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보험수리학Ⅰ
조홍규 교수
KAIST 대학원 경영정보공학 석사과정
KAIST 대학원 경영정보공학 박사졸업
KAIST 대학원 경영정보공학 석사과정
KAIST 대학원 경영정보공학 박사졸업
한국금융연수원
이화여자대학교
성균관대학교
국민대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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총 7개 챕터, 52강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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[1강] 보험수리학 오리엔테이션
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보험수리학 오리엔테이션 핵심 개념과 강의 구성 요약
• 보험수리학 개념과 역할: 생명보험·연금 현상을 확률·통계와 이자론으로 모형화하여 보험료·보험금·책임준비금 산출 및 계리업무·계리사 시험의 기초 이론 제공 • 보험계약 수리모형: 생존분포·생명표·생명보험·연금·연합생명보험·다중탈퇴모형을 활용해 사망·해약 등 다양한 탈퇴 원인을 반영한 현금흐름 구조와 준비금 평가 체계 정립 • 제도·시험 연계와 강의 구성: IFRS 기반 보험부채 평가, 감독 규제 하 책임준비금 관리, Life & Health 중심 커리큘럼을 11개 챕터로 구성해 확정적·확률적 접근과 계리사(국내·국제) 시험 내용과 연계해 학습 |
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| 1장. 이자론 | ||
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[2강] 단위종가함수, 단리와 복리
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단위종가함수, 단리와 복리 핵심 정리(보험수리학 이자론 2강)
• 이자·종가·종가함수와 단위종가함수: 이자·원금·종가 정의 및 종가함수 A(t), 단위종가함수 a(t)=A(t)/A(0)의 관계를 통해 이자 I_n, 연간 실이율 i, i_n의 계산 구조 정리 • 단리 이자 구조: 단리에서 a(t)=1+it, A(t)=K(1+it), i_n=i/[1+i(n-1)]로 이자는 일정하지만 실이율이 시간에 따라 감소하는 특성과 원금 배수 시점 계산 원리 정리 • 복리 이자 구조 및 비교: 복리에서 a(t)=(1+i)^t, A(t)=K(1+i)^t, 모든 해의 실이율 i_n=i로 일정하며 단리 대비 장기 종가 우위, 원금 배수 시간, 72법칙 등 복리 성장 특성 정리 |
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[3강] 현가와 할인, 명목이율과 명목 할인율
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현가, 단위할인함수, 명목이율과 명목할인율 핵심 정리
• 현가·단위현가함수·단위종가함수: 현가 개념과 복리·단리에서의 단위종가함수 A(t), 단위현가함수 v(t) 구조 및 v, d, i 간 기본 관계식(d=1−v, v=1/(1+i)) 정리 • 단위할인함수·변동 할인율: 단리·복리 단위할인함수와 할인표 구조(v(t), A(t)의 상호 역함수 관계) 및 기간별 상이한 할인율 적용 시 종가 계산 절차 정리 • 명목이율·명목할인율·실효율: 명목이율 i(m)·명목할인율 d(m)과 연간 실효이율·실효할인율 관계식(1+i=(1+i(m)/m)^m, 1−d=[1−d(m)/m]^m) 및 서로 다른 전화횟수·명목이율·명목할인율 간 상등 관계 변환 정리 |
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[4강] 이력과 할인력
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이력과 할인력, 복리·단리에서의 단위종가·할인함수 관계 정리
• 이력·할인력 개념: 이력 δ(t)=A'(t)/A(t)=d/dt ln A(t)와 할인력 -v'(t)/v(t)의 정의 및 동치, 순간이율·순간할인율로서 단위종가함수 A(t)·단위할인함수 v(t)와의 미분·적분 관계 정리 • 이자율·할인율 구조: 복리·단리·연속복리에서 A(t), v(t)와 실질이율 i, 실질할인율 d, 명목이율 i^{(m)}, 명목할인율 d^{(m)}, 이력 δ의 상호 변환식과 극한 관계( m→∞ 시 i^{(m)}, d^{(m)}→δ ) 정리 • 단위종가·단위할인함수 체계: A(t)=e^{∫_0^t δ(s)ds}, v(t)=1/A(t)=e^{-∫_0^t δ(s)ds}를 축으로 한 복리·단리·연속복리 모형 비교, 이력함수 δ(t)로부터 A(t)·v(t)를 도출하는 일반 절차 및 크기 비교 관계(i > i^{(m)} > δ > d^{(m)} > d) 정리 |
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[5강] 확정연금(1)
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확정연금과 기말급·기시급 연금의 현가와 관계식 정리
• 연금 유형과 구조: 확정연금·생명연금의 정의, 노후 대비 목적, 기말급·기시급 연금의 지급시점(말/초)에 따른 현금흐름·시간선 구조 및 표기법($a_{\overline{n}|}$, $\ddot{a}_{\overline{n}|}$, $s_{\overline{n}|}$, $\ddot{s}_{\overline{n}|}$) 정리 • 연금 가치 평가 공식: 등비수열 합을 이용한 기말급·기시급 연금의 현재가치·미래가치 도출($a_{\overline{n}|}$, $s_{\overline{n}|}$, $\ddot{a}_{\overline{n}|}$, $\ddot{s}_{\overline{n}|}$)과 $i$, $v$, $d$ 관계, 기말급·기시급 간 관계식(예: $\ddot{a}_{\overline{n}|} = (1+i)a_{\overline{n}|}$, $\ddot{a}_{\overline{n}|} = 1 + a_{\overline{n-1}|}$, 역수 관계식) 정리 • 이자표와 실무 응용: 이자표(Interest Table)의 구성요소((1+i)^n, v^n, $s_{\overline{n}|}$, $a_{\overline{n}|}$)와 활용법 및 자동차 할부, 실질 이자율 산정, 보험금 일시수령 vs 연금수령, 구간별 상이한 연금의 현가 계산 등 재무 의사결정 사례에의 적용 방법 정리 |
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[6강] 확정연금(2)
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확정연금 거치연금·영구연금·변동이율·전화기간 연금 정리
• 거치연금·거치 영구연금: 거치기간 후 일정금액을 지급하는 연금으로, “전체 연금 현가 − 거치 이전 연금 현가” 또는 거치기간만큼 할인하는 방식으로 평가하며, 영구연금은 $a_{\overline{\infty}|}=1/i$ 및 거치 시 추가 할인 구조로 표현 • 변동이율 확정연금·단위종가함수: 구간별 이율에 따라 각 구간 현가·종가를 계산 후 기준시점으로 할인·복리 합산하며, 단위종가함수 $A(t)$와 할인함수 $v(t)=1/A(t)$, 이력 $\delta(t)$를 이용해 연속복리 상황의 연금 현가·종가를 “지급시점별 할인계수 합”으로 일반화 • 전화기간과 지급기간이 다른 연금(기말급·기시급): 전화기간 대비 $m$회 지급 구조에서 $a_{\overline{n}|}^{(m)}=\dfrac{1-v^n}{i^{(m)}}$ 형태로 표현하고, $(1+i)=(1+\frac{j^{(m)}}{m})^m$인 명목·실효이율 관계를 사용해 연 1회 지급 연금과 상호 변환하며, 기시급은 “기말급 + 현재 1회 지급” 관계로 구조화 |
