감마함수 적분 표현을 이용한 Stirling 근사 유도 절차(치환, 로그 전개, 가우스 적분)와 n!, Γ(p+1)의 대략식 및 응용 구조 정리 • 타원적분·Jacobi 타원함수: Legendre·Jacobi·완전 타원적분 정의와 상호 치환, 타원 둘레 4aE(k) 표현과 이심률 관계, Jacobi 타원함수 sn·cn·dn의 정의·기본 항등식·미분 관계 정리 |
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| 12장. 미분방정식의 급수해 | ||
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[16강] Legendre 방정식 (1)
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Legendre 방정식 급수해와 $l=0$인 경우 해의 형태
• 보통점과 급수해법: 2차 선형미분방정식에서 보통점에서의 멱급수해 존재 조건과 $y=\sum a_n x^n$ 가정 및 계수 재귀식 도출 절차 정리 • Legendre 방정식 구조와 급수해: $(1-x^2)y''-2xy'+l(l+1)y=0$에서 $x=0$을 보통점으로 한 멱급수 대입, $a_{n+2}=-\dfrac{(l-n)(l+n+1)}{(n+2)(n+1)}a_n$ 재귀식 및 짝수·홀수 계수 분리에 따른 두 독립해와 $-1 • $l=0$인 경우 해의 성질: $(1-x^2)y''-2xy'=0$에서 짝수항 해는 상수해 $y=a_0$로 수렴하고 홀수항 해는 $x=\pm1$에서 발산하여 끝점에서 비해석적이 되는 특성과 Legendre 다항식으로의 일반화 개념 정리 |
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[17강] Legendre 방정식 (2)
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Legendre 다항식과 Rodrigues 공식, 모함수 및 퍼텐셜 급수 전개
• Legendre 다항식과 Rodrigues 공식: Legendre 방정식의 정규해인 Legendre 다항식 $P_l(x)$ 정의, 기본 예($P_0,P_1,P_2,\dots$) 구조 및 Rodrigues 공식 $P_l(x)=\frac{1}{2^l l!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$을 이용한 유도·검증 절차와 Leibniz 규칙 기반 고차미분 계산법 정리 • 모함수와 재귀관계식: 모함수 $\Phi(x,h)=(1-2xh+h^2)^{-1/2}=\sum_{l=0}^{\infty}h^lP_l(x)$ 정의, 이항급수로부터 Legendre 다항식 급수표현, 경계조건 $P_l(1)=1$ 도출, 모함수 미분을 통한 Legendre 방정식 재확인과 $(2l+1)xP_l=(l+1)P_{l+1}+lP_{l-1}$ 등 재귀식 체계 정리 • 퍼텐셜의 Legendre 급수 전개: 중력·정전 퍼텐셜 $V=K/|\vec{R}-\vec{r}|$에 대해 코사인 법칙과 치환 $h=r/R$, $x=\cos\theta$를 사용해 $V=K\sum_{l=0}^{\infty}\frac{r^l}{R^{l+1}}P_l(\cos\theta)$ 형태의 Legendre 급수 전개를 수행하고, $R>|r|$ 수렴 조건과 각도 의존성 분리·근사 계산 활용 구조 정리 |
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[18강] Frobenius 해법과 Bessel 방정식 (1)
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Frobenius 해법과 직교성: Legendre·삼각함수·Bessel 준비
• 직교함수와 Legendre 다항식: 함수 내적 기반 직교성 정의, 삼각함수·복소지수함수·Legendre 다항식의 직교 조건과 $\int_{-1}^1 P_\ell P_m\,dx$, $\int_{-1}^1 P_\ell^2\,dx$ 계산 구조 정리 • Legendre 급수 전개: $[-1,1]$에서 임의 함수의 Legendre 급수 표현 $f(x)=\sum a_\ell P_\ell(x)$와 계수 공식 $a_\ell=\frac{2\ell+1}{2}\int_{-1}^1 fP_\ell dx$ 및 Taylor 급수와의 수렴·정칙성 비교 • 정칙특이점과 Frobenius 방법: 2계 선형 미분방정식의 정칙특이점 정의, 해 가정 $y=\sum a_nx^{n+s}$, 결정방정식과 점화식 도출 절차, 예제 $x^2y''+4xy'+(x^2+2)y=0$에서 $s=-1,-2$와 해 $y\propto\sin x/x$ 도출 과정 정리 |
