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공업수학(KREYSZIG) Ⅱ
정진교 교수
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교 대학원 수학과 석사과정
부산대학교 대학원 수학과 박사졸업
부산대학교
신라대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 8개 챕터, 35강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 11장. Fourier 해석 | ||
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[1강] Fourier 해석
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Fourier 급수 개요 및 성질
• Fourier 급수: 주기함수를 삼각함수 시스템의 무한합으로 표현하며, 파형 분석에 활용되는 수학적 도구. • Euler 공식 및 삼각함수 시스템의 직교성: Fourier 급수 계수 산출을 위한 공식과 그 기반이 되는 직교성 원리. • Fourier 급수 수렴 정리: 급수의 수렴 조건 및 연속점과 불연속점에서의 수렴 특성 분석. |
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[2강] 임의의 주기, 우함수와 기함수, 반구간 전개
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공업수학: 푸리에 급수 확장 및 대칭 함수 전개
* 임의 주기 푸리에 급수: 주기 $2L$ 함수에 대한 푸리에 급수 일반화 및 해당 푸리에 계수($a_0, a_n, b_n$) 계산 절차 정의. * 푸리에 급수 대칭성: 우함수(코사인 급수)와 기함수(사인 급수) 특성을 활용한 푸리에 계수 계산 간소화 방안 적용. * 반구간 전개 기법: $[0, L]$ 구간 함수를 우함수/기함수로 확장하여 푸리에 코사인/사인 급수를 유도하는 방법론 분석. |
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[3강] 강제진동, 삼각함수 다항식에 의한 근사
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강제진동 및 삼각함수 다항식 근사
• 강제진동: 외부 힘에 의한 진동 현상으로, 용수철-질량 시스템 및 RLC 회로 모델링; 비사인 구동력 해법은 푸리에 급수 적용. • 삼각함수 다항식 근사: 복잡 함수를 삼각함수 다항식으로 근사, 최소제곱오차는 계수가 푸리에 계수와 같을 때 달성. • 푸리에 급수 관계: Bessel 부등식으로 푸리에 계수 합의 상한을, Parseval 항등식으로 함수 에너지와의 완전성 관계를 정의. |
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[4강] Sturm-Liouville 문제, 직교함수
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Sturm-Liouville 문제 및 직교함수 개념
• Sturm-Liouville 문제: 2계 선형 미분방정식과 경계조건으로 정의되며, 고유함수와 고유값 개념을 통해 일반화된 직교함수 시스템 제공 • 직교함수 개념: 가중함수를 포함한 내적 정의를 통해 두 함수의 직교성 및 정규직교성 조건을 명확히 제시 • Sturm-Liouville 고유함수 직교성: 서로 다른 고유값에 대응하는 고유함수는 가중함수에 대해 항상 직교하며, 특수함수 직교성의 이론적 기반 제공 |
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[5강] 직교급수, 일반화 된 Fourier 급수
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직교급수와 일반화된 Fourier 급수
• 직교급수 및 Fourier 급수: 가중함수에 대한 직교함수로 임의 함수를 무한급수 전개하는 개념 및 Sturm-Liouville 문제의 고유함수 역할. • Fourier 상수 계산: 직교성 기반 내적과 노름 활용, 일반화된 Fourier 급수 계수 $a_m$ 결정 방법 요약. • 특수 함수 급수: Legendre 다항식의 Fourier-Legendre 급수와 Bessel 함수의 Fourier-Bessel 급수 구성 원리 및 계수 도출. |
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[6강] Fourier 적분
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푸리에 적분 (Fourier Integral)