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[7강] 확정연금(3)
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연속확정연금과 전화기간–지급기간이 다른 확정연금 핵심 정리
• 연구연금·전화기간이 다른 확정연금: 연구연금(기말·기시)의 현가 1/i, (1+i)/i 정리 및 전화기간과 지급기간이 다른 확정연금의 현가·종가를 등비수열과 aₙ|i, sₙ|i 계수 비율로 표현 • 전화기간이 짧은 확정·연구연금: 전화기간이 지급기간보다 짧은 확정연금·연구연금에서 k기간 간격 지급 구조의 현재가치·미래가치를 Vᵏ, i^(k) 등을 이용해 일반식으로 정리하고 지급 간격 변화에 따른 가치 변동 분석 • 연속확정연금·이율 관계: 지급이 연속인 확정연금의 현가·종가를 적분으로 유도해 PV=(1−Vⁿ)/δ, FV=((1+i)ⁿ−1)/δ로 정리하고 명목·실효이율, 할인율, 이력(delta) 간 관계 및 이산 연금(매월·매2년·매일 지급)과의 가치 비교 구조 정리 |
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[8강] 변동연금(1)
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변동연금, 누가·누감확정연금 및 영구연금 핵심 정리
• 변동연금 일반 구조: 최초 지급액 P와 증가분 Q를 갖는 등차수열형 연금으로, 현가·종가는 일반 확정연금 aₙ, sₙ과 (aₙ−nvⁿ)/i, (sₙ−n)/i를 조합해 표현 • 누가·누감확정연금: 누가연금은 P=1,Q=1인 증가형, 누감연금은 P=n,Q=−1인 감소형으로, 각각 {}ᴵaₙ, {}ᴰaₙ을 통해 aₙ와 n/i를 조합한 현가·종가 및 기말·기시급 관계식으로 정리 • 누가·누감 영구연금 및 거치 변동연금: 누가 영구연금은 {}ᴵa∞=1/(id), {}ᴵä∞=1/d²로 정의되며 누감 영구연금은 부존재, 거치형 변동·누가 영구연금은 연금 현가 계산 후 vᴺ으로 할인해 0시점 가치 산출 |
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[9강] 변동연금(2)
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변동연금 전화기간과 지급기간이 다른 경우 핵심 정리
• 변동연금 구조: 전화기간과 매회지급기간이 다른 경우 현금흐름을 “기본 확정연금 + 증가분 변동연금”으로 분해하고, 전화기간 내 동일 지급·증가 지급·계단식 증가·선형 증가 패턴에 대해 명목이율·명목할인율을 이용해 현가·종가를 계산하는 구조 정리 • 명목이율·명목할인율: 전화기간 대비 연간 m회 지급 시 (1+i)^{1/m}을 이용해 명목이율 i^{(m)}와 명목할인율 d^{(m)}를 정의하고, 기말급·기시급 변동연금(연 단위 이자·월 단위 상환, 1~120 증가, 홀수 증가 등)의 복잡한 흐름을 기본형 변동연금과 확정연금으로 분해해 표준식으로 환원하는 절차 정리 • 연속변동연금: 연속지급 변동연금에서 R(t), 이력함수 a(t), 할인요인 a^{-1}(t)를 정의하고 PV=∫ R(t)a^{-1}(t)dt 형태의 현가식으로 불변형·계단형·선형형 및 거치기간·시간가변 이력(δ(t)) 사례(t, t^2-1 등)를 포함한 일반 구조와 계산 법칙 정리 |
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[10강] 연금의 기간, 이율, 수익률
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연금의 기간, 이율, 수익률 계산 핵심 정리 (보험수리학 10강)
• 미지수 기간·이율 연금 평가: 연금 현가·종가식과 로그를 이용한 기간 n 역산, 명목이율의 유효이율 환산, 전화기간·지급기간 불일치 조정 및 마지막 회차 drop payment 계산 구조 정리 • 미지수 이율 추정 기법: 연금 현가 조건에서 이율을 미지수로 두고 이자표 기반 트라이얼·앤·에러 및 선형보간법으로 목표 현가·종가에 맞는 근사 이율 결정 절차 정리 • 하디 수익률과 일반화: 하디 수익률 공식 i = 2I/(A+B-I)의 평균투자자산 해석, 연중 유입·유출 현금흐름 N_t·W_t와 (1-t) 가중을 이용한 일반화, 자산 선형모형·적분을 통한 수익률 공식의 이론적 해석 정리 |
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[11강] 할부상환과 감채기금
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할부상환과 감채기금 핵심 정리 요약(보험수리학 11강)
• 할부상환·잔존원금(OP) 구조: 등액 상환 연금에서 이자·원금 분해, 잔존원금을 남은 지급의 현재가치로 표현, 이자 전화기간·지급기간 불일치 시 전화기간 기준 연금수식으로 재구성 • 할부상환표·이자·원금 흐름: 대출금·상환액·잔존원금·원금상환액·이자상환액 관계식 정리, 짝수년·특정 회차 원금합 계산과 등비수열·연금수식 변환 절차 체계화 • 감채기금·보수이율·증식이율: 감채기금 기호 체계와 순이자·원금감소 구조, 이율 동일 시 할부상환과 등가성, 이율 상이 시 $a_{\overline{n}|i',i}$ 일반식·적립액 D·총부담 R 산출 및 복수 구간 적립 패턴 분석 |
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[12강] 채권과 주식
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채권과 주식의 가치 평가 핵심 정리 및 연습문제 구조
• 채권 가치 평가·수익률 구조: 채권 현금흐름을 연금 이론으로 표현해 가격식 $P=Fr a_{\overline{n}|i}+Cv_i^n$으로 정리하고, 쿠폰이율·시장수익률 비교에 따른 프리미엄·디스카운트 및 선형보간 기반 내부수익률 계산 체계 확립 • 복합 이자·연금·연속연금 구조: 전화기간·이자지급기간 불일치 채권과 변동이율 연금·연속연금·이력(Force of Interest)·단리 vs 복리·종가비율 조건 문제를 통합하여 현금흐름을 단일 기준 기간으로 환산·할인하는 일반식 훈련 • 주식 가치 평가·배당모형: 보통주를 배당의 현재가치 합으로 보고 고정배당 영구연금 $P=\dfrac{D}{R}$, 배당성장모형 $P=\dfrac{D}{R-g}$, 배당수익률·요구수익률·성장률 간 관계를 통해 주가 결정 원리와 수익률 구조를 체계화 |
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| 2장. 생존분포와 생명표 | ||
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[13강] 생존분포와 생명표
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보험수리학 생존분포·생명표 핵심 개념 정리
• 확률·생명표 기초 개념: 대수의 법칙·조건부 확률·곱의 법칙·독립사상과 국민생명표·경험생명표를 통한 연령별 사망·생존 구조 정의 • 경험생명표·생명확률·평균여명: 경험생명표 기호(lx, dx, px, qx) 관계, 보정이론(평활화·사전의견·평활도), 생명확률({}_np_x, {}_nq_x, {}_m|{}_nq_x)와 개산·완전 평균여명(ex) 산식 및 분해 구조 정리 • 선택표·종국표와 선택효과: 선택집단·선택기간 정의, 선택표·종국표 사망률 적용 구간과 전이 구조, 선택·종국 사망률을 이용한 생존·사망확률 계산 절차 정리 |
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[14강] 확률이론 (1)
