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공업수학(KREYSZIG) 문제풀이 통합과정
정진교 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
신라대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 18개 챕터, 30강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 1계 상미분 방정식 | ||
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[1강] 1계 상미분 방정식(1)
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1계 상미분방정식 유형별 해법 및 문제풀이
• 1계 상미분방정식 정의: 도함수 포함 방정식의 음/양형태, 초기값 문제 개념 및 물리/공학 문제 모델링 3단계 원리. • 1계 상미분방정식 유형: 변수분리형, 동차, 완전, 1계 선형, Bernoulli 방정식 등 각 고유 해법 및 치환 기법 적용. • 적분인자 및 치환 활용: 완전미분방정식 변환, 선형 미분방정식 해법, 복잡한 비선형 방정식 단순화 핵심 전략. |
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[2강] 1계 상미분 방정식(2)
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07:
41
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공업수학 1계 상미분 방정식 문제풀이
• 1계 상미분 방정식 유형: 동차, 완전, 선형, 베르누이, 변수분리형 등 형태별 해법 원리 및 구조 분석 • 미분방정식 풀이 전략: 평행이동, 치환, 적분인자를 활용한 선형화, 완전화 절차 및 초기값 문제 해결 • 응용 및 근사해: 박테리아, 혼합물, 냉각 법칙 등 실생활 모델링과 Picard 반복법을 통한 근사해 도출 |
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| 2장. 2계 선형상미분방정식 | ||
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[3강] 2계 선형상미분방정식(1)
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54:
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2계 선형 상미분방정식 해법 및 초기값 문제
* 2계 선형 상미분방정식: 일반형, 표준형, 제차/비제차 정의 및 해의 일차독립성을 Wronskian으로 판단. * 제차 방정식 해법: 특성방정식으로 해의 근 도출 및 계수 내림법을 통한 해 구성 원리 이해. * 비제차 특수해: 미정계수법(중첩 처리) 및 매개변수변환법 적용, 초기값으로 일반해 상수를 결정하여 특정 특수해 도출. |
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[4강] 2계 선형상미분방정식(2)
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2계 선형 비제차 상미분방정식 문제풀이
• 2계 선형 비제차 상미분방정식: 제차 솔루션 $y_h$와 특수해 $y_p$의 합으로 일반해를 구성하며, $y_p$는 $r(x)$ 형태에 따라 미정계수법 또는 매개변수 변환법으로 선택. • 매개변수 변환법: Wronskian을 활용하여 $u_1', u_2'$를 계산하고, 다양한 $r(x)$ 형태(예: $\sec^3 x, \tan^{-1} x$)의 특수해 $y_p$를 결정하는 핵심 해법. • 오일러-코시 비제차 방정식: $y=x^m$ 치환으로 제차해 $y_h$를 구하고, 비제차 특수해 $y_p$는 $x=e^t$ 치환을 통한 미정계수법 또는 매개변수 변환법 중 용이한 방법을 선택하여 해결. |
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[5강] 2계 선형상미분방정식(3)
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2계 선형상미분방정식 문제풀이
* 2계 상미분방정식 해법: Cauchy-Euler 방정식은 $x=e^t$ 치환으로, 비선형 방정식은 $y'=W$ 치환 및 변수분리법으로 해결. * 미분방정식 일반해 구성: 특성 방정식으로 제차해를 도출하고, 미정계수법으로 비제차항의 특수해를 찾아 일반해를 완성. * 물리 시스템 모델링 및 초기값 적용: RLC 회로와 질량-용수철 시스템을 2계 미분방정식으로 모델링하고 초기값을 활용해 해를 결정. |
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| 3장. 고계 선형상미분방정식 | ||
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[6강] 고계 선형상미분방정식(1)
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고계 선형 상미분방정식 (1), 시험 대비 요약