* 푸리에 적분: 비주기 함수 및 무한 구간 함수 분석을 위해 푸리에 급수에서 확장된 수학적 개념. * 푸리에 적분 조건: 구분 연속성, 도함수 존재, 절대 적분 가능성 충족 시 적용하며, 불연속점은 좌우 극한값 평균으로 수렴. * 푸리에 코사인/사인 적분: 우함수 또는 기함수에 따라 적분 공식 간소화를 통해 효율적인 비주기 신호 분석을 가능하게 함. |
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[7강] Fourier 코사인 및 사인 변환
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Fourier 코사인 및 사인 변환
• 푸리에 코사인 및 사인 변환: 비주기 함수 해석을 위한 적분 변환으로, 우함수 및 기함수 기반 정의 • 선형성: 변환의 기본 성질로 함수 합과 상수 곱에 대한 변환 분리 가능성 제시 • 도함수 변환 정리: 미분방정식의 해법 도구로 활용되는 도함수 푸리에 변환 공식 및 원리 |
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[8강] Fourier 변환, 이산 및 고속 Fourier 변환
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Fourier 변환의 개념 및 응용
• Fourier 변환: 시간 영역 함수를 주파수 영역으로 변환하는 수학적 기법으로, 복소수 형식 정의 및 존재 조건에 기반 • 스펙트럼 분석 및 응용: 신호의 스펙트럼 밀도와 총 에너지 분석에 활용되며, 선형 미분 방정식 해결에 기여 • 주요 정리: 선형성, 도함수 변환, 합성곱, 이동 정리를 포함한 핵심 수학적 성질 및 활용 원리 제시 |
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| 12장. 편미분방정식 | ||
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[9강] 기본개념, 모델링 : 진동하는 현, 파동방정식
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편미분방정식 기본 개념 및 파동방정식 유도
• 편미분방정식 기본 개념: 정의, 차수, 선형성, 제차성, 초기/경계조건을 포함한 핵심 특성 정리 • 주요 2계 선형 편미분방정식: 파동, 열전도, 라플라스, 푸아송 방정식 등 핵심 유형 구조 및 중첩 원리 학습 • 1차원 파동방정식 유도 및 해법: 물리적 가정을 통한 1차원 파동방정식 유도 절차, 상미분방정식 기반 해법 적용 |
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[10강] 변수분리법 : Fourier 급수의 사용
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1차원 파동방정식의 Fourier 변수분리법
• 1차원 파동방정식 변수분리법: 경계 및 초기조건 하에 상미분방정식으로 분리하여 파동의 해를 유도하는 절차. • 고유함수 및 고유값: 경계조건을 만족하는 공간 함수와 고유 주파수 스펙트럼 도출 원리 및 특성 분석. • Fourier 급수 적용: 초기조건으로부터 Fourier 계수를 산출하고, D'Alembert 해로 파동 진동수를 분석하는 방법. |
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[11강] 파동방정식의 D’Alembert 해, 특성
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파동방정식 D'Alembert 해 및 편미분방정식 분류
• 파동방정식 D'Alembert 해: 변수변환 $(v=x+ct, w=x-ct)$을 통해 파동방정식의 일반해를 도출하는 절차. • 초기조건 D'Alembert 해: 초기 위치 $f(x)$와 초기 속도 $g(x)$를 반영하여 파동방정식의 특정 해를 유도. • 편미분방정식 유형 분류: 준선형 방정식을 $AC-B^2$ 판별식으로 쌍곡선형, 포물선형, 타원형으로 구분하는 원리. |
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[12강] 모델링 : 입체 내의 열전도, 열전도방정식 : Fourier 급수에 의한 해
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모델링: 입체 내의 열전도 및 Fourier 급수에 의한 해
• 1차원 열전도 방정식: 균질 매질 내 열확산 모델링을 위한 물리적 가정 및 경계/초기 조건 설정 • Fourier 급수 해법: 변수분리법으로 고유값/고유함수 도출 후, Fourier 사인 급수를 이용한 일반해 및 계수 결정 • 열전도 해 분석: 초기 온도 분포 주파수에 따른 감쇠 속도 변화 및 시간 경과에 따른 온도 수렴 과정 예측 |
