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공업수학(KREYSZIG)Ⅱ
정진교 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
신라대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 7개 챕터, 31강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 11장. Fourier 해석 | ||
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[1강] Fourier 급수
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Fourier 급수: 정의, 계수 및 수렴 조건
• Fourier 급수: 주기함수를 삼각함수 무한급수로 표현하며, Euler 공식으로 Fourier 계수를 계산. • Euler 공식: 삼각함수 시스템의 직교성을 활용하여 Fourier 계수($a_0, a_n, b_n$)를 계산하는 절차. • Fourier 급수 수렴: 구분연속 및 좌우도함수 존재 조건에서, 연속점은 함수값, 불연속점은 좌우 극한값 평균으로 수렴. |
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[2강] 임의의 주기, 우함수와 기함수, 반구간 전개
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공업수학: 임의 주기, 우함수와 기함수, 반구간 전개
• 푸리에 급수 임의 주기 확장: $2\pi$ 주기를 $2L$로 일반화하여 임의 주기 함수의 푸리에 계수 계산 • 우함수/기함수 대칭성 활용: 함수의 대칭성을 이용해 푸리에 코사인 급수 ($b_n=0$) 및 푸리에 사인 급수 ($a_0=0, a_n=0$)로 급수 단순화 • 반구간 전개 기법: 반구간 정의 함수를 우함수 또는 기함수로 확장하여 푸리에 급수 표현 |
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[3강] 강제진동, 삼각함수 다항식에 의한 근사
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강제진동 및 삼각함수 다항식 근사
• 강제진동 시스템: 외부 주기적 구동력에 대한 미분방정식 해를 RLC 회로와 유사하게 푸리에 급수로 분석. • 삼각함수 근사 이론: 함수를 삼각함수 다항식으로 근사 시, 푸리에 계수가 최소제곱오차를 최적화하는 원리 이해. • 푸리에 급수 수렴: 베셀 부등식과 파스발 항등식을 통해 푸리에 계수와 함수 에너지 간의 수렴성 및 관계를 정량화. |
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[4강] Sturm-Liouville 문제, 직교함수
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Sturm-Liouville 문제 및 직교함수
* Sturm-Liouville 문제: $[p(x)y']' + [q(x) + \lambda r(x)]y = 0$ 형태의 미분방정식과 경계조건으로 고유값 및 고유함수 정의·계산. * 직교함수 개념: 가중함수 $r(x)$를 활용한 함수 내적 정의와 Sturm-Liouville 문제 고유함수의 직교성 정리(정리 1) 이해. * 문제 유형 분류: 정칙·특이·주기적 경계조건에 따른 분류 및 Legendre 다항식 등 실제 시스템에서의 응용 사례 분석. |
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[5강] 직교급수, 일반화 된 Fourier 급수
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직교급수 및 일반화된 Fourier 급수
• 직교급수 및 일반화된 Fourier 급수: Sturm-Liouville 문제 고유함수의 직교성을 활용, 함수를 특정 구간 내 직교함수들의 선형 결합으로 전개하는 방법론. • Fourier-Legendre 급수: Legendre 다항식의 직교성을 활용하여 함수를 전개하며, 계수는 내적 기반 결정. • Fourier-Bessel 급수: Bessel 함수의 직교성을 활용하여 함수를 전개하며, 계수는 가중함수 $x$를 포함한 내적 기반 결정. |
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[6강] Fourier 적분
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Fourier 적분: 비주기 함수의 표현과 활용
• Fourier 적분 개념: 비주기 함수를 삼각함수 무한 적분으로 표현하는 도구로, Fourier 급수의 주기 확장 개념에서 출발. • Fourier 적분 조건: 구분 연속성, 좌우 도함수 존재, 절대적분가능성을 충족하며 불연속점에서는 좌우 극한값 평균. • Fourier 코사인/사인 적분: 우함수 및 기함수에 특화된 형태로, Laplace 적분 등 다양한 공학 문제 해결에 응용. |