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보험수리학 확률이론(1) 확률변수·기대값·분산·공분산 정리
• 확률변수와 분포함수: 이산·연속확률변수 정의, 확률질량함수(PMF)·확률밀도함수(PDF)·누적분포함수(CDF)의 성질과 상호 관계, 구간확률 계산 구조 정리 • 기댓값·분산: 이산·연속형 기댓값 정의와 선형성, 분산의 정의·대체식(Var(X)=E[X²]−(E[X])²), 선형변환과 독립합에 대한 분산 계산 규칙 정리 • 공분산·상관·결합·조건부분포: 공분산과 상관 구조, 선형변환 성질, 결합분포(PMF/PDF)와 주변·조건부 분포 정의 및 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) 관계 정리 |
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[15강] 확률이론 (2)
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베르누이·이항·다항·포아송·균등·지수·정규분포와 중심극한정리 핵심 정리
• 이산확률분포 체계: 베르누이·이항·다항·포아송분포의 정의, 확률질량함수, 기대값·분산 및 시행 구조(성공/실패, 다범주, 단위시간 발생횟수) 비교 정리 • 연속확률분포 체계: 균등·지수·감마·베타·정규·표준정규분포의 정의, 확률밀도함수, 기대값·분산, 지수–감마 관계(특수형), 베타의 (0,1) 비율 모형, 정규·표준정규의 모수 해석 및 Φ(z) 활용 • 중심극한정리 및 정규근사: i.i.d. 표본평균의 표준정규 수렴 성질, 비정규 분포 평균의 정규근사, 분포 간 연결을 통한 추정·가설검정 등 통계추론의 이론적 기반 정리 |
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[16강] 생존함수, 미래생존기간, 미래 개산생존기간
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보험수리학 생존함수, 미래생존기간, 미래개산생존기간 핵심 정리
• 생존함수·분포함수·밀도함수: 생존함수 S(x)=P(X>x), 분포함수 F_X(x)=1−S(x), 밀도함수 f_X(x)=-S'(x) 및 S(x)=∫_x^ω f_X(t)dt, l_x=l_0S(x) 관계를 통한 자연수명 분포 구조 정리 • 조건부 생존·사망확률 및 미래생존기간: 조건부 생존확률 {}_np_x=S(x+n)/S(x), 사망확률 {}_nq_x=1-{}_np_x, 미래생존기간 T_x=X−x의 분포 G_x(t)={}_tq_x, 생존함수 P(T_x>t)={}_tp_x, 균등·지수형 S(x) 사례를 통한 T_x의 분포 및 매모리리스 특성 정리 • 미래 개산생존기간 및 생명표 응용: 개산생존기간 K_x=⌊T_x⌋ 정의와 P(K_x=k)= [S(x+k)−S(x+k+1)]/S(x) = {}_kp_x·{}_1q_{x+k} 분포, 생명표 l_x·d_x 자료를 이용한 K_x의 분포·기대값·분산·홀짝 확률 계산 절차 정리 |
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[17강] 사력, 생명표 (1)
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사력과 생명표(1): 사력 정의, 생존함수, 생명표 구조
• 사력과 생존·사망 확률 구조: 사력 μx = fX(x)/S(x) = −S′(x)/S(x)로 정의되는 순간 사망률로, 이력 δt와 대응되며 생존함수 S(x), 생존확률 {}tp_x = exp(−∫μ\,dy), 연사망률 qx와의 변환 관계를 통해 생존·사망확률을 표현함 • 생명표 확률모형과 기대값: 개인 단위 생존여부 Ixj를 성공확률 S(x)의 베르누이 변수로, 생존자 수 lx를 매개변수 (l0, S(x))의 이항분포로 모형화하여 E[lx] = l0S(x), 구간 사망자수 {}ndx = lx − lx+n 및 E[{}_ndx] = lx − lx+n, 미소구간 사망자수 dx ≈ lxμx dx로 기대 사망자 수를 해석함 • 균등분포형 사력 모형: 사망자 수 lxμx를 연령 전 구간에서 상수로 두어 S(x) = 1 − x/ω, μx = 1/(ω − x)를 갖는 균등분포형 생존모형을 설정하고, 사력의 고차미분 μ(n)x = n!(ω − x)−(n+1)을 이용한 종단연령 ω 추정과 생존자 수 lx = l0S(x) 계산 절차를 제시함 |
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[18강] 생명표 (2)
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생명표 평균여명과 총생존연수, 중앙사망률 핵심 정리 요약
• 평균여명 지표: 완전평균여명 eₓ·계산평균여명 eₓ^(K)·정기평균여명·거치평균여명·미래생존기간 중간값 mₓ 정의와 생존함수·생명확률을 이용한 기대값·분산 및 UDD 가정하 관계(eₓ = eₓ^(K)+1/2) 정리 • 생명표 기반 지표: 총생존연수 Lₓ, 구간 내 사망자의 평균생존연수 aₓ, 생존자수 lₓ·사망자수 dₓ 구조를 통해 완전평균여명 역산, 부분 생명표로 eₓ 계산, 고령·유한 수명 모형 예제 정리 • 사력·중앙사망률: 사력 μₓ와 eₓ의 미분관계(d/dx eₓ = μₓeₓ−1), 중앙사망률 mₓ 정의 및 UDD 가정하 변환식(mₓ = dₓ/Lₓ, mₓ ↔ qₓ·pₓ), 적분식으로부터 mₓ 계산 절차 체계화 |
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[19강] 사력, 평균여명의 근사치, 단수부분에 대한 가정
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사력 근사치, 평균여명 근사, 단수부분 가정 핵심 정리
• 사력 근사 및 확률 관계: 생명표 함수 Lx의 다항(2차·4차) 가정과 테일러 전개, 생존·사망확률(px, qx)의 로그·지수 전개를 이용한 μx 근사식과 μx–px–qx 상호 변환 및 부호 비교 구조 정리 • 평균여명 근사: 완전평균여명 e°x와 계산평균여명 ex 정의, 오일러–맥클로린 전개 및 dLx/dx=-μxLx 대입을 통한 e°x ≈ ex + 1/2(+ μx/12) 근사와 UDD 하 T=K+S 분해를 이용한 평균·분산 관계 정리 • 단수부분 사망 가정: UDD(사망자수 균등분포), CFM(사력 상수), Balducci(생존함수 조화보간)에서의 St, Lt, {}tp_x, {}tq_x, μx+t 공식과 형태 비교, 동일 qx 기준 단기간 생존·사망확률 및 여명 비교 계산 구조 정리 |
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[20강] 사망법칙, 특수한 생존분포
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사망법칙과 특수 생존분포 핵심 정리 및 예제 풀이 요약
• 사망법칙·생존분포 모형: 사력과 생존함수를 함수형(지수·선형·균등·혼합)으로 가정하여 Gompertz, Makeham, 상수사력(지수분포), De Moivre(균등분포) 하의 생존·사망확률, 기대여명, 분산을 폐형 수식으로 도출 • 생명표 기반 계산 절차: 선형·특정 형태의 생명표에서 생존·사망확률, 정수부분 여명 Kx, 계산 평균여명·완전 평균여명 및 고령 집단 분산을 lₓ, dₓ 구조와 구간별 확률로 체계적으로 계산 • 응용·혼합모형 문제: 복수 연령 동시생존·구간사망확률·조건부 생존확률과 건강/암 이종집단 혼합모형에서 균등분포·조건부 확률을 사용한 생존함수 결합 및 실전형 계산 연습 |
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| 3장. 생명보험 | ||