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[19강] Frobenius 해법과 Bessel 방정식 (2)
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베셀 방정식과 Frobenius 해법, 제1·2종 Bessel 함수 개념 정리
• 베셀 방정식과 정칙 특이점: 베셀 방정식 \(x^2y''+xy'+(x^2-p^2)y=0\)의 구조, 표준형 및 \(x(xy')'+(x^2-p^2)y=0\) 변형, \(x=0\)에서의 정칙 특이점 판정과 Frobenius 급수해 기본 틀 정리 • Frobenius 해법과 급수해 구조: 지표 방정식 \(s^2-p^2=0\)로부터 \(s=\pm p\) 도출, 계수 점화식과 짝수·홀수 항 소거 구조를 통해 \(J_p(x)\), \(J_{-p}(x)\), 영차 함수 \(J_0(x)\)의 표준 급수 표현과 정수/비정수 차수에서 두 해의 독립성 및 로그항 등장 조건 정리 • 제1·2종 Bessel 함수 체계: 제1종 Bessel 함수 \(J_p(x)\)의 정의와 성질, 정수가 아닌 \(p\)에서의 일반해 \(C_1J_p(x)+C_2J_{-p}(x)\), 두 해의 선형결합으로 정의되는 제2종 Bessel 함수 \(Y_p(x)\)(Neumann 함수)의 개념 및 원통·축대칭 물리계에서의 기본 해 역할 정리 |
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[20강] Bessel 함수의 성질과 직교성
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베셀 함수의 성질, 적분 표현, 직교성, 응용 정리 요약
• 베셀 함수 기본 성질: 베셀 방정식 해로서 1·2종 베셀 함수 정의, 급수 전개와 미분·재귀 관계, 매개변수 치환을 통한 $J_p(kx)$ 표현 및 반정수차 베셀 함수의 $\sin x,\cos x$ 표현 정리 • 적분·미분방정식 응용: $\int x^{-1}J_1(x)\,dx$, $\int x^2J_2(x)\,dx$의 베셀 함수 표현, 일반 2계 선형미분방정식 $y''+\frac{1-2a}{x}y'+[(bcx^{c-1})^2+\frac{a^2-p^2}{x^2}]y=0$의 $x^aZ_p(bx^c)$ 꼴 해, 줄 길이 선형 증가 진자의 베셀 방정식 환원 및 해 구조 제시 • 직교성 및 함수계 구조: $J_p(\alpha x)$가 베셀 방정식을 만족함을 이용한 가중치 $x$에 대한 직교성 $\int_0^1xJ_p(\alpha x)J_p(\beta x)\,dx$ 증명, 영점 선택에 따른 직교 함수계 형성 및 에너지 전개·푸리에–베셀 전개 등 응용 기반 제시 |
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| 13장. 편미분방정식 | ||
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[21강] 파동방정식
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편미분방정식과 1차원 파동 방정식(탄성현 진동 해석)
• 편미분방정식·라플라시안·기본 PDE 형식: 편미분방정식 정의, 라플라시안 연산자, Laplace 방정식·열전도 방정식·파동 방정식의 구조와 시간 미분 차수 및 물리적 의미 비교 • 탄성현 파동 방정식 유도와 해 구조: 장력·질량밀도 일정 가정 하 뉴턴 제2법칙으로 1차원 파동 방정식 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ 유도, 고정단 경계조건을 통한 $k<0$ 고유값 문제 설정, 사인형 고유함수·고유값·정상진동 모드 및 마디 구조 도출 • 변수분리법·푸리에 사인급수와 초기값 문제: 변수분리로 분리해 $u_n(x,t)$ 구성, 전체 해를 고유모드 합으로 표현, 초기변위·초기속도 함수의 푸리에 사인급수 전개를 통한 계수 $B_n,B_n'$ 결정 및 중앙을 h만큼 당긴 줄 예제에서 계수 공식과 해의 명시적 표현 도출 |
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[22강] 열전도 방정식
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수리물리학 열전도 방정식과 1차원 판 문제 풀이 정리
