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공업수학(KREYSZIG)Ⅰ
정진교 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
신라대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 6개 챕터, 29강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 1장. 1계 상미분 방정식 | ||
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[1강] 기본 개념, 모델링, 방향장, Euler방법
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1계 상미분방정식 기본 개념, 모델링, Euler 방법
* 1계 상미분방정식 기본 개념: 모델링을 위한 미분방정식 정의, 계수 및 해의 종류(일반해, 특수해, 특이해)와 초기값 문제(IVP) 해결 원리. * 방향장: 1계 상미분방정식 해곡선의 시각적 거동 분석; Euler의 수치해법: 해석적 해를 구하기 어려운 경우 근사해 계산 절차. * 물리 현상 모델링: 3단계 과정을 통한 실제 문제의 수학적 공식화 및 결과 해석. |
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[2강] 분리가능 상미분 방정식, 모델링
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분리가능 상미분 방정식과 모델링
• 분리가능 상미분 방정식: $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 형태를 변수분리 후 적분하여 일반해 및 초기값 문제의 특수해를 도출하는 해법. • 실제 현상 모델링: 방사성 연대측정, 혼합, 뉴턴의 냉각 법칙 등 물리 현상을 미분방정식으로 정식화하고 해를 적용하여 분석. • 동차형 방정식: $y' = f(\frac{y}{x})$ 형태를 $u=\frac{y}{x}$ 치환을 통해 분리가능 형태로 변환하여 해를 구하는 확장 기법. |
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[3강] 완전 상미분방정식, 적분인자
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완전 상미분방정식 및 적분인자
* 완전미분방정식: $\boldsymbol{\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}}$ 판정 기준으로 정의하며, 해는 전미분 역과정을 통해 $\boldsymbol{u(x,y)=c}$ 형태로 도출. * 불완전미분방정식: 판정 조건을 만족하지 않는 경우, 적분인자를 곱하여 완전미분방정식으로 변환하여 해결. * 적분인자 공식: $\boldsymbol{x}$만의 함수일 때 $\boldsymbol{F(x) = e^{\int \frac{M_y - N_x}{N} dx}}$, $\boldsymbol{y}$만의 함수일 때 $\boldsymbol{F(y) = e^{\int \frac{N_x - M_y}{M} dy}}$를 활용하여 탐색. |
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[4강] 선형 상미분방정식, Bernoulli, 개체군 역학
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선형 상미분방정식, Bernoulli, 개체군 역학
• 1계 선형 상미분방정식: 표준형 정의, 적분인자를 활용한 일반해 및 특수해 도출 원리 • Bernoulli 미분방정식: 비선형 형태를 선형으로 변환하는 치환법과 로지스틱 방정식 분석 • 자율 미분방정식: 임계점, 평형해 개념 및 해의 안정성을 판단하는 원리 |
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| 2장. 2계 선형상미분방정식 | ||
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[5강] 2계 제차 선형상미분방정식
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2계 재차 선형 상미분방정식 개요 및 해법
• 2계 재차 선형 상미분방정식: 일반형·표준형 정의 및 중첩의 원리를 활용한 해의 선형성 분석 • 해의 구조: 일차 독립성·기저 개념을 통해 일반해를 구성하고, 초기값 문제로 특수해를 결정하는 원리 이해 • 계수 내림법: 주어진 하나의 해($y_1$)로부터 두 번째 일차 독립 해($y_2$)를 체계적으로 유도하는 절차 |
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[6강] 상수계수를 갖는 제차 선형 상미분방정식