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[21강] 보험료 계산, 생존보험, 사망보험(1)
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생명보험료 계산과 생존·사망보험의 구조 요약
• 보험료 산출 요소·이익 구조: 예정사망률·예정이율·예정사업비율을 기반으로 순보험료·부가보험료·영업보험료를 구분하고, 사차익·이차익·비차익으로 구성된 3이원 방식 이익 구조 정립 • 생존보험과 정기보험 구조: 생존보험(Pure Endowment)과 정기보험(Term Insurance)의 지급 조건(생존 시/기간 내 사망 시) 및 일시납·분할납 순보험료 산정 원리와 자연보험료 개념 정리 • 계산기수와 현가 공식: 생명표와 이자율표로부터 dₓ·Dₓ·Cₓ·Mₓ 계산기수를 정의하고, 생존보험 일시납순보험료 ${}_nE_x = D_{x+n}/D_x$, 정기보험 일시납순보험료 ${}_nA_x = (M_x - M_{x+n})/D_x$ 구조로 보험수리적 현가 = 보험료 현가합 원리 적용 |
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[22강] 사망보험(2), 생사혼합보험, 적립보험비용
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사망보험·생사혼합보험·적립보험비용 핵심 개념 정리
• 종신보험·거치보험·보험금 변동보험: $A_x, A_x^{(n)}, A_x^{(m,n)}, A_x^{\text{defer }m}$ 등을 통해 종신·정기·거치 구조와 증가·감소형(누가·누감) 사망보험을 $D_x, M_x, R_x$ 기수 조합으로 정식화 • 생사혼합보험(Endowment Insurance): 일정 기간 내 사망보험 ${}^1A_x^{(n)}$과 만기 생존보험 $A_x^{1(n)}$를 합한 구조로, 거치형 포함 모든 변형을 “생존보험 × 정기보험” 또는 합·차 형태로 표현 • 적립보험비용(Accumulated Cost of Insurance): ${}_nC_x$로 정의되는 $n$년 내 사망보험 총지급액을 $x+n$세 생존집단이 분담하는 단위비용 개념으로, 정기보험 가치와 생존보험 가치 비율로 전개하여 다양한 보험료 구조의 수리적 분석에 활용 |
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[23강] 계산기수와 일반식, 보험금 연말금(1)
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보험수리학 계산기수 일반식과 보험금 연말급 정기보험 요약
• 계산기수와 일반식: Dx·Cx·Mx·Rx 계산기수 정의 및 상호관계를 통해 연령구간별 사망보험·정기보험의 일시납 순보험료를 (M_A − M_B)/D_C 형태의 일반식으로 표현하는 구조 정리 • 미래계산생존기간·현가모형: 미래계산생존기간 K, 보험금함수 B_{K+1}, 현가함수 V_{K+1}, 현가확률변수 G 정의를 통해 정기보험의 기대값을 {}_{k}p_x q_{x+k}, lx·dx, Cx·Mx 계산기수 표현으로 상호 변환하는 모형 정리 • 균등사망모형·위험률 추론: 균등사망모형에서 정기보험 순보험료를 등비수열로 산출하고, 2년 만기 정기보험의 기대값·분산식을 이용해 q_{x+1} 등 미지 사망확률을 역추론하는 위험률 추정 절차 정리 |
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[24강] 보험금 연말급(2)
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보험수리학 보험금 연말급 모델: 정기·종신·생존·생사혼합보험 요약
• 미래계산생존기간·연말급 보험금 현가모형: 계산생존기간 K와 보험금함수 B_{K+1}, 할인함수 V_{K+1}, 현가함수 J_{K+1}로 정기·종신·생존·생사혼합보험의 연말급 지급 구조를 단일 확률변수 모형으로 정의하고 기대 현재가치 E(J)와 정률 E(J^j)를 통해 순보험료와 분산을 계산함 • 정기·종신·생존·생사혼합보험 구조와 평가: 정기보험·종신보험의 사망시 연말급 지급, 생존보험의 만기 생존시 일시지급, 생사혼합보험의 사망·생존 중 1회 지급 구조를 생명표(l_x, d_x, C_x, M_x)와 사망·생존확률(_k p_x, q_{x+k})로 표현하고, E(J), E(J^2)-{E(J)}^2 및 베르누이 분포를 이용해 일시납순보험료와 분산을 도출하며 종신보험은 M_x/D_x 형식으로 정리함 • 생사혼합보험의 이자율 변환과 연금 연결: 사망·생존시 시점별 가변보험금((1+r)^t, t m 등)을 새로운 할인계수 v'로 변환하여 표준 생사혼합보험과 등가한 뒤 j = (i-r)/(1+r), j = (1+i)^{n+1}-1 등 이자율 변환식을 도출하고, 기시급·기말급 연금 현재가치(특히 \ddot{a}_{\overline{n}|}, d=i/(1+i))를 이용해 특수 생사혼합보험의 보험료를 d^{-1}(A_x^{1:n}-A_x^{\prime\,1:n}) 형태로 표현함 |
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[25강] 보험금 연말급(3)
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보험수리학 보험금 연말급 거치·누가·누감보험 정리
• 거치·생사혼합보험 구조: 거치 정기·종신보험을 거치기간 생존보험과 이후 정기·종신보험으로 분해하고, 생사혼합보험을 정기보험+생존보험 결합식으로 표현해 NSP 및 관련 관계식 도출 • 사망률 변화와 NSP 증분: 특정 연령 사망률 변동 시 종신보험 NSP 증가분을 정기·생존·종신보험 분해와 commutation function(Dx, Cx, ax)을 이용해 I = D50/C60·(1−a61) 형태로 구조화 • 보험금 변동보험 및 연속모형: 누가 종신보험을 Rx/Dx로, 누감 정기보험을 여러 정기보험 합으로 재표현하고, 등비급수·지수생존함수 기반 연속모형에서 종신보험 NSP와 보험금 부족 확률을 로그·등비급수로 계산하는 절차 정리 |
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[26강] 보험금 1/m 연말급, 보험금 사망즉시금(1)
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보험수리학 보험금 1/m 연말급과 사망즉시급 구조 요약
• 1/m 연말급·UDD 가정: 1년을 m구간으로 나눈 연말급 사망보험 구조 정의, UDD 하에서 연 1회 지급 정기·종신·생사혼합보험과의 계수변환 및 평균 지급시점 근사 정리 • 사망즉시급 정기·종신보험 연속모형: 사망강도 μ와 이자력 δ를 이용한 적분형 보험금현가·2차모멘트·분산 정의, 계산계수 C̄x·M̄x·D_x 및 연말급 계수와의 관계식( Ā_{x: n} = (M̄_x-M̄_{x+n})/D_x, Ā_x = M̄_x/D_x ) 구조화 • 사망즉시급 응용 예제: 상수 사력 모형에서 E[v^T]=μ/(μ+δ) 활용, 집단기금의 정규근사에 의한 필요 기금 산출, 보험금이 1+순보험료인 구조에서 NSP = Ā_x/(1-Ā_x) 형태의 자기참조형 순보험료 결정 메커니즘 정리 |
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[27강] 보험금 사망즉시금(2), 연말급 관계
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보험수리학 사망즉시급, 생사혼합·거치·변동·누가·누감보험 및 연말급 관계 정리
