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보험수리학Ⅱ
조홍규 교수
KAIST 대학원 경영정보공학 석사과정
KAIST 대학원 경영정보공학 박사졸업
KAIST 대학원 경영정보공학 석사과정
KAIST 대학원 경영정보공학 박사졸업
한국금융연수원
이화여자대학교
성균관대학교
국민대학교
현) 유니와이즈 전임교수
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| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
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| 8장. 연생모형 | ||
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[1강] 연합생명의 생명확률
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연합생명의 생명확률 연생모형 핵심 정리
• 연생모형·동시생존자·최소 1인 사망 확률: 단생명표의 ${}_t p_x, {}_t q_x$를 이용해 ${}_t p_{xy}, {}_t q_{xy}$를 정의하고, “두 사람 동시생존”과 “적어도 한 명 사망(동시생존의 여집합)” 및 최초 사망 시점 ${}_t\!|q_{xy}$ 구조를 정리 • 최종생존자 생명확률·사망 시점·다수 피보험자: 최종생존자 기준 ${}_t p^{(2)}_{xy}, {}_t q^{(2)}_{xy}$와 ${}_t\!|q^{(2)}_{xy}$를 정의하고, m인 집단에 대해 동시생존·적어도 1인 생존·모두 사망·최종생존자 사망확률로 확장하는 곱·보완 구조 정리 • 조합형 연생확률·평균여명·공존확률: m명 중 r명 생존·적어도 r명 생존·제 r번째 사망·공존확률 $({}_t p_{x,\overline{yz}})$ 등 특수 연생확률과 동시생존·최종생존 기준 평균여명(계산 평균여명·완전 평균여명) 정의 및 계산 구조 정리 |
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[2강] 연합생명의 사력, 조건부 생명확률
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연합생명의 사력과 조건부 생명확률 핵심 정리
• 연합생명 사력 개념: 두 생명 이상의 동시생존·최종생존 상태에 대한 순간 사망강도 정의, 개별 사력 합과 연합 생존확률의 시간미분으로 표현 • 조건부 생명확률 구조: 특정 기간 내 선후(먼저/나중)·순서(k번째) 사망사건을 동시생존확률과 사력의 적분 형태로 일반화 • 응용 및 상품 구조: 두·세·다수 생명 연합에서 최초·최종·k번째 사망확률을 체계화하여 연생보험·최종생존자보험·k번째 사망보험의 보험료 및 준비금 산출에 활용 |
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[3강] 동시생존자-최종생존자 연생연금과 연금보험(1)
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동시생존자·최종생존자 연생연금·연생보험 핵심 정리 및 계산기수 활용
• 동시생존자·최종생존자 상품 구조: 정기보험·종신보험·연금·생존보험·생사혼합보험을 단생명·공동생명 간 포함·배제 및 조합(합·차)으로 표현하고, 동시생존자=최초 사망 기준, 최종생존자=두 번째(마지막) 사망 기준 급부로 정의 • 연합생명 계산기수(d, n, c, m): 공동생명 생존함수로부터 d·n(연말급), c·m(사망 즉시급) 계산기수를 구성해 동시생존자·최종생존자 보험·연금의 APV, 연납순보험료, 책임준비금을 “보험 APV ÷ 연금 APV” 구조로 일관되게 산출 • 포함·배제 및 납입구조: 다생명(2인·3인 이상) 최종생존자 연금·생사혼합보험을 단생명·공동생명 항의 포함·배제로 전개하고, 사망 즉시급–연말급 변환과 “최종생존자 사망 시까지 납입 vs 최초 사망 시 납입 중지”에 따른 분모 연금(최종생존자 연금 vs 동시생존자 연금) 선택 원리 정리 |