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상수계수를 갖는 제차 선형 상미분방정식 해법
• 상수계수 제차 선형 상미분방정식 해법: 특성방정식의 근 유형(서로 다른 실근, 중근, 복소 켤레근)에 따른 일반해 도출 과정. • 특성근 유형별 일반해 공식: 각 특성근 종류에 따라 지수함수 기반 해($e^{\lambda x}$), $xe^{\lambda x}$, 오일러 공식을 활용한 $e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x))$ 형태로 결정. • 오일러 공식 및 초기값 문제: 복소 켤레근 해법의 핵심 원리인 오일러 공식을 이해하고, 주어진 초기 조건을 통해 특수해를 구하는 절차. |
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[7강] 질량-용수철 시스템 자유진동의 모델링
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질량-용수철 시스템 자유진동 모델링 및 감쇠 분석
• 질량-용수철 시스템 모델링: 후크 법칙·뉴턴 제2법칙 기반 자유진동 운동방정식 유도 및 시스템 기본 원리 이해 • 비감쇠 시스템 분석: 상미분방정식 해법을 통한 조화진동 특성 및 영구적 진동 양상 파악 • 감쇠 시스템 유형 및 수렴: 감쇠력 적용 운동방정식 해법, 과감쇠·임계감쇠·저감쇠 분류 및 정적평형 위치로의 수렴 특성 분석 |
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[8강] Euler-Cauchy 방정식,해의 존재성과 유일성, Wronskian
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Euler-Cauchy 방정식, 해의 존재성 및 Wronskian
• Euler-Cauchy 미분방정식: $y=x^m$ 해 가정을 통한 특성방정식 유도 및 특성근 종류(실근, 중근, 허근)에 따른 일반해 도출 절차 이해. • 해의 존재성 및 유일성 정리: 선형상미분방정식 계수 함수의 연속성을 기반으로 초기값 문제의 유일한 해 존재 조건과 원리 확립. • Wronskian 및 일반해 구성: Wronskian을 활용한 해의 일차독립성 판별과 일차독립 기저 해의 선형 결합으로 모든 해를 포함하는 일반해 구조 분석. |
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[9강] 비제차 상미분방정식
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공업수학 비제차 상미분방정식 미정계수법
• 비제차 상미분방정식 일반해: 제차해 $y_h$와 특수해 $y_p$의 합으로 구성되며, $r(x)$ 형태에 따라 특수해 $y_p$를 미정계수법으로 가정 및 결정. • 미정계수법 적용: $r(x)$ 유형별 특수해 $y_p$를 가정하고, 제차해 $y_h$와 중첩 시 변형규칙(x 곱하기)을 적용하여 1차 독립성을 확보. • 시스템 안정성: 특성근이 음의 실수부를 가질 때 제차해 $y_h$가 소멸하여, 일반해가 특수해 $y_p$인 정상상태 해로 수렴하는 물리적 특성. |
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[10강] 모델링 : 강제진동, 공진
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강제진동 및 공진 모델링
• 강제진동 및 공진: 외력에 의한 진동을 2차 비제차 상미분방정식으로 모델링하고, 고유/입력 주파수 일치 시 발생하는 진폭 무한대 공진 현상 분석. • 비제차 상미분방정식 해법: 미정계수법을 이용한 특수해 도출 및 감쇠 시스템에서 제차해 소멸 후 정상상태해로의 수렴 원리 학습. • 맥놀이 현상: 고유 주파수와 입력 주파수 차이가 미미할 때 발생하는 주기적인 진폭 변화 특성 이해. |
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[11강] 모델링 : 전기회로, 매개변수변환 풀이
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전기회로 모델링 및 매개변수변환법
• RLC 회로 모델링: Kirchhoff의 법칙 기반 2계 상미분방정식 도출 및 전기-기계 시스템의 수학적 상사성 이해. • 비제차 미분방정식 해법: 제차해와 특수해를 통한 일반해 구성 원리 및 미정계수법 한계 극복을 위한 매개변수변환법 개요. • 매개변수변환법 적용: 론스키안 계산 및 $u_1, u_2$ 함수 도출을 통한 특수해 구성 절차. |
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| 3장. 고계 선형상미분방정식 | ||