• 사망즉시급·연말급 관계 및 근사식: UDD 가정의 \(\overline{A}\approx\frac{i}{\delta}A\), 전통적 근사치 \(1+\frac{i}{2}\)를 이용한 종신·정기·생사혼합·대출보증 정기보험의 현재가치 구조와 변동보험 근사 정리 • 생사혼합·거치·변동·누가·누감보험 구조: 거치종신·변형거치·보험금 증가/감소 종신·정기, 누가·누감 형태를 정기·종신·연금의 선형결합 및 적분/정률 기호 \((\overline{M}_x, D_x, \overline{R}_x, (\overline{I}^{(m)}A)_x)\)로 표현해 순보험료를 정의 • 위험측도와 응용 예제: 사망즉시급 정기·종신의 제곱정률을 이용한 분산 계산, 전통적·UDD 근사 적용, 주택자금 대출보증 정기보험에서 연속연금 종가·대출잔액과 사망즉시급 정기보험 보험금 패턴의 연계 구조 정리 |
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[28강] 재귀식, 특수한 생존분포
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특수한 생존분포와 재귀식을 이용한 종신보험 평가 핵심 정리
• 종신보험 재귀식과 원리합계 해석: 종신보험 APV를 $A_x=vq_x+vp_xA_{x+1}$ 재귀식과 생존자수 함수 $l_x$로 표현하여 1년 정기보험·거치 종신보험 분해 및 원리합계 균형 구조 정리 • 특수 생존분포 하 APV·분산: 상수사력(CFM)·De Moivre·UDD 가정 하 종신·정기·생존·생사혼합보험의 사망즉시급·연말급 APV, 종신보험 분산, 즉시·연말급 변환 및 생존자수 역산 관계 정리 • 보험금 변동 종신보험과 계산기수: 시간에 따라 증가·변동하는 종신보험을 기본/거치 종신보험·누가정기·누가종신보험으로 분해하고, $D_x,M_x,R_x$ 계산기수와 무한등비급수 구조로 일시납순보험료를 체계적으로 표현 |
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| 4장. 생명연금 | ||
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[29강] 종신연금, 유기생명연금, 거치연금
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종신연금·유기생명연금·거치연금 핵심 정리 및 계산관계 요약
• 생명연금·종신연금 구조: 생존 조건부 지급 연금으로서 확정연금과 대비되는 개념, 종신연금의 기말급·기시급 구조와 현재가치 $a_x,\ddot{a}_x$의 계산기수 표현 및 생존보험들의 합으로서의 해석 정리 • 유기생명연금·거치연금 구조: 한정기간 지급 유기생명연금과 거치기간 후 지급 거치연금의 정의, 기말급·기시급 형태별 지급 구조 및 $a_{x:\overline{n}},\ddot{a}_{x:\overline{n}}$을 활용한 현재가치·관계식 체계화 • 계산기수·관계식 응용: $d_x,n_x$를 이용한 종신·유기·거치연금의 현재가치 표현과 $\ddot{a}_x=1+a_x,\;\ddot{a}_{x:\overline{n}}=\dfrac{n_x-n_{x+n}}{d_x},\;$거치연금=$a_x-a_{x:\overline{n}}$ 등 관계식 변형을 보험료 납입·노후연금·교육보험 설계 계산에 적용하는 절차 정리 |
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[30강] 보증기간부 생명연금, Forborne Annuity, 변동연금
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보증기간부 생명연금, Forborne Annuity, 변동·누가·누감 생명연금 핵심 정리
• 보증기간부 생명연금·Forborne Annuity: 확정지급 구간과 유기/종신 생명연금 결합 구조, 적립기간 중 사망자 적립금 미반환에 따른 상호부조 효과 및 종가·현재가치 관계식 정리 • 변동연금(누가·누감 생명연금): 시간에 따라 증가·감소하는 지급액을 정액 연금 + 누가/누감 연금 ± 종신연금으로 분해하여 유기·종신·상한·종료형 구조별 NSP 일반식 도출 • 계산기수(Dx, Nx, Sx) 기반 평가: Dx, Nx, Sx 정의를 활용해 각종 정액·누가·누감·복합 생명연금의 일시납순보험료(NSP)를 통합 형태의 일반식으로 표현하고, 동일 개념을 통합한 체계적 계산 구조 제시 |
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[31강] 연 m회 지급 생명연금, 생명보험과 생명연금의 관계
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연 m회 지급 생명연금과 생명보험·생명연금의 관계 핵심 정리
• 연 m회 지급 생명연금 근사식: 기시급·기말급 종신연금, 유기 생명연금, 누가 생명연금의 현재가치를 연 1회 지급식에 조정항 (±(m-1)/2m)과 계산기수(Nₓ, Dₓ, Mₓ 등)로 표현하여 m분할 지급 구조를 선형보간 방식으로 근사 • 계산기수와 현재가치 구조: dₓ·nₓ·mₓ 및 Cₓ·Dₓ·Nₓ·Mₓ를 이용해 종신·유기 생명연금의 기시급·기말급 현재가치와 연 m회 지급 변형을 통일적으로 계산하고, Nₓ/Dₓ, Mₓ/Dₓ 꼴의 비율 구조로 연금·보험 가치를 체계화 • 생명보험–연금 관계식: 종신보험과 정기보험의 현재가치를 종신·유기 생명연금의 기시급·기말급 차이로 나타내어 Aₓ = \ddot{a}ₓ - aₓ = 1 - d\ddot{a}ₓ 및 “정기보험 = 기시급 유기연금 – 기말급 유기연금” 관계를 통해 보험과 연금 간 구조적 연결 및 이자율 추정 절차 정리 |
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[32강] 연 1회 지급 생명연금(1)
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연 1회 지급 종신생명연금의 시점지급·총지급방법 및 분산
• 시점지급방법·총지급방법: 연 1회 지급 기시급·기말급 종신연금의 현재가치를 생존확률·사망확률 분포와 할인함수의 곱의 합, 총지급액 확률변수 기대값으로 표현하는 구조 정리 • 기대값·분산 구조: 기시급·기말급 종신연금의 기대값을 종신보험 현재가치와의 관계식 $a_x=\frac{1-\bar{A}_x}{d}$, $\bar{a}_x=\frac{1-\bar{A}_x}{i}$로 나타내고, 분산을 종신보험 2차정률을 이용해 $Var(\text{연금})=\frac{1}{d^2}\{{}^2\bar{A}_x-\bar{A}_x^{\,2}\}$ 형태로 통합 정리 • 응용 및 예제 구조: 기시급 종신연금 재귀식 $a_x=1+v\,{}_1p_x a_{x+1}$을 이용한 생존확률 역산, 구간별로 지급액이 다른 기말급 종신연금의 단일순보험료 계산 및 NSP 대비 초과 수령 확률을 사망연수·생존연령 조건으로 표현하는 모형 제시 |
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[33강] 연 1회 지급 생명연금(2)
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연 1회 지급 유기·거치·누가 생명연금 핵심 정리
• 유기·거치 생명연금: 일정 기간 한정(유기)·거치 후 시작(거치) 연금의 현가·기대값·분산을 정기보험·종신연금·생사혼합보험과의 관계식으로 표현하고, De Moivre 법칙·일정 사망강도 하에서 기대 지급횟수·조건부 확률 계산 구조 정리 • 누가 종신·유기 생명연금: 지급액이 매년 1씩 증가하는 종신·유기연금과 누가 생명보험(IAx)의 시점지급·총지급 표현을 제시하고, 일반 연금·보험의 선형결합 및 관련 부등식·상·하한 구조로 정리 • 기타 관계식 및 Forborne Annuity: 종신·유기연금, 정기보험, 생사혼합보험 간 변환식과 종신연금 상·하한 부등식, Forborne Annuity의 생존보험 동치 구조, 포본 관계를 이용한 파라미터(b 등) 도출 절차 정리 |
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[34강] 연 1회 지급 생명연금 (3)