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[13강] 열전도방정식 : 긴 막대의 모델링, Fourier 적분과 변환에 의한 해
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열전도방정식 긴 막대의 모델링 Fourier 적분 변환 해
* 열전도방정식 모델링: 무한/반무한 막대의 초기조건 및 경계조건 기반으로 편미분방정식 설정. * Fourier 적분 및 변환: 비주기 함수와 무한 도메인에서 열전도방정식의 일반해를 도출하는 절차. * 합성곱 및 Fourier 사인 변환: Fourier 변환 해를 합성곱으로 표현하고, 반무한 막대 경계조건에 따라 특수 변환을 적용하여 해를 도출. |
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[14강] 모델링 : 박막, 2차원 파동방정식, 직사각형의 박막, 이중 Fourier 급수
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모델링: 박막, 2차원 파동방정식, 직사각형의 박막, 이중 Fourier 급수
• 박막 2차원 파동방정식: 물리적 가정(균질성, 고정 경계) 기반 진동 모델링 및 뉴턴 제2법칙을 통한 방정식 유도. • 변수분리법 및 Helmholtz 방정식: 파동방정식을 분리하여 경계조건을 만족하는 고유값과 고유함수(사인 함수) 도출. • 이중 Fourier 급수: 초기조건(변위, 속도)을 활용하여 고유함수들의 선형결합 형태인 최종 해와 계수 결정. |
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[15강] 극좌표에서의 Laplace 연산자 : 원형 박막, Fourier-Bessel 급수
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극좌표에서의 Laplace 연산자 및 Fourier-Bessel 급수
• 극좌표 Laplace 연산자: 직교좌표에서 극좌표로의 변환 유도 및 원형 박막 2차원 파동방정식 구성 • 원형 박막 파동방정식 해법: 변수분리법으로 Bessel 방정식 유도 및 경계조건을 활용한 Bessel 함수 해 결정 • Fourier-Bessel 급수: 중첩의 원리로 초기조건을 충족시키며, 계수 계산을 통해 일반해 도출 |
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[16강] 원통좌표 및 구좌표에서의 Laplace 방정식, 퍼텐셜, Laplace방정식에 의한 해
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Laplace 방정식의 원통 및 구좌표계 해법
• Laplace 방정식 개념: 조화함수 정의, 직교/원통/구면 좌표계별 연산자 형태 및 Dirichlet/Neumann/Robin 경계값 문제 유형 분석 • 구면좌표계 Laplace 해법: 변수분리법으로 Euler-Cauchy 및 르장드르 방정식 도출, 푸리에-르장드르 급수를 통한 해 구성 • Laplace 변환 파동 방정식 해법: 초기-경계값 문제에 변환 적용, 상미분 방정식 해 도출 및 제2 이동 정리로 최종 해 결정 |
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| 13장. 복소수와 복소함수, 복소미분 | ||
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[17강] 복소수와 이들에 의한 기하학적 도식, 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근
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복소수의 극형식, 거듭제곱과 근
• 복소수 정의 및 연산: $x+iy$ 형태의 복소수 개념, 복소평면에서의 기하학적 표현, 사칙연산 및 공액복소수의 성질 학습 • 복소수 극형식 활용: 크기 $r$과 편각 $\theta$로 표현, 극형식을 통한 곱셈, 나눗셈 계산 간소화 및 오일러 공식 적용 원리 이해 • 드무아브르 공식 및 근: 복소수의 거듭제곱과 $n$제곱근 도출 절차 학습, 대수학의 기본 정리를 이용한 $n$개의 근 존재 원리 분석 |
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[18강] 도함수와 해석함수, Cauchy-Riemann 방정식과 Laplace 방정식
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도함수와 해석함수 및 Cauchy-Riemann/Laplace 방정식