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[7강] Fourier 코사인 및 사인 변환
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Fourier 코사인 및 사인 변환
• Fourier 코사인/사인 변환: 우함수 및 기함수 기반 비주기 함수를 주파수 영역에서 분석하는 적분변환의 정의와 공식 정리. • 변환의 선형성: 함수의 합성과 상수배 처리 규칙; 도함수 변환: 미분방정식 해법을 위한 1, 2차 도함수 공식 적용. • 변환 존재 조건: 특정 함수의 변환 가능성 판단 기준; 미분방정식 해법: 복잡한 미분방정식 해결 핵심 도구로 활용. |
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[8강] Fourier 변환, 이산 및 고속 Fourier 변환
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Fourier 변환 및 응용: 복소수 형식, 스펙트럼, 정리
• Fourier 변환: 복소수 형식으로 비주기 함수를 주파수 영역에서 분석하는 도구로, 역변환 정의 및 존재 조건 제시. • Fourier 변환 주요 정리: 선형성, 도함수 변환, 합성곱 정리로 함수 변환 및 미분방정식 해석 기능 제공. • Fourier 변환 응용: 스펙트럼 밀도 및 전체 에너지로 신호의 물리적 특성을 해석하며, 코사인·사인·복소수 공식 활용. |
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| 12장. 편미분방정식 | ||
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[9강] 기본개념, 모델링 : 진동하는 현, 파동방정식
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공업수학: 편미분방정식 기본 개념 및 파동방정식 모델링
• 편미분방정식(PDE) 개념: 정의, 계수, 선형성, 제차성, 해, 초기/경계조건 및 주요 2계 선형 방정식(파동, 열전도, 라플라스) 구조 이해. • PDE 해법 원리: 선형 제차 방정식의 중첩 원리 적용 및 변수 분리, 치환 등 기초적인 해법 절차 학습. • 1차원 파동방정식 유도: 진동하는 현 모델링의 물리적 가정 및 뉴턴 제2법칙 기반 방정식($u_{tt} = c^2 u_{xx}$) 도출. |
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[10강] 변수분리법 : Fourier 급수의 사용
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1차원 파동방정식 변수분리법과 푸리에 급수 적용
• 1차원 파동방정식 해법: 변수분리법으로 상미분방정식 분리, 경계조건을 통해 고유함수 및 고유값 결정 과정. • 푸리에 급수 활용: 초기조건 만족을 위해 푸리에 사인 급수로 해의 계수를 결정하고, 달랑베르 해를 유도. • 파동방정식 해의 특성: 진동수, 마디점, 현의 장력 및 길이 관계를 통한 악기 조율 원리 이해. |
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[11강] 파동방정식의 D’Alembert 해, 특성
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파동방정식의 D’Alembert 해와 특성 분류
* D'Alembert 해: 파동방정식을 변수 변환으로 단순화하여 얻는 일반 해 유도 및 초기 조건 적용을 통한 특정 해 형태 결정. * D'Alembert 해의 조건별 특성: 초기 속도 조건 $g(x)$, 경계 조건에 따른 해 함수의 주기성 및 기함수성 분석. * 편미분방정식 유형 분류: 판별식 $AC-B^2$ 기준에 따라 쌍곡선형, 포물선형, 타원형으로 구분하고 각 유형별 대표 방정식의 특성 이해. |
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[12강] 모델링 : 입체 내의 열전도, 열전도방정식 : Fourier 급수에 의한 해
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1차원 열전도 방정식 Fourier 급수 해법
* **1차원 열전도 방정식 모델링**: 열확산계수 정의 및 경계조건, 초기조건을 포함한 물리적 모델 구조 이해 * **변수 분리법 기반 Fourier 급수 해법**: 고유값 문제로 변환하여 고유함수 및 고유값 도출하고, 초기조건을 Fourier 사인 급수로 전개하여 해 구성 * **열 전달 특성 분석**: 고유값에 따른 온도 감쇠 속도 변화 및 초기 온도 분포가 해에 미치는 영향 분석 |
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[13강] 열전도방정식 : 긴 막대의 모델링, Fourier 적분과 변환에 의한 해
