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확률과통계학
이은지 교수
경희대학교 대학원 경영학과 석사과정
경희대학교 대학원 경영학과 박사졸업
경희대학교 대학원 경영학과 석사과정
경희대학교 대학원 경영학과 박사졸업
경희대학교
경북대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 9개 챕터, 25강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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[1강] 오리엔테이션
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확률과 통계 강의 오리엔테이션 핵심 구성 요약
• 확률·통계학 기본 구조: 기술통계학·추론통계학·확률 개념을 중심으로 자료분석, 확률분포(이산·연속), 표본분포, 추정·가설검정까지의 전체 흐름 제시 • 통계학 적용 및 필요성: 사회·자연·공학·경영 등 전 영역에서 자료분석·정보획득·기초 정량 분석 능력 함양을 위한 필수 기초 학문으로서의 기능 설명 • 강의 운영 구조: 장별 개요 제시 → 이론·정의 학습 → 예제 풀이 → 내용 정리 및 기출문제 풀이를 통한 시험 대비 및 개념 정리 중심 진행 |
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| 1장. 통계학과 자료분석 | ||
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[2강] 위치측도와 산포측도
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확률과 통계학 1장: 통계학 기초, 위치·산포 측도 정리
• 통계학·자료·척도 개념: 기술·추론통계, 모집단·표본·모수·통계량·표본오차·비표본오차, 질적·양적자료와 명목·서열·등간·비율척도 정의 및 기능 정리 • 위치 측도 체계: 산술평균·중앙값·최빈값·절사평균과 조화평균·기하평균의 정의, 계산 공식, 이상값 민감도 및 분포 형태와의 관계 정리 • 산포 및 분포 요약: 범위·분산·표준편차·사분위수·IQR의 정의와 계산 구조, 자유도(n−1) 개념, 중앙 50% 범위와 이상값에 강한 산포 측도 체계 정리 |
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[3강] 도표를 이용한 자료 정리
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도표를 이용한 자료 정리: 도수분포표·히스토그램·줄기잎·상자그림
• 도수분포표·상대도수: 연속형 자료를 계급·도수·상대도수로 구조화해 분포 범위·집중 구간을 수치로 표현 • 히스토그램·도수분포다각형·줄기-잎 그림: 계급별 도수 정보를 막대·선·줄기-잎 형태로 시각화해 분포 형태·대칭성·밀집 정도를 파악 • 상자그림·사분위수·IQR·울타리·이상값: Q1·Q2·Q3와 IQR, 안울타리·바깥울타리를 이용해 위치·산포·이상값·극단이상값을 요약 그래프로 표시 |
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| 2장. 확률의 기초개념 | ||
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[4강] 확률 개념
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확률의 기초 개념과 사상, 공리 및 성질 정리
• 확률 실험·표본공간·사상: 확률 실험 결과 집합인 표본공간과 표본점, 그 부분집합인 사상(events)의 정의 및 합·교·차·여·공사상, 단순·복합·배반사상 등 집합 연산 구조 정리 • 확률의 수학적 정의와 공리: 등가능 표본공간에서의 수학적 확률 P(A)=n(A)/n(S)와 비음성·전체집합·가산성 3대 공리를 기반으로 한 합사건·여사건·포함-배제 원리 등 기본 성질 체계화 • 벤 다이어그램과 확률 계산: 벤 다이어그램을 활용한 합·교·여사건 영역 분해와 주사위·비등확률 예제를 통한 합사건, 교사건, 배반사건, 여사건, A∩B, A∪B, Aᶜ∩Bᶜ 등의 확률 계산 절차 훈련 |
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[5강] 확률의 법칙, 조건부확률
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확률의 법칙, 조건부확률, 독립사건 핵심 정리
• 경우의 수·순열·조합: 순열(nPr)과 조합(nCr) 정의·공식·적용 상황(순서 고려 여부, 부분집합 선택)을 통해 경우의 수 계산 구조 정리 • 조건부확률과 곱의 법칙: 조건부확률 P(B|A)=P(A∩B)/P(A) 정의를 기반으로 두 사건 이상에 대한 곱의 법칙 및 일반화된 곱의 법칙으로 연속 사건 확률 계산 체계화 • 독립사건과 종속사건: P(A∩B)=P(A)P(B) 등 독립성 판별 조건과 여집합으로의 독립성 확장 성질을 통해 사건 간 관계 구조 분석 |