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[12강] 제차 선형상미분방정식
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제차 선형상미분방정식 기본 개념 및 해법
* **제차 선형상미분방정식:** 중첩의 원리에 기반하여 n개의 일차독립 기저 해의 선형 결합으로 일반해를 구성. * **해의 존재 및 유일성:** 초기값 문제를 통해 유일한 특수해 존재를 보장하며, Wronskian으로 해들의 일차독립성을 판별. * **특성방정식과 해법:** 상수 계수 미방은 특성방정식으로, Euler-Cauchy 방정식은 $y=x^m$ 대입으로 해를 도출하며 Cramer 법칙은 연립방정식 해법에 적용. |
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[13강] 상수계수를 갖는, 비제차 선형상미분방정식
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상수계수 비제차 선형상미분방정식 해법
* 상수계수 제차 선형상미분방정식: 특성방정식의 실근, 복소근, 다중근 유형에 따른 일반해 구성 원리 이해. * 비제차 선형상미분방정식: 일반해는 제차해와 특수해의 합으로, 특수해는 미정계수법(비제차항 형태 및 중복 시 $x^k$ 적용)으로 도출. * 매개변수변환법: Wronskian 및 Cramer 법칙을 활용하여 특수해 $y_p$를 계산하는 일반적인 절차와 적용. |
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| 4장. 연립상미분방정식, 위상평면, 정성법 | ||
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[14강] 행렬과 벡터의 기본, 공학적 응용 모델 연립방정식
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행렬과 벡터 기본, 연립방정식 공학적 응용
• 행렬과 벡터 기본: 연립미분방정식 모델링 및 해결을 위한 정의, 연산, 벡터방정식 표현 • 고유값 및 고유벡터: 특성방정식을 이용한 계산 절차와 $y'=Ay$ 형태 연립미분방정식의 일반해 구성 • $y'=Ay+b$ 해법 및 N계 변환: 비동차 연립방정식의 특수해 탐색과 고차 방정식을 1계 시스템으로 변환 원리 |
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[15강] 연립상미분방정식 기본 이론, 연립방정식, 위상평면법
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연립상미분방정식 기본 이론 및 위상평면법
• 연립상미분방정식 해법: 고유값과 고유벡터를 기반으로 일반해를 구성하고, Wronskian으로 해의 일차독립성 판별 • 위상평면법: 2차원 시스템 해의 궤적을 시각화하여 정성적 거동을 분석하는 핵심 도구 • 임계점 유형 분석: 고유값 특성을 활용하여 임계점(비고유마디점, 안장점 등)의 유형을 판별하고 시스템의 장기적 거동을 예측 |
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[16강] 임계점에 대한 판별법, 안정성, 비선형연립방정식에 대한 정성법
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임계점 판별법, 안정성 및 비선형 정성법
• 임계점 판별 및 안정성: 선형 연립미분방정식의 고유값, $p, q, \Delta$를 활용한 임계점 유형 분류 및 안정성 분석 원리. • 비선형 정성법: 비선형 연립방정식의 해를 직접 구하지 않고 선형화를 통해 임계점 유형 및 안정성을 예측하는 분석 절차. • 2계 자율 미분방정식 변환: 위상평면에서 1계 상미분방정식으로 변환하여 시스템의 물리적 의미(예: 에너지 보존) 해석. |
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[17강] 비제차 선형 연립방정식
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비제차 선형 연립방정식 해법
• 비제차 선형 연립방정식: 일반해는 제차해와 특수해의 합으로 구성되며, 제차해는 고유값/고유벡터로, 특수해는 두 가지 주요 해법으로 구함. • 미정계수법: 비제차항의 형태를 기반으로 특수해를 추정하며, 중첩이 발생할 경우 변형 규칙을 적용하여 미정계수를 결정하는 해법. • 매개변수변화법: 기본 행렬의 역행렬과 비제차항의 곱을 적분하여 특수해를 도출하는 일반적인 해법으로, 비제차항의 형태에 제약이 없음. |
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| 5장. 상미분방정식의 급수해, 특수함수 | ||