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[4강] 최종생존자 연생연금과 연금보험(2), 조건부 연생보험
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최종생존자 연생연금·연생보험과 조건부 연생보험 핵심 정리
• 최종생존자 연생보험·연금 구조: 단일생명 정기보험·연금과 동시생존자 보험·연금을 합·차로 조합하여 최종사망 정기보험·생존보험·생사혼합보험 및 최종생존자 연금의 현재가치와 보험료(전기납·특수납입구조 포함)를 계산 • 다수 피보험자·r명 생존·r번째 사망 상품: m명 중 정확히 r명/적어도 r명 생존 연금, 제 r번째 사망 정기보험, 최종생존자·동시생존자 조합형 급부를 포함·배제 원리와 연합생명 계산기수(D, N, M 등)로 표현하고 순보험료·책임준비금을 상태별로 산출 • 조건부 연생보험 및 사망순서 활용: “x가 먼저/두 번째/최종으로 사망” 등 사망순서를 급부조건으로 하는 정기보험·생사혼합보험을 조건부 계산기수 C, M^{(1)} 등으로 정의하고, 최초사망·최종사망·다수 피보험자 구조를 조건부 확률과 조합식으로 분해·변환하여 AEO, a, E 관계로 정식화 |
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[5강] 유족연금, 연습문제
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유족연금 유형과 연습문제 핵심 정리
• 유족연금 및 다생명 연금 구조: 유족연금·조건부 연생·확정기간 결합 유족연금을 단생명 연금과 동시생존 연금의 차이(a_y − a_{xy}, a_v − a_{uv})로 표현하고, 2·3생명 유족연금 및 최종생존자형 연금의 APV를 포함·배제 원리로 구조화함 • 보험계약·책임준비금 계산: 부자 동시생존 기간에만 보험료 납입되는 아버지·아들 사례에서 생존·사망·유족연금 급부의 APV를 결합해 순보험료 산출하고, 특정 시점 이후 급부 APV와 이후 보험료 APV 차이로 책임준비금을 계산함 • 생존모형과 연습문제 응용: 지수생존모형과 주어진 생존확률을 이용해 동시생존기간·최종생존자 생존기간 확률을 산출하고, 동시생존자 정기보험과 최종생존자 연금의 연도별 사망·생존확률 및 할인현가를 계산하여 연생·공존·최종생존 구조를 수리적으로 해석함 |
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| 9장. 다중탈퇴모형 | ||
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[6강] 다중탈퇴모형(1)
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다중탈퇴모형 기초 개념 및 다중탈퇴표·보험료 계산 정리
• 다중탈퇴모형·집단 구조: 폐집단·개집단·주집단·부집단 정의와 다중탈퇴잔존표(이중·삼중탈퇴표 포함)를 통한 사망·장해·해약 등 다중 탈퇴원인별 잔존·탈퇴 구조 정리 • 다중탈퇴율·절대탈퇴율·중앙탈퇴율: 절대탈퇴율 독립·UDD 가정 하에서 이중·삼중탈퇴모형의 다중탈퇴율–절대탈퇴율 관계식과 중앙탈퇴율–다중탈퇴율 상호 변환식 정의 및 유도 • 다중탈퇴표와 보험료 계산: 절대탈퇴율로부터 다중탈퇴율·원인별 탈퇴자수·잔존자수 계산해 다중탈퇴표를 작성하고, 계산기수(D, C, M, N)를 이용한 정기보험 순보험료 산출 절차 정리 |
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[7강] 다중탈퇴모형(2)
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다중탈퇴모형 탈퇴력·결합분포·다중탈퇴표 핵심 정리