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열전도방정식: 긴 막대 모델링, Fourier 적분과 변환 해
* 열전도방정식 무한 막대 해법: 변수분리법으로 모델링 후, 초기 조건에 따라 Fourier 적분 및 변환으로 해 유도. * Fourier 변환 해법: 주파수 영역 해를 역변환하며, 열 핵을 이용한 합성곱 형태로 시공간 해를 표현. * 반무한 막대 열전도방정식: 경계 조건($u(0,t)=0$)에 따라 Fourier 사인 변환을 적용하여 해를 도출. |
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[14강] 모델링 : 박막, 2차원 파동방정식, 직사각형의 박막, 이중 Fourier 급수
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2차원 파동방정식 모델링 및 직사각형 박막 해법
• 2차원 파동방정식 모델링: 물리적 가정을 기반으로 뉴턴 제2법칙을 적용하여 박막 진동을 설명하는 방정식 유도. • 직사각형 박막 해법: 변수분리법과 경계조건을 적용하여 헬름홀츠 방정식을 풀고 고유함수 및 고유값을 결정. • 이중 푸리에 급수 활용: 초기 위치 및 속도 함수를 만족하는 계수 계산으로 직사각형 박막의 최종 진동 해를 완성. |
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[15강] 극좌표에서의 Laplace 연산자 : 원형 박막, Fourier-Bessel 급수
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극좌표 Laplace 연산자 및 원형 박막 파동방정식 해법
* 극좌표 Laplace 연산자: 직교좌표계 변환과 연쇄 법칙을 통해 유도되는 $u_{rr} + \frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}$ 형태의 파동방정식 분석 도구. * 원형 박막 파동방정식 해법: 변수분리법으로 Bessel 방정식 유도 및 Bessel 함수 $J_0$를 활용하여 경계 조건 충족. * Fourier-Bessel 급수: 초기 조건을 만족하는 일반해 도출을 위해 사용되며, 고유함수 직교성을 활용한 계수 결정. |
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[16강] 원통좌표 및 구좌표에서의 Laplace 방정식, 퍼텐셜, Laplace방정식에 의한 해
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공업수학 Laplace 방정식, 원통/구면좌표, Laplace 변환 해법
• Laplace 방정식: 정의와 조화함수, 퍼텐셜 이론으로 물리 현상 모델링 및 Dirichlet, Neumann 경계값 문제 유형 파악. • Laplace 연산자: 직교, 원통, 구면좌표계 변환에 따른 연산자 구조 이해 및 각 좌표계에서의 해법 기반 제공. • Laplace 변환/변수분리법: 편미분 방정식을 상미분 방정식으로 전환하여 Euler-Cauchy, Legendre 다항식으로 해를 구하는 절차. |
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| 13장. 복소수와 복소함수, 복소미분 | ||
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[17강] 복소수와 이들에 의한 기하학적 도식, 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근
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공업수학: 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근
• 복소수 기초: 정의, 직교좌표계 복소평면 표현, 켤레복소수 개념 및 연산 규칙 이해 • 복소수 극형식: 크기($r$)와 편각($\theta$) 활용 표현, 오일러 공식, 극형식 기반 곱셈·나눗셈 연산 절차 학습 • 드무아브르 공식: 복소수 거듭제곱 계산, $n$제곱근 공식을 통한 방정식 $n$개 해 도출 방법론 제시 |
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[18강] 도함수와 해석함수, Cauchy-Riemann 방정식과 Laplace 방정식
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도함수, 해석함수, 코시-리만 방정식, 라플라스 방정식
• 복소함수 기본: 복소평면 위 집합, 극한, 연속성, 도함수 및 미분가능성 정의와 규칙 확립. • 해석함수와 코시-리만 방정식: 특정 영역에서 미분가능한 해석함수 개념 및 필수 조건인 코시-리만 방정식 유도와 활용. • 라플라스 방정식과 조화함수: 해석함수의 실수부/허수부가 만족하는 라플라스 방정식과 조화함수 개념 이해. |