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[6강] 베이즈 정리
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베이즈 정리와 전확률, 몬티홀 문제 핵심 정리
• 전확률의 정리와 표본공간 분할: 표본공간의 서로 배반·완전 분할을 전제로 고배법칙을 적용해 전체 사건 확률을 합으로 표현하는 전확률 공식 구조 정리 • 베이즈 정리와 사후확률: 사전확률과 조건부확률(우도)을 이용해 관측 결과 이후의 사후확률을 계산하는 베이즈 정리의 일반식과 해석(사전확률·우도·사후확률) 체계화 • 베이즈 응용 사례: 공장-불량률 예제와 몬티홀 문제를 통해 전확률 → 베이즈 정리 적용 절차, 정보 갱신에 따른 의사결정 확률 변화 구조 정리 |
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| 3장. 확률변수와 확률분포 | ||
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[7강] 확률변수와 확률분포 (1)
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확률변수와 확률분포 핵심 정리(기댓값·분산·체비셰프 포함)
• 확률변수와 분포 함수: 이산·연속 확률변수 구분, pmf·pdf·cdf 정의와 성질(비음수성, 전체합·면적 1, 비감소·연속/우측연속) 및 구간확률 계산 구조 정리 • 기댓값과 분산: 이산·연속형 기댓값·분산 정의와 계산식(E(X), Var(X)=E(X²)-[E(X)]²), 선형변환 성질(E(aX+b), Var(aX+b))을 통한 분포 중심·산포 분석 • 체비셰프 부등식: 분포 형태와 무관한 확률 하한 부등식 P(|X-μ|≤kσ)≥1−1/k² 구조와 평균·표준편차·k 관계를 이용한 구간확률 하한 산출 방법 정리 |
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[8강] 확률변수와 확률분포 (2)
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결합확률분포, 주변·조건부분포, 공분산과 상관계수 정리
• 결합확률분포와 주변·조건부분포: 이산·연속형 결합확률(밀도)함수 정의, 주변분포 도출(합·적분), 조건부분포와 영역 확률 계산 구조 정리 • 확률변수 독립성: 결합분포와 주변분포의 곱 비교를 통한 독립·종속 판정, 이산·연속형에서의 독립 조건 및 결합분포 예제 기반 계산 절차 정리 • 공분산과 상관계수: 공분산·분산·합성분산 관계, 상관계수 정의·범위·해석, 이산형 결합분포에서 공분산·상관계수 계산 절차 정리 |
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| 4장. 이산확률분포 | ||
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[9강] 이산형 균일분포, 베르누이분포, 이항분포
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베르누이분포와 이항분포 핵심 정리 및 예제 정리
• 이산균등분포·베르누이분포·이항분포: 이산형 확률분포의 정의·표기(X∼U, X∼Ber(p), X∼B(n,p))와 확률질량함수 구조 정리 • 기댓값과 분산 공식: 각 분포의 E(X), V(X) 일반식(E(U)= (n+1)/2, V(U)=(n²−1)/12, E(Ber)=p, V(Ber)=p(1−p), E(Bin)=np, V(Bin)=np(1−p)) 정리 • 이항분포 적용 및 누적표 사용: 성공/실패 모형화, 이상·이하·구간 확률 변형(P(X≥a)=1−P(X≤a−1), P(a≤X≤b)=P(X≤b)−P(X≤a−1))과 동전·불량률·생존율 사례 계산 절차 정리 |
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[10강] 포아송분포, 초기하분포
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포아송분포와 초기하분포 핵심 정리 및 예제 풀이 요약
• 포아송분포: 단위시간·공간 희귀사건 발생 횟수 분포, PMF \(P(X=x)=\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}\), 평균·분산 모두 \(\lambda\), 모수 \(\lambda\)의 구간 스케일링 및 가법성 정리 • 초기하분포: 유한모집단 비복원 추출 시 성공 개수 분포 \(X\sim H(N,r,n)\), PMF \(\frac{\binom{r}{x}\binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}}\), 이항분포와의 독립·종속 구조 차이 정리 • 두 분포의 모수 해석: 포아송분포의 평균·분산, 초기하분포의 \(E(X)=n\frac{r}{N}\), \(Var(X)=n\frac{r}{N}(1-\frac{r}{N})\frac{N-n}{N-1}\) 및 이항분포 근사 조건을 통한 모형 선택 기준 정리 |