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[18강] 거듭제곱급수 해법
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거듭제곱급수 해법 정의 및 연산, 수렴, 존재 정리
* 거듭제곱급수: 계수, 중심, Maclaurin 급수 정의 및 $e^x, \sin x$ 등 주요 함수 표현. * 거듭제곱급수 연산: 항별 미분/적분, 덧셈, 곱셈 규칙을 활용한 미분방정식 해법 (점화 관계식 유도). * 거듭제곱급수 해의 수렴 및 존재: 수렴 반지름, 수렴 구간 결정 및 해석점에서 해가 존재하는 원리. |
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[19강] Legendre 방정식, Legendre 다항식
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Legendre 방정식 및 다항식 해법
• Legendre 미분방정식 정의: 멱급수 해법과 계수 점화식을 통해 해를 유도하고 특수해를 분석하는 원리 • Legendre 다항식 정의: 정수 n에서 미분방정식의 다항식 해를 선두 계수 정규화로 $P_n(x)$ 형태로 표준화 • Legendre 다항식 특성: 구간 내 직교성을 가지며 특수 함수 및 급수 전개에 활용되는 핵심 구조 |
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[20강] 확장된 거듭제곱급수 해법, Frobenius 해법
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확장된 거듭제곱급수 해법: Frobenius 해법
* **Frobenius 해법:** 상미분방정식의 정칙특이점 근방에서 급수해를 찾는 방법론으로, 해의 가정을 통해 결정 방정식을 유도하고 결정근을 파악. * **결정근의 성질:** 결정근의 차이(비정수, 중근, 정수)에 따라 해의 기저 형태가 구분되며, 특히 중근 및 정수 차이의 경우 로그항이 포함. * **해의 기저 구성:** 각 결정근 유형에 맞는 두 개의 선형 독립 해를 차수 축소법 등으로 구하여 일반해를 완성. |
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[21강] Bessel 방정식, Bessel 함수
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Bessel 방정식 및 함수의 정의와 주요 성질
• Bessel 방정식: $x=0$ 정칙 특이점 분석 및 Frobenius 해법을 통한 특수해 Bessel 함수 유도 • Bessel 함수 $J_\nu(x)$: 정수·실수 차수 정의, Gamma 함수로 일반화된 급수 표현 및 초등 함수 관계 • Bessel 함수 성질: 미분·점화 관계 요약 및 $\nu$ 값에 따른 Bessel 방정식 일반해 구성 |
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[22강] Bessel 함수, 일반해
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Bessel 함수 일반해
• Bessel 방정식 일반해: Frobenius 해법을 적용하여 도출되며, 특성근 관계에 따라 제1종 $J_\nu(x)$ 및 제2종 $Y_\nu(x)$ Bessel 함수로 구성됩니다. • Frobenius 해법: 특성근의 관계(정수/중근)에 따라 두 일차독립 해의 형태가 결정되며, 중근인 경우 로그항을 포함하는 해를 가집니다. • 제2종 Bessel 함수 $Y_\nu(x)$: 특성근이 중근이거나 차이가 정수인 경우 유도되며, 특히 $Y_0(x)$는 조화수와 Euler 상수를 포함하여 제1종 Bessel 함수와 일차독립 해를 이룹니다. |
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| 6장. Laplace 변환 | ||
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[23강] Laplace 변환, 선형성, 제 1 이동정리
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공업수학 개념완성 23강. Laplace 변환, 선형성, 제 1 이동정리
• Laplace 변환 정의: 미분 방정식을 대수 문제로 전환하는 기법으로, 이상적분을 활용한 변환 및 역변환 과정 이해 • Laplace 변환 선형성: 변환과 역변환에 적용되는 기본 정리; 주요 Laplace 변환 및 역변환 공식 숙지 • 제1 이동정리: $e^{at}f(t)$ 형태 변환 시 $s-a$ 치환 원리; 조각적 연속성, 증가제한으로 변환의 존재 조건 확립 |