• 고계 선형 상미분방정식: n차 미분항을 포함하며, n개의 일차 독립 해의 선형 결합으로 일반해 구성, 초기값 문제로 미정계수 고정. • Wronskian 및 제차 방정식: Wronskian으로 해의 일차 독립성을 판단하며, 상수계수 제차 방정식은 특성방정식의 특성근을 통해 해법 결정. • 비제차 방정식 해법: 여함수와 특수해의 합으로 일반해 도출, 미정계수법(중첩의 원리 적용) 또는 매개변수변환법으로 특수해 계산. |
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[7강] 고계 선형상미분방정식(2)
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고계 선형상미분방정식(2) 문제풀이
• 고계 선형상미분방정식 해법: 제차 방정식 특성방정식으로 일반해를, 비제차 방정식은 미정계수법 및 매개변수변화법으로 특수해를 도출 • 오일러-코시 방정식: $x=e^t$ 변수 치환을 통해 상수계수 선형 미분방정식으로 전환하여 해를 계산 • 초기값 문제 해법: 일반해 도함수에 초기값을 대입, 연립방정식으로 미지 상수 결정 |
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| 4장. 연립상미분방정식, 위상평면, 정성법 | ||
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[8강] 연립상미분방정식, 위상평면, 정성법(1)
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공업수학 연립상미분방정식, 위상평면, 정성법(1)
* **연립 상미분방정식**: 고유값·고유벡터를 활용한 행렬 기반 해법으로 시스템의 동적 거동을 예측하고 분석하는 원리. * **임계점의 안정성 및 유형**: 고유값 특성(trace, determinant, discriminant) 기반 위상 평면 상의 마디점, 안장점, 중심, 나선점 분류 및 안정성 판별 기준. * **응용 및 변환**: 2계 미분방정식을 연립계로 변환하거나 실제 현상을 모델링하여 해법을 적용하는 과정. |
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[9강] 연립상미분방정식, 위상평면, 정성법(2)
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연립상미분방정식, 위상평면 및 비선형 시스템 해석
• 임계점 분석: 비선형 연립상미분방정식의 선형화 및 위상평면을 통한 중심점, 안장점, 마디점, 나선점 유형 판별 원리 • 비제차 연립미분방정식 해법: 고유값/고유벡터를 이용한 제차 일반해와 미정계수법을 통한 특수해 도출 절차 • RLC 회로 해석: 키르히호프 법칙을 적용하여 연립미분방정식을 구성하고 전류를 계산하는 공학 응용 원리 |
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| 5장. 상미분방정식의 급수해, 특수함수 | ||
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[10강] 상미분방정식의 급수해, 특수함수(1)
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상미분방정식의 급수해 및 특수함수
• 상미분방정식의 급수해법은 보통점에서 거듭제곱급수, 정칙특이점에서 Frobenius 해법을 적용하여 변수 계수 미분방정식 해를 도출. • Frobenius 해법은 지표 방정식 근의 관계에 따라 해의 기저 형태를 결정하며, Legendre, Bessel 등 특수함수 해를 포함. • 미분방정식의 점 분류(보통점, 정칙특이점, 비정칙특이점)는 급수해법의 적용 가능성과 적절한 해법 선택 기준을 제시. |
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[11강] 상미분방정식의 급수해, 특수함수(2)
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상미분방정식의 급수해 (Frobenius 해법) 및 특수함수
* **Frobenius 해법**: 정칙특이점을 갖는 상미분방정식의 급수해를 결정방정식과 계수 관계식을 통해 도출하는 방법론. * **결정방정식 근의 유형**: 근의 차이(정수 아님, 중근, 정수)에 따라 급수해 도출 절차와 해의 형태가 결정됨. * **차수 축소법**: 결정방정식의 중근 또는 정수 차이 근 발생 시, 하나의 급수해로부터 두 번째 독립적인 해를 유도하는 보조 기법. |
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| 6장. Laplace 변환 | ||
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[12강] Laplace 변환(1)
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공업수학 Laplace 변환의 정의, 성질 및 미분방정식 해법
• Laplace 변환: 시간 영역 함수를 $s$ 영역 함수로 변환, 미분방정식을 대수 방정식으로 단순화하는 수학적 도구 • 주요 성질: 이동 정리, 도함수·적분 변환, 단위 계단·Dirac Delta 함수, 합성곱 개념 및 적용으로 복잡 함수 처리 • 미분방정식 해법: Laplace 변환을 통한 대수 방정식화 후 해 도출 및 역변환으로 초기값 문제 효율적 해결 |
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[13강] Laplace 변환(2)