• 다중탈퇴 결합구조: 탈퇴시점 연속변수 \(T_x\)와 탈퇴원인 이산변수 \(J\)의 결합분포 \(f_{T,J}(t,j)\)를 기반으로 원인별·총 탈퇴확률 \({}_t q_x^{(j)},{}_t q_x^{(\text{tot})}\)와 생존확률 \({}_t p_x^{(\text{tot})}\) 및 주변·조건부분포를 정의 • 탈퇴력 체계: 총탈퇴력 \(\mu_{x+t}^{(\text{tot})}=\dfrac{f_T(t)}{{}_t p_x^{(\text{tot})}}\), 부분탈퇴력 \(\mu_{x+t}^{(j)}=\dfrac{f_{T,J}(t,j)}{{}_t p_x^{(\text{tot})}}\), \(\mu_{x+t}^{(\text{tot})}=\sum_j\mu_{x+t}^{(j)}\), \({}_t p_x^{(\text{tot})}=\exp\left(-\int_0^t\mu_{x+s}^{(\text{tot})}ds\right)\), \(Pr\{J=j\mid T=t\}=\dfrac{\mu_{x+t}^{(j)}}{\mu_{x+t}^{(\text{tot})}}\) 관계로 결합·주변·조건부확률 및 기대값 계산 • 이산 다중탈퇴표: 계산 잔존기간 \(K=\lfloor T\rfloor\)를 이용해 연속모형을 해 단위 이산모형으로 변환하고, 해·연령별 잔류확률 \({}_k p_x^{(\text{tot})}\), 원인별 1년 탈퇴확률 \({}_1 q_{x+k}^{(j)}\), 총탈퇴확률 \({}_1 q_{x+k}^{(\text{tot})}=\sum_j{}_1 q_{x+k}^{(j)}\)를 다중탈퇴표에 정리하여 실제 데이터(퇴촌자수)를 통한 각종 주변·조건부확률 및 누적탈퇴확률 산출 구조 확립 |
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[8강] 다중탈퇴모형(3)
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다중탈퇴모형 확률론적 생존그룹·중앙탈퇴율·CFDMD 요약
• 다중탈퇴모형·생존그룹: 출발집단·잔존자수·원인별 탈퇴자수를 이항·다항분포로 정의하고, 다중탈퇴율·절대탈퇴율·절대잔류확률 관계로 다중탈퇴표를 구성하는 확률론적 구조 • 중앙탈퇴율·UDDMD·UDDSD: 총탈퇴력과 중앙탈퇴율을 연결하고, 다중·단일탈퇴표에서 균등분포 가정(UDDMD·UDDSD)을 통해 q_x, m_x 사이 변환식과 절대·다중탈퇴율 간 비교를 제시하는 탈퇴율 체계 • CFDMD·비율공식: 상수탈퇴력 하에서 잔류확률을 지수함수로 표현하고, 원인별 탈퇴확률을 총탈퇴확률에 대한 비율공식으로 계산하며 절대탈퇴율·다중탈퇴율·중앙탈퇴율 간 로그·비례 관계를 정립하는 모형 |
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[9강] 다중탈퇴모형(4)
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다중탈퇴율 역산과 다중탈퇴급부·해약급부의 APV 구조 정리
• 다중탈퇴율 역산: CFDMD·UDDSD 가정하에서 절대탈퇴율로부터 원인별 다중탈퇴율을 계산하는 비율·보정항 구조 정리 및 이중탈퇴·다중탈퇴식 전개 • 다중탈퇴급부 APV와 특수급부: 원인별 탈퇴확률·총잔류확률·할인인자를 결합한 APV 구조를 이용해 사고배액급부·장해연금·이중탈퇴 책임준비금의 기대값·분산·시점별 준비금 계산 • 해약급부와 책임준비금 연계: 해약을 추가 탈퇴원인으로 처리한 해약급부 APV, 단일탈퇴모형 순보험료식 책임준비금 수준의 해약환급금 정의, 사업비·조정보험료·해약공제를 반영한 영업보험료식 책임준비금 및 최저해약환급금 설계 구조 정리 |
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[10강] 계약의 변경, 퇴직연금
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계약의 변경과 퇴직연금, 다중탈퇴모형 핵심 정리