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[19강] 지수함수, 삼각함수와 쌍곡선 함수, Euler 공식 , 로그, 일반거듭제곱, 주값
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공업수학 복소함수 지수, 삼각, 쌍곡선, 로그함수
• 복소 지수함수: 오일러 공식 기반 정의, $2\pi i$ 주기성 및 완전함수 특성 이해 • 복소 삼각/쌍곡선함수: 오일러 공식 확장 정의, 도함수, 유계성 차이 및 상호 관계 분석 • 복소 로그함수 및 일반 거듭제곱: 다가성, 주값 정의, 가지 절단선 개념 및 $z^c$의 표현과 계산 |
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| 14장. 복소적분 | ||
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[20강] 복소평면에서의 선적분
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공업수학 복소평면에서의 선적분
• 복소 선적분 개념: 복소평면의 매끄러운 경로를 따라 복소함수를 적분하는 리만 합 기반 정의. • 해석함수 선적분: 단순 연결 영역에서 경로 무관, 부정적분 $F(z)$를 활용한 $\int_{z_0}^{z_1} f(z)dz = F(z_1) - F(z_0)$ 계산. • 일반 함수 선적분: 경로 $z(t)$ 매개변수화를 통한 $\int_a^b f(z(t))z'(t)dt$ 계산 및 ML 부등식으로 절대값 상한 추정. |
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[21강] Cauchy 적분정리
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Cauchy 적분정리 및 경로 독립성, 다중 연결 영역 응용
• 코시 적분 정리: 단순 연결 영역 내 해석적 함수 닫힌 경로 선적분 0의 원리 및 특이점 위치에 따른 적분 값 변화 분석 • 경로 독립성 및 변형 원리: 해석적 함수 적분 시 시작점-끝점에만 의존하며, 경로 변형 시 적분 값이 유지되는 원리 적용 • 다중 연결 영역: 특이점 포함 영역에서 코시 적분 정리의 확장(절단선 활용) 및 부정적분 존재성 확인 |
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[22강] Cauchy 적분공식, 해석함수의 도함수
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코시 적분 공식과 해석함수의 도함수
* 코시 적분 공식: 해석 함수의 경로 적분을 내점에서의 함수값으로 계산하여 복잡한 적분을 간소화하는 핵심 원리. * 해석함수의 도함수: 코시 적분 공식의 일반화된 형태로, 해석 함수가 무한번 미분 가능하며 모든 도함수 역시 해석적임을 증명. * 코시 부등식, 리우빌 정리, 모레라 정리: 해석 함수의 특성과 유계성, 해석성을 판단하는 심화 개념 및 코시 적분 정리의 역. |
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| 15장. 거듭제곱급수, Taylor 급수 | ||
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[23강] 수열과 급수
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공업수학: 수열과 급수 및 수렴 판정
• 복소수열 및 급수: 실수부와 허수부의 수렴을 통한 정의 및 수렴/발산 판정 원리 • 절대수렴 및 조건수렴: 급수와 그 절대값 급수의 수렴 여부에 따른 유형 분류 및 개념 이해 • 수렴 판정법: 비교, 기하급수, 비판정법, 근판정법을 활용한 복소급수 수렴 여부 결정 방법론 |
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[24강] 거듭제곱급수, 거듭제곱급수로 주어지는 함수
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공업수학 단기속성: 거듭제곱급수와 거듭제곱급수로 주어지는 함수
• 거듭제곱 급수: 복소 변수, 계수, 중심의 구성 요소를 이해하고 수렴 유형 및 수렴 정리 파악 • 수렴 반경: 급수의 수렴 영역을 정의하고 비판정법을 이용한 계산 방법 및 유일성, 연속성 원리 학습 • 해석함수와 급수 연산: 거듭제곱 급수가 수렴원 내에서 해석함수를 표현하는 원리와 항별 미분·적분 등 연산 방법 습득 |
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[25강] Taylor 급수와 Maclaurin 급수
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Taylor 급수와 Maclaurin 급수 및 수렴 특성