• 복소함수 해석성: 미분가능성, 연속성, 극한 기반 복소함수 정의 및 해석함수의 핵심 조건인 Cauchy-Riemann 방정식 이해. • Cauchy-Riemann 방정식: 직교좌표 및 극형식에서 해석함수 실수부와 허수부 편도함수의 필수 관계 규명. • 조화함수 및 공액조화함수: 해석함수 실수부/허수부가 만족하는 Laplace 방정식의 해인 조화함수임을 확인하고 공액조화함수 도출 원리 학습. |
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[19강] 지수함수, 삼각함수와 쌍곡선 함수, Euler 공식 , 로그, 일반거듭제곱, 주값
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복소 지수, 삼각, 쌍곡선, 로그함수 및 주값
• 복소 지수함수: $e^z$의 정의, 해석성, 주기성 등 핵심 성질과 Euler 공식을 통한 복소 삼각/쌍곡선함수 정의 • 복소 삼각함수 및 쌍곡선함수: 정의, 해석성, 실수 함수와의 차이점(비유계성) 및 상호 관계 • 복소 로그함수: 정의, 다가성, 주값(Principal Value) 개념, 가지 절단선(Branch Cut) 역할 및 일반 거듭제곱 |
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| 14장. 복소적분 | ||
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[20강] 복소평면에서의 선적분
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복소평면에서의 선적분
• 복소 선적분 정의: 복소함수를 곡선 경로를 따라 적분하는 개념으로, 매개변수화된 경로와 매끄러운 곡선 조건 하에 리만 합 극한으로 정의. • 해석함수 선적분: 단순 연결 영역 내 해석적 함수는 부정적분을 활용, 경로에 독립적인 $F(z_1) - F(z_0)$ 계산 방식 적용. • 일반 선적분 및 ML 부등식: 경로 $z(t)$를 매개변수화하여 계산하고, ML 부등식으로 복소 선적분 절댓값의 상한을 추정. |
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[21강] Cauchy 적분정리
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코시 적분 정리와 경로 독립성
* 코시 적분 정리: 단순 연결 영역에서 해석 함수의 단순 닫힌 경로 선적분은 0이며, 경로 독립성 및 변형 원리로 적분 경로 무관성 증명. * 부정적분 존재성: 단순 연결 영역 내 해석 함수에 대한 복소 부정적분 존재를 보장하며, 미분적분학 기본 정리와 유사하게 적용. * 다중 연결 영역 확장: 다중 연결 영역에서 코시 적분 정리를 확장하여, 특이점을 포함하는 경로들의 선적분 값이 동일함을 활용. |
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[22강] Cauchy 적분공식, 해석함수의 도함수
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공업수학 개념완성: Cauchy 적분 공식 및 해석함수의 도함수
• Cauchy 적분 공식: 복소 함수론에서 경로 적분을 간소화하여 해석 함수의 함수값을 특정 조건 하에 계산하는 핵심 원리. • 해석함수의 도함수: Cauchy 적분 공식의 확장으로, 해석 함수의 모든 계 도함수를 경로 적분으로 표현하며 무한 번 미분 가능성 보장. • Cauchy 부등식, Liouville 및 Morera 정리: 해석 함수의 유계성, 상수성 및 적분 영점과 해석성 간의 관계를 규명하는 복소 함수론의 주요 정리. |
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| 15장. 거듭제곱급수, Taylor 급수 | ||
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[23강] 수열과 급수
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복소수열과 복소급수 수렴 판정
• 복소수열 및 급수 정의: 실수부와 허수부의 수렴 조건으로 복소수열과 복소급수의 수렴/발산 판정. • 절대수렴 및 조건수렴: 급수의 수렴 유형 분류와 본래 급수 및 절댓값 급수 수렴 여부 정의. • 급수 수렴 판정법: 비교판정법, 기하급수, 비판정법, 근판정법을 활용한 복소급수 수렴/발산 분석. |
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[24강] 거듭제곱급수, 거듭제곱급수로 주어지는 함수