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공업수학 Laplace 변환 응용 문제풀이
* **Laplace 변환 기본 응용:** RLC 회로 전류 계산, 불연속 및 주기 함수의 Laplace 변환 공식 증명 및 적용. * **합성곱 및 적분방정식:** 합성곱의 정의와 정리 활용, 적분방정식을 Laplace 변환으로 대수화하여 해법 도출. * **연립 미분방정식:** 초기 조건과 이동 정리 적용, 1/2계 연립 미분방정식의 Laplace 변환 해법. |
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| 7장. 선형대수 : 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 | ||
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[14강] 선형대수 : 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식(1)
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선형대수: 행렬, 행렬식, 연립방정식 해법 기초
• 선형연립방정식: 행렬 표현, Gauss 소거법으로 행사다리꼴/기약사다리꼴 변환을 통한 해의 종류(유일, 무수, 없음) 분석. • 행렬식과 계수: Sarrus/여인수 전개로 행렬식 계산, 소행렬식/여인수 정의, 계수(rank)를 통한 일차독립 및 역행렬 존재 조건 파악. • 역행렬 및 해법: 정칙행렬에서 Gauss-Jordan 소거법, Adjoint 행렬로 역행렬 계산, Cramer의 정리 활용 해법. |
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[15강] 선형대수 : 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식(2)
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선형대수: 행렬, 벡터, 연립방정식 문제풀이
• 선형대수 기본 개념: 행렬 계수, 행/열공간 기저 계산 및 벡터 1차 독립/종속성 판별 • 선형 연립방정식 해법: 크래머 법칙, 가우스 소거법 적용 및 역행렬 계산 • 연립방정식 해 존재성: 계수행렬, 첨가행렬 랭크 비교를 통한 유일, 무수, 해 없음 판별 |
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| 8장. 선형대수 : 행렬의 고유값 문제 | ||
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[16강] 선형대수 : 행렬의 고유값 문제
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23
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선형대수: 행렬의 고유값 문제
• 고유값과 고유벡터: $\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$로 정의되는 선형변환의 핵심 개념 및 특성방정식을 통한 계산 절차. • 행렬의 대각화: 대칭/반대칭/직교행렬의 고유값 특성 분석 및 유사행렬을 활용한 행렬 대각화 과정. • 2차 형식 변환: 고유값과 고유벡터를 이용한 2차 형식의 주축형식 변환 및 원뿔곡선 분석 응용. |
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| 9장. 벡터미분, 기울기, 발산, 회전 | ||
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[17강] 벡터미분, 기울기, 발산, 회전
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공업수학: 벡터 미분, 기울기, 발산, 회전 문제풀이
• 벡터 기본 개념: 내적, 외적, 스칼라 삼중적 정의, 연산 원리 및 기하학적 응용. • 벡터 함수와 곡선: 단위 접선/법선 벡터, 호의 길이 함수를 통한 곡선 특성 분석. • 벡터 미분 연산자: 그래디언트, 발산, 회전 정의, 계산 절차 및 보존 벡터장 판별. |
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| 10장. 벡터적분, 적분정리 | ||
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[18강] 벡터적분, 적분정리(1)
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벡터적분 및 적분정리 핵심 요약
* **벡터적분 기초 개념:** 선적분·면적분·체적적분의 정의 및 보존 벡터장의 경로 독립성 원리. * **그린 정리:** 평면상 폐곡선 선적분을 이중적분으로 전환하여 순환 및 면적 계산에 활용. * **발산 정리·스톡스 정리:** 3D 폐곡면 유출량(발산 정리) 및 곡면 경계선 순환(스톡스 정리)을 다변수 적분으로 변환. |
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[19강] 벡터적분, 적분정리(2)
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벡터적분 및 주요 적분정리 문제풀이