• 보험계약 변경·해약환급금 활용 제도: 납제보험·연장정기보험·보험료 자동대출을 통해 해약환급금을 감액완납·정기보험 전환·보험료 대출에 사용하며, 계약 변경 시 해약환급금·미래보험료·미래급부의 APV가 수지상등 원칙을 만족하도록 설계함 • 퇴직연금 구조와 급여 산정: DB·DC형 퇴직연금에서 승급표·승급함수로 미래급여를 예측하고, 최종급여·최종 m년 평균급여·근무기간 평균급여 플랜에 따라 퇴직연금액과 소득대체율을 계산하며, Vesting과 종업원재직잔존표를 통해 연금수급권 형성·퇴직연금부채(APV)를 평가함 • 다중탈퇴모형과 APV 평가: 사망·퇴직·사직·장해 등 여러 탈퇴 요인을 결합확률분포·다중탈퇴 생명표·탈퇴표로 모형화하고, 원인별 탈퇴확률·조건부강도를 이용해 퇴직연금급부 APV와 특정 기간·특정 원인 탈퇴확률을 산출하여 보험·연금 상품의 리스크와 현금흐름을 정량 평가함 |
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| 10장. 다중상태모형 | ||
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[11강] 확률과정, 이산시간 마르코프 연쇄
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이산시간 마르코프 연쇄와 확률과정 핵심 개념 정리
• 확률과정·기본 성질: 확률과정 정의, 이산·연속시간 구분, 독립증분·정상증분, 브라운운동, 마팅게일 등 확률과정 구조적 특성 정리 • 이산시간 마르코프 연쇄 구조: 마르코프 성질, 전이확률·전이확률행렬, 흡수상태, 다단계 전이와 행렬 거듭제곱, 채프만-콜모고프 방정식, 상태벡터와 시간동질·비동질 전이 구조 제시 • 마르코프 모형 응용 및 확장: 건강–질병–사망, 신용등급, 자동차보험 무사고·사고 등 이산시간 마르코프 응용과 연속시간 마르코프 모형 개관을 통한 보험수리·다중상태모형 기반 제시 |
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[12강] 다중상태 모형, 마르코프 연쇄의 적용(1)
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다중상태모형과 마르코프 연쇄 적용 핵심 정리
• 다중상태모형 유형과 전이 구조: 단일탈퇴·영구장해·질병·다중탈퇴·연생(종속·공통충격·독립)·노인요양·CI 모형의 상태 정의와 전이 가능/불가능 화살표를 통해 급부·보험료·납입면제 구조를 설계하는 체계 • 마르코프 연쇄와 전이확률행렬: 무기억성·시간동질/비동질 가정하에 전이확률행렬과 그 거듭제곱으로 다중상태모형의 다단계 전이확률·집단 상태비율·조건부 전이확률을 계산하는 구조 • 3상태 마르코프 모형 보험수리 응용: 3상태 모형을 이용한 사망자수·건강자수의 기대값·분산·공분산 산출, 이항분포 결합, 사망보험의 연납평준순보험료와 시점·상태별 책임준비금 계산 절차 정식화 |
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[13강] 마르코프 연쇄의 적용(2)
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마르코프 연쇄를 이용한 다중상태 보험급부·보험료·책임준비금 계산 개념 정리
• 마르코프 다중상태 모형: 상태공간(건강·질병·중증질병·장·단기요양·사망·해약 등)과 전이확률행렬·상태벡터를 이용해 각 시점 상태분포를 계산하고, 사망·질병·요양·이동·해약 등 급부 구조를 수리적으로 표현 • APV·EPV·보험료·책임준비금: 상태별 급부(사망급부·질병급부1/2·이동비용·해약·보험료 면제 등)와 납입조건(건강만 납입, 질병 포함 납입, 해약 반영)을 반영해 APV·EPV를 산출하고, 수지상등 원칙으로 연납평준순보험료와 다중시점 책임준비금을 계산 • 해약·면제·특약 구조: 해약을 포함한 전이확률행렬 재구성(상태 확장·확률 재분배), 건강·질병 상태별 보험료 납입확률 조정, 보험료 면제 옵션과 이동비용·추가비용 급부의 가치를 APV 차이로 평가하는 응용 커리큘럼 구성 |