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거듭제곱 급수와 그 함수
* 거듭제곱 급수 정의: 복소변수 함수 표현 급수로, 중심·계수를 통한 수렴 영역 및 수렴반경 결정 원리. * 급수 함수 성질: 표현의 유일성·연속성 보장, 항별 미분·적분 가능하며 수렴반경 유지. * 해석 함수와의 연결: 거듭제곱 급수는 해석 함수를 표현하며, 도함수 또한 동일 수렴반경을 가진 해석 함수. |
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[25강] Taylor 급수와 Maclaurin 급수
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Taylor 급수와 Maclaurin 급수 개념 및 활용
* Taylor/Maclaurin 급수 정의: 복소함수를 거듭제곱 급수로 표현하는 방법, 중심 $z_0$와 계수 $a_n$ 결정 원리. * Taylor 정리 및 수렴 조건: 해석적 함수의 급수 유일성, 나머지 항 $R_n(z)$의 수렴 조건, 특이점과 수렴반경의 관계. * 주요 함수 급수 전개: 기본 함수 Maclaurin 급수 및 대입, 적분, 이항 급수를 활용한 다양한 함수 전개 기법. |
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| 16장. Laurent 급수, 유수정리 | ||
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[26강] Laurent 급수, 특이점과 영점, 무한대
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Laurent 급수, 특이점 및 영점 분석
• Laurent 급수: 특이점 포함 복소함수를 양수/음수 거듭제곱으로 전개, 해석부와 주부 구조로 국소적 함수 거동 분석. • 특이점: 고립특이점을 극(pole), 진성특이점(essential singularity), 제거가능특이점(removable singularity)으로 분류 및 각 특성 이해. • 영점 및 극의 관계: 해석함수의 영점 정의와 위수 판별, 영점과 극 간의 역수 관계를 통한 함수 특성 파악. |
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[27강] 유수적분법
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유수적분법과 유수정리
* 유수적분법 및 유수 개념: 복소함수의 경로 적분 계산을 위한 로랑 급수 $b_1$ 계수(유수)와 $2\pi i b_1$로 정의되는 적분값 관계 정리 * 유수 계산 공식: 특이점 종류(단순극, 고위 극)에 따라 $\lim_{z \to z_0}(z-z_0)f(z)$ 또는 미분 항을 포함하는 공식으로 유수 산출 * 유수 정리: 반시계방향 경로 내 모든 특이점 유수 합($2\pi i \sum \text{Res}[f(z)]$)을 통한 복잡한 복소 경로 적분값 계산 원리 |
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[28강] 실적분의 유수정리
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실적분의 유수정리: 유리함수, 이상적분, 푸리에 적분
* 복소 유수정리: 유리함수, 이상적분, 푸리에 적분 등 다양한 실적분을 복소변환으로 계산하는 원리 * 이상적분과 코시 주값: 무한 구간 및 특이점을 포함하는 이상적분의 코시 주값 정의와 유수 정리 적용 조건 * 실축 단순극: 실수축 상 단순극 포함 이상적분의 코시 주값 계산 공식 및 복소경로·유수 계산 절차 요약 |
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| 17장. 등각사상 | ||
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[29강] 해석함수의 기하학, 등각사상
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해석함수의 기하학 및 등각사상
* 사상 개념 및 유형: 복소함수에 의한 $z$ 평면의 $w$ 평면 변환 과정 및 선형, 이차, 역수, 지수 함수의 기하학적 사상 특성 이해. * 등각사상 정의 및 원리: 교차하는 곡선의 각도와 방향을 보존하는 사상으로, 해석함수는 임계점($f'(z)=0$)을 제외하고 등각성을 유지. * 등각성과 Jacobian 관계: 해석함수의 도함수 절댓값 제곱 $|f'(z)|^2$이 Jacobian과 같음을 통해 등각사상의 수학적 조건 파악. |