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연 m회 지급 종신·유기·거치·변동연금 핵심개념 정리
• 연 m회 지급 생명연금 구조: 연 1회 지급 종신연금을 기준으로 분할지급 확률모형과 UDD 가정하 생존시간(T=k+s, j=⌊ms⌋)을 사용해 연 m회 기시·기말 종신연금의 현재가를 정의하고 기대값·평균여명으로 표현 • 계수 변환 체계(α_m, β_m, γ_m): 유효이율(i, v, d)과 연 m회 명목이율(i^(m), d^(m))로부터 α_m, β_m, γ_m을 정의하고 a_x^{(m)}, ẍa_x^{(m)}를 a_x, ẍa_x 및 생존보험 계수와의 선형관계로 변환해 종신·유기·거치 연금(기시·기말)의 현재가를 통일적으로 계산 • 유기·거치·변동연금 구성 원리: 유기·거치연금을 “종신연금 ± 거치 종신연금” 구조와 거치 유기연금=두 거치 종신연금 차이로 표현하고, 연·월 분할 및 연도별·지급시점별 증가형 변동연금을 유기연금들의 합으로 분해해 α_m, β_m와 계리표(D_x, N_x, S_x)로 현재가를 산출하는 계산 절차 정립 |
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[35강] 연속생명연금/계산기수
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연속생명연금과 계산기수 핵심 정리 요약
• 연속생명연금·변동연금 구조: 분할납 생명연금을 연속화한 종신·유기·거치·누가 연금의 기대값·분산을 적분식과 총지급 확률변수로 정의하고, 생사혼합보험·정기·생존보험과의 관계식(1 = 연금 + 보험)으로 표현 • 계산기수·분할·기말·연속 확장: 기본 계산기수 Dₓ·Nₓ·Sₓ를 분할지급용 Dₓ^(m)·Nₓ^(m)·Sₓ^(m), 기말급 계산기수 ẐDₓ·ẐNₓ·ẐSₓ, 연속계산기수 N̄ₓ로 확장하고, UDD 가정 하에서 종신·유기·거치·누가 및 변동연금의 일시납순보험료를 통일된 형태로 계산 • 적률·위험도 분석: 연속연금의 제2적률과 분산을 δ, 사망강도 μₓ₊ₜ, 적률계수 α∞·β∞로 표현하고, 상수 μ·δ 모형에서 기대현가·분산·초과지급확률을 수치 계산하는 절차를 통해 복합 연금 구조의 위험·가치 평가 체계화 |
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[36강] 단수기간연금, 전통적 근사치, 특수생존분포와 생명연금
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단수기간지급연금·반환연금, 전통적 근사치, 특수생존분포 요약 • 단수기간 연금 구조: 단수기간지급연금(기말급, 미지급분 추가 지급)·단수기간반환연금(기시급, 사망 이후 기지급분 반환) 정의와 연속확정연금 기반 기대현가 계산 및 기말/기시급·분할납 구조와의 관계 정리 • 이자율 및 근사 기법: 실질이자율·연속이자율·명목이자율·명목할인율 변환을 통한 분할납·연속·변동 생명연금의 전통적 근사, C1=i/δ·C2=i^{(m)}/δ·C3=δ 등 계수화와 단수기간 부분의 연속모형 환산 절차 요약 • 특수 생존분포 및 응용: CFM·De Moivre 생존분포 하 생존함수·연금·보험 계수의 폐쇄형 표현, 종신·유기·거치·변동 연금 및 일시납순보험료·사망·생존확률 계산 연습문제 구조와 핵심 공식(예: ȃ_x=1/(δ+μ)) 정리 |
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| 5장. 순보험료 | ||
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[37강] 연납평준순보험료
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연납평준순보험료 이론과 생명보험·연금 적용 정리
• 연납평준순보험료와 수지상등의 원칙: 연납평준순보험료를 “보험금 보험수리적 현재가치 ÷ 납입보험료(유기·종신연금) 현재가치”로 정의하고, 생존보험·정기보험·종신보험·연금 등 모든 상품에 수지상등의 원칙(보험료 PV = 보험금 PV)을 일관되게 적용 • 주요 보험상품별 연납평준순보험료 구조: 생존보험·정기보험·종신보험·생사혼합보험·보험금 변동보험(누가·누가정기 등)·생명연금에 대해 일시납순보험료(정기·종신·생존·거치연금 PV)를 먼저 산출한 후, 전기납·유한납입·거치기간 조건에 맞는 유기연금/종신연금 PV로 나누어 연납평준순보험료를 도출 • 연납·일시납 보험료 및 응용 관계: 종신보험·생사혼합보험 등에서 연납평준순보험료와 일시납순보험료·연금계수 간 관계식을 이용해 이자율 역산, 납입기간 변경에 따른 보험료 조정, 거치연금 설계, 서로 다른 납입구조(전기납·유한납) 간 현재가치 비교 및 등가 조건 설정 방법 정리 |
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[38강] 연 m회 분할납순보험료, 보험료 반환부 보험
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연 m회 분할납 순보험료와 보험료 반환부 보험 핵심 정리
• 연 m회 분할납 순보험료 구조: 분할납 진보험료·분할분합 보험료 구분, 연납순보험료 대비 사망연도 보험료 결손·이자 결손 보전을 위한 조정항 포함, 종신·정기·생사혼합·H년납 종신보험에서 공통적으로 $P^{(m)} = P + \dfrac{m-1}{2m}(P + d)$ 형태의 관계식 성립 • 분할납 순보험료 산출 체계: 생명표 기호 $A_x, \ddot{a}_x^{(m)}, D_x, N_x^{(m)}, M_x$ 등을 이용해 사망보험금·유기연금 현재가치 비로 표현하고, 종신보험·생사혼합보험·정기보험 각각에 대해 전기납·H년납·연 m회 분할납 순보험료를 통일된 구조(분자: 급부 PV, 분모: 보험료 납입 연금 PV)로 계산 • 보험료 반환부 보험 설계: 보험료 반환부 종신보험·생존보험·종신연금에서 사망 시 납입 순보험료(또는 t배 반환)를 추가 급부로 포함시키고, 이를 누가 정기보험 형태의 현재가치로 표현하여 일시납·평준순보험료를 $A_x, \ddot{a}_x, D_x, N_x, M_x, R_x$ 기호 조합으로 산출하는 구조 정리 |
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[39강] 보험료 계산의 법칙, 연납편준순보험료
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보험수리학 순미래손실과 연납평준순보험료 핵심 정리
• 순미래손실현가·수지상등의 원칙: 순미래손실현가를 보험금 현가 − 순보험료 현가의 확률변수로 정의하고, 기대값 0(수지상등의 원칙)을 통해 종신·정기·생사혼합보험 등에서 Net Single Premium과 연납평준순보험료(보험금 Net Single Premium ÷ 연금가치)를 산출하며, 분산·2차 정률을 이용해 손실변동성과 최소 보험료를 분석함 • 보험플랜 구조·보험료 산정 체계: 완전이산·완전연속·반연속 및 연납·연속납, 연말급·사망즉시급 9가지 조합으로 보험료·보험금 시점 구조를 분류하고, 생명표·생존함수·단순 선형 생명표(ω 추정)·기수(D_x,M_x,R_x)·UDD 가정을 활용해 종신·정기·생사혼합·증가·감소보험, 사망즉시급 상품의 Net Single Premium과 연납평준순보험료를 기수·기호식으로 표현함 • 위험관리·손실확률 제어: 순미래손실 분포와 Var(L_0), 생존·사망확률 구조, 사망시점 분포(예: 지수형 생존모형)를 이용해 P(L_0>0)≤목표수준 조건을 만족하는 임계 사망시점과 최소 연납보험료를 결정하고, 상품별 보험료·보험금 설계 시 손실확률·위험프리미엄·보장구조를 정량적으로 조정하는 절차를 제시함 |
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[40강] 연 m회 분할납진보험료, 연속납순보험료