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[14강] 마르코프 모형과 보험상품(1)
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마르코프 모형과 보험상품 계산 핵심 정리
• 이산시간 마르코프 모형 기반 상태전이 구조: 2·3·4·5상태(건강·질병·장해·사망·연생 등) 전이확률행렬과 초기 상태벡터를 이용해 각 시점 상태확률을 산출하는 절차 정리 • 보험급부 평가 구조: 상태에 머무는 급부(연금·장해·질병)와 신규 전이 시 급부(사망·암·다중탈퇴)를 구분해 급부 발생확률을 도출하고, 이자율을 적용해 APV(일시납순보험료)를 계산하는 방법 정리 • 보험료·책임준비금 계산: 건강 등 특정 상태에서만 또는 복수 상태에서 보험료를 납입하는 경우의 보험료 EPV, 연납평준순보험료 및 각 시점·각 상태별 책임준비금을 P = APV/EPV 원리로 산출하는 절차 정리 |
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[15강] 마르코프 모형과 보험상품(2)
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마르코프 모형과 건강·CI·요양 관련 보험상품 요약
• 4상태 마르코프 모형 구조: 건강·질병·요양(일반병실·중환자실)·CI진단·사망 등 상태와 전이확률(시간동질·시간비동질)을 전이행렬·상태벡터로 표현하고, 각 연도별 상태확률과 급부 발생확률을 계산하는 틀 • 연납평준순보험료 산출: 각 급부의 APV(상태·시점별 급부 발생확률 × 급부액 × 할인인자 합)와 보험료 EPV(납입 가능 상태확률 × 상태별 납입비율 × 할인합)를 구해 APV/EPV로 순보험료를 결정하는 구조 • 책임준비금 계산 원리: 특정 시점·상태별로 향후 급부 APV − 향후 보험료 EPV로 정의하며, 건강 등 납입 지속 상태에서는 음의 준비금, 질병·요양·CI진단 등 손해상태에서는 높은 양(+)의 준비금이 산출되는 상태의존형 준비금 구조 |
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[16강] 다중상태모형 연습문제풀이
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다중상태 모형 연습문제 핵심정리 (운전자 분류, 요양시설, 건강보험, 연생보험)
• 마르코프 연쇄 구조: 시간동질·시간비동질 전이확률행렬과 상태벡터를 이용해 운전자 등급, 노인요양시설, 건강·연생·건강모형의 각 시점 상태분포를 계산하는 절차 정리 • 보험급부·보험료 APV: 상태별·전이별 급부 발생 조건과 연초/연말 지급 구조를 구분하여 질병급부, 사망보험금, 시설비용의 APV와 연납평준순보험료 산출 • 책임준비금 평가: 다중상태 건강·질병 모형에서 특정 시점·특정 상태(건강, 질병1, 질병2 등)에 따른 남은 기간 급부 APV와 보험료 APV를 비교해 상태별 책임준비금(양·음수 포함) 계산 |
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| 11장. 현금흐름분석 | ||
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[17강] 현금흐름분석(1)
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보험수리학 현금흐름분석(자산할당·IFRS·SolvencyⅡ 핵심 정리)