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[30강] 선형분수변환, 특별한 선형분수변환
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선형분수변환 및 특별 사상
• 선형분수변환(뫼비우스 변환) 개념: $w=(az+b)/(cz+d)$ 형태의 등각사상으로, 원과 직선을 원 또는 직선으로 사상하는 핵심 원리. • 고정점과 유일성: 비항등 선형분수변환은 최대 두 개의 고정점을 가지며, 세 점과 그 상을 통해 유일한 변환 결정. • 주요 사상 기법: 반전 $w=1/z$의 특성과 무한대 포함 비조합 공식 처리, 단위원판을 단위원판으로 사상하는 특별 형태 적용. |
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[31강] 다른 함수들에 의한 등각사상
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다른 함수들에 의한 등각사상 분석
* **삼각함수 등각사상**: Sine, Cosine 함수는 주기성 및 임계점 고려, 복소평면의 선을 쌍곡선, 타원, 직선으로 변환. * **탄젠트 함수 사상**: 지수함수, 선형분수변환, 회전 등 기본 변환의 조합으로 복잡한 복소평면 영역 매핑 분석. * **하이퍼볼릭 함수 사상**: 삼각함수와의 관계 및 회전 변환을 활용하여 복소평면에서의 등각사상 원리 이해. |
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| 18장. 복소해석과 퍼텐셜이론 | ||
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[32강] 정전기장
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복소해석과 정전기장 이론 및 응용
• 정전기 퍼텐셜($\phi$): 쿨롱 법칙 기반의 라플라스 방정식 조화함수 해로, 전하 분포에 따른 등퍼텐셜 곡면의 공간적 특성 분석. • 복소퍼텐셜($F(z)$): 해석함수 구성 및 코시-리만 방정식 활용, 등퍼텐셜 선에 직교하는 공액조화함수 $\psi$ (역선) 계산. • 정전기장 문제 해결: 라플라스 방정식과 복소퍼텐셜을 활용하여 평행판, 원기둥 등 다양한 기하학적 형태의 퍼텐셜 및 역선 도출, 중첩의 원리 적용. |
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[33강] 등각사상의 이용. 모델링
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등각사상을 이용한 조화함수 및 퍼텐셜 모델링
* 등각사상에서의 조화함수: 등각사상이 조화함수를 보존함을 활용, 복잡한 라플라스 방정식 해를 단순화된 영역에서 도출하는 기본 원리. * 퍼텐셜 모델링 절차: 비동축 원기둥, 반원판 등 복잡한 영역에서 등각사상으로 변환 후, 경계 조건에 맞춰 퍼텐셜 함수를 도출하는 과정. * 복소 퍼텐셜 함수와 응용: 등각사상을 이용한 라플라스 방정식 해법에서 복소 퍼텐셜 함수 활용 및 경계 조건 적용의 중요성. |
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[34강] 열에 관한 문제, 유체흐름
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열 문제 및 유체 흐름의 복소해석 적용
• 열전도 문제: 정상상태 열방정식을 라플라스 방정식으로 변환, 복소 열퍼텐셜을 통해 등온선 및 열흐름선 분석. • 유체 흐름 분석: 비회전·비압축성 흐름에서 복소 퍼텐셜(속도 퍼텐셜, 흐름함수)을 정의하고, 속도 벡터 및 라플라스 방정식 관계 활용. • 복소 퍼텐셜 응용: 모서리 및 원기둥 주위의 유체 흐름을 해석하여 등퍼텐셜선, 흐름선, 정체점 등 유동 특성 파악. |
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[35강] 퍼텐셜에 대한 Poisson 적분공식, 조화함수의 일반성질
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공업수학: 퍼텐셜 Poisson 적분공식 및 조화함수 성질
* Poisson 적분공식: 원판 내부 퍼텐셜을 경계값으로 표현하며, Cauchy 적분공식으로 유도되는 핵심 원리. * 원판 퍼텐셜 급수 전개: Fourier 급수 형태로 원판 내부 퍼텐셜을 표현하며, Dirichlet 문제 해결에 활용되는 기법. * 조화함수 특성: 평균값 성질, 최대 최소값 원리를 통해 Dirichlet 문제의 해 유일성을 보장하는 핵심 원리. |
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정진교 교수님
공업수학(KREYSZIG) Ⅱ