• 열전도 방정식 개념: ∂u/∂t = c²∇²u 형태, 열확산계수·열전도도·밀도·비열과의 관계, 온도 분포의 시간·공간 변화 모델링 및 평형 수렴 특성 정리 • 변수분리법과 고유값 문제: u=F(x)T(t) 분리, 분리상수 -k² 선택에 따른 지수 감쇠형 시간해와 삼각함수형 공간해, 경계조건(Dirichlet/Neumann)에 따른 고유값·고유함수 구조와 Fourier 급수 전개 방식 정리 • 1차원 막대 열전도 해법: 정상상태 Laplace 해 u₀(x) 도출, 양 끝 온도 0인 경우의 고유해 uₙ(x,t)=Bₙe^{-(cnπ/l)²t}sin(nπx/l) 구성, 초기조건을 이용한 Fourier sine 급수 계수 결정 및 경계유형별 사인/코사인 급수 비교 |
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[23강] Laplace 방정식과 여러좌표계에서의 Laplace 작용소
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직사각형판 정상상태 온도와 라플라스 작용소(극·원통·구면좌표)
• Laplace 방정식과 변수분리: 직사각형·반무한 영역에서 Laplace/열전도 방정식을 변수분리·Fourier 급수·고유값 조건으로 풀어 정상상태 온도 및 온도분포 구조를 구함 • 라플라스 작용소와 좌표계: 극좌표·원통좌표·구면좌표로 좌표변환하여 라플라시안의 일반형(평면, 원통, 구면 대칭)을 유도하고, 원·원통·구 영역의 경계값 문제에 적용함 • 파동·열전도 방정식 해법: 원형 탄성막 진동을 극좌표 파동방정식·Helmholtz 방정식·고유값 문제로 정식화하고, 반무한 막대 열전도 문제를 Laplace 변환·상미분방정식·역변환(error function)으로 해석함 |
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| 14장. 복소수 변수함수 | ||
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[24강] 해석함수
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복소수변수 해석함수, Cauchy–Riemann, 조화함수 핵심 정리
• 해석함수와 Cauchy–Riemann 방정식: 복소함수의 미분 가능성과 해석성 정의, C-R 방정식의 필요·충분조건(편도함수 연속성 포함) 및 도함수의 경로 무관성 구조 정리 • 특이점과 Taylor 전개: 정규점·특이점·고립특이점 구분, 해석함수의 Taylor 급수 전개와 멱급수 예제를 통한 수렴영역·특이점 관계 이해 • 조화함수와 조화켤레: Laplace 방정식을 만족하는 조화함수 정의, 해석함수 실수부·허수부의 조화켤레 관계 및 C-R을 이용한 조화켤레 계산 절차 정리 |
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[25강] 경로적분
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복소해석학 경로적분, Cauchy 정리와 적분공식 핵심 정리 및 예제 정리
• Cauchy-Goursat 정리: 단순연결영역에서 해석함수와 단순폐경로가 주어질 때 경로적분이 0이 되는 조건과 Green 정리를 이용한 증명 구조 정리 • Cauchy 적분공식과 도함수 공식: 해석함수의 함수값·고계도함수를 경로적분으로 표현하는 기본 공식과 분모 (z−z₀)ⁿ⁺¹ 형태 적분의 일반형 관계 정리 • 경로적분 계산 응용: 특이점 포함 여부 판정 후 Cauchy-Goursat 정리·Cauchy 적분공식·도함수 공식으로 (z−z₀)ⁿ 분모 및 고계 극을 갖는 경로적분을 매개변수화 없이 계산하는 절차 정리 |
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[26강] Laurent 급수와 유수 정리
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Laurent 급수와 유수정리, 특이점 분류 및 유수 계산 요약
• Laurent 급수와 특이점 분류: 원환영역에서의 Laurent 급수 정의·계수 공식·해석 부분과 주부분 분해를 통해 제거가능 특이점·극(차수 포함)·진성특이점 분류 • 유수(residue)와 계산 공식: Laurent 급수의 $z^{-1}$ 계수로 정의되는 유수 개념과 적분 표현, Laurent 전개·고차 극 미분 공식·유리함수 단순극 공식 $p(z_0)/q'(z_0)$을 이용한 유수 계산 절차 • 유수정리와 복소경로적분: 폐곡선 내부 고립특이점들의 유수 합으로 적분값을 주는 유수정리와, 경로 내부 특이점 판별 → 각 유수 계산 → $2\pi i$ 배 합산에 의한 복소경로적분 계산 구조 |