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연 m회 분할납진보험료와 연속납순보험료 핵심 정리
• 연 m회 분할납진보험료: 연납 구조에서 분자는 일시납순보험료(연말급·사망즉시급 공통) 그대로 두고, 분모를 분할납 생명연금현가(월납·m회납)로 대체해 순보험료를 결정하는 분할납 기시납 체계 • 연속납순보험료: 사망즉시급 일시납순보험료와 완전연속 종신연금현가(또는 생명보험–연금 관계식, i·d·δ 변환)를 이용해 \(P^{(c)}=\frac{A_x^{(\text{즉시})}}{\bar a_x}=\frac{\delta A_x}{1-A_x}\) 형태로 순보험료를 구하고, 미래손실의 분산·손실확률 조정까지 위험측도 분석 수행 • 연속형 모형 응용: 지수형·선형 생존함수와 상수 사망률(μ) 가정 하에 종신·정기·생사혼합보험의 일시납·연속납 순보험료, 분산, 손실확률, 연령 민감도( \(\frac{d}{dx}P^{(c)}(x)\) )를 적분·미분으로 산출하는 연속시간 보험수리 계산 구조 정리 |
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[41강] 분할부납 보험료, 미사용보험료 반환부보험, 보험료 반환부 정기보험
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분할부납·미사용보험료·보험료 반환부 정기보험 핵심정리
• 분할부납 순보험료·미사용보험료 반환부보험: 분할납 구조, 사망 후 분할보험료 면제·징수·차감 여부, 미사용보험료 반환 여부를 이자율·정기연금계수로 표현하여 연·분할납 순보험료 관계와 조정계수 도출 • 미사용보험료·영업보험료 반환 구조: 종신·정기·생사혼합보험에서 미사용보험료·영업보험료 반환분의 기대현가(APV)를 정기보험·연금계수(Ax, äx, δ/d, s̄k|j 등)로 정식화하고, 반환 기능 포함 연납·월납 순보험료 및 영업보험료 산출 • 보험료 반환부 정기보험·세이빙스 플랜: 사망 시 납입보험료(이자 포함/미포함)를 적립·반환하는 정기보험·생존보험·거치 종신보험·종신연금 구조를 통합하여 단일·평준순보험료 공식을 구축하고, 이자율 차이(i, j, i′)와 사망 즉시급·연말급 차이에 따른 계수 변환 정리 |
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[42강] 생사혼합보험료의 분해, CFM 가정 평준순보험료, De Moivre 평준순보험료
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생사혼합보험료 분해와 CFM/De Moivre 평준순보험료 정리
• 생사혼합보험료 분해·대출이론: 생사혼합보험을 적금·사망보험·생존보험으로 분해하고, 동일상환액 대출의 현재가치 구조와 연금현가(기시·말기)를 이용해 사망·생존급부를 표현하는 원리 • CFM 가정 하 평준순보험료: CFM 가정에서 종신·정기·생존·거치연금형 계약의 평준순보험료를 “급부의 일시납순보험료 / 납입연금의 일시납순보험료” 비율로 정식화(완전연속·완전이산·반연속 구조 포함) • De Moivre 법칙·표준계산 연습: De Moivre 사망법칙 하에서 종신·정기·생존·거치연금의 폐쇄형 순보험료 공식 도출, Mₓ·Nₓ 표를 이용한 유한납·단기납·계단형 급부 등 다양한 구조의 연납평준순보험료 계산 연습 |
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| 6장. 책임준비금 | ||
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[43강] 책임준비금(1)
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책임준비금 개념과 과거법·미래법 계산 정리
• 책임준비금 개념·역할: 종신·정기·생사혼합·생존·연금보험에서 평준순보험료와 자연보험료 차이인 초과보험료를 적립한 보험계약 부채로, 장래 보험금·급부 지급을 보장하는 적립 구조 정리 • 과거법·미래법 책임준비금: 과거법은 “과거 보험료 종가 – 과거 보험금 종가”를 생존자 1인당으로 환산한 책임준비금, 미래법은 “미래 보험금 현가 – 미래 순보험료 현가”로 정의되며, 수지상등의 원칙과 동일한 산출기준 하에서 두 방법의 값이 일치하는 조건·공식 제시 • 상품별 책임준비금 공식·응용: 보통 종신·유한납입 종신·정기보험·생사혼합보험·생존보험·거치연금에 대한 $V_x^t$ 일반식과 $t \le h, t>h$ 등 조건별 구조, 생명표 기호($l_x,d_x,D_x,N_x,M_x$)를 이용한 과거법·미래법 전개, 일시납순보험료·연금현가와의 관계, 응용 수식 및 예제 계산 구조 정리 |
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[44강] 책임준비금(2)
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책임준비금 미래법·과거법, 보험료 차액·납제보험 공식 정리
• 책임준비금·미래손실 개념: 미래손실 확률변수 PL 정의, APVFB·APVFP 구조, 미래법·과거법 책임준비금의 정의와 일치성 및 생사혼합보험·분할납·완전연속 종신보험에서의 책임준비금 일반식 정리 • 완전연속·보험종류별 책임준비금: 완전연속 종신보험의 $V_{x+t} = \bar{A}_{x+t} - \bar{P}_x \bar{a}_{x+t}$ 구조, 분산 계산 원리, 정기보험·생사혼합보험·생존보험·거치연금·단기납입 종신/생사혼합보험 등 보험종류별 미래법 책임준비금 공식 체계화 • 보험료 차액 공식·납제보험: 책임준비금을 신규보험료와 기존보험료 차이 × 남은 연금현가로 표현하는 보험료 차액 공식, 단기납 입 구조 반영식, 납제보험에서 $S^{(PU)} = V_{x+t}/A^{(single)}_{x+t}$를 이용한 축소 보장액 산출 및 보험종류별 납제보험 적용 원리 정리 |
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[45강] 책임준비금(3)
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보험금 연말급·연납보험료 책임준비금과 분할납 책임준비금 요약
• 책임준비금 구조와 평가법: 완전이산·반연속 종신보험·생사혼합보험에서 미래법·과거법 기준 “미래보험금 현재가치 − 미래보험료 현재가치” 구조, 정기보험·생존보험·연금 요인 분해 및 보험료 차액공식·일시납순보험료·분산 계산 체계 정리 • 반연속·분할납 책임준비금: 사망즉시급·연납보험료 반연속 모형에서 정기보험 부분만 i/δ 조정, 분할납 진보험료 생사혼합보험·종신보험에서 h년 단기납 조건하 미래 보험금 − 남은 분할납 보험료 현재가치로 책임준비금 산출 • UDD 가정과 분할납 vs 연납 비교: UDD 하에서 연납·분할납의 책임준비금은 보험금 부분은 동일, 보험료 부분만 차이나며 사망연도 보험료 결손으로 인해 k |
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[46강] 책임준비금(4)
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분할납 진보험료, 미사용 보험료 반환부 책임준비금, 순보험료 분해와 재귀식 핵심정리
• 분할납진보험료·미사용 보험료 반환부 구조: 분할납 사망 시 미납 보험료 공제 구조와 미사용 보험료 반환 구조를 일반 연납순보험료형·완전연속납형 보험으로 등가 변환하여 책임준비금이 기존 종신·생사혼합보험 책임준비금과 동일해지는 조건·수식 정리 • 책임준비금 재귀식과 순보험료 분해: $(V_t + P_t)(1+i) = q_{x+t}B_{t+1} + p_{x+t}V_{t+1}$ 재귀식을 통해 연초 책임준비금·보험료·사망보험금·차기 책임준비금의 관계를 정리하고, 순보험료를 저축보험료와 위험보험료(자연보험료)로 분해하는 구조 및 특수위험(일시적 사망률 상승) 시 감액보험금·추가보험료 산출 절차 제시 • Fackler 적립공식과 책임준비금 계산: 시점별 보험금·보험료가 변하는 계약에서 $U_{x,t} = (V_t + P_t)(1+i) = q_{x+t}B_{t+1} + p_{x+t}V_{t+1}$ 형태 Fackler 공식으로 책임준비금을 연속 계산하는 방법과 감소보험·단기납 구조에의 적용을 통해 과거법·재귀법을 연계한 실무 계산 절차 정리 |