• 매개변수 표현 및 유량 적분: 곡면의 벡터적 표현(매개변수, 법선벡터)과 벡터장의 곡면 흐름(유량 적분) 계산 원리. • 발산 정리 및 질량 계산: 폐곡면 유량 적분을 발산의 삼중 적분으로 변환하고, 공간 질량을 삼중 적분(좌표계 변환)으로 정량화. • 스토크스 정리: 컬 벡터장의 곡면 적분을 경계선에서의 선적분으로 전환하여 계산. |
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| 11장. Fourier 해석 | ||
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[20강] Fourier 해석(1)
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Fourier 해석 기초 및 급수, 적분, 변환
• Fourier 해석 핵심: 주기함수 표현의 Fourier 급수(Euler 공식, 2L 주기 확장) 및 비주기 함수 표현의 Fourier 적분 개념과 공식 학습. • Fourier 변환: 비주기 함수를 주파수 영역으로 변환하는 코사인/사인 변환 정의 및 미분 방정식 해결 도구로서의 활용법 이해. • 함수 대칭성: 우함수/기함수 판별을 통해 Fourier 급수 및 적분(코사인/사인 급수 및 적분) 계산을 간소화하는 원리 적용. |
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[21강] Fourier 해석(2)
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Fourier 해석 문제풀이: 고유값/고유함수, 적분 및 변환
• 고유값 및 고유함수: 미분방정식 경계값 문제 해법, 변수 치환을 통한 복합 방정식 분석, 직교성 증명 • Fourier 적분: 사인/코사인 적분 공식 적용, 특정 함수 표현 및 증명 원리 • Fourier 변환: 코사인/사인/일반 변환 계산, 다중 부분 적분 및 복소수 지수 함수 처리 |
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| 12장. 편미분방정식 | ||
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[22강] 편미분방정식
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47
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공업수학 편미분방정식 핵심 요약 및 문제 풀이
• 편미분방정식 개요: 시간/공간 변수 편도함수 포함, 파동·열전도·Laplace 방정식 등 주요 유형 정의 및 초기·경계조건 설정 원리. • 푸리에 급수/D'Alembert 해법: 파동·열전도방정식의 일반해 도출, 푸리에 계수 계산 및 파동 전파 특성 분석 절차. • 적분 변환 해법: Laplace 및 Fourier 변환을 통한 편미분방정식의 상미분방정식 전환, 해 도출 및 역변환 과정. |
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| 13장. 복소수와 복소함수, 복소미분 | ||
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[23강] 복소수와 복소함수, 복소미분 (1)
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35:
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공업수학 복소수와 복소함수, 복소미분 기초
• 복소수 기초 개념: $x+iy$ 정의, 극형식 $re^{i\theta}$ 표현, 기본 연산 및 $n$제곱근 계산 원리 정리 • 복소함수 해석 기초: 극한, 연속성, 미분가능성 정의와 경로 의존성을 통한 분석 • 코시-리만 방정식: 해석함수 조건 및 직교/극좌표계 형태를 통한 복소함수 미분 가능성 판별 |
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[24강] 복소수와 복소함수, 복소미분 (2)
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00
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복소함수 미분, 해석함수, 조화함수 및 방정식 해법
• 해석함수: 복소함수의 미분 가능성 판별 및 도함수 계산을 위한 코시-리만 방정식 조건과 편도함수 연속성 원리. • 조화함수: 라플라시안을 만족하는 함수 정의 및 해석함수 조건 하에 코시-리만 방정식을 활용한 조화켤레함수 유도. • 복소방정식 해법 및 값 계산: 오일러 공식, 복소로그 함수 정의를 이용한 복소방정식 해 도출과 주평각 기반 복소수 주값, 항등식 활용 함수 값 계산. |
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| 14장. 복소적분 | ||
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[25강] 복소적분
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01:
09
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공업수학 복소적분 주요 공식 및 문제풀이