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[27강] 유수 정리를 이용한 정적분의 계산
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유수정리를 이용한 정적분 계산
• 특이적분·Cauchy 주값·경로적분 개념: 무한구간·비유계 특이적분 정의, Cauchy 주값(P.V.)과 일반 특이적분의 극한 방식 구분, 실적분을 복소 경로적분으로 변환하는 기본 원리 정리 • 단위원·상반평면 경로 패턴: 삼각함수 정적분의 단위원 치환 패턴, 유리함수형 특이적분의 상반평면 반원 경로, Fourier 적분에서 지수함수 표현과 반원호 적분 소멸 조건(차수 조건·부등식 추정) 구조화 • 유수 계산과 실수/허수 분리 응용: 단순극 유수 계산 공식과 경로 내부 특이점 합 이용, 경계 위 특이점의 오목한 경로(작은 반원) 처리, 결과 적분의 실수·허수 분리 및 우함수·기함수 성질을 통한 0~∞ 구간 정적분 도출 패턴 정리 |
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[28강] 등각사상
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복소함수의 사상과 등각사상 핵심 정리 요약
• 복소 사상과 기본 변환: 복소함수 w=f(z)를 복소평면→복소평면 사상으로 보고, 선형 사상 w=az+b의 평행이동·확대/축소·회전, 예제 사상 w=z², w=1/z, w=e^z의 원·직선·직각격자→원·포물선·극좌표 격자 변환 구조 정리 • 등각사상과 미분계수: 등각사상을 교각(크기·방향) 보존 사상으로 정의하고, 해석함수 f에서 f'(z)≠0이면 등각임(정리 1·2), f'(z)=ρe^{iφ}의 ρ는 축척(길이·면적배율 |f'(z)|, |f'(z)|²), φ는 회전각이며 야코비안과의 관계로 면적 변화율 J=|f'(z)|² 정리 • 응용 예제와 판정법: 선형 사상 w=√2e^{πi/4}z+(1-2i)의 직사각형 사상과 넓이 2배 확대, w=z²·w=1/z의 원·직선 상 계산, 지수함수 w=e^z의 전해석성·미분계수 비소멸을 이용한 전 평면 등각사상 판정 및 격자→원·직선 사상 구조를 시험용 계산·서술형 핵심으로 정리 |
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| 15장. 확률과 통계 | ||
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[29강] 확률변수와 분포함수
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확률과 통계
• 확률 이론 기초 개념: 표본공간·사건·여사건·합사건·교집합·조건부 확률·독립 사건 정의와 승법정리·합사건 공식·베이즈형 조건부 확률 구조 정리 • 경우의 수와 조합론 도구: 곱의 법칙·순열·조합·이항정리 정의 및 nPr, nCr 선택 기준(순서·중복 여부)에 따른 경우의 수 계산 절차 정리 • 확률변수와 분포 분석: 이산·연속 확률변수와 pmf·pdf·cdf 정의, 기댓값·분산·표준편차 계산 공식, 균등분포 및 다변수 분포(공동밀도·분산·공분산) 개념 정리 |
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[30강] 여러가지 분포함수
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여러 가지 분포함수(이항·정규·포아송 분포 핵심 정리)
• 이산형 분포 체계(베르누이·이항·포아송 분포): 베르누이·이항·포아송 분포의 정의, 확률질량함수, 평균·분산, 베르누이 시행과 이항분포 관계 및 이항분포의 포아송근사 조건(np 일정, p→0) 정리 • 정규분포와 표준정규분포: 정규분포의 밀도함수와 정규곡선 성질, 평균·분산, 표준화 Z=(X-μ)/σ를 통한 표준정규분포 N(0,1) 변환 및 정규표를 이용한 구간확률 계산 절차 • 분포 간 근사 관계: 이항→정규 근사(np, nq 충분히 클 때), 이항→포아송 근사(n→∞, p→0, np=μ 일정), 포아송→정규 근사(μ 충분히 클 때) 조건과 각 근사를 이용한 복잡한 확률계산 단순화 방법 정리 |
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정진교 교수님
수리물리학Ⅱ