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[47강] 책임준비금(5)
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책임준비금 단수경과, 미분방정식, 특수 생존분포 정리
• 단수경과 책임준비금: UDD 가정하 정수·분할 시점 책임준비금을 기준으로 인접 시점 선형보간 구조로 단수 시점 책임준비금 계산, 구성요소를 보험료적립금과 미경과보험료로 분해하여 표현 • 책임준비금 미분방정식: 완전연속 모형에서 책임준비금의 시간 변화율을 이자에 의한 증가, 사망강도·보험금에 의한 변화, 연속보험료에 의한 감소 항으로 나타내는 미분방정식 dV_t/dt = δV_t + μ_{x+t}(B_t - V_t) - π_t 정리 • 특수 생존분포와 책임준비금: CFM·De Moivre 법칙 등 특수 생존분포 가정하에서 종신보험·정기보험·생존보험의 책임준비금이 0 또는 단순 폐형식으로 나타나는 성질과 이를 이용한 변액 종신보험 순보험료 및 특정 시점 책임준비금 산출 구조 정리 |
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| 7장. 영업보험료 | ||
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[48강] 영업보험료 (1)
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영업보험료, Zillmer식 책임준비금, 해약환급금 핵심 정리
• 영업보험료 구조: 순보험료에 계약체결비용·계약관리비용(α, β, β′, γ)을 부가해 산출하는 보험료로, 일시납·분할납 모두 수지상등 원리에 따라 P^{(g)} = (1+k)P + c 형태의 비율형·정액형 사업비 구조로 표현함 • Zillmer식 책임준비금: 계약초 집중되는 계약체결비 회수를 위해 초기에 순보험료(P₁)를 줄이고 이후(P₂)를 늘려 조정하며, 순보험료식 책임준비금 V_t^{(N)}에서 Zillmer 조정항을 차감한 V_t^{(Z)}로 정의하고, 징구기간 경과 후에는 V_t^{(N)}와 일치하도록 전기·단기 구조로 운용함 • 해약환급금·표준제도: 해약환급금은 순보험료식 책임준비금에서 해약공제액을 공제한 금액으로, 잔여 계약비·역선택·유동성·사무비용을 반영하며, 표준이율·표준위험률·표준해약공제액 규제에 따라 해약공제기간·해약공제계수·연납순보험료 5% 규칙 등으로 최소 수준과 산출 방식을 정함 |
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[49강] 영업보험료 (2)
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Summary Content:
영업보험료 계산, 사업비 구조, 추가위험 반영 보험료 산출 정리 • 영업보험료 구조: 순보험료에 사업비·이익을 반영하여 총미래손실현가가 0이 되도록 산출하며, 총미래손실현가를 ‘보험급부 APV + 사업비 APV – 보험료수입 APV’로 정의하고 평준영업보험료를 평준순보험료와 평준부가보험료로 분해함 • 사업비 및 부과형태: 사업비를 계약체결비용·계약관리비용·보험금지급비용으로 분류하고, 계약건당·보험료 비례·보험금액 비례 형태로 부과하며, α·β·γ(초년도와 이후연도 구분) 기호체계를 사용해 생사혼합보험 등에서 책임준비금과 영업보험료를 계산함 • 추가위험 반영 방법: 비건강체 등에 대해 연령조정법, 표준 위험률에 비율 곱 또는 상수 가산 방식으로 μ_x(t)를 조정하여 생존확률·연금 APV·보험 APV를 재계산하고, 조정된 APV를 수지상등의 원칙·리스크·목표이익·펀드목표에 결합해 더 높은 영업보험료를 결정함 |
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[50강] 영업보험료 (3)
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미래손실의 분산과 확률, 영업보험료 산정 핵심 정리
• 수지상등의 원칙·보험료 구조: 순보험료·영업보험료를 보험금·사업비 현재가치와 보험료 납입 현재가치의 일치로 정의하고, 미래손실 기대값·분산을 기반으로 위험부가금을 포함한 리스크 반영 보험료 산정 • 미래손실 분산·확률 분석: 완전연속·완전이산 종신·정기·생사혼합보험에서 미래손실을 보험금·보험료 현가의 확률변수로 정의하고, 2차모멘트−1차모멘트제곱 구조의 분산 공식과 보험사 손익확률 P(L₀≷0)를 사망시점·생존기간 조건으로 변환 • 상품유형별 리스크 비교: 종신·정기·생사혼합보험에서 조기사망 리스크와 손실 분산을 활용한 영업보험료·위험부가금 결정, 연금보험에서 장수 리스크를 반영해 미래손실과 보험사 이익확률(1−{}_n p_x 등) 구조적으로 비교·정리 |
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[51강] 영업보험료 (4)
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영업보험료 백분위 및 책임준비금 핵심 정리
• 백분위 보험료·포트폴리오 백분위 보험료: 미래손실 조건 Pr(L>0)≤α를 만족하는 최소 영업보험료 산정, 완전연속·완전이산 모형에서 생존기간·연금현가를 이용한 계산, 포트폴리오에서는 중심극한정리·정규분포 근사와 zα를 사용해 집단 손실위험을 통제 • 영업보험료식 책임준비금: 시점 t 이후 미래손실의 조건부 기대값으로 정의되는 Vt(g), 보험료 산출기준보다 보수적인 사망률·이자율·사업비 가정으로 평가되어 초기 책임준비금이 양수화되며, 자본 적정성과 지급여력 확보를 위한 규제·실무 기준으로 활용 • 부가보험료식 책임준비금·DAC 및 책임준비금 구조: 영업보험료 Pg=Pn+Pe 분해, 부가보험료식 책임준비금 Vt(e)=미래사업비 APV−부가보험료 EPV로 일반적으로 음수(DAC)이며, 순보식·영업보험료식 책임준비금 관계 Vt(n)=Vt(g)−Vt(e), 미래손실 분산 Var(Lt)와 보험형태(종신·생사혼합)에 따른 구조 차이는 백분위 보험료 및 포트폴리오 위험관리의 핵심 입력값으로 사용됨 |
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[52강] 영업보험료 (5)
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영업보험료식 책임준비금, Thiele 방정식, 수정·초년도 정기식 책임준비금 정리
• 영업보험료식 책임준비금·Thiele 방정식: 재귀식·미분방정식을 통해 이crete·연속 시점 책임준비금 변화를 이자력, 사망률, 보험료·사업비, 사망보험금·지급비용 구조로 표현하고 오일러 방법 등 수치해석으로 계산하는 모형 • 수정 책임준비금·초년도 정기식(FPT): 평준 순보험료 대신 비평준 구조(p1, p2, p)로 초기 사업비를 반영하고 책임준비금이 음수가 되지 않도록 조정하며, 평준 순보험료식 책임준비금에 수정·조정항을 더한(또는 뺀) 형태로 표현하는 방법 • Zillmer 식 책임준비금·영업보험료 산출: Zillmer 비율로 초년도 사업비를 상각하여 책임준비금 0 조건을 맞추고, 다양한 비율·정액·복합 사업비 구조에서 보험금 APV와 보험료·사업비 APV 수지상등을 이용해 영업보험료를 계산하는 절차 |
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조홍규 교수님
보험수리학Ⅰ