• 자산할당(asset share)·Net asset share: 동질 군단별 실제 이율·사망률·사업비·해약률에 기초해 계약당 자산지분과 잉여(Net asset share)를 재귀식으로 산출하여 배당, 상품요율·해약환급 설계, 장래수지·지급여력 분석, 조직변경 시 계약자 지분 평가에 활용 • 국제보험회계기준(IFRS 4)·Fulfillment CF: LAT를 통한 보험부채 적정성 검증과 미래현금흐름·시간가치·위험조정·서비스마진 4대 빌딩블록 기반 Fulfillment CF(현금유입·유출의 공정가치 현가)로 책임준비금을 산정하여 장래 이익 인식시점과 회계 투명성 관리 • SolvencyⅡ 기술적 준비금·SCR 구조: 공정가치 기반 총재무제표 방식으로 최선추정치+위험마진의 기술적 준비금과 $SCR = BSCR + ADJ + SCR_{op}$ 및 6대 리스크 모듈 구조를 통해 가용자본과 자본요구량 관계를 규율하고 보험부채 평가, 지급능력·위험관리 체계를 통합 운영 |
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[18강] 현금흐름분석(2)
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예정적 자산할당과 수익성분석, 책임준비금 및 이익벡터 구조 정리
• 예정적 자산할당·책임준비금 구조: 예정 가정(이자율·위험률·사업비)에 따른 재귀식 자산할당과 순보험료식·영업보험료식 책임준비금 계산을 통해 보험료·급부·사업비 현금흐름을 분해하는 체계 • 수익성분석 및 Profit Vector: 보험료·책임준비금·수익성분석 산출기준(이자율·위험률·사업비)을 조합해 연도별 Profit, 이익벡터(Profit Vector)와 생존가중 이익흐름(Profit Signature)을 도출·비교하는 분석 체계 • ΔV·DAC 기반 이익 패턴 조정: 책임준비금 증감량 ΔV와 이연신계약비(DAC)를 이용해 이자·준비금 증가·사망급부·사업비 항목을 구조적으로 분해하고, 신계약비 이연을 통해 연도별 이익 패턴을 평탄화하는 기법 |
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[19강] 현금흐름분석(3)
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보험수리학 수익성분석, 이익측정, 이원별 손익 핵심 정리
• 수익성분석·이익벡터: 영업보험료식 책임준비금과 수익성분석 산출기준을 사용해 0시점을 포함한 이익벡터·profit signature를 정의하고, 보험연도별 기대이익·실제이익을 책임준비금 변화와 현금흐름 구조로 표현 • 이익측정 지표: 투자·보험 현금흐름을 자본예산·NPV·IRR·DPP로 평가하고, 전체 순현금흐름의 NPV를 영업보험료 EPV로 나눈 이익마진으로 보험상품의 상대적 수익성 측정 • 이원별 손익·3이원 분석: 보험연도별 손익을 실제이익–기대이익으로 정의하고, 이를 이자율 차익(2차익)·사업비 차익(비차익)·사망률 차익(4차익)으로 분해하여 원인별 손익 구조를 분석하는 3이원 손익분해 체계 정립 |
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[20강] 현금흐름분석(4)
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다중탈퇴모형 수익성·이원분석과 현금흐름 보험료 산출 개념정리
• 다중탈퇴모형·해약환급금·자산재귀식: 사망률·해약률을 동시 반영한 잔존확률·다중탈퇴율 구조, 책임준비금·이연신계약비 기반 해약환급금 정의, 에셋쉐어 재귀식을 이용한 연도별 이익·수익성(프로핏테스팅) 분석 • 이원분석과 손익 분해: 예정가정 대비 실제경험치 차이를 이자율·사업비·사망률(위험률)·해약률 요소별로 분해하여 손익을 측정하는 이원분석 절차와 분해 순서 변화에 따른 항목별·합계 손익 구조 • 현금흐름 기반 보험료 산출·수익성지표: 세전·세후 처분가능이익 공식과 필요자본·법인세 반영 구조, Profit Margin·VNB·BEY·IRR·NBS 등 수익성지표 정의 및 목표 수익성 달성을 위한 현금흐름 시나리오 기반 보험료 산출 절차(시장조사→가정 설정→현금흐름·이익 계산→보험료 조정) |
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조홍규 교수님
보험수리학Ⅱ