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[24강] 도함수와 적분변환, 상미분방정식
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도함수 및 적분의 라플라스 변환과 상미분방정식 해법
* 라플라스 변환 기본 개념: 도함수 및 적분 변환 공식을 활용, 미분방정식을 대수적 형태로 전환하는 핵심 원리. * 미분방정식 해법: 라플라스 변환을 통한 상미분방정식 및 초기값 문제의 대수적 풀이 절차와 역변환 적용. * 초기값 이동 문제: $t_0$에서 주어진 초기값 해결을 위한 좌표 변환 기법 및 라플라스 변환 적용 원리. |
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[25강] 단위계단함수, 제 2 이동정리
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단위계단함수와 제2이동정리
* 단위계단함수 (Heaviside 함수): 구분연속 함수 표현 및 Laplace 변환($\mathcal{L}\{u(t-a)\} = \frac{e^{-as}}{s}$) 기본 정의. * 제2이동정리 (t-이동): 단위계단함수 포함 함수의 Laplace 변환 및 역변환($\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)$) 핵심 정리. * 공학 시스템 응용: 단위계단함수 및 제2이동정리를 활용한 RC/RLC 회로 등 미분방정식 해법으로 동적 응답 분석. |
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[26강] 짧은 충격, Dira의 델타함수, 부분분수
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공업수학 델타함수 및 라플라스 변환 응용
* Dirac 델타 함수: 단위 계단 함수와 극한으로 정의되며, 순간 충격 모델링 및 Laplace 변환 ($\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-sa}$) 적용. * Laplace 변환 응용: Dirac 델타 함수를 활용한 질량-용수철 시스템, RLC 회로 등 미분방정식 시스템 응답 분석. * 초기값 문제 해법: 부분분수 분해, 역 Laplace 변환, 시간 이동 정리를 통한 시스템의 동적 응답 도출. |
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[27강] 합성곱, 적분방정식
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공업수학 합성곱 및 적분방정식 핵심 개념 정리
• 합성곱 정의: 두 함수의 결합 연산, 라플라스 변환 $F(s)G(s)$를 통한 역변환 및 미분방정식 해법 원리. • 합성곱 성질: 교환·결합·분배 법칙 및 특이성 이해, 공진 시스템 응답 분석과 Volterra 적분방정식 해법에 활용. • 합성곱 응용: 라플라스 변환으로 미분/적분방정식을 대수적으로 변환하여 복잡한 시스템의 해를 효율적으로 도출. |
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[28강] 변환의 미분과 적분, 변수계수를 갖는 상미분방정식
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라플라스 변환의 미분, 적분 및 변수계수 상미분방정식
• 라플라스 변환 미분 및 적분: $t^n f(t)$, $f(t)/t$ 형태 함수의 변환 공식을 유도하고, 복잡한 역변환 문제 해결에 활용. • 변수계수 상미분방정식 해법: Laguerre 방정식에 라플라스 변환을 적용하여 1계 미분 방정식으로 변환, 변수 분리법으로 해를 도출. • Laguerre 다항식: Laguerre 방정식의 최종 해 형태로, 라플라스 변환 역변환을 통해 얻어지는 특수 함수. |
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[29강] 연립상미분방정식
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43:
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연립상미분방정식 라플라스 변환 해법
* 라플라스 변환: 연립상미분방정식을 S-영역 대수방정식으로 전환, 초기값 문제 해결 절차 * 대수방정식 해법: 크래머 법칙·소거법으로 S-영역 해 도출 및 부분분수 분해를 통한 역변환 준비 * 역라플라스 변환: 단위 계단 함수·제2 이동 정리 활용하여 시간 영역 최종 해 도출 |
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정진교 교수님
공업수학(KREYSZIG)Ⅰ