• Taylor 및 Maclaurin 급수: 해석적 함수의 거듭제곱 표현으로, 도함수 및 경로 적분으로 계수 결정. • Taylor의 정리: 급수 표현의 유일성 및 수렴 조건을 확립하며, 수렴 반경은 특이점과의 거리로 결정. • 급수 전개 기법: 대입법, 적분법, 이항급수, 부분분수 분해를 통해 복합 함수의 급수를 효율적으로 전개. |
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| 16장. Laurent 급수, 유수정리 | ||
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[26강] Laurent 급수, 특이점과 영점, 무한대
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Laurent 급수, 특이점과 영점, 무한대
• Laurent 급수: 환형 영역 내 특이점 포함 복소함수의 정수 거듭제곱 전개 및 해석 부분, 주부 구성 원리 학습. • 특이점 분류: Laurent 급수 주부 항 유무와 개수로 극, 진성특이점, 제거가능 특이점 정의 및 위수 판정. • 영점 및 극과의 관계: 함수값이 0인 점의 위수 정의, 고립성 및 극과의 역수 관계를 통한 복소함수 구조 파악. |
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[27강] 유수적분법
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복소함수 경로적분 유수적분법
* 유수(Residue): 복소함수 Laurent 급수의 $b_1$ 계수로 정의되며, 특이점 포함 경로적분을 계산하는 핵심 개념. * 유수 계산 공식: 단순극은 극한값, 위수 m인 극은 도함수 극한을 활용하여 유수를 효율적으로 도출. * 유수정리: 닫힌 경로 내 모든 특이점의 유수 합으로 복잡한 복소 경로적분 값을 결정하는 강력한 방법론. |
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[28강] 실적분의 유수정리
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실적분의 유수적분
* 유수정리: 복소해석학 기반으로 코사인/사인 유리함수 적분 및 이상적분 등 실적분 계산 원리 학습 * 코시 주값: 무한 구간 및 유한 구간 내 특이점을 포함하는 이상적분의 주값 정의와 계산 방법 적용 * 푸리에 적분 및 실수축 단순극: $e^{ikz}$ 복소변수 치환과 실수축 단순극 ($\pi i$ 유수) 처리 원리를 통한 실함수 적분 응용 |
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| 17장. 등각사상 | ||
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[29강] 해석함수의 기하학, 등각사상
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등각사상 및 해석함수의 기하학
* 등각사상 정의: 유향곡선 간 각도 크기 및 방향을 보존하는 복소함수 사상 원리. * 해석함수 등각성: $f'(z)=0$인 임계점을 제외한 모든 점에서 각도 보존 성질 유지. * 복소함수 사상 분석: $z^n, z+1/z, e^z$ 등 주요 함수별 사상 결과, 등각성 조건, Jacobian을 이용한 판별 방법. |
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[30강] 선형분수변환, 특별한 선형분수변환
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선형분수변환(뫼비우스 변환) 및 특별한 선형분수변환
• **선형분수변환(뫼비우스 변환):** $w=\frac{az+b}{cz+d}$ ($ad-bc \neq 0$) 형태로, 원과 직선을 보존하는 복소평면 사상 기본 원리. • **고정점 및 역사상:** 항등사상 제외 최대 두 개 고정점 가지며, 세 점의 상을 이용해 유일한 변환식을 결정하는 절차 학습. • **특수 변환:** 무한대 처리 규칙 및 단위원판을 단위원판으로 사상하는 특정 조건의 변환식 구조 분석. |
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[31강] 다른 함수들에 의한 등각사상
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등각사상 및 복소 함수의 매핑 분석
* 등각사상 개념: 복소 함수(사인, 코사인, 탄젠트 등)를 이용해 복소 평면 영역의 각 크기와 방향을 보존하는 변환 * 복소 함수 사상 원리: 주기 함수 정의역 제한, 임계점에서의 등각성 상실, 직선을 쌍곡선/타원으로 매핑하는 과정 분석 * 복합 사상 기법: 탄젠트 함수를 지수, 선형분수, 회전 변환의 연속으로 분해하고 하이퍼볼릭 함수의 유사성 고찰 |
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정진교 교수님
공업수학(KREYSZIG)Ⅱ