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[11강] 기하분포, 음이항분포
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기하분포와 음이항분포 핵심 정리 및 예제 정리
• 기하분포(Geometric Distribution) : 베르누이 시행에서 처음 성공까지의 시행횟수 분포, pmf $P(X=x)=pq^{x-1}$, 기댓값 $E(X)=\frac{1}{p}$, 분산 $V(X)=\frac{q}{p^2}$ 정리 • 음이항분포(Negative Binomial Distribution) : 베르누이 시행에서 r번째 성공까지의 시행횟수 분포, pmf $P(X=x)={x-1 \choose r-1}p^rq^{x-r}$, 기댓값 $E(X)=\frac{r}{p}$, 분산 $V(X)=\frac{rq}{p^2}$ 및 r=1일 때 기하분포와의 관계 정리 • 베르누이 시행 기반 응용 : 주사위(성공 눈이 나올 때까지의 던진 횟수)·신용카드 판매(목표 매출 달성까지 만나는 고객 수) 등 기하·음이항분포 모형 설정과 확률 계산 사례 정리 |
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| 5장. 연속확률분포 | ||
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[12강] 연속형 균일분포, 정규분포
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연속형 균등·정규·표준정규·정규근사 핵심 정리
• 연속형 균등분포·정규분포: 균등분포 $U(a,b)$의 pdf·기댓값 $(a+b)/2$·분산 $(b-a)^2/12$와 정규분포 $N(\mu,\sigma^2)$의 정의·대칭성·기댓값·분산 구조 정리 • 표준정규분포·중심극한정리: $Z=(X-\mu)/\sigma$ 표준화, 표준정규분포표·대칭성 활용, 표본평균의 분포와 중심극한정리를 통한 임의 분포의 정규근사 원리 • 이항·포아송의 정규근사 및 응용: $Bin(n,p)$·$Poi(\lambda)$의 정규근사 조건과 연속성 수정(0.5 보정), 두 정규변수 합·차 분포와 역문제(상한·합격선 결정) 계산 절차 정리 |
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[13강] 지수분포
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지수분포 성질, 포아송분포와의 관계 및 응용 예제 정리
• 지수분포 핵심 개념: 확률밀도함수·누적분포함수·평균·분산을 통해 대기시간·수명·고장시간을 연속확률변수로 모델링하는 분포 구조 정리 • 지수분포 고유 성질: 비기억성, 생존함수와 위험률 정의 및 지수분포에서의 상수 위험률 특성, 포아송분포와의 사건 수–대기시간 관계 구조 정리 • 지수분포 응용 문제: 평균수명·대기시간·사고 간격·생존시간을 지수분포·포아송·이항분포와 결합해 조건부확률·신뢰도·기대값을 계산하는 예제 풀이 정리 |
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[14강] 감마분포
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감마분포와 카이제곱분포의 정의와 성질 요약
• 감마함수와 감마분포: 감마함수 정의와 재귀·팩토리얼 성질을 바탕으로 감마분포 pdf, 모수(α, β) 의미, 평균·분산 및 지수분포와의 포함 관계(α=1 특수형) 정리 • 감마·지수분포 구조: 포아송 과정에서 n번째 도착시간 분포로서 감마분포 해석, 독립 지수분포 합의 감마분포화, 대기시간·응답시간 문제에서 pdf·기댓값·누적확률 계산 절차 정리 • 카이제곱분포와 자유도: 감마분포 Γ(r/2, 2)의 특수형으로 카이제곱분포 정의, 자유도 개념, 평균 r·분산 2r 공식과 독립 카이제곱합의 자유도 가산 성질 및 임계값·기각역 해석 정리 |
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[15강] 카이제곱분포, t분포, f분포
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카이제곱분포, t분포, F분포 핵심 정리와 분포표 활용 요약
• 카이제곱분포·t분포·F분포 정의: 정규·카이제곱 결합으로 유도되는 연속형 분포 구조, 자유도에 따른 평균·분산·꼬리 형태 및 대칭/비대칭 특성 정리 • 분포표 활용 절차: 카이제곱·t·F분포의 오른쪽 꼬리 기준 임계값 읽기, 자유도에 따른 임계값 변화, t분포의 대칭성 활용, F분포의 자유도 교환·역수에 의한 1−α 변환 공식 정리 • 연속형 분포 간 관계: 정규·표준정규·지수·감마·카이제곱·t·F 분포 간 생성 관계와 모수·자유도 연결 구조, 모평균·분산 추정과 검정에서의 분포 선택 기준 정리 |
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| 6장. 확률표본과 표본분포 | ||