• 복소 선적분: 복소함수의 해석성 유무에 따른 경로 의존성 및 매개변수화를 통한 계산 원리 이해 • 코시-구르사 정리: 단순 연결 영역 내 해석 함수의 닫힌 경로 복소적분 값이 0이 되는 조건 및 적용 원리 • 코시 적분 공식: 특이점을 포함하는 닫힌 경로 복소적분 계산 및 고차 도함수 공식 확장 적용 방법 |
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| 15장. 거듭제곱급수, Taylor 급수 | ||
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[26강] 거듭제곱급수, Taylor 급수
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38
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복소수 거듭제곱급수 및 Taylor 급수 이해와 수렴 판정
• 복소수 수열 및 급수 수렴: 절대수렴, 조건수렴, 비판정법 등 활용하여 복소수 함수의 급수 수렴성 분석. • Taylor 급수 및 Maclaurin 급수: 함수를 거듭제곱급수로 전개하고 계수, 중심, 수렴반경 결정. • 핵심 Maclaurin 급수 활용: 표준 급수 전개식 암기 및 응용하여 다양한 복소변수 함수 표현. |
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| 16장. Laurent 급수, 유수정리 | ||
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[27강] Laurent 급수, 유수정리(1)
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41:
20
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Laurent 급수 및 유수정리를 이용한 복소적분
• Laurent 급수: 특이점 함수 전개 방식으로 $b_1$ 계수를 유수로 정의하며 특이점(극, 진성특이점)을 분류함. • 유수 계산 및 정리: 단순극과 위수 $m$ 극의 유수 공식 활용하여 유수정리로 닫힌 경로 적분 값을 도출함. • 실적분 응용: 유수정리를 통해 삼각함수 유리식, 이상적분, Fourier 적분 등 다양한 실적분 문제 해결. |
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[28강] Laurent 급수, 유수정리(2)
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43:
08
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Laurent 급수 및 유수정리 문제풀이
* 유수정리 핵심: 복소 함수의 특이점 유수 계산을 통해 경로 적분 및 무한/삼각 실적분 해결 원리 * 유수 계산 절차: 단순극 및 고위수 극의 유수 계산 공식 적용과 특이점 식별 방법 * 유수정리 활용: 코시 적분 공식 연관성 및 복소 평면 변환을 통한 실적분 응용 과정 |
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| 17장. 등각사상 | ||
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[29강] 등각사상
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26:
36
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공업수학 등각사상 및 선형분수변환
• 등각사상: 교차하는 곡선 사이 각의 크기와 방향을 보존하는 사상 정의 및 해석함수 $f'(z)\neq 0$ 조건 분석 • 선형분수변환: $w=\frac{az+b}{cz+d}$ 형태의 변환으로, 원과 직선을 보존하는 특징과 세 점을 활용한 유일한 변환 공식 • 복소함수 사상: 지수함수, 삼각함수, 로그함수 등 주요 복소함수들의 $z$-평면 영역이 $w$-평면의 특정 기하학적 형태로 변환되는 원리 분석 |
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| 18장. 복소해석과 퍼텐셜이론 | ||
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[30강] 복소해석과 퍼텐셜이론
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0:
44:
58
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복소해석과 퍼텐셜이론 문제풀이
* **복소해석 기반 퍼텐셜 이론**: Laplace 방정식과 조화/공액조화함수를 활용하여 정전기장, 열 흐름 등 물리 시스템의 퍼텐셜 분포를 분석. * **복소퍼텐셜 구성 및 응용**: 퍼텐셜($\phi$)과 흐름선($\psi$)의 관계를 이해하고, 등퍼텐셜선 및 역선(힘선/열흐름선)을 통해 물리 현상을 해석. * **다양한 경계값 문제 해결**: 등축 원기둥, 평행판, 부채꼴 영역 등에서 퍼텐셜 계산 및 급수 전개 방식을 적용하여 분포를 도출. |
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정진교 교수님
공업수학(KREYSZIG) 문제풀이 통합과정