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[16강] 확률표본과 표본분포
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확률표본과 표본분포, 표본평균·분산, 중심극한정리 요약
• 모집단·모수·표본·통계량 개념: 모집단과 모수(μ,σ²), 표본과 통계량(표본평균, 표본분산, 표본표준편차)의 정의 및 기호 체계 정리 • 확률표본과 표본분포·표본평균 성질: 독립·동일분포 확률표본에서 표본평균·표본분산 정의, 표본평균의 기대값 E(𝑋̄)=μ와 분산 V(𝑋̄)=σ²/n, 표준오차 SE(𝑋̄)=σ/√n 구조 정리 • 정규분포·중심극한정리와 응용: 정규모집단 및 대표본에서 𝑋̄의 (근사)정규분포, 두 평균 차 분포, Z-표준화 절차를 사용한 확률계산 및 예제 구조 요약 |
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[17강] 포본분산의 분포와 표본비율의 분포
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표본분산·표본비율의 분포 핵심 정리와 예제 정리
• 표본분산·카이제곱·t분포: 정규모집단에서 $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$, 이를 표본평균과 결합해 $T=(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)\sim t(\text{자유도})$ 구조 정리 • 두 집단 평균·분산 비교: 합동표본분산 $S_p^2$와 $(n+m-2)S_p^2/\sigma^2\sim\chi^2(n+m-2)$, 두 평균 차이 t통계량, 두 분산비의 F분포 $F(S_1^2,S_2^2)\sim F(n-1,m-1)$ 구조 정리 • 표본비율 분포·정규근사: 이항분포 기반 표본비율 $\hat p=X/n\approx N\left(p,\frac{pq}{n}\right)$, 두 표본비율 차이 분포와 $np,nq\ge5$ 조건하 정규근사·표준화 공식 활용 정리 |
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| 7장. 추정 | ||
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[18강] 추정 (1)
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추정 이론과 모평균·모평균 차의 신뢰구간 정리
• 추정 이론과 좋은 추정량: 점추정·구간추정 구분, 불편성·유효성·일치성·표준오차·MSE(분산+바이어스²)로 추정량 특성 평가 • 신뢰구간 기본 구조: 모수 포함 구간 제시, 신뢰수준(1-α)·오차한계·정규분포·t분포 임계값을 이용해 구간 폭과 신뢰수준 관계 설정 • 모평균·두 모평균 차 신뢰구간: 모분산 알고/모름, 정규성·등분산 가정, 표본크기에 따라 Z 또는 t 선택해 단일 모평균과 두 모평균 차의 신뢰구간 계산 구조 정리 |
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[19강] 추정 (2)
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모비율·모분산 추정과 표본크기 결정 핵심 정리
• 비율·평균·분산 추정: 모비율과 두 모비율 차의 정규근사 기반 신뢰구간, 정규모집단 모분산·모표준편차의 카이제곱분포 신뢰구간, 두 모분산 비의 F분포 신뢰구간 구조 정리 • 신뢰구간 구성 원리: z·t·χ²·F 분포 선택에 따른 모평균·두 모평균 차·모비율·두 모비율 차·모분산·두 모분산 비의 구간추정 공식과 좋은 추정량(불편성·유효성·일치성) 조건 체계화 • 표본크기 결정: 원하는 신뢰수준과 허용 오차(신뢰구간 길이)에 맞춰 모평균(모분산 알려진/미지), 두 모평균 차, 모비율의 최소 표본크기 산출 공식 정리 및 예비추정치(s, 𝑝̂) 활용 설계 방법 제시 |
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| 8장. 가설검정 | ||
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[20강] 가설검정 (1)
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단일·두 모평균 가설검정, 유의수준·오류·검정력 정리
• 통계적 가설·검정 구조: 귀무가설·대립가설 설정, 단측·양측 검정, 유의수준·기각역·p-value를 이용한 모평균·두 모평균에 대한 z검정·t검정 절차 정리 • 오류와 검정력 개념: 제1종 오류(α), 제2종 오류(β), 검정력(1−β)의 정의와 상충관계, 기각역·표본 크기 변화가 오류·검정력에 미치는 영향 구조화 • 모평균 검정 유형 구분: 단일 모평균(모분산 알려진/미지), 두 모평균 차이(독립·대응, 등분산·이분산)의 검정통계량·자유도 선택과 임계값·신뢰구간·p-value 활용 비교 정리 |
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[21강] 가설검정 (2)
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두 모평균 차이의 가설검정 정리 및 예제 요약
• 두 모평균 차이 Z-검정: 모분산이 알려진 두 독립 모집단의 평균 차이에 대해 표준오차를 모분산으로 계산하여 Z통계량을 구성하고 양·단측 가설에 따른 임계값으로 기각 여부를 판단하는 절차 • 두 모평균 차이 t-검정: 모분산을 모르는 두 독립 모집단에서 등분산 가정 시 합동분산 추정량을 사용한 pooled t-검정, 이분산 가정 시 Welch 자유도 공식을 사용하는 근사 t-검정을 통해 평균 차이 유의성을 판단하는 방법 • 대응관측값(쌍체) t-검정: 동일 개체의 두 조건·시점 관측에서 차이값 D_i를 정의해 단일 모평균 t-검정 문제로 변환하고 평균 차이가 0인지 여부를 자유도 n−1의 t분포로 검정하는 구조 정리 |
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[22강] 가설검정 (3)
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단일·두 모비율 및 모분산 검정 정리, p-value까지
• 모비율 가설검정: 단일 모비율·두 모비율 차이에 대해 이항분포 정규근사 기반 Z검정, 합동추정량 활용, 양측·단측 기각역 및 p-value 해석 정리 • 모분산 가설검정: 정규성 가정하 단일 모분산의 카이제곱 검정과 두 모분산 비에 대한 F검정에서 검정통계량, 자유도, 비대칭 분포 특성 및 임계값 결정 구조 정리 • 가설검정 공통 구조: 모평균·모비율·모분산 전반에 적용되는 가설 설정–유의수준·기각역 결정–검정통계량 계산–판정–해석의 5단계, p-value 기준과 신뢰구간과의 대응 관계 통합 정리 |
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| 부록 | ||
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[23강] 기출문제풀이 (1)
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확률과 통계 기출풀이 핵심 정리: 조건부·연속분포·기댓값
• 조건부 확률·독립사건·베이즈 정리: 여집합·합집합·교집합 공식을 기반으로 조건부 확률 정의, 사건 독립성 판정, 베이즈 정리를 이용한 사전·사후 확률 계산 및 동전·불량률 기출 구조 정리 • 연속형 확률분포·결합분포: 연속형 확률밀도함수에서 영역적분 설정, 최댓값·최솟값 분포의 CDF·PDF 도출, 결합·주변분포와 독립성, 지수형 결합분포에서 부등식 영역 확률 계산 및 Z=X+Y 분포 응용 • 반복시행·분산 최대화·지수분포: 공정 배분을 위한 반복시행 확률모형 설정, 분산 V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2의 파라미터 최대화 문제에서 미분 활용, 지수형 분포의 정규화 상수와 기대값 계산 절차 정리 |
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[24강] 기출문제풀이 (2)
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확률·통계 기출 풀이 핵심 정리(균등분포·이항분포·정규근사·추정·검정)
• 확률분포와 기대값: 연속균등분포·특수 이산분포·이항분포의 확률함수, 평균·분산 계산 및 생성함수·조합항 변형을 통한 이항분포 기대값 np 증명, 공분산·독립성 판정 구조 정리 • 근사분포와 중심극한정리: 이항분포의 정규근사 조건(np, n(1-p)≥5), 비표준 주사위·사각연필 합의 분포에서 정규근사·중심극한정리를 이용한 합·차·표본평균 확률 계산 절차 • 모평균 추정과 검정: 정규모집단에서 모분산 알려짐/미지·표본크기 대소에 따른 z·t 분포 선택, 단일·두 집단 모평균 신뢰구간 설정, 모평균 가설검정에서 검정통계량과 최소 유의수준 산출 방법 정리 |
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[25강] 기출문제풀이 (3)
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연속확률분포, 정규분포와 조건부기댓값 기출 풀이 정리
• 이산분포 핵심 개념: 음이항분포·이항분포 조건부확률·이항분포의 정규근사를 통해 성공확률·모수·지지집합 설정과 조건부확률 계산 구조 정리 • 정규·연속분포 분석: 연속확률변수 변환과 기댓값, 정규분포 선형결합(키·몸무게·점수), 표본평균의 분포와 신뢰구간, 최소값·지수수명 분포를 통한 평균·분산·신뢰구간·min 연산 구조 정리 • 다변량·선형결합 분포: 결합·주변·조건부밀도와 조건부기댓값, 독립 연속확률변수 선형결합의 이중적분·누적분포·미분 절차로 합성분포 도출 방법 체계화 |
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이은지 교수님
확률과통계학
